CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL Y SERVICIOS NO. 50 CURSO CÁLCULO INTEGRAL PERIODO AUTOR JULIO MELÉNDEZ PULIDO

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1 CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO INDUSTRIAL Y SERVICIOS NO. 50 CURSO CÁLCULO INTEGRAL PERIODO 0- AUTOR JULIO MELÉNDEZ PULIDO

2 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 CONCEPTO FUNDAMENTAL:. INTEGRALES ELEMENTALES CONCEPTO SUBSIDIARIO:. Antecedentes (diferenciales).. Integrales Inmediatas.. Integrales por Sstitción o cambio de variable.. Integración por partes. CONCEPTO FUNDAMENTAL:. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS. CONCEPTO SUBSIDIARIO:. Integrales de la forma: sen m cos n.integrales de la forma: tg n o ctg n. Integrales de la forma: n n sec o csc.integrales de la forma: tg m sec n o m ctg csc n.5 Integrales de la forma: m n sen cos por ánglos múltiplos.6 Integrales de la forma: sen mcos n d, sen msenn d

3 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 cos m cos n d, Cando m n CONCEPTO FUNDAMENTAL:. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ESPECIALES CONCEPTO SUBSIDIARIO:. Integración por sstitción trigonométrica.. Integrales definidas.. Área bajo la crva.. Área entre crvas.

4 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50. Antecedentes (diferenciales). Definición del diferencial dy CONCEPTO FUNDAMENTAL:. INTEGRALES ELEMENTALES Si y=f() es na fnción derivable en y d es el diferencial de, del diferencial dy qe corresponde a la variable dependiente y se define como: dy=f ()d Ejercicio : Determina la diferencial de la fnción y= -5+ dy=f ()d. Se procede a sacar la derivada de la fnción tilizando el software GEOGEBRA: Fnción a derivar: Derivada de la fnción:

5 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50. Se realiza la derivada paso a paso:. Se aplica: dy=f ()d dy=(8-5)d = diferencial de la fnción En los sigientes ejercicios determina la diferencial de la fnción (dy).. Se procede a sacar la derivada de la fnción tilizando el software GEOGEBRA: 5

6 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50. Se realiza la derivada paso a paso: ( ) ( ). Se aplica: dy=f ()d ( ). Se procede a sacar la derivada de la fnción tilizando el software GEOGEBRA: 6

7 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50. Se realiza la derivada paso a paso:. Se aplica: dy=f ()d 7

8 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50. Se procede a sacar la derivada de la fnción tilizando el software GEOGEBRA:. Se realiza la derivada paso a paso: ( ) ( ). Se aplica: dy=f ()d 8

9 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50. Integrales Inmediatas. Las integrales inmediatas son aqellas donde se peden aplicar las formlas directamente sin necesidad de agregar literales nevas, simplemente se tienen qe acomodar mediante cambios algebraicos para qe la integral sea efectada mediante na fórmla directa. 5 Para resolver esta integral podemos notar qe no tenemos qe hacer ningún movimiento algebraico así qe tenemos na integral directa donde podemos aplicar la fórmla de 5 c 5 n n d c donde en este caso n=5 n 6 6 c Resolver: 5my dy Esta es na integral directa donde aparece na constante ósea todo nmero o letra qe sea diferente a y ya qe en este caso nestra integral esta con respecto a dy. Lo qe tenemos qe hacer es sacar la o las constantes de la integral y procedemos a integrar con la misma fórmla del ejercicio anterior. 5m y dy y 5m c y 5m c 5 my C 9

10 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 d Como podemos observar esta integral no tiene formla qe sea directa, ahora lo qe tenemos qe hacer es n movimiento algebraico para poder encontrar na fórmla qe se le asemeje para poder resolverla de manera directo d Lo qe hicimos aqí fe sbir a negativo al nmerador pero con eponente Ahora ya podemos aplicar na formla directa c c c z dz Como podemos notar no hay fórmla para la integral de na raíz cbica, así qe lo qe haremos es convertir la raíz en n eponente y así resolverla por medio de la fórmla de la integral de n eponente. z dz z c z c z c 0

11 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 z c d d d C C C C d Para poder resolver esta integral no eiste ningna fórmla pero como podemos notar es na mltiplicación asi qe podemos aplicar la propiedad distribtiva para poder resolverlo. d. d d Ahora lo qe tenemos qe hacer es separar cada literal para integrarlas por separado. d d

12 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 c 5 c 5 5 c c s ds Para resolver esta integral lo qe hay qe hacer primero el binomio al cadrado despés separar los términos para resolver por separado 9 6 s s ds 9 6 s ds s ds ds 9 s s 6s 6 s s s C 5 d Para resolver esta integral la podemos simplificar primero para poder resolverla. 5 d 5 d 5 d 5 d d 5 d d

