Econometria I. Tema 6: Modelos de Ecuaciones Simultáneas. Universidad Carlos III. Getafe, Madrid. November 2008
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- Carla Quintana Arroyo
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1 Econometria I Tema 6: Modelos de Ecuaciones Simultáneas Universidad Carlos III Getafe, Madrid November 2008 Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 1 / 20
2 Ecuaciones Simultáneas El método de VI ayuda a resolver dos problemas de endogeneidad: Variables omitidas y Errores de medida En ambos casos podríamos estimar los parámetros de interés por MCO si dispusiésemos de mejores datos. Otro caso de endogeneidad de variables explicativas es el de simultaneidad. Este problema surge cuando una o más variables explicativas se determinan conjuntamente con la variable dependiente, típicamente a través de un mecanismo de equilibrio. El método más habitual para estimar modelos o sistemas de ecuaciones simultáneas (MES) es el método de VI s, por lo que la solución a la simultaneidad es esencialmente el mismo que para variables omitidas y errores de medida. Sin embargo, construir e interpretar MES s no es tan fácil. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 2 / 20
3 La naturaleza de los modelos de ecuaciones simultáneas La características más importante de los MES s es que cada ecuación debe tener una interpretación causal, ceteris paribus. Como sólo observamos resultados de equilibrio, tenemos que usar un razonamiento contra-factual, tanto en términos de los resultados reales como de los potenciales que no han ocurrido. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 3 / 20
4 Ejemplo: ecuaciones de oferta y demanda El ejemplo clásico de un MES s es sistema de ecuaciones de demanda y oferta de algún bien o input: h s = α 1 w + β 1 z 1 + u 1 donde h s es el número de horas anuales ofertadas por los trabajadores agrícolas y w es el salario medio ofertado a tales trabajadores. z 1 es alguna variable observada que afecta a la oferta de trabajo (por ej. el salario medio en la industria). Este es un ejemplo de ecuación estructural: la ecuación de oferta de trabajo se puede derivar de la teoría económica y tiene una interpretación causal. Si h s y w están en logaritmos, α 1 es la elasticidad de la oferta de trabajo. Típicamente esperamos que α 1 > 0. Esta elasticidad es importante para conocer la respuesta de los trabajadores ante cambios en los impuestos o salarios. También esperaremos que β 1 0 si z 1 es el salario en la industria. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 4 / 20
5 Oferta de Trabajo Cuando se dibuja la oferta de trabajo, se muestran horas como una función de salario, con z 1 y u 1 jos. Un cambio en z 1 desplaza la función de oferta de trabajo, al igual que un cambio en u 1. La diferencia es que z 1 es observado, pero no u 1 : z 1 es un factor de desplazamiento observado de la oferta. La ecuación de oferta debe ser válida para todos los valores del salario w, pero no podemos observar el salario reaccionar exógenamente en una sección cruzada de condados. Sin embargo, en la práctica se recogen datos sobre salarios medios en esos dos sectores junto con la horas de trabajo dedicadas en la producción agrícola como resultado de la interacción entre demanda y oferta de trabajo. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 5 / 20
6 Demanda de trabajo h d = α 2 w + β 2 z 2 + u 2 h d son horas demandadas. z 2 es un factor de desplazamiento observable de la demanda de trabajo (por ej. super cie agrícola), mientras que u 2 no es observable. Esta también es una ecuación estructural, obtenida a través de la maximización de bene cios de los granjeros. Si h d y w están en logaritmos, alpha 2 es la elasticidad de demanda de trabajo. La teoría económica dice que α 2 < 0, mientras que β 2 > 0. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 6 / 20
7 Sistema de ecuaciones Las dos ecuaciones describen relaciones totalmente diferentes: oferta de trabajo describe el comportamiento de equilibrio de los trabajadores, mientras que la demanda describe el de los granjeros. Ambos aparecen unidos en el análisis econométrico por que los salarios y horas trabajadas observadas se determinan por la intersección de oferta y demanda de trabajo. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 7 / 20
