UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL NAUCALPAN ÁREA DE MATEMÁTICAS TURNO MATUTINO

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO COLEGIO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES PLANTEL NAUCALPAN ÁREA DE MATEMÁTICAS TURNO MATUTINO GUÍA DE ESTUDIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II ENERO DEL ELABORARON: Pro Clavijo Valz Florncio Vra Butana

2 INTRODUCCIÓN Esta colcción jmplos y jrcicios prtn srvir como una guía para prsntar l amn traorinario Cálculo Difrncial Intgral II corrsponint al Ára Matmáticas, Turno Matutino. Los autors spran qu t sa útil, sto srá n la mia qu la las y trats ntnr lo qu hay n lla y rsolvino los jrcicios plantaos, rcura solo s una guía, trata complmntarla con lo visto urant tu curso y con la bibliografía qu s t proporciona, también aprovcha la inmnsa varia rcursos qu la ra morna nos ha pusto n banja los programas qu s t proporcionan n la bibliografía son una clnt mustra llo. Es rcomnabl qu inicis tu stuio lyno los jrcicios rsultos y la pquña part toría qu la guía contin, spués trata rsolvr los jrcicios qu líst sin vrlos para qu aquiras confianza, compara tus rspustas y autovalúat, no importa qu t quivoqus, s normal toos lo hacmos pro trata hacrlo lo mnos posibl sto último significa qu ntins lo qu stás hacino y qu stás n l camino corrcto. Finalmnt trata rsolvr la totalia los jrcicios y cuano tngas ua n cómo rsolvr alguno pi una sugrncia y solo so a alguin. Como t lo mncionamos trata sacar provcho la tcnología, pro úsala como hrraminta, no abuss. Nos sría grato scuchar tus críticas sobr las ificultas qu tuvist al trabajar con lla, los rrors (qu sguramnt abunan) con l fin mjorarla para tu bnficio. Está basaa n l Programa Oficial formulao por l CCH, l cual a manra rsumn prsntamos a continuación:

3 ÍNDICE UNIDAD DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES -Drivaas Funcions Trigonométricas -Drivaas Funcions ponncials y Logarítmicas. -Algunas aplicacions la rivación ponncial y logarítmica. UNIDAD LA INTEGRAL COMO ANTIDERIVADA -Concptos básicos Intgración. -Fórmulas y métoos Intgración. Cambio variabl intgración por parts. -Situacions n las qu s sconoc la función qu las mola y s conoc su razón cambio. UNIDAD LA INTEGRAL DEFINIDA -El ára bajo la gráfica una función. -La Intgral Dfinia. -Aplicacions al cálculo áras. UNIDAD MODELOS Y PREDICCION -Ejmplos situacions variación cuya rapiz cambio s comporta como F kf t. -Métoo Sparación Variabls. -Problmas Aplicación. -Solución algunos ámns traorinarios. BIBLIOGRAFÍA -Cálculo una variabl, trascnnts tmpranas.j.stwart.itp. -Cálculo.Hughs.t.al.CECSA.99. -Cálculo Aplicao.S.Warnr.Thomson.. -Softwar uso libr para uso st curso: Gogbra n Winplot Graphmatica.

4 UNIDAD I DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES En sta primra unia l curso cálculo II s trabajan rivaas funcions ponncials y trigonométricas, funcions qu s stuiaron ampliamnt n l curso Matmáticas IV, por lo qu sría convnint qu rpass part lo visto n icho curso, a continuación s proporciona la part tórica inispnsabl para la rsolución los jrcicios. FORMULARIO BÁSICO PARA DERIVAR FUNCIONES TRASCENDENTES Para u f ( ) ifrnciabl s tin: u u u u u a a uln a ln u u u u loga u u ln a sn u cosu u cosu sn u u tg u sc u u ctg u csc u u scu scu tg u u csc u cscu ctg u u EJERCICIO Raliza l siguint jrcicio usano l formulario y siguino los jmplos rsultos: ) y u u su rivaa usano la fórmula ( ) ( u) con u Tnmos qu ( ) ( ) (). ) Si y ntoncs y

5 ) Si y 9 9 ntoncs ) Como un jmplo más complicao calculmos la rivaa = y = = ) Si y ntoncs ln ( ) 6) Como jmplo calculmos la rivaa y ntoncs (ln ( )) ln ( ) ln( ) (ln( )) = ln ( ) ln ( ) ( ) ln ( ) ln( ) ln( ) ln ( ) 7) Si y rgla su rivaa s usano fórmula para rivar cocints, la 6 la cana y la la ponncial natural: Simplifica, hasta on t sa posibl, sta rivaa 8) Calcula = 9) Calcula

6 ) Calcula 7 ln ) Obsrva l siguint jmplo rsulto para qu pongas n práctica la rivaa funcions ponncials bas istintas a. ln ln ln Ahora calcula: ) ) = ) = ) = Ahora pongamos n práctica la rivaa las funcions logarítmicas. Para u f ( ) u ifrnciabl s tin qu ln u u, por lo tanto: ln 6) 9 Calcula: 7) ln = 8) ln 6

7 9) Si tnmos y ln usano la fórmula para rivar un proucto funcions y la fórmula para rivar l logaritmo natural tnmos: ln ln ln ln ln ln ln ln. Rcura qu la función logaritmo, n particular l logaritmo natural, tin ntr muchas otras importants propias: i) ln AB ln A ln B ii) A ln ln A ln B B iii) n ln A nln A Para cirtos númros rals A, B, n ) Con sto trata trminar l siguint jrcicio: ln( 7) ( 7) ln( 7) ln( 7) ln( 7) ln( 7) ln ) 8 Si la bas l logaritmo s istinta, s positivo y ifrnciabl s tin qu: u log a u Usano sta fórmula pun hacrs los siguints u ln a jrcicios: ( )() ( ) ) log = ln ln ( ) ( ) ( ). (ln )( ) ( ) ln ( ) A ) Usano la propia los logaritmos loga loga A loga B s tin qu: B 7

8 log log log ( ) Compruba qu los rsultaos obtnios concuran, al rivar sta última función. ) Calcula log 8 = ) Calcula log 7( ) 6) Calcula log = El siguint jrcicio lo harmos usano propias logaritmos tals como: n log X n log X a a X loga loga X loga Y Y 7) log ln log ln ln ln log log log ln ln ln 8) Calcula log7 = Ponrmos n práctica las rivaas las funcions trigonométricas: 9) Si tnmos y sn( 8 ) ntoncs su rivaa s sn( 8 ) cos( 8 ) ( 8 ) cos( 8 ) 8 cos( 8 ) 8. Ahora calcula ) (cos( )) = 8

9 ) sn ( ) sn ( ) ( sn( )) sn ( ) cos( )() sn ( ) cos( ) ) sn ( ) ) sn ( ) ) cos cos cos sn cos cos sn ) sn 6) cos(7) cos (7) 7) sn ( )cos( ) 8) sn ( ) 9) sn cos ) sn 7cos ) sn ( ) ) cos ) cos cos ) cos sn9 6 ) cos sn 6) tg ( ) 9

10 7) tg tg tg tg tg sc sc tg sc sc tg 8) 9) ctg = ) ctg csc csc ) ln ctg ) sc csc ) csc ) csc ) ln sc tg 6) csc ctg( ) sc ctg 7) sc 8) tg

11 9) csc csc csc csc csc ctg csc csc ctg 6) (sc tg ) PROBLEMAS OPCIONALES REALIZA LAS GRAFICAS DE LAS SIGUIENTES FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, USANDO CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS. 6) f ( ) sn cos 6) f ( ) sn 6) f ( ) sn cos Rsulv los siguints problmas, usano l critrio la primra o sguna rivaa para trmos rlativos para l primro y l concpto vlocia instantána para l sguno. 6) Cuano s ispara un gol campo l alcanc (la istancia horizontal s on s pata l balón hasta ón ca al sulo) bajo cirtas conicions stá ao por: v sn R on v s la vlocia con qu s isparó l balón(s una g constant) g s la aclración la grava, tomarla como m/ s.y s l ángulo con qu l balón sal isparao con rspcto al sulo. Esto s, Cuál s l ángulo qu maimiza l alcanc? 6) Una ola tsunami s una ona marina causaa por un marmoto. Es conocio qu stas onas han sio stuiaas a través funcions trigonométricas la forma y acos bt.si una ola tin una altura 8m y un prioo s. Cuán rápiamnt ascin o scin la ola cuano y m?

12 CUESTIONARIO DE EVALUACIÒN. Cuál s la rivaa la función f ( ) sn? a) cos b) cos c) sn ) sn. La rivaa la función f ( ) sn s: a) cos b) sn cos c) cos ) sn cos. La primra y sguna rivaa la función a) f ) ( ) f ( b) f ( ) s: f ( ) f ( ) c) f ( ) f ( ) ( ) ) f ( ) f ( ) 6. Si f ( ) ln ( sn ) para, ntoncs f ( ) s: a) cot b) cot c) tan ) tan f. Si para y g( ) f a) b) c), ntoncs Cuál s la rivaa g? ) 6. Una función crcint n too su ominio s: a) b) c) sn ) 7. Si y sn u, y u v, y v, ntoncs a) cos 6 b) 8 sn 6 c) sn ) cos 8 8. La pnint la rcta tangnt a la gráfica f( ) n s: a) b) c) ln ). ln 9. Si f ( ) iv, ntoncs f ( ) a) 6 b) 6 c) s: 8 ) 8 ) 6. Cuáls las siguints funcions tinn la propia qué f ( ) f ( )? a) f ( ) sn b) f ( ) cos c) f ( ) ). f ( ) ln y. Si y ln, ntoncs a) b) c) ) ln. La rivaa ylog8 s: a) b) c) ) ln8 y. Si y sn u, u w, y w, ntoncs 6 cos b) cos cos c) 6 sn 6 a) )

13 sn. El rsultao lím ( n raians) s: a) b) c) no ist ), la gráfica:. En l intrvalo Dón stán los puntos inflión para la función? a) En y b) En c) En y ) No hay n st intrvalo 6. Cuál s la pnint la rcta tangnt a la curva y ln n l punto on? a) b) c) 7 ) sn y 7. Si y, ntoncs cos a) sn cos b) cos sn sc 8.Al calcular obtins: tan sc a) cos b) sc tan c) 9. Cuál s la rivaa la función f ( ) ctg? a) csc b) ctg csc c) c) sc ) sn lncos csc ) ) cos ctg csc f ( ) n l punto. La cuación la rcta tangnt a la curva on s : a) y b) y c) y ) y

14 UNIDAD LA INTEGRAL COMO ANTIDERIVADA DEFINICION.Una función F ( ) s una primitiva o Antirivaa una función f( ), n un intrvalo I, si F ( ) f( ) I.Por jmplo: ) Si f ntoncs una primitiva lla srá F( ), ya qu F( ) f ( ), pro también F( ) s primitiva f( ), n gnral F( ) c on c s una constant srá una primitiva f( ). ) Si f ( ) ntoncs F( ) c s una primitiva f ( ) ya qu F ( ). ) Si f ( ) ntoncs F( ) c ya qu F ( ) f ( ). n n ) Si f ( ) ntoncs F( ) c para n. n f ( ) ntoncs F ln para. 6) Si f sn ntoncs F cos c ) Si 7)Si f ( ) cos ntoncs F( ) sn c 8)Si f ( ) tg ntoncs F ln sc c Porqué? 9) Si ( ) sc ntoncs ( ) f F tg c )Si ( ) csc ntoncs ( ) f F ctg c )Si f ctg ntoncs F ln sn c. )Si f ( ) sc ntoncs F ln(sc tag) c Porqué? )Si f ( ) csc ntoncs F( ) ln(csc ctg) c Porqué? )Si f sc tg ntoncs F( ) sc c )Si f ( ) csc ctg ntoncs F( ) csc c