13 Cálclo Integral 0- CBTIS No c 5 c 9 d 9 d d d 9 c 9 8 C d d 8 d 8ln c 9 d 8ln c

14 Cálclo Integral 0- CBTIS No d d d 9 c 9 8 c a d a a d a a d a d a d d a a 5 c 5 5 a a c 5 d d d 5 C c 5 5 c 7 5d

15 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 d d d d 7 5 d d 7 5 d c c Completando integración En ocasiones hay integrales las cales no están completas y estas se deben completar agregando n número el cal también se pondrá fera de la integral con s operación inversa. d Lo primero qe tenemos qe hacer es comprobar si d está completo esto lo hacemos derivando a y si nos da el mismo resltado qe está en d estará completa si no se tendrá qe agregar el número qe falte con s respectivo nmero en operación inversa d dv d dv d dv d Ahora qe ya completamos la integral podemos resolverla mediante na formla dv directa qe nos dice lnv c v ln c d d dv d dv d dv d ln c 5

16 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 d 6 6 dv 6 d d dv dv 6 d d ln 6 c sin d sin d dv d dv d dv d cos c cosd dv cos d d dv d dv d sin c tand dv tan d d dv d dv d lnsec c e cos sind 6 dv sin. 6sind dv d cos e. 6sind cos 6

17 Cálclo Integral 0- CBTIS No cos e c sin. 6sin dv d. Integrales por Sstitción o cambio de variable. En mchos casos sstityendo en fnción de na neva variable se obtiene na diferencial qe se integra más sencillo qe la inicial. Este método en mchos casos lleva a na Formla de integración ya definida previamente. En general este método es de gran tilidad debido a qe se pede tilizar para otros métodos posteriores sin embargo es necesario considerar los sigientes pntos: Este método es de gran tilidad cando la integral intervienen relaciones algebraicas y/o trascendentes complicadas y la integral no está completa. También se sa este artificio en aqella epresiones qe tengan radicales de incide n donde n pertenece a los números enteros. Al realizar n cambio de variable debe ser más sencilla qe la inicial en caso qe sea más complicada qe la inicial se intenta otro cambio hasta qe se logre integrar. La neva variable se cambia por las partes más complicadas de la epresión qe involcra la variable en estdio, es decir, no conviene cambiar toda la epresión ni calqier parte de ella siempre hay qe analizar cál es la más conveniente. Los pasos a segir son los sigientes: Se hace el cambio de variable Se despeja la variable Se diferencia con respecto a la variable Se sstitye los valores de la integral inicial. 7

18 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 y ydy El primer paso para resolver na integral por el método de sstitción o cambio de variable es identificar qien es más convenientemente qe sea en este caso tomare como a y ya qe al derivarlo nos qedaría y ya qe dy tenemos esto despejaríamos a dy y nos qedaría de la sigiente manera dy y ahora reconstrimos la integral en términos de la neva letra. y ydy y dy y y dy > Sstityendo los valores de y de dy en la integral original nos qedaría na integral de esta manera pero cabe mencionar ya qe se está sstityendo por la letra toda la epresión se debe gobernar por dicha letra así qe se realiza las operaciones debidas para qe en la operación solo intervenga la letra. Uy y Aqí empleamos algebra para eliminar y. y y Y nestra integral qeda de la sigiente manera: Ahora ya tenemos na integral más sencilla qe se pede resolver mediante fórmlas inmediatas. c Este sería nestro resltado ahora solo lo qe nos qe hacer es sstitir los valores de y c 8

19 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 t dt t dt t dt > dt Al sstitir los valores de y de el no lo podemos eliminar con ningna literal así qe la sacamos de la integral. Ahora solo nos qeda la raíz qe la podemos convertimos en na potencia y resolvemos de manera directa. c En nestro resltado aparece n doble cociente así qe la resolvemos como si fese n sándwich ósea medio por medio y etremos por etremos y el eponente de lo podemos transformar en raíz. c c Ahora simplemente mltiplicamos las fracciones recimos a s mínima epresión y cambiamos los valores de por los originales. t c t c 6 9

20 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 cos 7 5 d cos 7 5 d 7 5 d cos 7 7 d > d dy 7 cos d 7 7 sen c sen c sen d sen d sen d sen d > sen sen 0

21 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 cos c cos c cos c 7 d 7 d d 7 d > = =

22 Cálclo Integral 0- CBTIS No c 7 c 9 d d 6 6 d c 65 d > 5 c 6 5 sen d 5 0 c sen d

23 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 sen d > d sen cos c cos c d d d c c > d

24 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 c 9 8 c sen d 9 c 8 sen d sen d > d sen cos c cos c d d 6 6 d > d 7 c c 7 7 d 7 d d > d 7 7 7

25 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 c 7 c 7 7 c c 7 c e 7 d 7 e d 7 e 7 7 d > d 7 e 7 e c e e sen c cos d sen e cos d sen e cos cos cos d > d cos 5

