2-LÍMITES Y CONTINUIDAD

Transcripción

1 -Distancia entre dos números: d(a,b)= -LÍMITES Y CONTINUIDAD Sea f una función a y L R 0 Propiedad- =L Ejemplos: -f()= + = = =

2 ( = = =5 ( ) -

3 = = = ( ) - =

4 M > > para suficientemente próimos a a =a es una asíntota vertical de f o Ejemplos: - f()= es una asíntota vertical

5 5- f()= = =+ =0 es una asíntota vertical.

6 Sea b R ()=b ()=b - y=b es una asíntota horizontal en + ( ) ()=b ( ()=b) Ejemplos: 6- f()= 7- f()= =

7 y= es una asíntota horizontal en M>0 f()>m para suficientemente grande en valor absoluto y positivo. M>0 M> f() para suficientemente grande en valor absoluto y positivo. M>0 f()>m para suficientemente grande en valor absoluto y negativo. M>0 M> f() para suficientemente grande en valor absoluto y negativo Ejemplos: 9- f()=+

8 + =+ 9-f()= = =0

9 Ejercicios: -Calcula (con calculadora) los siguientes límites: a) Si a>o c) d) b) e) f) -Observa la gráfica de esta función f() y calcula estos límites. Propiedades: a R o a= Límite de una constante Límite de una suma

10 Límite de un producto Límite de un cociente Límite de una potencia Límite de una función g p u e d e s e r u n a r a í z, u n l o g, s e n, c o s, t g, e t c. = =(+ + + =+ + -(+ )=+ - 0 (+ )(+ )=+

11 (+ )/(+ ) Ejercicios:

12 f es continua en =a a) f()= No es continua en = f() no eiste, no se verifica i), además como. se dice que f tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito. b) Es discontinua en =0 ya que: = No se verifica ii) Se dice que f tiene una discontinuidad inevitable de salto finito. c) Es discontinua en =0 ya que: = = - No se verifica iii).

13 Se dice que f tiene una discontinuidad evitable. Si Si y son números reales pero f tiene una discontinuidad inevitable de salto finito en =a Si, o es f tiene una discontinuidad inevitable de salto infinito. f es continua en el intervalo (a,b) si es continua (a,b) f es continua en el intervalo [a,b] si es continua (a,b) y y Ejemplo: f:[-,] R g()= f()= f es continua en [.,] y g no lo es ya que 5. Operaciones con funciones continuas. Sean f() y g() dos funciones continuas en =a, se tiene entonces que:

14 a. es continua en =a. b. es continua en =a. c. es continua en =a si. d. es continua en =a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia). TEOREMA: Si f() es continua en =a y g() es continua en y=f(a) continua en =a. es 6. Discontinuidades. Se dice que una función y = f() es discontinua en = a si no es continua en dicho valor de, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad. TIPOS DE DISCONTINUIDADES A) Evitable: Cuando eiste el pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no eiste f(a). B) De salto: Cuando eiste el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden. C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. D) Esencial: Cuando no eiste alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. Si y = f() tiene una discontinuidad evitable en = a, llamaremos verdadero valor de la función en =a al. Dicho valor es el que convierte a la función en continua. Si y = f() tiene una discontinuidad de salto en =a, llamaremos salto de la función en =a al valor. SUMA: f()+ g()

15 g() f() + b R - + a R + + IND + a+b - IND - - PRODUCTO: f() g() f() g() a R a (signo dep a) IND - b R b IND 0 0 IND - (signo dep a) IND + f() COCIENTE: g() a R a 0 0 +

16 b R b EJERCICIOS LÍMITES Y CONTINUIDAD

17 -Calcula los siguientes ites:

18 LIMITES-CONTINUIDAD II

19 - -

20

21 III-CÁLCULO DE LÍMITES ) 6 ) ) ) a a a a 5) 6) 7) 8) 9) 6

22 0) ) ) 6 ) 5 ) 5 5) a a a 6) 0 7) 5 8) 9) 0) ) ) ) ) 5) 6) 5 5 7) 8) 6 6 9) 5 6 0) ) ) ) 5 ) 8 6 5) 6) 7) 0 8) 9) 0) ) ) rep ) 0 ) 5) 6) 0 7) 8) 9) sen 0 50) tg 0 5) tg sen 0 5) a a a sen sen 5) h a h a h cos cos 0 5) 0 cos cos7

23 cos 55) 0 sen6 59) 0 6) tg 56) sen 57) sen sen 60) 6) tg 6) sen ) 58) 6) sen6 tg5 0 7 sen 6 66) cos 67) sen 68) sen 0 69) sen 70) arctg 7) arctg 7) arcsen sen 7) 0 sen 7) 0 75) sen 76) 0 sen 77) log h log h0 h 78) log 79) log 6 log 5 lncos 80) 0 ln5 h 8) h0 h ln5 8) ln ln 8) log 0 log 8--Dadas las funciones f() = k.. Calcular: Dadas las funciones parábola e hipérbola calcular f (a) y f () interpretación geom HOJA-IV PREPARANDO LAS DERIVADAS -Llamamos tasa de variación media (T.V.M. ) de una función y= f() en un intervalo [a,b] al cociente de la variación de f (de y) entre la variación de en el intervalo [a,b ]: T.V.M.= En el intervalo [, +h]

24 T.V.M.= = = COCIENTEINCREMENTAL a) Calcula la T.V.M. de la función f()= en los intervalos: b) Un punto se mueve en una recta según una ecuación s=s(t), llamamos velocidad media en el intervalo [t0, t0 Δ coc : tiempo en el intervalo [t0, t0 Δ = (Observa que T.V.M. del espacio con respecto al La posición de una partícula viene dada por s(t)= segundos).calcula la velocidad media en r o, (s en metros y t en c) Interpretación geométrica: Dada una función f: [a, a+h] R En el intervalo [a,a+h] la T.V.M.= pendiente de la recta secante que pasa por los puntos A(a,f(a)) B(a+h,f(a+h)). geogebra\copia de derpendnewton.ggb Sea f la función del apartado a): i) calcula la T.V.M. de la función en el intervalo [ +h]. ii) En qué recta se transforma la recta secante cuando h 0 (es decir B A)? iii) Calcula M

25 iv) Si T.V.M. es la pendiente de la recta secante A qué es igual? d) Si para calcular la velocidad media tomamos t cada vez más pequeños nos aproimaríamos a la velocidad del móvil en t=,por este motivo llamamos velocidad instantánea de un móvil en t= a: i) Calcular en el ejemplo del apartado b) -Dadas las siguientes funciones, calcular la tasa de v m h>0 a) f()= en [, +h] b) f()= ln(-) en [,+h] c) f()= en [- -+h] h<0