CALCULO DE INTERSECCIONES TOPOGRAFICAS UTILIZANDO EL PROMÉDIO PONDERADO

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1 CALCULO DE INERSECCIONES OOGRAFICAS UILIZANDO EL ROMÉDIO ONDERADO Irneu da Slva Dego de Olvera Martns aulo Cesar Lma Segantne Deartamento de Engenhara de ransortes EESC US - Brasl rneu@sc.us.br degoolmartns@us.br seganta@sc.us.br RESUMEN Los métodos lanmétrcos denomnados Interseccón Drecta e Interseccón Inversa, cuyas solucones geométrcas se basan en las medcones angulares hechas desde untos de coordenadas conocdas (bases de control) hasta el unto a determnar o, nversamente, desde éste a los untos de coordenadas conocdas, tenen un valor fundamental ara la determnacón de las coordenadas de untos del terreno, sobre los cuales no es osble medr las dstancas hasta sus resectvas bases de control. Se alcan en estos casos concetos de trgonometría lana, a artr de los cuales se establecen ecuacones matemátcas ara la determnacón unvoca del unto desconocdo. Se dcen en esos casos que se realza una nterseccón smle, la cual no ermte nngún análss estadístco. ara subsanar ese roblema, la solucón recomendada consste en realzar más observacones angulares de las que son estrctamente necesaras y alcar un cálculo de auste de observacones toográfcas or el Método de Mínmos Cuadrados. Sn embargo, la alcacón de cálculos de austes exge conocmentos matemátcos avanzados, los cuales no semre son de domno técnco. De esta forma, ara soluconar el roblema, se ueden alcar métodos de cálculo basados en el romedo onderado de las nterseccones toográfcas, los cuales roducen resultados muy róxmos de los obtendos or cálculos de austes, sn la necesdad de cálculos avanzados. ara aclarar el roblema exuesto en este artículo, además de resentar las ecuacones relaconadas a los cálculos de las nterseccones toográfcas utlzando el romedo onderado y el cálculo de austes, se resentan los resultados de un trabao ráctco de medcones toográfcas de Interseccones Drecta e Inversa comarando los valores de las coordenadas determnadas y sus resectvas recsones. 1. INRODUCCIÓN Los métodos lanmétrcos ara la determnacón de coordenadas de untos toográfcos, denomnados Interseccón Drecta e Interseccón Inversa, ermten obtener las coordenadas de uno o de varos untos toográfcos sobre el terreno aoyándose en vértces con coordenadas conocdas, determnadas en fases revas de

2 relevamentos toográfcos. La alcacón fundamental de esos métodos ocurre en stuacones en que se necestan relantear nuevos untos sobre el terreno solamente con observacones angulares, sn medcones de dstancas. Eemlos cláscos de alcacones de esos métodos son la densfcacón de redes toográfcas y la determnacón de untos auxlares de relanteo en obras de mnería o de subdvsones urbanas. Las ecuacones ara esas determnacones son muy ben conocdas y no reresentan nnguna dfcultad ara sus alcacones ráctcas. ara la Interseccón Drecta se mden las dreccones desde dos bases de control hasta el unto a determnar, mentras que ara la Interseccón Inversa se mden las dreccones desde el unto a determnar hasta tres bases de control. De esta forma, se tene una solucón únca ara las coordenadas del unto desconocdo, la cual no ermte nngún análss estadístco. ara subsanar ese roblema, la solucón recomendada consste en realzar más observacones angulares de las que son estrctamente necesaras y alcar un cálculo de auste de observacones toográfcas or el Método de Mínmos Cuadrados, conforme resentado en las seccones subsecuentes. Sn embargo, la alcacón de cálculos de austes exge conocmentos matemátcos avanzados, los cuales no semre son de domno técnco. De esta forma, ara soluconar el roblema, se ueden alcar métodos de cálculo basados en el romedo onderado de las nterseccones toográfcas, a artr de los cuales se obtenen resultados muy róxmos a los obtendos or cálculos de austes, sn la necesdad de cálculos avanzados, como se demuestra a segur.. LA INERSECCIÓN INVERSA La Interseccón Inversa es tambén comúnmente denomnada roblema de othenot. Según eña, J. S. [00], el rmero en resolver el roblema de la Interseccón Inversa fue el holandés Wllbord Snellus en su obra Eratosthenes batavus, ublcada en 164. Laurent othenot resentó un trabao sobre el tema en 169 y varos otros autores han estudado esa matera a lo largo de los años. A esar de eso, el roblema sgue conocéndose oularmente como roblema de othenot. Una nterseccón nversa consste en determnar las coordenadas de una estacón stuada en un unto (), desde la cual se hceron observacones de dreccones a tres untos de coordenadas conocdas, conforme ndcado en la Fgura 1. La fnaldad del método es calcular las coordenadas de () y tambén las orentacones de las alenacones formadas entre el unto () y los untos vsualzados.

