( ) ( ) ρ ρ

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Laura Acosta Díaz
hace 6 años
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1 UNIDD 5 - PROBLEM 47 L presión reltiv del s en el primer piso del edificio es 100 mm c.. (mm de column de u). Determine l presión reltiv del s en el octvo piso, un ltur 3 m respecto el primero. sum que ls densiddes del s y del ire no vrín con l ltur. Ls densiddes correspondiente son : 0.5 k/m 3 (s) y 1.9 k/m 3 (ire). Sol. : 15 mm Desrrollo Debe tenerse en cuent que los mnómetros en U dn un medid de presión reltiv, es decir un vlor de presión respecto l presión mbiente. Por lo tnto, si en l ltur H l presión del s vrí en un ciert mnitud, no puede desprecirse l vrición de presión mbiente en es mism ltur. Por definición de presión reltiv: p p = ρ h s1 mb1 u 1 p p = ρ h s mb u Restndo miembro miembro: p p p p = ρ h h ( ) ( ) s1 s mb1 mb u 1 Por otr prte: p p = ρ H s1 s s p p = ρ H mb1 mb ire Reemplndo: ρ H ρ s ire H = ρ ( h h ) u 1 Despejndo: ρ ρ ire s h = h1+ H ρu = = 0.15 m P.1

2 Introducción teóric pr problems siuientes Eisten dos tipos de movimiento de cuerpo ríido de un fluido: - Movimiento rectilíneo uniformemente celerdo, con celerción - Movimiento de rotción lrededor de un eje con velocidd nulr constnte En culquier de mbos csos, en un referenci móvil con el fluido, el efecto de l celerción (linel en un cso, centrípet en el otro) se contbili como fuer de inerci, l cul se dicion l fuer másic rvittori, de mner que l fuer másic totl result: K = omo en l referenci móvil el fluido está en reposo, el rdiente de presiones (fuer por unidd de volumen sobre un prtícul de fluido) está dd por: p= ρk = ρ( ) Est ecución es l ecución enerl de l estátic de fluidos, incluyendo el cso de movimiento de cuerpo ríido del fluido. so de movimiento rectilíneo: Ls componentes del rdiente de presiones se epresn como: = ρ = ρ ( ) ( ) Sobre l superficie libre del líquido l presión es constnte e iul l presión mbiente l que está epuesto el líquido. De mner que puede plnterse: dp = d + d = 0 Donde d y d son diferenciles espciles sobre l superficie libre. ρ ( ) d + ρ( ) d = 0 L densidd se simplific de mner que sobre l superficie libre del líquido vle l relción: ( ) d + ( ) d = 0 Si plntemos hor el diferencil de presión entre dos puntos culesquier: ( ) ρ( ) 0 dp = ρ d + d constnte constnte l ser constntes ls componente del rdiente de presión, eiste proporcionlidd direct entre dp con d y d de mner que puede escribirse: Δ p = ρ Δ + ρ Δ ( ) ( ) Si en un punto 1-1 se conoce el vlor de l presión p 1, entonces el vlor de l presión en otro punto - será: p(, ) = p1+ ρ( )( 1) + ρ( )( 1) El cso de movimiento de rotción será desrrolldo más delnte. P.

3 UNIDD 5 - PROBLEM 48 El depósito mostrdo se celer hci l derech con el fluido moviéndose como sólido ríido. Determine l celerción X y l presión en el punto si el fluido es u. Sol. : 0.13 Punto 1 θ X 8 cm 100 cm 15 cm Se tiene: =? = 0 = 0 = Plntemos l siuiente epresión desrrolld previmente, sobre l superficie libre dónde l presión es constnte e iul l presión mbiente: p(, ) = p1 ρ ( 1) ρ( 1) = cte Tomndo el diferencil: dp(, ) = ρ d ρ d = 0 Despejmos l pendiente de l superficie libre: L cul puede ser clculd con los dtos ddos: d d = d 15 8 = = 0.13 de donde = 0.13 d 100 onocid plntemos l epresión de l presión tomndo como punto 1 de referenci un punto culquier donde conocmos l presión, por ejemplo 1 = 0 1 = 0.8 ( ) p (, ) = p ρ ρ 0.8 mb En el punto : = 0 = 0 por lo tnto: p = p + ρ 0.8 ( bs) mb p = + ρ 0.8 ( mn) P.3

4 UNIDD 5 - PROBLEM 49 El depósito mostrdo se mueve hci rrib del plno inclindo con celerción constnte, de mner que el fluido se mueve como sólido ríido. Determine l celerción y si es hci rrib o bjo. Determine l presión en el punto si el fluido es u. Sol. : hci bjo ; 379 P (mn) Por l dirección del movimiento conviene trbjr con ejes X-Z diferentes de los ddos, como se muestr: Z Punto 1? V X 15 cm 8 cm 100 cm α = 30º En estos ejes: = = 0 = sinα = cosα X Z X Z demás tommos como punto 1 de referenci un punto culquier donde conocmos l presión, por ejemplo X 1 = 0 Z 1 = 0.8 De mner que l presión en un punto culquier es: ( )( ) ( ) p( X, Z) = p ρ sinα + X X ρ cosα Z Z mb Sobre l superficie libre se tiene: 1 1 ( )( ) ( ) p( X, Z) = p ρ sinα + X X ρ cosα Z Z = p mb 1 1 Tomndo diferencil y despejndo l pendiente de l superficie libre: ( ) dp = ρ sinα + dx ρ cosα dz = 0 dz sinα + = dx cosα L pendiente de l superficie libre puede ser clculd con los dtos ddos: mb dz dx 15 8 = = De mner que puede despejrse l mnitud de l celerción, con su sino correspondiente. L presión en el punto se clcul medinte l fórmul de p( X, Z ) P.4

