Correlación. Dr. Luis Javier Morales Mendoza Procesamiento Analógico de Señales FIEC - UV

Transcripción

1 Correlación Dr. Luis Javier Morales Mendoza Procesamieno Analógico de Señales FIEC - UV Índice.. Inroducción.. Correlación Cruzada.. Auocorrelación.4. Calculo de la correlación y de la auocorrelación.5. Méodo gráfico para la correlación.6. Tareas Dr. Luis Javier Morales Mendoza

2 Inroducción.. Inroducción En esa lecura, se presena una variación de la convolución, denominada Correlación. Esa operación realiza un procedimieno similar al de la convolución pero su objeivo es compleamene diferene. La convolución se aplica para mezclar dos señales (x () y x ()) ó una señal x() con la respuesa h() del sisema, mienras que la correlación muesra que an parecida es una señal con respeco a la ora. Esa operación es ampliamene uilizada en diferenes áreas al como en aviación donde se realiza una correlación cruzada de la señal de salida con su reflexión para deerminar la posición de un avión en el espacio aéreo. Dr. Luis Javier Morales Mendoza Correlación Cruzada.. Definición de Correlación Cruzada La correlación cruzada es una operación que se puede realizar sobre dos señales (dominio emporal). Permie deerminar la periodicidad de una señal, reducir el ruido, esimar iempos de reardo, ec. La correlación enre dos secuencias en iempo coninuo x () y x () esá dada por: R x x d (.) La correlación cruzada normalmene se simboliza por R () si la operación de la correlación cruzada va desde la señal x () a la señal x (), y R () si el proceso es inverso. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 4

3 Correlación Cruzada x () x () R () Figura.: Diagrama a bloques de la correlación cruzada La función de correlación cruzada posee varias propiedades las cuales son: No-Conmuaiva: x x x Asociaiva: x (.) x x x x x x (.) Dr. Luis Javier Morales Mendoza 5 Correlación Cruzada Disribuiva: x x x x x x x (.4) Analogía con la convolución: x x x x La (.5) es al ves la propiedad más imporanes de la función de correlación cruzada ya que puede emplearse la convolución para realizar esa operación. Ejemplo. Compruebe que la función de correlación no posee la propiedad de conmuación. Se iene que por definición, la función de correlación cruzada esá dada como: (.5) Dr. Luis Javier Morales Mendoza 6

4 Correlación Cruzada x x x x y x y x dy d Realizando un cambio de variable, y se iene que dy = d. Los límies de la inegral cambian cuando se iene que y y cuando se iene que y =. Por lo ano, se iene yx x yx x y dy Dr. Luis Javier Morales Mendoza 7 y dy Correlación Cruzada Como las variables son mudas, es decir se puede cambias la variable y por y con base a eso, se obiene x h d x x Por lo que se llega a x x x x Por lo ano, la correlación cruzada no posee la propiedad conmuaiva. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 8 4

5 Correlación Cruzada Ejemplo. Encuenre la propiedad conmuaiva de la función de correlación cruzada aplicando la convolución. Se iene que: x x x x Como la convolución posee la propiedad de conmuación,: x x x x Enonces: x x x x Dr. Luis Javier Morales Mendoza 9 Correlación Cruzada El concepo de correlación puede ambién inerprearse por medio de un sisema de enrada-salida lineal, como se puede ver en la Figura., en donde, h () = h( ) represena la respuesa espacial al impulso del sisema con una señal de exciación x(). x() h( ) y x h d Figura.. Equivalencia enre correlación cruzada y convolución Dr. Luis Javier Morales Mendoza 5

6 Auocorrelación.. Auocorrelación Una aplicación paricular de la correlación cruzada es la auocorrelación que es la correlación de una señal consigo misma. La auocorrelación es una écnica eficaz para mosrar las periodicidades de una señal conaminada con alo nivel de ruido y esá definida como: R x x R d (.6) Algunas propiedades de la auocorrelación son: R R R R Dr. Luis Javier Morales Mendoza Auocorrelación Ejemplo. Demuesre las dos primeras propiedades de la auocorrelación Sol. Para el primer caso, se iene que por definición realizando la raslación R R R x x x x con un cambio de variable: = se llega a Por lo que queda d x x d d R R Dr. Luis Javier Morales Mendoza 6