15 DEFINICION Así, al procso ncontrar toas las primitivas o antirivaas una función f, continua, s l llama intgración, n términos matmáticos la simbología: f ( ) llamaa Intgral infinia la función f, y qu s l la intgral f ifrncial nos planta la prgunta ncontrar una función F ( ) tal qu su rivaa (o ifrncial) sa f( ) f ( ) la ifrncial,, nos inica qu la intgral s hac con rspcto a sa variabl. Con sta finición s tin l siguint formulario básico para f, f, u f ( ) funcions ifrnciabls, n un númro ral: FORMULARIO BÁSICO DE INTEGRACION Y LINEALIDAD DE LA INTEGRAL INDEFINIDA. Las os primras fórmulas an lugar a lo qu s conoc como linalia la intgral infinia. ) cf ( ) c f ( ) ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ) u u c si u ntoncs c n n n u n ) u u c n si u ntoncs c n n u ) u u lnu c si u ntoncs ln c u u u 6) u c 7) snu u cosu c 8) cosuu sn u c 9) tan uu ln scu c ) ctguu ln sn u c ) sc tan uu u c ) csc uu ctgu c ) scuu ln(sc u tan u) c ) cscuu ln(csc u ctgu) c scu tan uu scu c 6) cscuctguu cscu c

16 EJERCICIO Calcular las siguints intgrals, usano l formulario básico para intgración y los jmplos rsultos. ) c c ) ) 7 ) = 6 ) 6) c c c 7) 8) ) c c ) 7 7 ) c c c ) c c ) ) 6

17 ) ln c ln c. 6) c c. 7) 7 7 c c 7 7 Práctica lo antrior con los siguints jrcicios: i) ii) CAMBIO DE VARIABLE Aborarmos l uso las fórmulas siguints, también conocio n la litratura matmática como cambio variabl: 8) sa u u con sto la intgral por calcular u u u c c quaría como 9) ( 6) 6 ) 7 ) 7 6 ) = 7 ) ) 8 7

18 ) 6) 7) sn cos sn 8) 9) 9 Sa u 9 ntoncs u por lo tanto calcular qua como 9 ) ( 9 7) u con sto la intgral por u u 9 u u u c c ( ) ( ) 6 ) 8 ( 6 ) ( 6 ) consirano 6 ( 6) ( ) u u u u ( ) 8 u ( 6 ) u u ntoncs ( ) con lo qu la intgral qua como: u c c ( 6 ) u 8 u u c ) ( ) = 7 = ) ( ) 8

19 ) ( ) 9 ( ) u tóms u u con sto la intgral u u qua como ( ) u c c ) sn cos 6) 7) 8) tg sc 6 ln tomano u u con sto la intgral qua u ln( ) u c u 9) u Tomano u s tin qu u on sustituyno sto n la u intgral tnmos u ln u c ln c u u ) 7 ) 7 6 ) 7 ) = ) sc tg ) : 9

20 Consira u su ifrncial s u con lo qu u Rgrsano a la intgral por rsolvr s tin qu: u u ln ln u c c u u 6) u u tomano u u u u u así la intgral quaría u u c c 7) 8) 9) ) ) ) sn( ) u sa u u ntoncs la intgral s prsa n términos u u como snu snuu cos( ) c. ) sn( ) 7 ) sn ) cos( 7 ) = 6) cos 7) sn( ) cos( )

21 8) tg tomano como u u u la intgral n términos u qua como : tg tgu( u) tguu ln scu c ln sc c tg 9) cos sc tg 6) = 6) sc 7 tg 7 6) ctg ctg ctg ctg csc ctg csc ctg u ctg u u csc csc ctg c sc tg 6) sc 6) tg7 6) csc INTEGRACION POR PARTES Los siguints jrcicios ponrán n práctica l métoo intgración por parts basao n la utilización la siguint fórmula, para u, v os funcions ifrnciabls: u v u v v u

22 66) Tomano y si u u v v w w w si w w con sto v w w (s muy práctico usar,ya qu facilita los cálculos). w v c D acuro a la fórmula intgración por parts con las funcions obtnias s tin: c 67) 68) cos 69) cos 7) ctg csc 7) ln 7) 7) Si tuvist ificulta para rsolvr los os jrcicios antriors pu sr qu t ayu vr la solución l siguint: 7) Si u u tomano v v Usano la fórmula intgración por parts tnmos: c 9 c

23 7) ln Consirano ln y como v intgración por parts quaría como: u u v con sto la intgral acuro a la fórmula ln ln ln ln ln c 6 ln 76) 77) cos ln( cos ) c 78) sn ln(cos ) sn 79) cos sn 8) ln ln ln Tomano u ln u v v ln con sto ln ln ln ln( ) ln ln( ) ln c c 8) 7sn Tomano u 7 u 7 y v sn v sn sta w intgral la rsolvmos tomano w w w con sto s tin v sn snw cos sustituyno las parts tnmos : 7cos 7 7 cos 7 7sn cos cos 7 cos 7sn c