3 . Conocdos: unto A: A: x, y unto B: B : x, y unto C: C : x, y Meddos: Calcular: Dreccones: L A, L B, L C Coordenadas de : : x, y A B C A B C Fgura 1: Relacones geométrcas de la Interseccón Inversa smle. La solucón al roblema es alcanzada suonendo una nterseccón de tres líneas, cuyos azmuts son conocdos. De esa forma, consderando, L L, dferenca entre las observacones de las dreccones B AB B A y A. L L, dferenca entre las observacones de las dreccones C AC C A y A. Las coordenadas de la estacón () serán dadas or: tan y y A xa xb cotanab xa xc cotanac yb yc y y cotan y y cotan x x A B AB A C AC B C x x cotan tan y y 1 cotan tan A B AB A B AB 1 tan (1) () A A x x y y * tan (3) Susttuyéndose el índce B or C se obtene una segunda ecuacón ara el cálculo de. y ara obtener resultados más consstentes ara las coordenadas del unto (), se uede aumentar la cantdad de observacones de dreccones, conforme ndcado en la Fgura. En este caso, habrá más vsualzacones de que las estrctamente necesaras, o en otras alabras, un exceso de vsualzacones. De esta forma, el roblema se torna súer determnado y entonces la solucón consstrá en calcular las meores coordenadas ara el unto () consderando las dferentes combnacones de vsualzacones.

4 Conocdos: untos 1,,3,..., n: x, y Meddos: Dreccones: L 1, L,L 3,..., L n Calcular: : x, y Coordenadas de : Fgura : Relacones geométrcas de la Interseccón Inversa múltla. En estas condcones, las coordenadas del unto () se ueden determnar alcándose dos métodos de cálculo: la solucón or el Método de Mínmos Cuadrados y la solucón or romedo onderado, conforme resentado en las seccones sguentes..1 INERSECCIÓN INVERSA OR EL MÉODO DE MÍNIMOS CUADRADOS ara esta determnacón consdérese un unto 0 (0,0) al cual se atrbuye los deslazamentos dx y dy ara obtenerse el unto (,), conforme ndcado en la Fgura 3. o dy dx dq So d A Fgura 3: Relacones geométrcas entre el unto rovsonal 0 y el unto. De acuerdo con la fgura, son obtendas las relacones matemátcas ndcadas a segur: dx 0 0 dy (4) dq s d 0 (5) dq dx cos dy sen 0 0 (6)

5 Donde se tendrá que: cos sen (7) s s 0 0 d dx dy 0 0 Esta relacón generalmente se escrbe de la sguente forma: d adx bdy (8) cos a s sen b s (9) Consdérese ahora el caso de la Interseccón Inversa Múltle ndcada en la Fgura 4, en la cual se tenen las dreccones r meddas desde la estacón () a untos de coordenadas conocdas, arténdose con una orentacón cualquera. De acuerdo con ese modelo geométrco, el roblema se solucona consderándose la correccón v, que se debe adconar en cada dreccón observada, ara determnar el azmut comensado, conforme ndcado a segur: r v (10) Fgura 4: Elementos geométrcos de la Interseccón Inversa Múltle ara el calculo or el Método de Mínmos Cuadrados. Como las coordenadas del unto rovsonal 0 son conocdas, se ueden calcular los azmuts rovsonales 0. or otro lado, de acuerdo con la ecuacón (7), se ueden determnar las varacones d en funcón de las varacones de coordenadas dx y dy del unto rovsonal. Donde se tendrá que: d (11) 0 En seguda, consderando las ecuacones (10) y (11) se uede escrbr que: r v d (1) 0

