Tema 16: Ecuaciones diferenciales II: Ecuaciones lineales de orden superior

Transcripción

1 Tema 16: Ecuaciones diferenciales II: Ecuaciones lineales de orden superior 1. Ecuaciones diferenciales lineales de orden mayor que 1 Una ecuación diferencial lineal (en adelante ecuación lineal) de orden es una expresión de la forma ( ) ( ) + 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) = ( ) Ejemplo: He aquí diversas ecuaciones lineales: Orden = log + 2 = =cos2 Nota: La última ecuación se dice que es de coeficientes constantes, pues en la parte izquierda no aparece la. Igual que para las ecuaciones de orden 1, diremos que estamos ante una ecuación lineal homogénea cuando la función ( ) sea idénticamente nula (como la segunda ecuación del ejemplo anterior, que es de orden 3). Veamos la siguiente propiedad, relativa al caso de las ecuaciones homogéneas: Propiedad: El conjunto de las soluciones de una ecuación diferencial lineal homogénea de orden constituye un espacio vectorial de dimensión, subespacio del espacio vectorial de las funciones { : R R : de clase } De este modo una vez que encontremos soluciones 1 2 delaecuaciónyqueseanlisetienequecualquier solución de la ecuación lineal homogénea es CL de las anteriores, es decir, de la forma = para ciertos 1 2 R Pues bien, lo que vamos a hacer va a ser obtener la solución general de una ecuación lineal (como la que aparece en (*)) a partir de una solución particular de dicha ecuación y de la solución general de la ecuación homogénea asociada, es decir, la que se obtiene poniendo en el miembro derecho, en vez de ( ) la función idénticamente nula: ( ) ( ) + 1 ( ) ( 1) ( ) ( ) ( ) =0 Propiedad: Supongamos que tenemos la ecuación lineal (*). Dada una solución particular de la ecuación, se tiene que toda solución de (*) es de la forma = + para alguna función solución de la ecuación homogénea asociada (**). Observación: Así, el proceso habitual de determinar la solución general de una ecuación lineal consistirá en determinar la solución general de la ecuación homogénea asociada y una solución particular de la ecuación inicial y sumar ambas cosas. 1

2 1.1. Ecuación lineal con coeficientes constantes Una ecuación lineal con coeficientes constantes es de la forma ( ) + 1 ( 1) = ( ) con números y una función cualquiera. Ejemplo: Son ejemplos de ecuaciones lineales con coeficientes constantes las siguientes: Orden = = 4 = = cos Comenzaremos por resolver ecuaciones lineales que son homogéneas Ecuación lineal con coeficientes constantes homogénea Nosocupamosdelasecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes, esdecir,delasde la forma ( ) + 1 ( 1) =0 donde son números. Llamaremos polinomio característico de (o polinomio asociado a) la ecuación anterior al siguiente (realmente este concepto podemos definirlo aunque la ecuación sea no homogénea) ( ) = Para cada raíz real o compleja de este polinomio determinaremos una serie de funciones, tantas como su multiplicidad. En conjunto tendremos tantas funciones como grado tiene el polinomio, que es el orden que tiene la ecuación. Y como el método que vamos a emplear nos permite que sean LI entonces son una base del espacio vectorial de las soluciones. Por ello cualquier otra solución es CL de ellas. Empezamos a indicar cómo se hace para las raíces reales: Supongamos que tenemos una raíz real de con multiplicidad. Entonces asociadas a esta raíz hay funciones LI que son solución de la ecuación diferencial: Observemos que si =0tendremos las funciones Ejemplos:

3 =0 ( ) = =( 9)( 2) 9 2 = =0 ( ) = 3 = ( 2 1) = ( 1)( +1) = =0 ( ) = =(3 2) = =0 ( ) = =2 2 ( )=2 2 ( +1) 3 3

4 = Supongamos que tenemos dos raíces complejas conjugadas ± de con multiplicidad. Entonces asociadas a esta raíz hay 2 funciones LI que son solución de la ecuación diferencial: cos cos 2 2 cos cos Observemos que si la parte real delasraíceses0 (en este caso tendríamos las raíces ± ) tendremoslas funciones Ejemplos: cos cos 2 2 cos cos =0 ( ) = =( +1)( 2 +1) 1 ± = + + cos =0 ( ) = = ( )= ( 1) 2 ( 2 +9) ±3 = cos 3 4

