METODOS ITERATIVOS. Hermes Pantoja Carhuavilca. Facultad de Ingeniería Mecanica Universidad Nacional de Ingenieria
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1 Facultad de Ingeniería Mecanica Universidad Nacional de Ingenieria Métodos Numéricos
2 Contenido 1 Métodos Iterativos Introducción Definición Métodos Iterativos Método de Jacobi Convergencia Método de Gauss Seidel 2 Criterios de Parada
3 Introducción Introducción La ventaja frente a los métodos directos es que son menos sensibles a los errores de redondeo y esto se aprecia en sistemas de orden elevado donde los errores de redondeo de los métodos directos son considerables.
4 Definición Definición de Método Iterativo Un método iterativo construye una sucesión de vectores x (k) tal que ĺım k x (k) = x siendo x la solución del sistema Ax = b. Construcción de un método iterativo Se parte de una aproximación inicial x (0) y luego se calcula x (k+1) = F (x (k) ) k = 0, 1,..., donde F se toma de forma lineal: F (x) = Tx + c. x (k+1) = Tx (k) + c k = 0, 1,..., La matriz T se denomina matriz de iteración.
5 Métodos Iterativos Diferentes Métodos Iterativos Método de Jacobi Método de Gauss-Seidel
6 Método de Jacobi Método de jacobi El método Jacobi es el método iterativo para resolver sistemas de ecuaciones lineales más simple y se aplica sólo a sistemas cuadrados, es decir a sistemas con tantas incógnitas como ecuaciones.
7 Método de Jacobi Método de Jacobi
8 Método de Jacobi Forma Matricial Sea el sistema Ax = b, donde a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a n1 a n2... a nn trabajamos sobre la siguiente partición de A: a D = 0 a , L = a a nn a n1 a n2... 0
9 Método de Jacobi U = De tal forma que: 0 a 12. a 1n a 2n A = D L U x (k+1) = D 1 (L + U)x (k) + D 1 b T j = D 1 (L + U), Matriz de Iteración de Jacobi c = D 1 b
10 Método de Jacobi Ejemplo Ejemplo Sea el sistema ( ) ( x1 x 2 ) = ( 3 4 ) Aproximar la solución utilizando el método de Jacobi. x 0 1 = 0 y x 0 2 = 0
11 Convergencia Convergencia Definición A es de diagonal estrictamente dominante si para cada fila i se cumple: n a ii > a ij j=1;j i Una matriz se dice matriz diagonalmente dominante, si en cada uno de los renglones, el valor absoluto del elemento de la diagonal principal es mayor que la suma de los valores absolutos de los elementos restantes del mismo renglón. A veces la matriz de un sistema de ecuaciones no es diagonalmente dominante pero cuando se cambian el orden de las ecuaciones y las incógnitas el nuevo sistema puede tener matriz de coeficientes diagonalmente dominante.
12 Convergencia Teorema Si A es una matriz diagonalmente estrictamente dominante, entonces la iteración de Jacobi converge para cualquier valor inicial En ciertas ocasiones al aplicar Jacobi la matriz no es diagonalmente dominante y por tanto no existirá garantía de convergencia. Sin embargo, en algunos casos será posible reordenar las incógnitas en otra manera de forma que la nueva matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante. Esto se puede detectar revisando todos los posibles ordenamientos de las incógnitas y ver cómo es la matriz resultante. Claro que esto conlleva un bueno número de pruebas pues el número posible de ordenamientos en n variables es (n 1)! pero cuando n es reducido es sencillo.
13 Convergencia Definición (Polinomio Característico) P(λ) = det(a λi ) Definición (Espectro) Se llama espectro ξ de la matriz A al conjunto de soluciones de la ecuación P(λ) = 0 Definición (Radio Espectral) Radio espectral de la matriz A: ρ(a) = Max{ λ }, λ ξ
14 Convergencia Teorema La sucesión x (k+1) = Tx (k) + c, para k 0 converge a la solución única x = Tx + c si y sólo si ρ(t ) < 1. Ejemplo Analizar la convergencia del siguiente sistema lineal x 1 + x 2 = 3 x 1 3x 2 = 3
15 Método de Gauss Seidel El método de Gauss-Seidel es muy semejante al método de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incógnitas para determinar una nueva aproximación, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incógnitas recien calculados en la misma iteración, y no en la siguiente.
16 Método de Gauss Seidel Método de Gauss Seidel
17 Método de Gauss Seidel Ejemplo Ejemplo Sea el sistema ( ) ( x1 x 2 ) = ( 3 4 ) Aproximar la solución utilizando el método de Gauss Seidel. x 0 1 = 0 y x 0 2 = 0
18 Método de Gauss Seidel Forma Matricial A = D L U x (k+1) = (D L) 1 Ux (k) + (D L) 1 b T gs = (D L) 1 U, Matriz de Iteración de Gauss Seidel c = (D L) 1 b
19 Método de Gauss Seidel Teorema Si A es una matriz diagonalmente estrictamente dominante, entonces la iteración de Guass Seidel converge para cualquier valor inicial
20 Norma Vectorial Una norma vectorial en R n es una función., de R n en R con las siguientes propiedades: x 0 para todo x R n. x = 0 si y solo si x = (0, 0,..., 0) t. ax = a x para todo a R y x R n. x + y x + y para todo x, y R n. Para nuestro proposito sólo necesitaremos dos normas específicas de R n
21 Vector en R n El vector x = x 1 x 2. x n Se denotará por: x = (x 1, x 2,..., x n ) t
22 Definiciones
23 Ejemplo Ejemplo El vector x = ( 1, 1, 2) t en R 3 tiene normas x 2 = ( 1) 2 + (1) 2 + ( 2) 2 = 6 x = max{ 1, 1, 2 } = 2
24 Definiciones Si x = (x 1, x 2,..., x n ) t y y = (y 1, y 2,..., y n ) t son vectores en R n las distancias l 2 y l entre x e y están definidas por x y 2 = { n i=1 } 1 x i y i 2 2 x y = max 1 i n x i y i
25 Norma Matricial Una norma matricial en R n n es una función., de R n n en R con las siguientes propiedades: A 0 para todo A R n n. A = 0 si y solo si A es 0. αa = α A para todo α R y A R n n. A + B A + B para todo A, B R n n. AB A B Teorema (Norma Matricial) Si A = (a ij ) es una matriz de n n, entonces A = max 1 i n n a ij j=1
26 Teorema Si A es una matriz real de n n entonces [ρ(a t.a)] 1 2 = A 2 ρ(a) A para cualquier norma.
27 Criterios de Parada Criterios de Parada Una vez fijada una toleracia ɛ, para cuando se cumpla uno o varios de los siguientes criterios: x (k+1) x (k) < ɛ x (k+1) x (k) x (k+1) Ax (k) b < ɛ < ɛ
28 Criterios de Parada Condicionamiento de un sistema lineal Sabemos que el condicionamiento influye en la calidad de la solución de un problema cualquiera. En particular, en el problema de hallar la solución de un sistema lineal nos encontramos con que al comparar el valor exacto del término independiente de un sistema con el calculado puede haber discrepancias. En concreto, definiendo el vector residual r en la forma en donde b es el valor calculado. r = b b Teorema Si A es una matriz invertible, se verifica 1 x x r A 1 2 x x x A A 1 r b
29 Criterios de Parada Condicionamiento de un sistema lineal Definición Se denomina número de condicionamiento de una matriz al número k(a) = A A 1 Si k(a) es pequeño, se dice que la matriz A está bien condicionada, si es grande que A está mal condicionada.
30 Criterios de Parada Ejemplo
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