7 Auocorrelación Para el segundo caso, si =, en (.6), enonces se iene R x x Como x() es una señal real, enonces R x d d R () < Esa función cumple con el principio de Parseval. Dr. Luis Javier Morales Mendoza Cálculo de R xy y R xx.4. Calculo de la correlación cruzada y auocorrelación El desarrollo del cálculo de la correlación cruzada y auocorrelación es muy similar al llevado acabo por la convolución. Ejemplo 4. Se iene dos señales x () = exp( )u() y x () = exp( )u() deermine la correlación cruzada R () y R () si >. R x x exp d exp d Dr. Luis Javier Morales Mendoza 4 7

8 Cálculo de R xy y R xx R exp exp exp exp exp d exp d R exp exp R exp exp exp Dr. Luis Javier Morales Mendoza 5 Cálculo de R xy y R xx Figura.. Señal x () del Ejemplo 4 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 6 8

9 Cálculo de R xy y R xx Figura.4. Señal x () del Ejemplo 4 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 7 Cálculo de R xy y R xx Figura.5. Señal R () = x () x () del Ejemplo 4 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 8 9

10 Cálculo de R xy y R xx Figura.6. Señal R () = x () x () del Ejemplo 4 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 9 Méodo Gráfico.5. Méodo Gráfico para la correlación f() * g() - Paso. Remplazar la variable independiene por en f() y g() Paso. Traslade la función g() en el sisema de f() Paso. recorra a g() hasa que inicie el raslape sobre f(). Dr. Luis Javier Morales Mendoza

11 Dr. Luis Javier Morales Mendoza Méodo Gráfico I. Cuando < : Las dos funciones no se raslapan y el área denro del produco es cero. II. Cuando < : La pare de g() raslapa pare de f() y el área denro del produco de las funciones es: Paso 4. La correlación se divide en 5 pares los cuales son: 6 6 ) ( d III. Cuando < : Aquí g() raslapa compleamene a f() y el área denro del produco es jusamene: Dr. Luis Javier Morales Mendoza Méodo Gráfico 6 d IV. Cuando < 4: Pare de g() raslapa a f() en forma similar al paso II. V. Finalmene, cuando 4, g() y f() no se raslapan por lo que el área denro del produco es cero. 4 Para 4 Para 4 Para 6 Para 6 Para ) ( ) ( ) ( g f y

12 Méodo Gráfico Ejemplo 5. Evaluar la correlación enre dos funciones cuadradas con el diferene ancho, es decir x c.o.c. x 4 c.o.c. Ejemplo 6. Evaluar la correlación enre dos funciones cuadradas con el mísmo ancho, es decir x c.o.c. x c.o.c. Dr. Luis Javier Morales Mendoza Méodo Gráfico Figura.7. Señal x () del Ejemplo 5 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 4

13 Méodo Gráfico Figura.8. Señal x () del Ejemplo 5 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 5 Méodo Gráfico Figura.9. Señal R () = x () x () del Ejemplo 5 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 6

14 Méodo Gráfico Figura.. Señal R () = x () x () del Ejemplo 5 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 7 Méodo Gráfico Figura.. Señal x () del Ejemplo 6 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 8 4

15 Méodo Gráfico Figura.. Señal x () del Ejemplo 6 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 9 Méodo Gráfico Figura.. Señal R () = x () x () del Ejemplo 6 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 5

16 Méodo Gráfico Figura.4. Señal R () = x () x () del Ejemplo 6 Dr. Luis Javier Morales Mendoza Méodo Gráfico Ejemplo 7. Evaluar la correlación enre dos funciones cuadradas con el diferene ancho, es decir x () x c.o.c. x () x c.o.c. Dr. Luis Javier Morales Mendoza 6

17 Méodo Gráfico Figura.5. Señal x () del Ejemplo 7 Dr. Luis Javier Morales Mendoza Méodo Gráfico Figura.6. Señal x () del Ejemplo 7 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 4 7

18 Méodo Gráfico Figura.7. Señal R () = x () x () del Ejemplo 7 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 5 Méodo Gráfico Figura.8. Señal R () = x () x () del Ejemplo 7 Dr. Luis Javier Morales Mendoza 6 8

19 Tarea.6. Tarea. Demuesre que R () R ().. Deermine la correlación cruzada y auo correlación de las siguienes funciones (R, R, R y R ) a) b) exp u h h( ) u exp u h exp u h. Aplicando la propiedad de dualidad enre convolución y correlación, deermine la salida de los siguienes sisemas Dr. Luis Javier Morales Mendoza 7 Tareas x () x () x () h () h () + + y() x () x () h () h () y() x () Dr. Luis Javier Morales Mendoza 8 9

20 Tareas exp u x exp u x exp u x h u h u Dr. Luis Javier Morales Mendoza 9