5 =0 ( ) = = 3 ( ) = 3 ( 1)( 2 +4) ±2 = cos =0 ( ) = = ( 1) 3 ( ) ± 3 = cos =0 ( ) = = 3 ( )= 3 ( 2 +1) ± ± = cos cos Ejemplo: Resolver el siguiente problema de condiciones iniciales ½ =0 (0) = 2 0 (0) = 3 5

6 ( ) = =( +4) 2 sus raíces son 4 4 = Entonces (0) = ycomo 0 = se cumple que 0 (0) = 4 +. Al imponer las condiciones iniciales, (0) = 2 e 0 (0) = 3, obtenemos el sistema de ecuaciones ½ =2 4 + = 3 cuya solución nos da =2y =5. Así la solución de este problema de condiciones iniciales es la función = Ejemplo: Resolver el siguiente problema de contorno ½ =0 (0) = 2 ( 6 )=9 sus raíces son ( ) = 2 +9 ±3 = 3 + cos 3 Entonces 2 = (0) = cos 0 = 9 = ( 6 )= 2 = Así la solución de este problema de contorno es =9 3 2cos3 Independencia lineal de funciones 6

7 En general puede probarse que cualquier sistema formado por funciones de los tipos anteriores ( ) cos( ) es un subconjunto LI del espacio vectorial de las funciones { : R R}. En lo anterior se supone que hemos obtenido las funciones mediante el método anterior, por el cual las asociamos a las raíces del polinomio característico. Por ello: 1) No hay repetición de funciones. Por ejemplo, si hay dos funciones 1 ( 1 ) 1 y 2 ( 2 ) 2 no pueden ser simultáneamente 1 = 2 1 = 2 y 1 = 2 (al menos una de esas igualdades no se da). 2) Todos los valores de y son positivos Método de los coeficientes indeterminados para hallar soluciones particulares de las ecuaciones lineales con coeficientes constantes no homogéneas Una vez que sabemos cómo hallar la solución general de cualquier ecuación lineal homogénea nuestro objetivo debe ser ahora ser capaces de encontrar una solución particular de la ecuación no homogénea.elmétodo que usaremos para tal menester, el método de los coeficientes indeterminados, se basa en probar con funciones parecidas a los términos independientes de la ecuación. Supongamos que tenemos una ecuación lineal con coeficientes constantes Sea el polinomio asociado, es decir, (***) ( ) + 1 ( 1) = ( ) ( ) = Supongamos que ( ) = ( ) con ( ) un polinomio de grado yque no es raíz de Pues bien, nosotros vamos a buscar una solución particular de la ecuación (***) de la forma = ( ) siendo un polinomio del mismo grado que es decir, de la forma =( ) eligiendo los coeficientes adecuadamente para que se verifique la ecuación (***). Ejemplo: En los siguientes ejemplos trataremos ecuaciones de este estilo (con polinomio asociado )cuyo término independiente es ( ) : ( ) Númeroquenoesraízde Solución particular de la ecuación = =( + ) (8 3 2) 7 7 =( ) 7 7

8 En el caso en que =0la solución particular que buscaremos será de la forma = Ejemplo: Idéntico enunciado al ejemplo anterior: ( ) Númeroquenoesraízde Solución particular de la ecuación 5 0 = = = = Si ( ) =[ ( ) + ( )cos ] con + no siendo raíz de ( ) y ( ) polinomios (pudiendo ser nulo ó, es decir, aparecer sólo el seno o sólo el coseno) nosotros buscaremos una solución particular de la ecuación (***) de la forma donde es el mayor de los grados de y. Así =[ ( ) + ( )cos ] siendo y polinomios ambos de grado k =[( ) +( )cos ] eligiendo los coeficientes adecuadamente para que se verifique la ecuación. En el caso en que =0tendremos que buscar alguna solución particular de la forma =( ) +( )cos Ejemplo: Idéntico enunciado a los ejemplos anteriores: ( ) No raíz de Solución particular de la ecuación 4 = + cos cos 2 2 = 2 + cos cos3 3 = 3 + cos (3 5 )cos7 7 =( + ) 7 +( + )cos = ( 4 + cos 4 ) 10 4 cos = 4 ( 5 + cos 5 ) = ([ + ] 6 +[ + ]cos6 ) cos = 3 ( 2 + cos 2 ) cos 5+ = 5 ([ ] +[ ]cos ) 8