6 or otro lado, ntroducendo un valor rovsonal 0 ara, se obtenen las ecuacones ndcadas a segur: d 0 (13) r (14) Consderando las ecuacones (13) y (8) se uede escrbr la ecuacón (1) como sgue: r d v a* dx b* dy (15) 0 0 De donde se obtendrá la ecuacón de errores, v d a* dx b* dy r (16) 0 0 La solucón del sstema de ecuacones de errores ermte determnar los valores comensados ara y, de esa forma, las coordenadas del unto ().. INERSECCIÓN INVERSA OR EL ROMEDIO ONDERADO ara el cálculo de las coordenadas del unto () or el romedo onderado, consdérese la Fgura. De acuerdo con los datos ndcados en la fgura, se uede calcular las coordenadas del unto () a artr de n observacones, combnadas tres a tres, las cuales generan N nterseccones nversas, conforme ndcado en la ecuacón (17). N n* n 1* n nterseccones nversas (17) 6 S todas las observacones fueran consderadas con la msma caldad, el resultado fnal ara las coordenadas del unto () se obtendría or el romedo artmétco de las N nterseccones. Entretanto, en la mayoría de los casos, estas no oseen la msma caldad, una vez que son meddas con dstancas y oscones dferentes. El resultado fnal, en este caso, se obtene or el romedo onderado de las N nterseccones, adotándose esos dferencados ara cada nterseccón nversa de acuerdo con la ecuacón (18) ndcada a segur: sen sen k sen k k k d d d d d d k k 1,,, n, 3, n 1 k 3, 4, n (18) Donde,

7 L L eso ara la nterseccón,,k k,, k eso ara las dreccones observadas d dstancas horzontales calculadas en funcón del resultado obtendo ara las coordenadas del unto () a artr del cálculo de la rmera nterseccón nversa. Los valores ara los esos condcones ndcadas a segur:, y k se ueden determnar consderándose las k 1 o, d, d, d k k Con los esos calculados, los valores fnales ara las coordenadas del unto () serán dados conforme las ecuacones (19). e ; e (19) Donde, x x x k1 k kn y y y k1 k kn k1 k kn 1 1 e 1 coordenada x fnal del unto () coordenada y fnal del unto () Las recsones resectvamente. s x y y s son calculadas de acuerdo con las ecuacones (0) y (1), s V V n 3 e (0) s V V n 3 e (1)

8 Donde, V x x x x x x k1 k kn V y y y y y y k1 k kn k k kn 3. LA INERSECCIÓN DIRECA La determnacón de las coordenadas de un unto () a artr del método de la Interseccón Drecta consste en vsualzar el unto a determnar a artr de dos untos de coordenadas conocdas observándose aenas dreccones, conforme ndcado en la Fgura 5. De esta forma se obtenen las coordenadas del unto observado sn la necesdad de colocar un reflector en el unto. Conocdos: unto A: A: x A, y A unto B: B : x, y Meddos: Drecones: L A, L AB, L BA,L B Calcular: Coordenadas de : : x, y B B Fgura 5: Relacones geométrcas de la Interseccón Drecta. El método de cálculo más smle ara calcular las coordenadas del unto () es el método de las tangentes, como ndcado a segur: S, tan Az B tan Az A A tan Az B A B A B tan Az A tan Az B () B B B tan Az (3) S, tan Az A tan Az B