26 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 e cos e cos e c sen e c 5 d 5 d d > d 5 5 ln c 5 ln 5 c 5 d 5 d 5 5 d > d 6

27 Cálclo Integral 0- CBTIS No c ln d ln d ln d Si separamos los términos no se altera y así se nos es más fácil de identificar como sstitir las variables ln d Ya qe la tenemos así ya es más fácil de identificar como sstitir la integral para qe predomine la neva letra. c e d ln c e d e d > d e e 7

28 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 e e c e c 6sen d 5 cos 6sen d 5 cos 5 cos 6sen sen sen sen d > d sen 6 sen sen 6 6 ln c ln 5 cos c e e d e e d e e d e e d > d e 8

29 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 dv v En esta integral podemos aplicar la fórmla de arctg c v a a a ya qe tenemos todas la variables qe se piden en la formla tenemos a sobre + a este lo tomaríamos como a, no está al cadrado pero como este número al cadrado reslta el mismo no altera la epresión y podemos aplicar la formla. arc tg c arc tg c arc tg e c 8 d Para resolver esta integral no nos conviene elegir algna de las literales qe tenemos ya qe la derivarlas obtendríamos n resltado qe no se asemeja a ningna de la integral para completarla o resolverla directamente así qe aremos lo sigiente. 8 d 9

30 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 arc tg c arc tg c sen d cos sen cos sen sen sen =- sen d d sen d sen arc tg c arc tg cos c e d e Para poder resolver esta integral podemos descomponer de la sigiente manera ya qe al hacerlo así no se altera la epresión y sstitimos ss valores. e. e d e > e e e. e d e d > e d Ahora solo nos qeda por sstitir e y d para qe la integral qede en términos de pero hay qe notar qe e d así qe sstitiremos de la sigiente manera 0

31 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 e Ahora lo qe hacemos es separar en forma de resta con el mismo denominador para no alterar la epresión. e Para obtener este resltado solo hicimos na simple resta de potencias y en la segnda integral solo la sbimos con eponente negativo y ahora ya podemos resolver las integrales con fórmlas inmediatas. e e d > c c c 7 5 c 7 5 d > d

32 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50. Integración por partes. La integración mediante el método de por partes se necesita considerar el integrando como el procto de n fnción y la diferencial de na segnda fnción en v esta hace qe s integración dependa de la integral de v qe pede ser fácil de integrar Algnas reglas generales: d es siempre na parte del dv Siempre deberá ser posible qe dv se peda integrar. Es mejor elegir a dv como la parte de apariencia más complicada con tal de qe esta se peda integrar. Si la integral resltante es más difícil qe la inicial entonces se ha elegido mal o incorrectamente las partes de y dv por lo qe se debe hacer na velva elección hasta qe se logre integrar. Lo anterior se debe de aplicar en la fórmla qe se mestra a continación: dv v v cos d Para resolver esto lo primero qe hay qe hacer es identificar qien es y qien dv, para escoger eiste n trco bastante útil qe se llama ILATE qe consiste en clasificar las fnciones dadas en la integral en las sigientes categorías I cando la fnción es Inversa, más eactamente las trigonométricas inversas, L logarítmica, A Algebraica, T Trigonométrica, E Eponencial. Clasificamos nestras fnciones en algna de estas 5 categorías y lego identificamos cal nos aparece primero al decir la palabra ILATE la primera letra qe nos encontremos esa va a ser la fnción qe hace en papel de la y lo qe sobra con s d hará el papel de dv. Cabe mencionar qe hay sitaciones en la qe no fnciona pero en s mayoría sirve. Cando ya tengamos bien identificado qien es habrá qe derivarlo con respecto a y ya obteniendo nestro resltado despejamos lo qe sería a. Con respecto a dv este lo tendremos qe integrar a los dos lados es decir de la parte de dv y la parte qe esta despés del igal para así obtener v

33 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 cos d Derivamos > d Despejamos > d dv cos d Integramos > dv cos d > v sen Ya qe identificamos todos los datos qe viene en la fórmla: dv v v Solo tenemos qe sstitir los valores y resolverlo: cos d sen send cos d sen send cos d sen cos cos d sen cos c INTEGRAR: 5 e d dv > > d d 5 e d > dv e d > m m e integral aplicamos la sigiente formla e ) m e v 5 5 (Para resolver esta Reconstrimos nestra integral sando la fórmla de por partes. e e e 5 d d 5 5 e 5 e d e d 5 5 dv v v

34 Cálclo Integral 0- CBTIS No e e e d c e e e d c e d c Nestro resltado lo podríamos dejar de esta manera e e 5 5 pero se pede recir aún más resolviendo la resta de fracciones e e e d c Y para darle mayor presentación la podemos 5 factorizar. 5 e d 5 e 5 c 5 e d > d > d dv e > dv e > e v dv v v e e e d. d e e d e d