9 Qué es lo que ocurre si sí es raíz de, con multiplicidad? Que la solución particular de la ecuación que buscamos será como la anterior pero multiplicada por.así,paraelprimercasoenque será de la forma ( ) = ( ) = ( ) siendo un polinomio del mismo grado que es decir, Ysi = ( ) ( ) =[ ( ) + ( )cos ] con + raíz de con multiplicidad, igual que antes, la solución particular de la ecuación que buscamos serácomolaanteriorperomultiplicadapor,osea,delaforma = [ ( ) + ( )cos ] siendo y polinomios del mismo tipo que antes es decir, = [( ) +( )cos ] Ejemplo: Idéntico enunciado a los ejemplos anteriores: ( ) Raíz de Multiplicidad Solución particular = = 4 ( ) = 2 ( ) = 6 cos = 4 ( 3 + cos 3 ) = 3 ([ + ] 4 +[ + ]cos4 ) 10 4 cos = 3 4 ( 5 + cos 5 ) cos = 2 3 ([ + ] 2 +[ + ]cos2 ) Observación: Finalmente, cuando el término independiente es suma de funciones, todas de los tipos anteriores, es suficiente buscar para cada una de estas funciones una solución particular y luego sumarlas todas. En algunos casos podemos ahorrar algunos cálculos. Esto ocurre cuando entre las funciones que busquemos haya varias asociadas a la misma raíz (ver Ejemplo 1.1.2). 9

10 Ejemplo: Idéntico enunciado a los ejemplos anteriores (ahora habrá varios números, que algunos puede que sean raíces de y otros puede que no. Si ponemos multiplicidad 0 se entenderá que el número no es raíz): ( ) Raíces de Multiplicidades Solución particular = ( + cos )+ 2 ( + ) cos = 5 ( + )+ 2 ( + cos ) 2 cos = 3 +( 3 + cos 3 ) = 3 6 ([ + ] 5 +[ + ]cos5 ) = ( 3 + cos 3 )+( + ) 4 +( + )cos4 Observación: Recordemos entonces que una vez hallada una solución particular de una ecuación no homogénea se tiene que la solución general es de la forma = + siendo la solución general de la homogénea. Observación: Veamos otra manera de analizar qué números (relativos a los términos independientes de la ecuación) son los que hay que comprobar si son o no raíces del polinonio asociado a la ecuación. Hemos considerado casos en que estos términos independientes eran funciones de los tipos ( ) ( ) ( ) cos con ( ) ( ) ( ) polinomios. Construyamos una ecuación lineal homogénea que sea satisfecha por los términos independientes. Por ejemplo para el caso ( ) (se puede sustituir esta función por para el grado de ) debe ocurrir que esta función satisfaga la ecuación a construir, y por tanto ésta debe ser una ecuación cuyo polinomio asociado tenga entre sus raíces al número (y con multiplicidad al menos ). Por ello debe contener el factor ( ).Para cualquiera de los otros dos casos debe contener el factor [( ) 2 + ] siendo el grado de (respectivamente el de ), para que así la función sin (respectivamente cos ) satisfaga la ecuación homogénea correspondiente. Ejemplo: Encontrar una solución particular de las siguientes ecuaciones diferenciales (y ya de paso resolverlas): = 3 Solución: 3 no es raíz de ( ) = =( +1) 2 (sus raíces son 1 1), luego una solución particular de la ecuación es Resolvamos totalmente la ecuación. Como = 3 0 = =9 3 10

11 se tiene que De aquí deducimos que 3 = = =16 3 = 1 16 Así, la solución particular (de la ecuación inicial) que buscábamos es = Como la solución general de la ecuación homogénea asociada =0 es = + se tiene que la solución general de la ecuación inicial es = + = =32 2 Indicación para la solución particular: 1 no es raíz de ( ) = 2 3 = ( 3) (sus raíces son 0 3), luego una solución particular de la ecuación es =( ) =5sin2 Solución: 2 no es raíz de ( ) = =( +1)( +2) (sus raíces son 1 2), luego una solución particular es Resolvamos totalmente la ecuación. Como = 2 + cos 2 0 =2 cos = cos 2 se tiene que 5 2 = = = cos 2 +6 cos cos 2 = 11