9 B tan Az A B A B A tan Az B tan Az A (4) A A A tan Az (5) ara obtener resultados más consstentes ara las coordenadas del unto (), se uede aumentar la cantdad de observacones de dreccones, conforme ndcado en la Fgura 6. En este caso habrán más vsualzacones de que las estrctamente necesaras, o en otras alabras, un exceso de vsualzacones. El roblema se torna súer determnado y la solucón consstrá en calcular las meores coordenadas ara el unto () consderando las dferentes combnacones de vsualzacones. Dados: Meddos: ontos 1,, 3, n: L, L, 1 x, y Dreccones entre los untos de coordenadas conocdas y el unto () Calcular: Coordenadas de : : x, y Fgura 6: Relacones geométrcas ara la Intrerseccón Drecta múltla. Las coordenadas del unto () se ueden determnar alcándose dos métodos de cálculo: la solucón or el Método de Mínmos Cuadrados y la solucón or el romedo onderado. 3.1 INERSECCIÓN DIRECA OR EL MÉODO DE MÍNIMOS CUADRADOS ara el cálculo de las coordenadas del unto () or el Método de Mínmos Cuadrados, consdérese la Fgura 7. De acuerdo con la fgura y con el valor del unto rovsonal 0 determnado como menconado anterormente, se ueden defnr las ecuacones (4) y (11). or otro lado, una dreccón drecta observada está orentada or su línea de referenca de manera a generar el azmut observado, al cual es necesaro adconar una correccón (v) ara determnar su azmut comensado, como ndcado en la ecuacón (6). v (6) En seguda, consderando las ecuacones (11) y (6) se uede escrbr que: v d (7) 0

10 Consderando las ecuacones (7) y (8) se uede escrbr la ecuacón (8) como sgue: v a* dx b* dy (8) 0 Donde se tendrá la ecuacón de errores, v a* dx b* dy (9) 0 o dy dx o d A Fgura 7: Relacones geométrcas ara el cálculo del unto comnesado (). La solucón del sstema de ecuacones de errores ermte determnar los valores comensados ara y, de esa forma, las coordenadas del unto. 3. INERSECCIÓN DIRECA OR EL ROMEDIO ONDERADO ara el cálculo de las coordenadas del unto () or el romedo onderado, consdérese la Fgura 6. De acuerdo con los datos ndcados en la fgura, se uede calcular las coordenadas del unto () a artr de n observacones, combnadas dos a dos, las cuales generan N nterseccones drectas, conforme ndcado en la ecuacón (30). nn1 N nterseccones drectas (30) S todas las observacones fueran consderadas con la msma caldad, el resultado fnal ara las coordenadas del unto () se obtendría or el romedo artmétco de las N nterseccones. Entretanto, en la mayoría de los casos, estas no oseen la msma caldad, una vez que son meddas con dstancas y oscones dferentes. El resultado fnal, en este caso, se obtene or el romedo onderado de las N nterseccones, adotándose esos dferencados ara cada nterseccón drecta de acuerdo con la ecuacón (31) ndcada a segur:

11 sen Az Az, d d 1,,, n 1 1,,, n (31) Donde,, eso de la nterseccón,, Az eso de las dreccones observadas, d = valores calculados en funcón de las coordenadas de los untos conocdos Los valores ara los esos condcones ndcadas a segur: y se ueden determnar consderándose las 1 o, d, d Con los esos calculados, los valores fnales ara las coordenadas del unto () vendrán dadas, conforme ndcado en las ecuacones (3). e ; e (3) Donde, x x x 1 n y y y 1 n 1 n 1 1 e 1 coordenada x fnal del unto () coordenada y fnal del unto () Las recsones resectvamente. s x y y s son calculadas de acuerdo con las ecuacones (33) y (34),

12 s V V n e (33) s V V n e (34) Donde, V x x x x x x 1 n V y y y y y y 1 n n 4. EJEMLO ALICAIVO ara comarar los resultados de la Interseccón Inversa e Interseccón Drecta alcándose los métodos de Mínmos Cuadrados y del romedo onderado, se realzó un trabao de camo en el que fueron meddas cnco dreccones, como ndcado en la Fgura 8. El unto () ndcado en la fgura es el unto cuyas coordenadas se queren determnar. Fgura 8: Rede de untos meddos en el camo Los valores meddos en camo ara la Interseccón Inversa están ndcados en la abla 1 y los valores ara la Interseccón Drecta en la abla.

