Resolución de Sistema de Ecuaciones Lineales

Transcripción

1 Resolución de Sistema de Ecuaciones Lineales Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Industrial Universidad Nacional Mayor de San Marcos Métodos Computacionales Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 28

2 CONTENIDO Métodos Iterativos Introducción Definición Métodos Iterativos Método de Jacobi Convergencia Método de Gauss Seidel Criterios de Parada Hermes Pantoja Carhuavilca 2 de 28

3 INTRODUCCIÓN La ventaja frente a los métodos directos es que son menos sensibles a los errores de redondeo y esto se aprecia en sistemas de orden elevado donde los errores de redondeo de los métodos directos son considerables. Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 3 de 28

4 Definición de Método Iterativo Un método iterativo construye una sucesión de vectores x (k) tal que lím k x(k) = x siendo x la solución del sistema Ax = b. Construcción de un método iterativo Se parte de una aproximación inicial x (0) y luego se calcula x (k+1) = F(x (k) ) k = 0, 1,..., donde F se toma de forma lineal: F(x) = Tx + c. x (k+1) = Tx (k) + c k = 0, 1,..., La matriz T se denomina matriz de iteración. Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 4 de 28

5 DIFERENTES MÉTODOS ITERATIVOS Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 5 de 28

6 MÉTODO DE JACOBI El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones. Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 6 de 28

7 MÉTODO DE JACOBI Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 7 de 28

8 FORMA MATRICIAL Sea el sistema Ax = b, donde a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a n1 a n2... a nn trabajamos sobre la siguiente partición de A: a a.. D = 22., L = a nn a a n1 a n Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 8 de 28

9 0 a 12. a 1n a U = 2n De tal forma que: A = D L U x (k+1) = D 1 (L + U)x (k) + D 1 b T j = D 1 (L + U), Matriz de Iteración de Jacobi c = D 1 b Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 9 de 28

10 EJEMPLO Ejemplo Sea el sistema ( ) ( x1 x 2 ) = ( 3 4 ) Aproximar la solución utilizando el método de Jacobi. x 0 1 = 0 y x 0 2 = 0 Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 10 de 28

11 CONVERGENCIA Definición A es de diagonal estrictamente dominante si para cada fila i se cumple: a ii > n j=1;j i a ij Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cada uno de los renglones, el valor absoluto del elemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos restantes del mismo renglón. A veces la matriz de un sistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante pero cuando se cambian el orden de las ecuaciones y las incógnitas el nuevo sistema puede tener matriz de coeficientes diagonalmente dominante. Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 11 de 28

12 Teorema Si A es una matriz diagonalmente estrictamente dominante, entonces la iteración de Jacobi converge para cualquier valor inicial En ciertas ocasiones al aplicar Jacobi la matriz no es diagonalmente dominante y por tanto no existirá garantía de convergencia. Sin embargo, en algunos casos será posible reordenar las incógnitas en otra manera de forma que la nueva matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante. Esto se puede detectar revisando todos los posibles ordenamientos de las incógnitas y ver cómo es la matriz resultante. Claro que esto conlleva un bueno número de pruebas pues el número posible de ordenamientos en n variables es (n 1)! pero cuando n es reducido es sencillo. Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 12 de 28

13 Definición (Polinomio Característico) P(λ) = det(a λi) Definición (Espectro) Se llama espectro ξ de la matriz A al conjunto de soluciones de la ecuación P(λ) = 0 Definición (Radio Espectral) Radio espectral de la matriz A: ρ(a) = Max{ λ }, λ ξ Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 13 de 28

14 Teorema La sucesión x (k+1) = Tx (k) + c, para k 0 converge a la solución única x = Tx + c si y sólo si ρ(t) < 1. Ejemplo Analizar la convergencia del siguiente sistema lineal x 1 + x 2 = 3 x 1 3x 2 = 3 Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 14 de 28

15 El método de Gauss-Seidel es muy semejante al método de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incógnitas recien calculados en la misma iteración, y no en la siguiente. Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 15 de 28

16 MÉTODO DE GAUSS SEIDEL Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 16 de 28

17 EJEMPLO Ejemplo Sea el sistema ( ) ( x1 x 2 ) = ( 3 4 ) Aproximar la solución utilizando el método de Gauss Seidel. x 0 1 = 0 y x0 2 = 0 Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 17 de 28

18 FORMA MATRICIAL A = D L U x (k+1) = (D L) 1 Ux (k) + (D L) 1 b T gs = (D L) 1 U, Matriz de Iteración de Gauss Seidel c = (D L) 1 b Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 18 de 28

19 Teorema Si A es una matriz diagonalmente estrictamente dominante, entonces la iteración de Guass Seidel converge para cualquier valor inicial Métodos Iterativos Hermes Pantoja Carhuavilca 19 de 28

20 NORMA VECTORIAL Una norma vectorial en R n es una función., de R n en R con las siguientes propiedades: x 0 para todo x R n. x = 0 si y solo si x = (0, 0,..., 0) t. ax = a x para todo a R y x R n. x + y x + y para todo x, y R n. Para nuestro proposito sólo necesitaremos dos normas específicas de R n Hermes Pantoja Carhuavilca 20 de 28

21 VECTOR EN R n El vector x = x 1 x 2. x n Se denotará por: x = (x 1, x 2,..., x n ) t Hermes Pantoja Carhuavilca 21 de 28

22 DEFINICIONES Hermes Pantoja Carhuavilca 22 de 28

23 EJEMPLO Ejemplo El vector x = ( 1, 1, 2) t en R 3 tiene normas x 2 = ( 1) 2 + (1) 2 + ( 2) 2 = 6 x = max{ 1, 1, 2 } = 2 Hermes Pantoja Carhuavilca 23 de 28

24 DEFINICIONES Si x = (x 1, x 2,..., x n ) t y y = (y 1, y 2,..., y n ) t son vectores en R n las distancias l 2 y l entre x e y están definidas por x y 2 = { n i=1 } 1 x i y i 2 2 x y = max 1 i n x i y i Hermes Pantoja Carhuavilca 24 de 28

25 NORMA MATRICIAL Una norma matricial en R n n es una función., de R n n en R con las siguientes propiedades: A 0 para todo A R n n. A = 0 si y solo si A es 0. αa = α A para todo α R y A R n n. A + B A + B para todo A, B R n n. AB A B Teorema (Norma Matricial) Si A = (a ij ) es una matriz de n n, entonces n A = max 1 i n a ij j=1 Hermes Pantoja Carhuavilca 25 de 28

26 Teorema Si A es una matriz real de n n entonces [ρ(a t.a)] 1 2 = A 2 ρ(a) A para cualquier norma. Hermes Pantoja Carhuavilca 26 de 28

27 CRITERIOS DE PARADA Una vez fijada una toleracia ɛ, para cuando se cumpla uno o varios de los siguientes criterios: x (k+1) x (k) < ɛ x(k+1) x (k) x (k+1) Ax (k) b < ɛ < ɛ Hermes Pantoja Carhuavilca 27 de 28

28 CONDICIONAMIENTO DE UN SISTEMA LINEAL Sabemos que el condicionamiento influye en la calidad de la solución de un problema cualquiera. En particular, en el problema de hallar la solución de un sistema lineal nos encontramos con que al comparar el valor exacto del término independiente de un sistema con el calculado puede haber discrepancias. En concreto, definiendo el vector residual r en la forma r = b b en donde b es el valor calculado. Teorema Si A es una matriz invertible, se verifica 1. x x r A 1 x x 2. A A 1 r x b Hermes Pantoja Carhuavilca 28 de 28