8 Equilibrio Para cada condado el número de horas de trabajo observadas h i y el salario obs. w i se determinan por la condición de equilibrio h is = h id Como sólo observamos las horas de equilibrio para cada condado, las hora observadas se denotan como h i. Cuando combinamos la condición de equilibrio con las ecuaciones de oferta y demanda se obtiene h i = α 1 w + β 1 z 1 + u 1 h i = α 2 w + β 2 z 2 + u 2 Estas ecuaciones son un modelo de ecuaciones simultáneas: Dadas z i1, z i2, u i1 y u i2, estas dos ecuaciones determinan las variables endógenas hi y wi (si α 1 6= α 2 ). z i1 y z i2 son var.s exógenas determinadas fuera del sistema. El supuesto clave es que tanto z 1 como z 2 deben estar incorreladas con los errores estructurales de la S y D, u 1 y u 2 Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 8 / 20
9 Modelos de ecuaciones simultáneas Sin z 1 y z 2 sería imposible decir qué ecuación es la función de oferta y cuál la de demanda. Si z 1 y z 2 fuesen la misma variable (p.ej. nivel educativo medio en el condado) entonces ambas ecuaciones tienen aspecto idéntico y no es esperable que se pueden estimar. Sin embargo puede haber sistemas de ecuaciones mal planteados (housing y saving en función de inc, educ y age) que no son propiamente ES s porque ambas decisiones son de una misma unidad económica y cada ecuación no tiene signi cado independiente. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 9 / 20
10 Sesgo de Simultaneidad en MCO Sistema de dos ecuaciones y 1 = α 1 y 2 + β 1 z 1 + u 1 y 2 = α 2 y 1 + β 2 z 2 + u 2 donde nos centramos en la estimación de la primera ecuación. Las variables z 1 y z 2 son exógenas y están incorreladas con los errores u 1 y u 2. En general y2 está correlada con u1 Entonces se obtiene la Forma Reducida y 2 = π 21 z 1 + π 22 z 2 + v 2 Los parámetros de la FR, π, son funciones no lineales de los parámetros estructurales. El error de la FR es una combinación lineal de los errores estructurales, por lo que estará incorrelado con z 1 y z 2. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 10 / 20
11 Forma Reducidas Relacionan una variable endógena con las variables exógenas. Sus parámetros π 21 y π 22 pueden estimarse por MCO. Estos parámetros a veces son también de interés. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 11 / 20
12 Endogeneidad Debido a la expresión de la FR, vemos que y 2 va a estar correlacionada con u 1, ya que forma parte del error v 2, siempre y cuando α 2 6= 0. Incluso si α 2 = 0, también habrá endogeneidad si u 1 y u 2 están correlados. MCO de la ecuación estructural producirá estimadores sesgados e inconsistentes. Si α 2 = 0, y u 1 y u 2 están correlados, entonces y 2 no se determina simultáneamente con y 1 y MCO funcionará. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 12 / 20
13 Sesgo de Simultaneidad Si y 2 está correlada con u 1 debido a la simultaneidad, entonces se dice MCO tiene sesgo de simultaneidad. En casos simples es posible deducir el signo del sesgo. Si nos olvidamos de z 1, y u 1 y u 2 están incorrelados, Cov(y 2, u 1 ) = Cov(y 2, v 2 ) = [α 2 /(1 α 1 α 2 )]σ 2 1 El sesgo tiene el mismo signo que α 2 /(1 α 1 α 2 ) Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 13 / 20
14 Identi cación y Estimación de una Ecuación Estructural Estimar ecuaciones estructurales dentro de un MES s por MCO produce estimadores sesgados e inconsistentes. La solución es aplicar estimación MC2E. En este caso, como cada variable endógena tiene su propia ecuación estructural, es inmediato comprobar si hay su cientes VI s para estimar cada ecuación. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 14 / 20