35 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 e e e d. c e d e e c e d e e c e d e c 7 lnd ln > d > d dv 7 d > dv d > lnd ln 8 8 d ln dln d 8 8 dv v v v 8 8 l n d ln 8 d l ndln d l n 7 d ln c

36 Cálclo Integral 0- CBTIS No ln l nd c 8 6 ln 7 d 8 ln c ln 7 d 8 8ln c 6 cos d > d > d dv cos d > dv cos d cos d sen send cos d sen cos c > v sen dv v v cos d sen cos c sec d > > d d dv sec d > dv sec d > v tan dv v v 6

37 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 sec d tan tan d sec d tan lncos c sec d tan lncos c cosd > d > d dv cosd > dv cosd > v sen cosd sen send cosd sen send dv v v cosd sen send --- >Se le agrego el ya qe es na integral indirecta y lo tendremos qe sacar de la integral con s forma inversa. cosd sen send cosd sen cos c cosd sen cos c 9 7

38 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 cosd sen cos c 9 sen cos cosd c 9 cos d sen cos c 9 ln d ln > d > d d dv > d dv d > dv v v v ln ln.. d d ln ln d. d ln ln d. ln ln d d d ln ln d c ln ln d c 8

39 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 ln d ln c arc tgd arc tg > d > d dv > dv arc tg d arc tg.. d. arc tg d arc tg arc tg d arc tg > d. d arc tg d arc tg. d d arc tg d arc tg. arctg c arc tg arctg c arc tg d v ln d ln > d dv d > dv l n d ln.. d > d > v 9

40 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 ln d ln. d l d ln n d ln d ln c send > dv send > dv send d > d > v cos send cos cos d send cos cos. dv v v d > En esta integral la tenemos qe volver a realizar por el método de por partes volviendo a identificar a y dv dv cos d > dv cos d > d > v sen send cos. sen send >En esta parte de nestra integral se volvió a sstitir los valores de la fórmla de por partes con los datos antes encontrados si modificar la demás epresión. d cos. s sen en send send cos. sen cos c send cos. sen cos c 0

41 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 e send sen > cos d > cos d dv e > dv e > v e e send sene e cos d dv v v cos > sen > send d dv e > esend sene cos e e sen d e send sene cos e e send dv e > v e e send sene cos e e send >si nos damos centa esta integral es la misma qe al principio teníamos, como es la misma epresión la pasaremos al principio o la colocaremos como el doble de la integral. e send sene cos e del igal con s epresión inversa. e send sene cos e e send e sen cos c > Ahora el nmero lo pasamos del otro lado

42 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 cos d cos.cos d cos > sen d > send dv cos > dv cos > v sen dv v v cos d co s. sen sen. send cos d cos. trigonométrica sen cos cos s. sen d en cos d cos c d cos. sen d cos d o s cos. d sen d > Aplicamos identidad cos d la original la pasamos al principio como el doble co s d cos. sen c >Como es la mismas epresión qe cos d cos. sen c

43 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 sec d > d > d dv sec d > dv sec d > v tan sec d tan tand sec d tan tand sec d tan tand sec d tan tand dv v v c 9 sec d tan lnsec send > d > d dv send > dv send send. cos cos d send cos cos d send cos sen c > v cos dv v v

44 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 lnd ln > d > d dv > dv > v dv v v ln. ln.. d ln. ln d ln. ln d l n. ln ln. d ln c ln. ln c 9

45 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 ln d lnd ln > d d > v dv > dv > dv v v l n d ln. d ln d ln d ln ln d d ln ln d ln d d ln c ln ln d c ln d ln c 5

46 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 ln d lnd > Qedo de esta manera porqe aplicamos la sigiente n propiedad de logaritmos: ln a nlna ln > d > d dv > dv > ln d ln. d d ln d ln. dv v v v lnd ln. d ln d ln d ln d ln c ln d ln c 6

47 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 sen cos d > d > d dv sen cos > dv sencos v sen >Para llegar a este resltado integramos mediante el método de sstitción. sen cos d sen cos d c = sen c cos d sen sen sen cos d. d sen sen cos d sen sen cos d dv v v sen d identidad trigonométrica de sen cos sen sen cos d. cos d sen sen cos d d cosd sen sen cos d cosd cos d >Aqí aplicamos la 7

48 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 sen sen cos d cosd sen sen cos d cos d sen cos d sen sen c 8 8

49 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 CONCEPTO FUNDAMENTAL:. INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS.. Integrales de la forma: sen m cos n CASO # m n sen cos Cando m y/o n sea n número entero positivo impar, Si m es impar factorizamos el sen y epresamos la restante potencia par sen en potencia del cos y si es n impar hacemos lo mismo pero ahora con el cos, tilizando la sigiente identidad trigonométrica: Identidades trigonométricas despejadas: sen cos cos sen n. Integrales de la forma: tg o ctg sen cos n CASO # tan n cot n n=n nmero entero par o impar Cando n sea n número entero impar factorizaremos para qe esta qede al cadrado y se pedan tilizar las sigientes identidades trigonométricas: tan sec cot csc Identidades trigonométricas despejadas: sec tan csc cot 9

50 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50. Integrales de la forma: sec n o csc n CASO # sec n csc n Cando n sea n número entero impar factorizaremos para qe esta qede al cadrado y se pedan tilizar las sigientes identidades trigonométricas: sec tan csc cot Identidades trigonométricas despejadas: tan sec cot csc O también podemos aplicar las sigientes fórmlas de rección: n n n n sec sec tan sec n n n n n n csc csc cot csc n n 50

51 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 sen cos 5 d Notemos qe esta integral es del Caso #, como en la integral tenemos sen donde n es n número par positivo lo factorizamos para poder tilizar la identidad trigonométrica de sen cos sen cos 5 sen cos 5 d send Ya qe hemos factorizado de esta manera, la podemos desarrollar por el método de sstitción o cambio de variable cos cos 5 sen d cos > send 5 send 5 c c c cos cos c 5

52 Cálclo Integral 0- CBTIS No sen cos d Factorizamos. sen cos cos d sen cos cos d Aplicamos identidad trigonométrica cos sen sen sen cos d Ahora lo resolvemos por el método de cambio de variable o sstitción. sen > cos d cosd c c c c sen sen sen c cos d 5

53 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Factorizamos. cos cos d Aplicamos identidad trigonométrica de cos sen d cos sen cos d cos sen Resolvemos por el método de sstitción o cambio de variable. sen > cos d c cos d sen sen c sen d Factorizamos. sen send Aplicamos identidad trigonométrica de cos send sen cos sen d sen cos. Resolvemos por el método de sstitción. cos send c cos cos c sen 5cos 5d Factorizamos. sen 5cos 5cos5d Aplicamos identidad trigonométrica de cos sen 5

54 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 sen 5 sen 5 cos5d Resolvemos por el método de sstitción. sen 5 sen 5 cos5 5 d 5 5 sen > cos55 d sen 5 sen 5 cos 5d cos c c sen 5 sen 5 c 5 5 d sen 5 sen 5 c sen d cos Factorizamos. cos sen cos d Aplicamos la identidades trigonométricas de sen tan cos y sec cos sen cos cos d 5

55 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50.Integrales de la forma: tg m sec n o m ctg csc tan n sec d Resolvemos por el método de sstitción o cambio de variable tan > d sec c sec d tan c cos d sen Factorizamos. cos sen d sen Aplicamos la identidad trigonométrica de cos cot y sen csc sen cot csc d cot csc cot d Sstitimos con la identidad trigonométrica de csc csc cot d cot csc Resolvemos por el método de integración por cambio de variable o sstitción. csc > csc cot d 55

56 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 csc cot c d csc csc c tan d Aqí observamos qe tenemos na integral del Caso # tan n así qe tendremos qe factorizar para poder aplicar las identidades correspondientes. tan tan d Aplicamos identidad trigonométrica de tan sec sec tan d = sec tan tan d Resolvemos por el método de sstitción o cambio e variable. sec tan tan d tan > d sec tan d tan c lncos c lncos sec tan lncos d c tan sec d tan sec sec d Aplicamos identidad trigonométrica de sec tan tan tan sec d 56

57 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 tan tan sec d Resolvemos por el método de sstitción. tan > sec d 5 c 5 5 tan tan c 5 cot d Aqí observamos qe tenemos na integral del Caso # cot n así qe tendremos qe factorizar para poder aplicar las identidades correspondientes. cot cot d Aplicamos la identidad trigonométrica de csc cot d csc cot cot d cot csc Resolvemos por el método de sstitción o cambio de variable. csc cot d cot d cot > csc d cot d csc d cot lnsen c cot ln sen c sec d En este integral nos encontramos con na integral del Caso # secn y si observamos podemos aplicar na de las fórmlas de rección qe no dice lo n n n sigiente: n sec sec tan sec n n 57

58 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Resolvemos: sec d sec tan sec d c sec d sec tan tan tan sec 5 d tan sec tan sec d ` Aplicamos identidad trigonométrica de método de sstitción o cambio de variable tan sec sec sec tan sec d sec sec tan tan sec tan sec d 6 y resolvemos por el d 7 5 c sec sec sec c 7 5 sec d sec sec d Aplicamos identidad trigonométrica método de sstitción o cambio de variable tan sec sec tan d tan y resolvemos por el 58

59 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 sec d c tan tan c CONCEPTO FUNDAMENTAL: 59