13 abla 1: Valores de coordenadas y dreccones meddos en el camo ara la Interseccón Inversa. Interseccón Inversa unto [m] [m] Dreccón Observada 5.17, , ' 56" , , ' 37" , , ' 5" ,70.00, ' 31" abla : Valores de coordenadas y dreccones meddos en el camo ara la Interseccón Drecta Interseccón Drecta unto [m] [m] Dreccón Observada , , ' 38" , , ' 57" ,70.00, ' 9" 5.17, , ' 49" 4.1 RESULADOS DE LA ALICACIÓN DEL MÉODO DE MÍNIMOS CUADRADOS Alcando el Método de Mínmos Cuadrados ara la solucón de las ecuacones de errores ndcadas en las seccones.1 y 3.1, se obtuveron los resultados ndcados en la abla 3. abla 3: Resultados ara las Interseccones Inversa y Drecta alcándose el Método de Mínmos Cuadrados Método de Mínmos Cuadrados Interseccón [m] σ [mm] [m] σ [mm] Inversa () 5.408,188 ±, ,739 ± 1,3 Drecta () 5.408,18 ± 6, ,737 ± 6,0 4. RESULADOS DE LA ALICACIÓN DEL MÉODO DEL ROMEDIO ONDERADO ara la alcacón del método del romedo onderado, rmeramente es necesaro calcular las N nterseccones, conforme ndcado en la ecuacón (17) ara la Interseccón Inversa y en la ecuacón (30) ara la Interseccón Drecta. En seguda, consderándose las estrategas de onderacón ndcadas en las seccones. y 3., se obtuveron los valores de esos ndcados en las ablas 4 y 5.

14 abla 4: Resultados del cálculo de nterseccón nversa smle ara cada una de las N nterseccones nversas Interseccón Inversa Smle Coordenadas del unto () arcal [m] [m] esos , , , , , , , , abla 5: Resultados del cálculo de nterseccón nversa smle ara cada una de las N nterseccones drectas Interseccón Drecta Smle Coordenadas del unto () arcal [m] [m] esos , , , , , , , , , , , ,767 6 Con los esos calculados adecuadamente, se obtuveron las coordenadas comensadas y sus recsones ara la Interseccón Inversa y Drecta, conforme ndcado en la abla 6. abla 6: Resultados ara la Interseccón Inversa y Drecta alcándose el método del romedo onderado Método del romedo onderado Coordenadas del unto () Interseccón [m] σ [mm] [m] σ [mm] Inversa 5.408,188 ±, ,738 ± 5,5 Drecta 5.408,183 ± 7, ,739 ± 4,5 Con los valores ndcados arrba se ueden comarar los resultados obtendos con la utlzacón del Método de Mínmos Cuadrados y del Método del romedo onderado ara la Interseccón Inversa y la Interseccón drecta. La abla 7 muestra los valores comaratvos. abla 7: Comaracón de los resultados ara la Interseccón Inversa y Drecta alcándose el método del Mínmo Cuadrado y el Método del romedo onderado Comaracón de los Resultados Dferencas Δ [mm] Δ [mm] Vector [mm] Inversa M x Drecta M Inversa MMC x Drecta MMC 6 6 Inversa M x Inversa MMC Drecta M x Drecta MMC -1 -

15 5. CONCLUSIONES Como se uede notar en las tablas de la seccón 4, los resultados ndcan que la alcacón del Método del romedo onderado uede ser consderada como una alternatva ara los cálculos de Interseccones Inversa y Drecta cuando no se uede alcar el Método de Mínmos Cuadrados. ara las medcones de camo utlzadas en este trabao, se obtuveron desvíos máxmos de 1 mm ara las coordenadas calculadas or la Interseccón Inversa y de mm ara las coordenadas calculadas or la Interseccón Drecta, en una stuacón en que los desvíos máxmos son del orden de 5mm ara el Método del romedo onderado y de 6 mm ara el Método de Mínmos Cuadrados. Es mortante señalar que ara el método del romedo onderado, las estrategas de onderacón rouestas ara ambas las nterseccones son sensbles a la geometría de la red. Como uede verse en el trabao de camo, cuanto más equlátero es el trángulo más alto es su eso. Además, debe tenerse en cuenta que la geometría de la red nterfere más en la onderacón ara la Interseccón Inversa de que ara la Interseccón Drecta. 6. Bblografa eña, S. J. - La Interseccón Inversa: Método Geométrco, oográfco y Cartográfco. IV Congreso Internaconal de Ingenería Gráfca. Santander, Esaña, 00. Slva, I. Segantne,. C. L. oografa ara Engenhara: eora e rátca de Geomátca. Elsever Edtora, Ro de Janero, Brasl, 015.