12 =( 2 6 ) 2 +(6 2 )cos2 De aquí deducimos el sistema ( 5= 2 6 0=6 2 en el que de la segunda obtenemos que =3, lo que al sustituir en la primera nos lleva a que 5= 20, es decir = 1 yportanto = Así, la solución particular (de la ecuación inicial) que buscábamos es = cos 2 4 Como la solución general de la ecuación homogénea asociada =0 es = + 2 se tiene que la solución general de la ecuación inicial es = + = cos =5 Indicación para la solución particular: 1+ no es raíz de ( ) = 2 1=( 1)( +1) (sus raíces son 1 1), luego una solución particular de la ecuación es de la forma = + cos = 2 5 Indicación para la solución particular: ( ) = 2 +4 (sus raíces son ±2 ), y 5 no es raíz de, luego una solución particular de la ecuación es de la forma = 5 12

13 =3 5 2 Indicación para la solución particular: El polinomio característico es ( ) = 3 + = ( 2 +1) (0,± ), y ni 1 es raíz de,nitampoco2 lo es. En definitiva una solución particular de la ecuación es de la forma = cos 2 Solución: = + + cos cos =7 2 Indicación para la solución particular: 2 es raíz de ( ) = 3 8=( 2)( ) (sus raíces son 2, 1 ± 3 ) con multiplicidad =1, luego una solución particular de la ecuación es de la forma = = Indicación para la solución particular: ( ) = 4 16 = ( 2)( +2)( 2 +4) (sus raíces son 2, 2,±2 ), luego 2 es raíz de con multiplicidad uno, 3 no es raíz de y 2 es raíz de con multiplicidad =1. Así una solución particular de la ecuación es de la forma = ( cos 2 )+ ( + ) en particular en este caso sale = ( cos 2 )+ ( ? ) = Indicación para la solución particular: ( ) = = 3 ( )= 3 ( 1) 2 (sus raíces son 0,0,0,1,1), luego 0 es raíz de con multiplicidad =3, no es raíz de, 1 es raíz de con multiplicidad =2y 1 no es raíz de. Así una solución particular de la ecuación es de la forma = 3 ( + )+( cos )+ 2 +( ) 13

14 10. Indicación para la solución particular: = +2 ( ) = =( 1) 2 (sus raíces son 1,1), luego 1 es raíz de con multiplicidad =2y 1 no es raíz de. Así una solución particular de la ecuación es de la forma = 2 ( + ) +( + ) 11. Indicación para la solución particular: =4 cos 10 3 ( ) = (sus raíces son 1 ± ), luego 1+ es raíz de con multiplicidad =1y 3 no es raíz de. Así, una solución particular es de la forma = ( + cos ) Indicación para la solución particular: 00 + =5 2 + cos ( ) = 2 +1 (± ), luego 1 no es raíz de y es raíz de con multiplicidad =1.Asíunasolución particular de la ecuación es de la forma =( ) + [( ) +( )cos ] 13. Indicación para la solución particular: 00 + =4 cos 3 ( ) = 2 +1 (sus raíces son ± ), luego es raíz de con multiplicidad 1 (observemos que únicamente tenemos que fijarnos en estas raíces, para los dos sumandos del término independiente; de hecho el término independiente de la ecuación puede ponerse en la forma ( 1) cos ). Así una solución particular de la ecuación es = [( ) +( )cos ] 14

15 14. Resolver el siguiente problema de condiciones iniciales: ( 00 =18 2 (0) = 8 0 (0) = 7 ( ) = 2 1 (sus raíces son ±1), luego 2 no es raíz de. Así una solución particular de la ecuación es de la forma = 2 Derivando tenemos luego se tiene que 0 = = = 00 =3 2 de donde obtenemos que =6. Así una solución particular de la ecuación es =6 2 Por otra parte la solución general de la ecuación homogénea es y en definitiva la solución general de la ecuación es Debemos hallar la derivada de esta función, que es para imponer finalmente las condiciones iniciales Obtenemos que = + = + = = = (0) = = 0 (0) = = + 5 = luego = 7 = 3. Por ello la solución de nuestro problema de condiciones iniciales es 2 2 =