60 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50. MÉTODOS DE INTEGRACIÓN DE FUNCIONES ESPECIALES CONCEPTO SUBSIDIARIO:. Integración por sstitción trigonométrica. Parta resolver este tipo de integrales eisten casos los cales los resolveremos por medio de n triánglo rectánglo. Caso # Integrales de la forma a a acos a sen a cos d arcsen a Caso# Integrales de la forma a Caso # a a sec atan a sec d arctan a Integrales de la forma a a a tan asec a sec tan d arcsec a 60

61 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 d 9 Lo primero qe tenemos qe hacer para poder darle solción a esta integral es identificar qe caso es esta integral. Como podemos observar tenemos na integral del caso Lo sigiente para resolver esta integral es identificar cada no de los datos en el triánglo rectánglo a 9 a a acos ---- > 9 cos a sen > sen arcsen > arcsen a Como podemos visalizar ya tenemos todos los datos identificados para poder sstitir los nevos valores en la integral original pero debemos notar qe no tenemos a d está la encontramos derivando a con respecto a d y listo. d sen > sen > cos d d d Ahora ya tenemos todos los datos necesarios ahora solo sstitimos estos datos en los datos originales Si tenemos qe sen si lo elevamos al cadrado obtendremos he aqí el último dato, ahora solo la sstitción. 9sen y d 9 9 sen.cos d cos La integral nos qeda de la sigiente manera ahora solo recimos términos semejantes para poder resolverla. 9 sen. cos cos d 6

62 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 9sen d 9 sen d 9 cos d 9 cos d (Para resolver el sen aplicamos la identidad o podemos aplicar la fórmla qe nos dice sen d sen en este caso con calqiera de los métodos llegaremos al mismo resltado.) trigonométrica de sen cos sen 9 c 9 9 sen c Al integrar cos como está completa con s respectivo n medio afera se tiliza la fórmla de seno pero la cestión aqí es porqe se pone el abajo, el dos se pone abajo del seno para "compensar" qe el ánglo del seno no es únicamente "teta", sino "teta",qe sale de la regla de la cadena. 9 9 sen c 9 9 cos sen c 9 8 cos sen c arcsen c Ahora para terminar nestra integral solo nos qeda sstitir los valores por lo originales pero como nos podemos dar centa en nestro datos qe ya antes habíamos encontrado no tenemos el valor del seno del doble de teta( sen ) así qe aplicaremos la identidad trigonométrica de sen sen cos para poder sstitir los valores de seno y coseno pero en este caso tampoco tenemos coseno pero sabemos ca. 9 qe cos qe seria cos y solo h sstitimos con todos los datos anteriores arcsen c Sstitimos el valor de teta y el valor de seno se obtiene despejando sen > sen Ahora solo recimos hasta s mínima epresión 6

63 Cálclo Integral 0- CBTIS No arcsen 9 c 9 arcsen 9 c d Aqí tenemos na integral del caso ahora identifiqemos ss datos en el triánglo rectánglo a a a asec > sec atan > tan d tan d > d sec d arctan > arctan a Sstitimos los valores en la integral original y resolvemos d sec d sec sec d sec secd ln sec tan c Para sstitir los valores sec y tan no tenemos los valores en los datos encontrados en el rectánglo pero h co. sabemos qe sec y tan por lo tanto co. ca. tenemos qe sec y tan 6

64 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 ln c d 5 a 5 a 5 a atan ---- > 5 tan asec > sec 5 d sec d > d sec tan d 5 arcsec > arcsec a Sstitimos los nevos valores e la integral original d 5 sec tan d 5 tan 5 sec d 0 secd sec d 5 ln sec tan c 5 Para poder sstitir estos valores tilizamos 6

65 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 c. o 5 tan y ca. h 5 sec ca. 5 5 ln c 5 e e d Para poder resolver esta integral podemos hacer n cambio de variable para qe sea más sencillo resolverlo. e e d e e d De esta manera es más sencillo resolverlo mediante el método de sstitción trigonométrica. a sec tan d ---- > sec d Sstitimos los nevos valores sec d sec secd ln sec tan c h sec y ca. c. o tan ca. 65

66 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 ln c Pero sabemos qe e así qe sstitimos este valor ln e e c d sec tan d sec d Sstitimos Valores d tan sec sec d d tan secd d lnsec.ln sec tan c h sec y ca. c. o tan ca. ln ln c 66

67 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 d cos sin d cosd Sstitimos Valores cosd cos cos d cos EL cos se eleva al cbo por qe las literales qe encerraba la raíz estaban elevadas a la n cbo d cos d cos d cos Identidad Trigonométrica sec cos sec d tan c c. o tan ca. c 67

