Grado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 10/11.

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1 Grado en Ciencias Ambientales. Matemáticas. Curso 0/. Problemas Tema 2. Matrices y Determinantes. Matrices.. Determinar dos matrices cuadradas de orden 2, X e Y tales que: 2 2X 5Y = 2 ; X + 2Y = 4.2. Calcular las matrices A y B, sabiendo que verifican: A + 4B = , 5A 34B = Calcular x, y, z y t, sabiendo que A B = C y que: x 2 y 3 t 0 z , B = 2, C = 2.4. Sean A y B dos matrices triangulares superiores cualesquiera. Probar que el producto de dos matrices triangulares A B es de nuevo una matriz triangular superior..5. Sean A y B dos matrices tales que existe el producto A B. Demostrar que si la matriz A tiene una fila nula, entonces la matriz producto A B también tiene una fila de ceros..6. Sean A y B dos matrices tales que existe el producto A B. Demostrar que si A tiene dos filas iguales, entonces las dos filas correspondientes de A B son también iguales..7. Calcular todas las matrices de orden dos: a cuyo cuadrado sea la matriz nula. b Que sean idempotentes, es decir tales que: A 2 = A.8. Calcular A n y B n siendo las matrices n n B = cos α sen α sen α cos α.9. Sea A una matriz diagonal de orden n, determínese qué condiciones se requieren sobre los elementos de A para que sea invertible. En los casos posibles calcule la matriz inversa.

2 .0. Una matriz simétrica A es aquélla que verifica que A t. Determinar si el producto de dos matrices simétricas es de nuevo una matriz simétrica. Demostrar que la inversa de una matriz simétrica invertible es también una matriz simétrica... Verificar que la inversa de una matriz invertible a b.2. Sea A M n n R; demuéstrese que A A t es una matriz simétrica. c d viene dada por: ad bc d b.3. Sean A, B M n n R dos matrices simétricas. Demuéstrese que B A es simétrica si y sólo si A B = B A..4. Sean A, B M n n R; demuéstrese que, si A es simétrica, entonces B t A B es simétrica..5. Demostrar que si T es una matriz cuadrada tal que T 4 es la matriz nula entonces I T = I + T + T 2 + T Siendo A, B M n n R y A B = B A, demuéstrese que A + B 2 = A 2 + 2A B + B 2. Búsquense dos matrices A, B M n n R tales que A + B 2 A 2 + 2A B + B Demostrar que la matriz 2 3 es equivalente a: a una matriz triangular superior, y b 2 a la matriz identidad. Expresar el producto de matrices elementales que hay que considerar sobre la matriz A para obtener la matriz identidad..8. Obtener una matriz elemental de orden 3 3 de cada tipo. Aplicar estas matrices por la derecha sobre otra matriz A de orden 3 3 arbitrariamente elegida. Comprobar que el resultado se corresponde con aplicar la transformación elemental asociada a la matriz elemental sobre la matriz A..9. Hallar la factorización LU de las matrices: A = 2 A 2 = 0 A 3 = Utilizando transformaciones elementales, hallar la inversa de las matrices A y A 2 considerando que en el segundo caso a > 0: A = a + a + A 2 = a + a + c a.2. Hallar las matrices inversas de las siguientes matrices: 0 cos x sen x, 2 2, sen x cos x

3 .22. Hallar la inversa de las matrices A, A 2 y A 3 indicando en este último caso para que valores de a no se puede obtener la inversa: A = 2 2 A 2 = a A 3 = En el espacio vectorial M 2 2 R consideramos los conjuntos: { } { } a b a b V =, a, b R, V 2 = /a + b + c + d = 0, 2a c d = 0 a b a + b c d Demostrar que ambos son subespacios vectoriales de M 2 2 R. Calcular una base de su suma y otra de su intersección..24. Dado el espacio vectorial M n n R de matrices cuadradas reales de orden n, se considera el subconjunto de matrices simétricas Sim n R y el de antisimétricas Ant n R. a Demostrar que ambos son subespacios vectoriales de M n R. Calcular sus dimensiones y una base de cada uno de ellos. b Demostrar que M 2 2 R = Sim n R Ant n R. 7 c Descomponer la matriz en suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica Calcular el rango por filas y columnas de: Obtener el rango por filas y el rango por columnas de la matriz 2 Determinantes Considerando el conjunto de todas las permutaciones de 2, 3 y 4 elementos, esto es, los grupos simétricos S 2, S 3 y S 4, se pide: a Escribir todos los elementos permutaciones de los grupos mencionados. b Multiplíquese por la transposición que cambia el orden de los dos primeros elementos cada uno de los elementos de S 2 y verifíquese que el conjunto de los elementos resultantes es de nuevo S 2. Realícese la misma tarea para los grupos S 3 y S 4. c Encuéntrese el conjunto de permutaciones inversas de cada uno de los elementos de S 2 y verifíquese que se obtiene de nuevo S 2. Realícese la misma tarea para los grupos S 3 y S 4. 3

4 2.2. Probar que: a Cada permutación tiene una inversa. b Signσ =Signσ. c Cada permutación es la inversa de otra. d Si tenemos las permutaciones del grupo S n las inversas de dichas permutaciones reproducen de nuevo S n Calcula el determinante de las siguientes matrices: A = A 2 = 3 0 A 3 = A 4 = Demostrar que el siguiente determinante es múltiplo de D = Probar que: y + z x + z x + y x y z = Encuentra el valor del determinante de la matriz cuadrada de orden, 2 y 3 cuya componente i, j se corresponde con los valores: a i+j y b i + j Calcular el valor de los determinantes: x x x x x y y y x y z z x y z t, a a a a b b b 2.8. Pruébese que la siguiente relación es cierta: x x 2 x 3 = x 2 x x 3 x x 3 x 2 x 2 x 2 2 x Se llama determinante de Vandermonde del conjunto x,..., x n al definido de la forma: x x 2 x 3 x n V x,..., x n = x 2 x 2 2 x 2 3 x 2 n x n x n 2 x n 3 x n n 4

5 n Demostrar que V x,..., x n = x j x i. i<j 2.0. Resolver la ecuación: a + x x x x x b + x x x x x c + x x x x x d + x = Calcular: D 4 = ln 2 2 ln 2 3 ln 2 4 ln 2 ln 3 2 ln 3 3 ln 3 4 ln 3 ln 5 2 ln 5 3 ln 5 4 ln Pruébese que si A es una matriz cuadrada de orden 3 entonces se cumple que detλa = λ 3 deta para cualquier escalar λ Demostrar que si A es una matriz cuadrada antisimétrica de orden n, siendo n impar, entonces A = Mostrar que el determinante siguiente tiene un valor que no depende de n y calcular dicho valor. n n + n + 2 n + 3 n + 4 n + 5 n + 6 n + 7 n Calcular por triangulación el valor del determinante: 2 3 D = Sean las matrices B = a Calcula la matriz adjunta de A, adja. Idem para B. b Calcula el valor de A adj A t. Idem para B. c A partir de lo anterior obténgase la matriz inversa de A. Idem para B. d Coincide la solución con el resultado teórico indicado en el tema de determinantes? 2.7. Calcular las matrices inversas, si existen, de las matrices siguientes: B = 3 4 C =

6 2t Dada la matriz 0 t A para t = 2., averiguar para qué valores de t la matriz no tiene inversa. Obtener 2.9. Calcular el rango por filas, columnas y menores de: Comprueba que se verifica el Teorema del Rango para la matriz A es decir, calcula su rango por filas, por columnas y por menores: