GUIA DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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- Francisco Hidalgo Blanco
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1 Fcultd de Ciencis Deprtmento de Mtemátics y Ciencis de l Computción GUIA DE SISEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Resuelv los siguientes sistems de ecuciones usndo el metodo de elimincion gussin, verifique l solucion reemplzndo en ls ecuciones y obteng l descomposicion LU. ) y + z = 9 + y + z = 9 + y = b) + y z = 7 6y + z = 6. + y + z =. c) 8 + y 4z = + y + z = 4 + y + z = 6 d) y + z = + y z = 4 y =. Obteng l descomposición LU de los sistems de l pregunt trvés del método de crout, y doolittle.. Dd A, IR. ) Obtener los vlores de de modo que l mtriz A se definid positiv. b) Obtener ls fctorizciones de Doolittle, Crout y Choleski pr l mtriz A. 4. Al proimr un función f, f [, ],, por un polinomio de l form p( ) c c c se obtiene un sistem de ecuciones lineles cuy mtriz de coeficientes est dd por: A ) Obtener l fctorizción de Cholesky de A, y usrl pr clculr A. b) Pr b, resolver el sistem A=b por el método de Crout, imponiendo ls restricciones que considere propids.
2 . Se el sistem linel 6 + = + + = + 4 = ) es posible grntizr l convergenci del lgoritmo de Guss-jcobi pr el sistem nterior? Resuelv en cso que el método se convergente con un () = (,,). b) es posible grntizr l convergenci del lgoritmo de Guss-seidel pr el sistem nterior? Resuelv en cso que el método se convergente. c) Clcule el error de sus proimciones en cso que se posible. 6. Ddo el sistem linel 6 + = = = 9 Resuélvlo usndo ) El método de Guss b) El método de cholesky c) iterciones del método de Guss-jcobi 7. Clcule tres iterciones convergentes del método de Guss- Seidel : = = 4 + = Clcule el error de su proimción en norm infinito considerndo como l solución nlític l obtenid l usr el método de eliminción Gussin pr resolver el sistem. 8. Se tiene el sistem A = b [ ] [ ] = [ ] k k Con y k reles,. ) Use el lgoritmo de Guss pr determinr l relción en y k que permitn que el sistem A = b teng solución únic. b) Resuelv el sistem con k= y =.. escrib y eplique todos los cálculos intermedios. c) Con K=, determine ls condiciones pr que l mtriz A se definid positiv.
3 9. Considere el sistem linel con un prámetro rel k distinto de cero. k [ k 6 ] [ ] = [ ] 6 8 ) Determine los vlores del prámetro k de tl form que l mtriz se (estrictmente) digonl dominnte. b) Determine l condición que debe stisfcer el prámetro k pr que el sistem linel teng un únic solución Cuál es l solución? c) Determine el error bsoluto de l tercer iterción l usr el método de jcobi, inicindo con vector () = (; ; ), usndo k = 4. y emplendo norm infinito.. Ddo el sistem de ecuciones lineles [ 4 ] [ ] = [ k 4 ] 7 k ) Pr qué vlor de l el sistem tiene solución únic?. Determínel. b) Determine el intervlo de vlores de k, pr los cules el método de jcobi converge. use norm infinito c) Determine hst l proimción (), inicindo con () = y determine el error reltivo.. El método de Jcobi es un método itertivo de l form M c l mtriz de iterción del método de Jcobi. J en donde M J es ) Verifique que el esquem itertivo nterior puede escribirse en l form z, en donde z c BJ con BJ I M J. b) Pr obtener un método de reljción se introduce, en el esquem itertivo de (), el coeficiente w pr obtener w z, use este esquem con w=. pr ( ) estimr l proimción del sistem: 4 () Inicindo con.
4 . El sistem de ecuciones lineles A=b es equivlente A A A b. Pr resolver este último sistem se propone el siguiente lgoritmo: ( k ) L ( I D L ) A b En donde L es un mtriz tringulr inferior con ceros en su digonl, I es l mtriz identidd y D es un mtriz digonl. ) Demostrr que A A es un mtriz simétric b) Determinr l mtriz de iterción del lgoritmo c) Aplicr el método propuesto pr resolver el siguiente sistem de ecuciones lineles: 6 () 7 Prtiendo con, efectur dos iterciones pr obtener un proimción de l solución del sistem propuesto. Pr resolver el sistem de ecuciones lineles A b, considere el siguiente lgoritmo: n i Pr i n, n,..., i bi ij j ij j. ii ji j ) Eprese en form mtricil el lgoritmo propuesto. () b) Usndo el lgoritmo ddo y con (,, ), relice tres iterciones, pr obtener un proimción de l solución del siguiente sistem de ecuciones lineles: 6 c) Es posible grntizr l convergenci del lgoritmo propuesto pr resolver el sistem de ecuciones de (b)?. Justifique. 4. El sistem A=y con 4 A,, e y el método itertivo ( A y) () con. puede ser resuelto por ) Determinr los vlores de pr los cules el lgoritmo converge. b) Efectur iterciones con el método propuesto, considerndo el más pequeño de los.
5 . Si A y B juntos hcen un trbjo en dís, A y C juntos efectún el mismo trbjo en dís, B y C lo hcen juntos en. dís. ) Plntee el sistem que resuelve el problem y clcule cuntos dís se demor A en hcer el trbjo. b) Aplique un iterción de jcobi y iterciones de seidel l sistem. Proporciones d.s usndo norm infinito. 6. El dueño de un br h comprdo refrescos, cervezs y vino u.m (sin impuesto). El vlor del vino es de 6 u.m menos que el de los refrescos y de ls cervezs conjuntmente. teniendo en cuent que los refrescos deben pgr IVA del 6%,por l cervez del % y por el vino del %, lo que hce que l fctur totl con impuesto se de 9,4 u.m, clculr l cntidd invertid en cd tipo de bebid. ) Resuelv usndo eliminción gussin. b) Resuelven usndo lgún método de descomposición LU. c) Resuelv usndo l menos métodos itertivos pr encontrr l solución de este sistem linel.
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