68 Cálclo Integral 0- CBTIS No d 5 cos 5sin d 5cosd Sstitimos Valores: 5cos 5cosd 5sin 0 cos d 5 sin 5cos d Identidad Trigonométrica sin 5sen d sin cos sen 5 5sin d sin d sin 5 5 sin d Identidad Trigonométrica sin csc sin 5 cscd 5 sind 5ln csc cot 5cos c 5 5 5ln c 5 csc h c. o ; c. a 5 cot c. o c. o 5 cos h ln 5 c 68

69 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 d sec tan d sec d Sstitimos Valores: sec sec d Fórmla: n n n n sec sec tan sec n n sec d sectan secd sec tan secd sec tan ln sec tan c c. o tan ca. h sec ; ca. ln c ln c ln. c Aplicamos Propiedad de Logaritmos ln ln c lnab lna lnb 69

70 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 ln c d a a acos asin d acosd a sin Sstitimos Valores: a acos sin d acos a d Identidad Trigonométrica sin csc sin csc d a cot c a c. a a cot c. o a c a a c a 70

71 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 d = 5 d 5 cos sin d cosd sin Sstitimos: sin cosd cos sin cosd 5 cos 5 sin d cos sin d 6 cos sin d Identidades Trigonométricas 6 cos cos sec cos tan sec d 6 ---> 6 v dv v tan v c 6 sin tan ; cos Para Resolver tilizamos el método de sstitción o cambio de variable dv sec d tan c 6 c. o tan ca. 7

72 Cálclo Integral 0- CBTIS No c 6 6 c c 8 c c y dy 9 y 9 y cos y sin dy cos d cosd sin cos d Identidad Trigonométrica sin csc sin 7

73 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 csc d ln csc cot c 9 y ln c y y ln y 9 y c h 9 y csc ; co. y ca. cot c. o y ln 9 y y c 9 y ln ln c y ln 9 y y c Aplicamos Propiedad de Logaritmos lnab lna lnb d 9 9 tan sec d sectan d Sstitimos Valores: sec tand 7sec tan arcsec 7sec 7

74 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 sec d 7 sec d 7 sec Identidad Trigonométrica cos sec cos d 7 Formla cos sin sin c 7 Identidad Trigonométrica sin sin cos sincos c 5 08 sin cos c c 9 c arcsec c 5 8 co. sin h 9 ; ca. cos h. Integrales definidas. Una integral definida es aqella donde se pede visalizar perfectamente el valor de la constante de integración, definiendo límites de la propia integral lo cal nos permitirá encontrar el área bajo la crva de la integral considerando el limite inferior, cabe señalar qe para encontrar el área bajo la crva es necesario desarrollar dicha integral por calqiera de los métodos ya antes vistos de acerdo al tipo de problema qe se presente en el momento. b a f F b F a 7

75 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 d Para resolver esta integral lo resolvemos por el método más adecado qe en este caso es directo Ya qe hemos reselto la integral habrá qe evalar entre Limite Sperior y el Limite Inferior y así dar cmplimiento al teorema fndamental del cálclo. Para realizar esto realizaremos na operación qe nos dice límite sperior menos límite inferior (Ls-Li) para llevar acabo esto remplazaremos los valores del límite sperior como del inferior en las literales y resolveremos la operación y 0 f() = 5 d =

76 Cálclo Integral 0- CBTIS No d Evalación: Ls Li Gráfica: y 0 0 d = Area = f() =

77 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 d Evalación: Ls Li Gráfica: y 0 5 f() = d = - Area =

78 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50. Área bajo la crva. Calclar el área de la región del recinto limitado por la crva f y el eje o. Para poder resolver este problema lo primero qe tenemos qe hacer es graficarla, para poder identificar cando la gráfica intersecta en para así identificar nestros límites para la integral. y 0 d = Area = Pnto de interseccion en ( 0, 0 ) Este sera nestro Limite Inferior Pnto de interseccion en (, 0 ) Este sera nestro limite Sperior -5 f() = -0 Ahora qe ya tenemos nestros límites los aplicamos en nestra integral, resolvemos y evalamos nestra integral con ss respectivos limites d 0 0 Evalamos: Ls Li

79 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Hallar el area bajo la crva de f con respecto al eje. y 0 f() = 5 Pnto de interseccion en (, 0 ) pnto de interseccion en ( 0, 0 ) -5 d = Area = d Evalación: Ls Li El resltado lo ponemos positivo ya qe no pede haber áreas negativas y la significa nidades cadradas ya qe se trata de n área. 79

80 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Hallar el área limitada bajo la crva de y cos entre en eje o ; y y cos() d = Area = Pi Rad Pi Rad -5-0 cos d sin Evalamos: Ls Li sin sin 80

81 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Calclar el área limitada por la crva y y eje. Hacer Grafica y 0 5 d = Area = f() = -5-0 d Evalación: Ls Li 9? 8

82 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Encontrar el área limitada por la parábola y y y y eje y. Trazar la figra. 0 y y dy y y 0 Evalación: Ls Li