24 8) = 8) ( ) 8) cos sa u u tomano v cos v cos Porqué? así la intgral por rsolvr qua: sn sn sn cos sn sn La intgral sn también s rsulv por l métoo intgración por parts: cos sa U U si V sn V sn Porqué? con sto cos cos sn tnmos sn cos c con sto la int- gral inicial qua : cos sn cos s n Con sta misma ia rsulv las siguints intgrals: 8) 86) = Finalmnt consirarmos la rsolución jrcicios qu ncsitan más astucia invntiva. 87) cos cos cos sn Tommos u cos u sn y si v cos v cos usano lo obtnio n la fórmula para intgrar por parts tnmos: sn sn cos sn cos cos sn sn Usano la intia pitagórica sn cos on sn cos cos sn cos sn cos cos c cos sn como pomos obsrvar contin la intgral por rsolvr n su sguno mimbro Así hmos llgao a la intia cos c cos qu pasánola al primr mimbro tnmos: cos cos c cos sn cos sn c C

25 Usa st truco para rsolvr las siguints os intgrals: 88) sn 89) sc 9) cos Si u cos u sn,si v v cos cos sn cos sn Rsolvámos sn por l métoo intgración por parts: Sa U sn U cos y v sn sn cos C sustituyno la solución obtnia tnmos cos cos sn cos C Obsrvmos qu la intgral por rsolvr stá n l sguno mimbro y al trasponrla al primr mimbro tnmos qu: cos cos sn C cos cos sn c Rsulv: 9) sn 9) sn ln h 9)Si t y h 6 trmin ht. t h Pusto qu t h t t h (t ) t t t ht t t t c t c t t c on c c c h t t t c por la hipótsis l problma si t h 6.Es cir: c c ht 6 6 t t. 9)Dtrmin la función f si f ( ) y f. 9)Dtrmin la función g si g( ) y g.

26 CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN ) Una Antirivaa s: a) ln b) ln( ) c c) c ln ) Para, a) ( ln ) ln c ) a) c b) 8 c b) ln c c) 8 6 c ln ) ln ln c c) ln c ) ln ln c ) 8 c ) 6 a) c 6 b) c 6 6 c) c 6 ). 6 c 6 ) Si w( ) y w(), ntoncs ws: ( ) a) 6 b) 8 c) ) 6 6) Una partícula s muv a lo largo una rcta con aclración aa por a( t) t. En t, la vlocia la partícula s y su istancia. Cuál s la función istancia? a) s ( t) t t 8 b) ( ) t t s t c) s( t) t t 6 ). s ( t) t 6 7) Una primitiva tan s: a). lnsc b). ln sn c). sc ). tan 8) El rsultao a). ). c c 9) Una Antirivaa a) c ) cos b). c s: b) c c). c ln c) ln c ) ln c 6

27 a) sn cos c 9 ) sn cos c b) sn cos c c) cos sn c sn ) cos cos a) sn c cos b) c c) sn cos c ) sn c ) sc sc tan sc a) tan csc c b) tan sc c c) tan c ) ln sc tan c ) a) c ) cos b) ln c a) sn cos c c) ln c 6 ) c b) c cos sn c) sn c ) sn cos c ) Si tins ln l métoo a mplar para su solución s: a) Cambio variabl b) Intgración por parts c) Fraccions Parcials ) Sustitución trigonométrica 6) sn sn a) cos c b) cos c sn ) cos c c) cos sn c 7)cos y y sn y a) c ) y sn y c sn y cos y b) c c) y sn y c 7

28 8) a) c 9) cos sn b) c c) c ) c a) sn c b) cos c) sn ) cos ) Si una primitiva (antirivaa o intgral) la función f s F, ntoncs. a) f ( ) F c b) f ( ) F ( ) c c) f ( ) F c ) f ( ) F( ) c UNIDAD LA INTEGRAL DEFINIDA En sta unia solo consirarmos l siguint rsultao funamntal para la rsolución problmas: Si una función f s continua n l Intrvalo [a, b] y F s una primitiva o Antirivaa f, ntoncs la intgral finia la función n l intrvalo s calcula por: b f ( ) F b F a a b Don f ( ) s conocia como la intgral finia la función f n l a intrvalo [a, b]. b Si la función f s positiva n [a, b] ntoncs f ( ) nos prmit calcular l a ára bajo la gráfica f, l j X, y las línas rctas a y b.como s aprcia n la siguint figura: 8

29 EJERCICIO Calcular las siguints intgrals finias: ) ( ) Usano l rsultao nunciao arriba ncontrmos la primitiva la funcion f : F( ) ( ) c la cual al valuar n a y b qua: 7 F c c c y F c c c lo qu nos llva a : ( ) F F c c. ) 7 ) ) ( 7 ) ) = 6) ( ) = 6 7) 9 c c vr solución. u Primro ncontramos F( ) para sto usamos u u u u u la intgral n términos u qua: u u u c c c c ( ) ( ) ( ) F c F c 9 c y F c c 6 F F 9 c c Compruba los siguints rsultaos. 8) ln 6 9) 9 ) 9 ) 9 9

30 Calcula: ) ) ln ) 9 ) u Sa u - u n términos u la intgral por calcular quaría u ln ln con sta primitiva la intgral finia por calcular - u u quaría : ln ln ln ln ln 6 ln 6-6) cos sn (vr solución) Calculamos F cos sn sa u cos u sn u sn. u cos Entoncs F cos sn uu cos (cos ) Finalmnt valuano F, F 6) cos sn (vr solución) Calculamos F cos sn sa u cos u sn u sn. u cos Entoncs F cos sn uu co (cos ) s Finalmnt valuano F, F cos sn F F Calcula: 7) cos sn 8) cos

31 9) ) cos ) ln ln ) ) ) sn ) ln 6) tg 7) cos 8) 9) ln (vr solución). 8 F 8 8 ln Porqué? Entoncs F( ) ln ln y F ln ) ( ) ln ln ln. F F a) sc b) ln F( ) F() b) Para trminar F( ) ln usarmos intgración por parts sa

