TEMA 8: LÍMITES Y CONTINUIDAD

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Lorenzo Quintero Salazar
hace 6 años
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1 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 1.1. Límite fiito de u fució TEMA 8: LÍMITES Y CONTINUIDAD Decimos que: lim f ( x) L, si x / x ' x f ( x') L x Decimos que: lim f ( x) L, si x / x ' x f ( x') L x 1.2. Límite ifiito de u fució Dd u fució f( x ): si k x / x ' x f ( x') k x si h x / x ' x f ( x') h x si k x / x ' x f ( x') k x si h x / x ' x f ( x') h x 2. OPERACIONES CON LÍMITES Si f( x ) y gx ( ) so dos fucioes y existe sus límites se cumle que 1 : lim f ( x) g( x) lim f ( x) lim g( x) lim ( ) x x x f( x) f x x lim, siemre que lim gx ( ) x g ( x ) lim g ( x ) x lim f ( x) g( x) lim f ( x) lim g( x) x x x x lim ( ) f x lim f ( x) f x x x f x x x lim log f ( x) log lim f ( x) x x lim ( ) f x g x g( x) lim f ( x) lim ( ) x x x lim ( ) lim ( ), si y lim gx ( ) x x SUMA Y RESTA ( ) k ( ) k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) PRODUCTO k k ( ) k k k ( ) k ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) COCIENTE k k k k idetermicio k POTENCIA k 1 k k 1 k 1 k k 1 k k ( ) k ( ) ( ) si imr No existe si r 1 Si escribimos x sigific que los resultdos so válidos r x y x 1

2 3. CÁLCULO DE LÍMITES DE FUNCIONES FUNCIONES CON POTENCIAS si > si > y r lim x 1 si = x lim x si > y imr x si < 1 si = si < FUNCIONES POLINÓMICAS So de l form: f ( x) x x... x x x x x si el coeficiete del térmio de myor grdo ( ) es ositivo si el coeficiete del térmio de myor grdo ( ) es egtivo x Grdo Poliomio > Pr > Imr < Pr < Imr FUNCIONES EXPONENCIALES si >1 si >1 lim x lim x si <<1 si <<1 x x No existe si < No existe si < FUNCIONES RACIONALES (cociete de oliomios) k x... 1x So de l form: f( x) b x... b x b x 1 si k si k si k si k b b si k y x si k b y b si k y si k b y b FUNCIONES IRRACIONALES (fucioes co rdicles) Resolvemos ls idetermicioes que obtegmos. Recuerd: lim f ( x) lim f ( x) x x 2

3 4. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO 1. Se emiez sustituyedo l x or el uto. 2. Si se obtiee u resultdo umérico, ese es el vlor del límite. 3. Si se lleg u idetermició, seguiremos otros cmios. 4. Si el resultdo es hllmos los límites lterles Si los límites lterles coicide, ese será el límite de l fució. 6. Si los límites lterles so distitos, decimos que o existe límite. 7. INDETERMINACIONES 1 Suele recer l clculr límites de cocietes de oliomios o dode rece rdicles. Desrece dividiedo umerdor y deomidor or l oteci de myor grdo. Difereci de rdicles Multilicr y dividir or el cojugdo3 Difereci de cocietes de oliomios Relizmos l rest de cocietes Si 1 y lim gx ( ) se cumle que x x Suele recer l clculr límites de cocietes de fucioes c tl que f ( c) g( c) g( x) lim f ( x) 1 g( x) x x f( x), e u uto gx ( ) Se fctoriz (fctor comú, idetiddes otbles, Ruffii, ecució de 2º grdo) y se simlific 8. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN 8.1. Cotiuidd e u uto. Defiició: f cotiu e lim f ( x) f ( ) x Defiició 1º f( ) x 2º x x 3º Los dos vlores teriores coicide 2 Límites lterles x x 3 El cojugdo de b es b 3

4 8.2. Cotiuidd lterl Cotiuidd or l derech Cotiuidd or l izquierd Cotiuidd e u uto f cotiu e lim f ( x) f ( ) x f cotiu e lim f ( x) f ( ) x Si u fució es cotiu or l derech e izquierd e u uto, es cotiu e dicho uto Discotiuidd e u uto Defiició Defiició U fució es discotiu e u uto cudo o existe límite e él o, existiedo, o coicide co el vlor de l fució e el mismo. Si u fució o es cotiu e u uto x, diremos que es discotiu e dicho uto TIPOS DE DISCONTINUIDAD DISCONTINUIDAD EVITABLE x x lim f ( x ) lim f ( x ) f ( ) x x DISCONTINUIDAD INEVITABLE Discotiuidd de slto fiito Discotiuidd de slto ifiito x x lim f ( x) lim f ( x) x x Slto de f e lim f ( x) lim f ( x) x x ) Los limites lterles so y b) Los limites lterles so o c) Uo de los límites lterles es fiito y el otro 8.4. Cotiuidd e u itervlo INTERVALO ABIERTO INTERVALO CERRADO U fució es cotiu e u itervlo bierto b, si lo es e cd uo de sus utos. U fució es cotiu e u itervlo cerrdo b, si lo es e todos los uto de b, y demás es cotiu or l derech e y es cotiu or l izquierd e b 4

5 9. TEOREMAS 9.1. Teorem de Bolzo (Teorem de ls ríces) Si u fució es cotiu e u itervlo b, y tom vlores de sigo ouesto e los extremos, etoces existe l meos u uto iterior c del itervlo e el que f( c). f cotiu e, b c, b / f ( c) f ( ) f ( b) 9.2. Teorem de Weierstrss (Teorem del máximo-míimo) Si u fució es cotiu e u itervlo cerrdo b,, tiee máximo y míimo e ese itervlo Teorem de Drboux Si u fució es cotiu e el itervlo b,, l fució tom e ese itervlo todos los vlores comredidos etre el máximo y el míimo. 5

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