83 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Hallar el área limitada por la parábola y y las rectas 0 y ; : 5 Trazar figra e indicar el elemento de área. y f() = d = = -0 = d 5 Evalación: Ls Li A 9 8

84 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Hallar el área de na arcada de la cosenoide, y cos y cos() d = Area = f() = cos() -5-0 cos d sen Evalación: Ls Li sin sin 8

85 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50. Área entre crvas. Si f y g son continúas y además f() mayor o igal qe g() para todo el valor de en cierto intervalo cerrado entre valores, entonces el área de la región acotada por las dos graficas en el intervalo se representaría de la sigiente manera: F y g son continas f g ab, y 0 f() Ya qe es mayor b [f()] [g()] d = A a g() Ya qe es menor -0 a b -0 85

86 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Calclar el área de la región acotada por y ; y y g() = f() = () 0.5 d = Area = 0. - b Aplicamos Formla de 0 d f g d a 0 Evalación: Ls Li

87 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Calclar le área de la región acotada por las sigientes ecaciones: y 6 y 0 Para poder graficar estas dos ecaciones lo primero qe tenemos qe hacer es despejar na de las literales en ambas ecaciones: y 6 y y 0 6 [ ] d = Area = g() = f() = d Evalación: Ls Li

88 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Hallar el área limitada por la parábola y 5 y la recta y Trazar la figra e indicar el elemento de área. y 0 5 [ ] d = 0.8 Area = y = -5 f() d 6 Evalación: Ls Li

89 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Hallar el área limitada por las sigientes crvas: y y Despeje y 6y y 6 0 f() = () g() = () Area = d = d Evalación: Ls Li

90 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Calclara el área limitada por la crva y, el eje y la recta y. 8 0 d 0 Evalación: Ls Li

91 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Hallar el área de la sperficie limitada por las parábolas: y y Despeje: y y y 6 f() = () () 0.5 d = Area = 0. - g() = d 0 Evalación: Ls Li

92 Cálclo Integral 0- CBTIS No Hallase el área acotada por la parábola y y la recta y y 0 5 [ ] d = Area = g() = f() = -5-0 Evalación: Ls Li

93 Cálclo Integral 0- CBTIS No Determine el área qe limita la gráfica de la fnción y 0 ; 0;. y 0 f 6 con las rectas 0 6 d = Area = 0 y=0 = Interseccion en (.99, 0 ) -0 f() = 6 = d 6 Evalación: Ls Li > Este sería el resltado de la evalación de la integral mas no es el resltado qe bscamos, ya qe lo qe estamos bscando aqí es el área y al evalar esta integral no encontramos el área ya qe en la gráfica podemos observar qe tenemos n área 9

94 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 negativa y na positiva. Para encontrar el área de na gráfica en la qe se encentran o más áreas en ambos signos (-a, a) se tendrán qe evalar con la misma integral todas las áreas de cada intervalo, despés se smaran las áreas obtenidas an si en estas se obtienen resltados negativos; recordemos qe n área nnca pede ser negativa así qe la tomaremos como positiva y las smaremos todas. En este caso tenemos dos áreas en los sigientes intervalos en 0,.99.99, Tomaremos estos intervalos qienes serán los límites de nestra integral d Evalación: Ls Li d 6.99 Evalación: Ls Li Ahora qe ya tenemos nestras Áreas las smamos y obtenemos nestro resltado a 5 9 a 9

95 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Determine el área de la región limitada por la crva el intervalo, y 6 y y el eje en + d = Area = f() = Evalación: Ls Li > Evalación de la integral con los limites [-,] 95

96 Cálclo Integral 0- CBTIS No Evalación: Ls Li Evalación de áreas entre los intervalos [-,0] y [0,] en el eje 0 0 Evalación: Ls Li Área total a a.5 96

97 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 f 7 6 y el eje Determine el área de la región limitada por la gráfica de: en el intervalo,.haga Grafico y 0 0 Interseccion en ( -, 0 ) Interseccion en (, 0 ) Interseccion en (, 0 ) f() = d = Area = d 7 6 Evalación: Ls Li > Evalación la integral 97

98 Cálclo Integral 0- CBTIS No Evalación de áreas entre los intervalos [-,-], [-,], [,] y [,] 7 6 Evalación: Ls Li Evalación: Ls Li Evalación: Ls Li Evalación: Ls Li Área Total

99 Cálclo Integral 0- CBTIS No. 50 Bibliografía AYRES J.R, Frank. Cálclo diferencial e integral Serie Scham. Mc Graw Hill. CUELLAR, Jan Antonio. Matemáticas VI Calclo Integral. Mc Graw Hill. GRANVILLE, William Anthony. Calclo diferencial e integral. Limsa. LEITHOLD, Lois. El Cálclo. Oford. SWOKOWSKI, Earl. Cálclo con geometría analítica. Grpo editorial Iberoamericano. 99