32 con lo qu la fórmula intgración por parts qua u ln u ln tomano v v F( ) ln ln ln ln ln D tal forma qu toavía nos falta por trminar la última intgral,la cual también s hac por parts,quánonos como: F( ) ln ln ln ln ln F( ) ln ln ln ln ln Así qu ( ) ln ln F D on ( ) ln ln F () ln ln ln ( ) () F F F Calcula: c) ) ln tg ALGUNAS APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA )Encontrar l ára limitaa por la curva y - - y l j X. Primro calcularmos la intrscción la curva con l j X, para sto obsrvmos qu sto ocurr si rsolvmos la cuación ( ) ( )( ), lo cual, nos llva a qu los puntos on la gráfica intrscta al j X son (,) y (,). Así l ára saa stará aa por: ( ) F() F( ) u.don F( ) ( ) F 6 7 yf() El ára sombraa n la figura s l ára rcién calculaa:

33 )Encontrar l ára limitaa por la curva y y l j X. )Encontrar l ára ntr la curva y y las rctas, y. )Encontrar l ára bajo la curva y s hasta. )Encontrar l ára bajo la curva y,s hasta. a)usano solo Gomtría lmntal. b)usano una Intgral Dfinia. 6)Encontrar l ára bajo la curva y ln s hasta. 7)Encontrar l ára limitaa por la hipérbola y y la rcta y -. El ára por calcular pu vrs n la siguint figura, la porción sombraa:

34 Calculmos los puntos intrscción ntr las curvas para limitar l ára saa, sto lo harmos igualano las funcions, para trminar n cuals valors coincin las imágns; más propiamnt: y Rsolvino por l métoo factorización tnmos : a ó b así l ára saa stará aa por ln 6 () ln ( ln) ln ln.96 8)Encontrar l ára limitaa por la parábola y y la rcta y. 9)Encontrar l ára limitaa por y y la rcta y. )Hallar l ára ntr las curvas y 8 y. )Calcular l ára ntr las curvas y y. )Dtrmina l ára ntr la parábola y y la rcta y. )Dtrmina l ára ntr la parábola y ( ) y la rcta y. )Dtrmina l ára ntr y ², y - ². ) Dtrmina l ára ntr y, y

35 6)Calcul l ára ntr las curvas y y y y. Harmos un bosqujo l ára limitaa por las curvas,para sto : y y y y qu s una parábola horizontal con V(,),la otra curva s una lína rcta.el ára por calcular s la sombraa: Para vr las intrsccions hagamos y y y y y y y y y tnmos : y--(y y) y ó y.ya qu s más práctico calcular sta ára consirano lmntos ára horizontals,siguino la ia los vrticals.así ( ) y y y y y y 8 7 y 6 6 7)Calcular l ára ntr las curvas y y ; y. 8)Dtrmina l ára ntr las curvas y 6y ; y 6. 9)Dtrmina l ára ntr las curvas y y las rctas ;. )Calcula l ára ntr las curvas y - y.

36 CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN. A( ) tt,la función ára, mostraa n la figura s: a a) a b) c) ) a. El ára comprnia ntr l j y la función f ( ) n l intrvalo, s: a) b) c) 6 ) 8. Para calcular l ára una smicircunfrncia suprior raio cntraa n l orign usas la intgral finia: a) b). tan sn csc a) 6 c) b) c) ). Cuántos los siguints argumntos son cirtos? b a) ( k ) k a w f f ( ) b) g ( ) g( ) p a c) f ( ) ) a c c u( ) p w a b a f ( ) ) 6 a) b) c) ) 6

37 6. 9 a) b)6 c) ln 9 ) ln 7. Encuntr l ára la rgión acotaa por la gráfica y,, y y a) 7 b)9 c) ) 8. c) a) ( ) b) a) 8 b) La intgral ivrg c) ). a) b) c) ). Para calcular l ára sombraa, usas la intgral finia: ) a) b). c) ) a) b) c) ) 7

38 . a) ln b) ln 8 c) ln ). El ára limitaa por las curvas, y, y y s: a) b) c) ). cos sn sc a) b) 6. cos sn c) a) b) c) 7. Cuál s l ára la rgión n l plano ) ) y ncrraa por las curvas y, y, y y y? 7 7 a) b) c) ) Para calcular l ára ntr las gráficas y 9 y y, usas la intgral finia: a) (9 ) b) 9 ) 9. ln y y c) 9 a) b) c) ). a) 8 c) 6. Cuál s l ára la rgión n l plano y limitaa por las gráficas b) y y y? 7 a) 6 b) c) ) ) 9. Cuál s l ára ntr las gráficas y y y? 9 a) b) c) 6 9 ) 8

39 UNIDAD MODELOS Y PREDICCIÓN INTRODUCCIÓN Una las ramas la matmática qu ha ncontrao una gran cantia aplicacions son las ECUACIONES DIFERENCIALES. Una cuación ifrncial s aqulla qu tin rivaas variabls pnints con rspcto a variabls inpnints. Por jmplo: y ) y ) ky on k s una constant ) y y y ) y. Una SOLUCION una Ecuación Difrncial s una función, qu pn, tal qu su quivalnt y su rivaa sustituia n la cuación ifrncial, prouc una intia. Por jmplo, la cuación ifrncial ) tin por solución y c, ya qu y. k La cuación ifrncial ) tin por solución y C on Ckson, constants, ya y k k qu C k kc ky.solo s tratará l métoo para ncontrar solucions como las l jmplo ) y ).Las cuacions los jmplos ) y ) s vn n cursos poco más spcializaos. y f Un tipo cuación ifrncial s: l cual s rsulv por un métoo g y conocio como sparación variabls. Básicamnt consist n tomar la forma ifrncial y f sta s: g y g y y f intgrano a ambos laos s tin la solución a la cuación ifrncial propusta. Algunos jmplos pun ayuar a aclarar stas ias. EJEMPLO Rsolvr usano l métoo sparación variabls: ) y y Diviino ambos laos la cuación ntr ( ) ( ) ( ) y y Lo cual qua como: y y y tnríamos: 9