15 Identi cación en un sistema de 2 ecuaciones En MES s el error de la ecuación estructural va a estar correlado con la variable endógena explicativa, y la condición de identi cación usada por MCO no se cumple. Si se dispone de VI s entonces podremos identi car la ecuación y estimarla consistentemente. Ejemplo: sistema de oferta-demanda, en equilibrio: q = α 1 p + β 1 z 1 + u 1 q = α 2 p + u 2 Por ej. q = consumo de leche en un condado, p el precio medio de la leche y z 1 es el precio del queso. Esto signi ca que la primera ecuación es la ec. de oferta, porque el precio del queso debe trasladar la función de oferta de leche (β 1 0), pero no afectará a la demanda. La función de la demanda no tiene factores de desplazamiento observados. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 15 / 20
16 Qué ecuación puede estimarse consistentemente? Si tenemos una muestra aleatoria (q, p, z1), cuál de las dos ecuaciones puede estimarse? Cuál está identi cada? Está identi cada la ecuación de demanda, pero no la de oferta: En la ecuación de demanda podemos usar el precio del pienso (z 1 ) como VI de p, pero no tenemos VI para el precio en la ecuación de oferta. La intuición es que el factor de desplazamiento de la ecuación de oferta no afecta a la ecuación de demanda: si cambia z 1, se desplaza la curva de oferta e identi camos la pendiente de la demanda. La ecuación de oferta no puede ser identi cada porque no hay factores exógenos que desplacen la curva de demanda (aunque sí que los hay inobservados, que no podemos controlar). Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 16 / 20
17 Modelo general de dos ecuaciones y 1 = β 10 + α 1 y 2 + z 1 β 1 + u 1 y 2 = β 20 + α 2 y 1 + z 2 β 2 + u 2 y 1 y y 2 son variables endógenas. u 1 y u2 son términos de error. β 10 y β 20 son los términos constantes. z 1 = (z 11, z 12,..., z 1k1 ) es un conjunto de k 1 variables exógenas que aparece en la primera ecuación, z 1 β 1 = β 11 z 11 + β 12 z β 1k1 z 1k1 z 2 = (z 21, z 22,..., z 2k2 ) es un conjunto de k 2 variables exógenas que aparece en la segunda ecuación. En muchos casos z 1 y z 2 tendrán elementos comunes. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 17 / 20
18 Restricciones Si z 1 y z 2 contienen diferentes variables exógenas es porque se han impuesto restricciones de exclusión: se asume que determinadas variables que aparecen en una ecuación no están en la otra. Esto permite distinguir las ecuaciones de oferta y demanda. Para resolver las dos variables endógenas en función de las exógenas y obtener las Formas Reducidas necesitamos que α 1 α 2 6= 1. Identi cación: La siguiente cuestión es, bajo qué condiciones podemos estimar los parámetros de las ecuaciones estructurales? Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 18 / 20
19 Condición de Rango para la identi cación de una ecuación estructural La primera ecuación está identi cada si y sólo si la segunda ecuación contiene al menos una variable exógena (con un coe ciente diferente de cero) que está excluida de la primera ecuación. La condición de orden [sólo necesaria] establece que al menos una variable exógena que está excluida de la primera ecuación. La cond. de rango requiere además que esa variable excluida debe tener un coe ciente distinto de cero en la otra ecuación, para que aparezca en la FR de y 2 (y así controlar sus desplazamientos). Esto se puede contrastar mediante un test de la t. La identi cación de la otra ecuación se realiza usando exactamente el mismo método. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 19 / 20
20 Condición de Rango para la identi cación de una ecuación estructural La primera ecuación está identi cada si y sólo si la segunda ecuación contiene al menos una variable exógena (con un coe ciente diferente de cero) que está excluida de la primera ecuación. La condición de orden [sólo necesaria] establece que al menos una variable exógena que está excluida de la primera ecuación. La cond. de rango requiere además que esa variable excluida debe tener un coe ciente distinto de cero en la otra ecuación, para que aparezca en la FR de y 2 (y así controlar sus desplazamientos). Esto se puede contrastar mediante un test de la t. La identi cación de la otra ecuación se realiza usando exactamente el mismo método. Julio Cáceres Delpiano (UC3M) Econometria I 10/07 20 / 20
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