40 y y Qu intgrano a ambos laos s tin y y Y qu al rsolvr qua: ln y c Tomano u u así, tnmos qu u = ln u c ln( ) c ln y c u c c ln y ln( ) ln y( ) c ( ) y c c c y( ) c Qu también s prsa como y. ( ) ) y y Obsrvmos primro qu la cuación ifrncial pu scribirs como: y y y, la cual al multiplicarla por y y qua como. y y y y Qu al simplificar y prsar n forma ifrncial qua como: al y y y intgrar ambos laos s tin y y fácils rsolvr quano sto como: y y y y c c sino sta una y y y solución implícita la cuación ifrncial. qu son intgrals ) y y y Factorizano n l primr paréntsis tnmos: y y y paréntsis st qua como y Si ahora factorizamos y n l primr y y Al multiplicar ambos laos por y ( y )( ) ( ) y ( y )( ) ( y )( ) y la cuación qua como: ( ) y Lo cual s quivalnt a: y Intgrano a ambos laos la cuación tnmos: tnmos:

41 ( ) y y cambio variabl la siguint forma tomano Las intgrals rsultants pun sr rsultas por l métoo s tin qu u ; igual forma si w y w y con sto las intgrals pasan a: u u w w Qu al usar fórmulas funamntals intgración qua como: ln( ) ln( ) y c Al usar propias funamntals logaritmos sto pu prsars como ln( ) ln( y ) ln( y ) c lo cual implica qu: c ( y ) k lo cual prmit prsar la solución la cuación ifrncial como: y k. y y ) ( ) y Multiplicamos por ambos laos la cuación quano sta como: y y y y Sumano ambos laos la cuación tnmos tomano y ifrncials intgrano qua como: y la primra intgral tin un artificio para su solución, así qu la harmos por sparao para su mayor comprnsión. y Multiplicamos por = l intgrano, l cual no s altra ya qu aa a y númro ral. y y y y y y y ( ) y y Utilizano cambio variabl para rsolvr sta intgral; sa u y ntoncs y y u y y usano st cambio variabl la la ifrncial s: intgral qua prsaa como: u y ln( ) +C. u

42 Volvino a la cuación ifrncial: y y y y y c y ln( ). Finalmnt la solución pu sr prsaa como: ln y c ponncials y logarítmicas). Lo cual s lo mismo qu C on C. Lo cual nos a: y y C Tomano logaritmos n bas s tin qu y C y ln. C y c c (por propias funcions invrsas, n st caso y c y y ) yy ragrupano términos qua y y intgrano y y Las cuals pun sr rsultas usano l cambio y variabl u y u yy (lo mismo para la intgral qu pn ) ntoncs las intgrals s convirtn n: u u w Qu al rsolvrlas, por jmplo la primra, qua como: w u u u u c c u c u c = Así la cuación ifrncial tin como solución: Ejrcicio. Escrib y n términos n la solución (*). y c. y c (*) EJERCICIO Rsulv usano l métoo sparación variabls las siguints cuacions ifrncials: y. y y. y y. y. y y

43 . y y 6. y y y 7. ln y y y 8. y y y 9. yln y y. y. y y yy y. y. y y y. y y y y. y sn 6. y y y cos 7. y y 8. y 9. y y. y yy. y y. y y sn y. ycos. ( y ) y y y. y y 6. yy y y

44 7. y y y 8. y y y y 9. y. y y. Dtrmina la función f sí f ( ) y f () 6.. Dtrmina la función h si h ( ) ( ) amás h, h. 7. Encuntra la función f talqu f ( ) f ( ) y f ().. Obtnr la cuación la curva qu pasa por l punto, y cuya pnint n y, s y.. Obtnga la cuación la curva qu satisfac intrscción n l j y s 7. y y y cuya APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES Supóngas qu n st momnto s cunta con una población ( gnt, bactrias u otra spci vivint) o con una cirta cantia una sustancia qu con l timpo tnira a crcr, n l caso la población (o isminuir n l caso la sustancia) proporcionalmnt acuro a la cantia istnt n st supusto consiramos qu la tasa mortalia, nacimintos, no sufrn abruptos muy grans (gurras, pimias, tc.). Al igual qu los nacimintos proucn pquñas variacions a la cantia istnt n st momnto; y rprsnta tal cantia y la rapiz variación con rspcto al timpo s supon irctamnt proporcional a la cantia istnt, sto n lnguaj matmático tin como rprsntación y ky t. Ecuación ifrncial qu pu rsolvrs por l métoo sparación variabls, con l cual procmos a su solución. Escribino n su forma ifrncial s tin y kyt y iviino ambos laos y ntr y s tin kt y lo cual al intgrar qua y kt y qu rsulta fácilmnt rsolubl por fórmulas funamntals intgración quano ln y c kt c qu pomos scribir como ln y kt c lo cual implica qu ktc kt y c on c y t c Así la solución kt c. prmit prcir la cantia población (sustancia) para prioos timpo no muy grans, bio al caráctr strictamnt

45 crcint la función ponncial, también prmit prcir, crciminto si k s positiva y crciminto si k s ngativa, sto último n l caso isminución sustancias raioactivas, por jmplo. También si t, l momnto n qu s mpiza a contar la población, tnmos k n la solución la cuación ifrncial y c c así c s la cantia inicial población o sustancia por consirar, llamarmos y t La solución kt y y. c s conocia como la cuación crciminto ponncial si k> y crciminto si k<, k s llamaa la tasa crciminto rlativa. EJERCICIO. Rsolvr los problmas,, 6, 8,,,, Y USANDO COMO GUIA LOS RESUELTOS. ) Una población bactrias crc a una razón proporcional a su magnitu. Al principio s mil y spués ías s mil Cuántas habrá spués ías? Los atos proporcionaos sobr l crciminto la población, prmitn usar kt y t c así con los atos traíos l problma tnmos: y y Mil y n t ías hay mil, con sto sustituimos y k spjano k, tnmos lo cual implica qu k ln k ln y qu k.87. Con stos atos tnmos qu spués ías habrá.87() y(), 89, bactrias. ) Cuánto tarará la población bactrias n uplicars (llgar a sr mil)? ) La población una ciua ra millons n 86 y 8 millons n 6.S supon qu l crciminto sa población s proporcional a la población istnt. Dspués cuánto timpo s triplicó la población istnt n 86? Primramnt obsrvmos qu 86 a 6 han transcurrio 7 años 7k y 7 8 millons y y millons con lo cual s tin 8 ntoncs on spjano k tnmos tnmos qu:, tomano logaritmos bas 8 ln k k 8 8 7k ln y finalmnt

46 Para rsponr cuanto timpo pasó para qu y millons llgu a millons (l tripl) hacmos ln t 9 Años..9.9t. Nuvamnt spjano l ponnt tnmos: ) Cuál srá la población la misma ciua l jrcicio antrior n l año 8? ) La población cirto país crc al.% anual. Suponino qu ahora s. millons cuál srá la población al cabo trc años? (.)() Pusto qu t, k., y. millons. Entoncs y(),, = 6, 8,86 habitants. 6) Cuál srá la población al término años? Y años? 7) Toos los srs vivos continn Carbono qu s stabl, y Carbono, qu s raioactivo. Mintras sté vivo un animal o planta la razón ntr las os varias Carbono prmancn sin cambio ao qu l Carbono s rnuva constantmnt spués su murt, no s absorb más Carbono.La via mia l Carbono s 7 años (l timpo qu tara n sgastars a la mita la cantia inicial carbono). Si un pazo mara una tumba antigua contin 6% Carbono Cuánto hac qu s construyó sta tumba? Un ato s qu la via mia l Carbono s 7 años como ya lo y habíamos sñalao tara 7 años n pasar y a la mita,, con sto pomos calcular la constant n st caso crciminto como s porá comprobar n l siguint cálculo: y y 7k 7 y qu al spjar k nos qua y k lo cual implica qu y y ln / 7k= ln y qu k.. 7 Ahora si la cantia Carbono spués un timpo s la cantia inicial.con sto pomos calcular l timpo n qu s construyó la tumba la siguint manra:. t.6y y spjano t primro iviimos ntr y o quano.6. t ln.6 t 6 años.. 8) Una sustancia raioactiva tin una via mia 8 años si hay grs. Inicialmnt Cuánto qua al cabo años? 6

47 9) LEY DE ENFRIAMIENTO DE NEWTON Esta ly nos ic qu la tasa nfriaminto un objto s proporcional a la ifrncia tmpratura ntr la tmpratura l objto y la su ntorno, simpr qu icha ifrncia no sa muy gran. Sa y la tmpratura l objto, su rapiz nfriaminto con rspcto al timpo s proporcional a la ifrncia la tmpratura l objto con su ntorno, y. y Traucio a lnguaj matmático sto s: k y yo t Obtnrmos la solución para calcular la tmpratura spués un timpo t usano l métoo sparación variabls, tratao al principio la unia. y k( y y) t Usano la forma ifrncial y racomoano s y y y kt intgrano y kt y y Usano u y yo u y hacino un cambio variabl obtnmos: ln y yo c kt c on ln y yo kt c ktc kt kt (on c c c ) y y c y c y.ejmplifiqumos la ly nfriaminto Nwton. Ejmplo S saca l horno un objto a F y s ja nfriar n un cuarto a 7 F, si la tmpratura ca a F n mia hora Cual srá n horas? ko Con los atos aos y, y 7, t. Por lo tanto c 7 c 7 on c..k Ahora si t.. S tin y 7 spjano k tnmos: k= ln..7.finalmnt si t horas la tmpratura l curpo s: (.7) y 7 ) Un trmómtro rgistraba - C n l trior y fu introucio spués a una casa on la tmpratura ra C. Dspués minutos, rgistraba C En qu timpo rgistrará C? 8 F. ) Poco spués tomar una aspirina, un pacint absorbió mgs. D lla si la cantia aspirina n l torrnt sanguíno s proporcional a la cantia inicial consumia y caa horas s limina la mita, calcul l timpo qu tara n isminuir la aspirina n la sangr hasta mgs. Dao qu la cuación y ky s aplicabl bio a las conicions l problma t su solución nos ará la l mismo. y y. Y y ntoncs k S i spjano k: t llva a qu 7

48 ln k=.6 yt?.finalmnt Cuál s l timpo t n qué.6t spjano t = ln.6. horas. ) Dspués tomar un micamnto líquio la concntración l micamnto kt y t y y n la sangr s. mg/l si sa cantia ca acuro a caa hora s absorb la cuarta part Cuánto tarará n qu la concntración l micamnto n la sangr sa.8mg/l? ) Un anstésico para animals llamao pntobarbital sóico s usa para un prro y s rquirn mg por Kg. pso l prro a tratar. El kt y t y. En horas la cantia anstésico s limina acuro a suministraa isminuy a la mita. Calcula la cantia a suministrar para anstsiar a un prro Kg. urant minutos. ) S stimaba qu la población munial ra 6 millons n 96, y millons n 99.Haga una pricción para l y compar su rsultao con lo stablcio por los ifrnts cnsos munials. ) Si la tasa robos automóvils s triplica caa 6 mss. Calcula l timpo n qu s uplica. CUESTIONARIO DE EVALUACIÓN. y. La solución para la cuación ifrncial, s: a) c b) c c) c ) c. La solución para la cuación ifrncial a) y c b) y c. Si a) y y b) y y, s: c) y c ) y c y cuano, ntoncs la solución particular s: ). c) y y s: ln c) y ln c. La solución gnral la cuación ifrncial a) y c b) y c ) y ln c 8

49 y. Si y, ntoncs: a) y c b) y c c) ln y c ) y ln c. ln ln y c a,. Si g s una antirivaa g b sr igual a: a) f ( ) b) f ( ) c) f ( ) ) f ( c ), para alguna c no ncsariamnt cro. 7. Una partícula s muv a lo largo una lína rcta tal manra qu su cm aclración n t sgunos s t. La posición la partícula n t sg cm s l orign y su vlocia inicial s. Cuál s la posición la partícula, n sg 6. Sa f ifrnciabl os vcs n l intrvalo b f n l intrvalo a, b, ntoncs () cntímtros n l timpo t sgunos. t a) t t t ) t b) t t t c) y 8. La solución particular la cuación ifrncial s: 7 a) y y c) y y 9 8 y, y 7 cuano 8 9. Si la población crc proporcionalmnt, con rspcto al timpo, acuro a la cantia istnt la cuación ifrncial qu rprsnta l nunciao s: a) P kt t b) P k P c) P kp t ) P kt P. Encuntr la solución particular la cuación ifrncial aa qu satisfac y la conición inicaa. y 8, y cuano 8 a) y b) y c) y ) y 8 8. Cuano la pnint la rcta tangnt n un punto cualquira ( ys, ) y (,) s un punto la curva, s trata la función: a) b) c) ) 9

50 A continuación s prsntan ámns traorinarios rsultos prioos pasaos s rcomnabl qu primro intnts rsolvrlos y postriormnt compars. EXAMEN EXTRAODINARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PERIODO EZ-. ) Obtnga la rivaa : a) y sn cos SOLUCIÓN sn sn sn cos cos. b) y y sn cos cos sn sn sn cos sn cos y. c) y y ) Intgra por Cambio Variabl. ln a) u ln ln u u c c consirano u ln u n términos u la intgral por rsolvr qua: b) sn cos u Sa u sn u cos cos u u sn sn cos u c c.

51 ) Calcular las siguints intgrals: a) Usarmos l métoo intgración por parts tomano u u y v v Sustituyno sto n uv uv vu c 9 7 b) cos cos cos cos sn cos sn cos sn sn c. c)hallar l ára ntr lás gráficas y 9 - y. Calculmos las intrsccions como: 9 ó Así l ára stá aa por 9 ( ) El ára calculaa stá sombraa n la siguint gráfica:

52 EXTRAORDINARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PERIODO EZ- SOLUCIÓN ) Driva: a) y ln 7 y 7 ln 7 ln 7 9 ln ln b) y cos cos y cos cos cos sn sn cos. c) y tg sn y sc sn cos. Calcula: ) ( 7 ) a 7 7 F 7 F 6 8 F ( 7 ) F F b) ln Esta intgral s rsulv con la fórmula intgración por parts: sa u ln u si v v con sto tnmos: uv uv vu ln ln ln ln c 9 c) cos sn u Sa u sn u cos cos u u sn cossn u c c

53 ) Hallar l ára limitaa por las curvas : y y. Primro calculamos las intrsccions las curvas: ó. Así l ára por calcular stá aa por: ( ) ( ) 8 9 EXTRAORDINARIO DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II PERIODO EA-8- SOLUCIÓN.-Driva las siguints funcions: a) f ( ) tan Usano la rgla la cana tnmos: sc f ( ) tan tan tan sc tan b) f ( ) Primro usamos la fórmula para rivar prouctos funcions y postriormnt las rivación trascnnt: c) f( ).-Dtrmina f( ) si f ( ) y amás f (), f ( ). Rcura qu: f f f ( ) f c Pusto qu f c 6 y f c c

54 Esto último nos llva a qu f Finalmnt tnmos qu: 6 f ( ) f ( ) f + + c Amás como f c c f ( ) 6 6.-Calcula las siguints intgrals: a) Rsolvmos por cambio variabl sa Con sto tnmos u u u 6 u u 6 u u u c 6 c ln b) ln Rsolvmos con la fórmula intgración por parts: uv uv vu Tomano u ln tnmos qu u, ahora consirano v v Tnmos qu la intgración por parts stá aa como: ln ln ln ln c sn ln c) Usarmos intgración por parts sa u sn(ln ) ntoncs u cos ln si v ntoncs v, usano la fórmula intgración por parts tnmos qu: sn(ln ) sn(ln ) cos ln sn(ln ) cos ln = Volvino a intgrar por parts cos ln Con u cos(ln ), v tnmos sn(ln ) cos(ln ) sn ln = sn(ln ) cos(ln ) snln = (ln ) cos(ln ) sn ln sn Hmos llgao a qu sn(ln ) (ln ) sn cos(ln ) ln sn

55 sn (ln ) (ln ) cos(ln ) sn ln sn (ln ) sn (ln ) sn cos(ln ) c D on sn (ln ) sn(ln ) sn(ln ) cos ln c.-evalúa intrprta l cálculo Primro vamos qu acuro a la intrprtación cálculo intgrals finias para funcions positivas s tin qu intrprtar como l cálculo áras, por jmplo n st caso l ára sría: En términos l cálculo áras lmntals no s otra cosa más qu la un 7 trapcio y sta s u Con hrraminta l cálculo tnmos qu calcular la intgral finia Entoncs Pusto qu.-calcula: a) F( ) F () F () F() y ( ) ( ) () ( ) ( ) F()

56 b) sn cos sn cos cos sn cos sn cos sn 6.- Hall l ára limitaa por y sn, y,,. La gráfica nos llva a plantar la siguint intgral finia: cos cos cos sn 6