5 UNIDD 5 - PROBLEM 50 El tnque de combustible de un vión es rectnulr como se muestr y contiene hst un tercio de su cpcidd. En un lpso ddo, el vión se encuentr volndo horiontlmente con celerción constnte X. Determine el vlor de l celerción pr que l superficie libre del líquido lcnce: ) el fondo del tnque, esquin B ; b) el punto, prtir de lo cul ces el suministro de combustible. Sol. : ) X = ; b) X = 1.5 Pr el punto ), l superficie libre del combustible debe quedr en l siuiente confiurción: X h B omo se h visto ntes, en un cso náloo, l pendiente de l superficie libre está ddo por: d d h h 1 = l cul en éste cso vle: = = = de dónde = d d 3 Pr el punto b), l superficie libre del combustible debe quedr en l siuiente confiurción: L X h B L cot en bse l conservción del volumen de combustible, de mner que: L debe obtenerse L + = h obteniéndose 4 1 L= 4h = = 3 3 L pendiente de l superficie libre está dd por: d 3 = = d L de dónde = 1.5 P.5

6 UNIDD 5 - PROBLEM 51 El tnque en form de L de l fiur contiene ceite de densidd reltiv 0.8 y en el punto posee un orificio bierto l tmósfer. Si l celerción seún X es X = 4.9 m/s, determine ls presiones reltivs en los puntos B y. Determine l celerción requerid pr que el punto B esté presión mbiente. Sol. : p B = 800 kf/m ; p = 390 kf/m ; 6.54 m/s 0.6 m 4 m X 6 m B 0.6 m El problem se resuelve trbjndo con l epresion desrrolld siuiente: ( ) ρ ( ) p(, ) = p ρ En dónde el punto 1 de referenci se tom en el punto dónde: p = p = 0.6 m = 4.6 m 1 mb 1 1 L presión en el punto B se evlú con: = 6.6 m = 0.6 m L presión en el punto se evlú con: = 0m = 0m P.6

7 UNIDD 5 - PROBLEM 5 Un recipiente cilíndrico de diámetro 0.9 m contiene u hst un ltur de 0.5 m como se muestr, cundo está en reposo. Se lo pone irr velocidd nulr constnte lrededor de su eje verticl y lueo de un período de trnsición l superficie libre dopt un form fij inmóvil respecto el propio recipiente. Determine l velocidd nulr fin de que l presión en el centro del fondo del recipiente se l tmosféric. Determine l máim elevción del líquido en es condición. 0.9 m 0.6 m 0.5 m Eiste fuer rvittori en l dirección netiv de : = kˆ y eiste celerción centrípet, en l dirección rdil netiv: = ω r eˆr de mner que ls componentes del rdiente de presiones quedn: p = ρ p =+ ρ ω r r Se clr que l celerción centrípet equivle un fuer de inerci centrífu, en l dirección rdil positiv. Sobre l superficie libre del líquido l presión es constnte e iul l presión mbiente l que está epuesto el líquido. De mner que puede plnterse: dp = d + dr = 0 r ρd+ ρω rdr= 0 ω rdr= d r ω = + cte Est últim ecución determin l form prbólic que dopt l superficie libre del líquido en el recipiente. Se escribe: ω = hmin + r h min h 0 P.7

8 El vlor de l ltur mínim en el eje r = 0 se obtiene de plnter l iuldd del volumen entre l condición en reposo sin rotción y l condición en movimiento de rotción: Sin rotción: Vol = π R h 0 En rotción: 4 R ω R = π hmin ω = πrhmin + πr 4 Iulndo mbs epresiones se obtiene: ω R hmin = h0 4 R R ω Vol = () r πr dr = π hmin + r r dr o o L condición de que l presión en el centro del fondo del recipiente se l tmosféric sinific l ω R condición h min = 0 es decir que: h0 = de dónde se despej el vlor de l velocidd nulr 4 requerid. UNIDD 5 - PROBLEM 53 Se muestr el esquem de un centrífu que sepr prtículs en suspensión en un líquido (por ejemplo lóbulos en el suero de ls snre o rs en el suero de l leche). L centrífu ir 400 r.p.m. y l distnci rdil medi del nivel del líquido es r = 5 cm (se sume que l sección de cd tubo de l centrífu es pequeño en relción l distnci r). Determine el fctor de incremento de l rvedd reltiv y el ánulo α más ventjoso pr l seprción de ls prtículs en suspensión. r ω Sol. : = sen α + cos α α =1.8º P.8

9 undo el problem es estático puro, el vector rdiente de presión es: p= eˆ ˆ r = ρ e y el vector de fuer por unidd de ms es: p = eˆ es decir l rvedd que conocemos. ρ undo hy efectos de rotción, como se h visto, el vector rdiente de presión está ddo por: p = eˆ ˆ ˆ ˆ + er = ρ e + ρω r er r p L fuer por unidd de ms (vectoril) está dd por: f = = eˆ + ω reˆ L denomind "rvedd reltiv" en el tubo de ensyo está dd por l componente de l fuer por unidd de ms en l dirección del eje del tubo. El versor (vector unitrio) de l dirección del eje del tubo en coordends -r está ddo por: vˆ= sinα eˆ + cosα eˆ r L componente de l fuer por unidd de ms en l dirección del eje del tubo está dd por el siuiente producto esclr: = f vˆ= eˆ + r eˆ eˆ + eˆ = sin + ( ω ) ( sinα cosα r) α ω r α cos ρ r ω r = sinα + cosα undo el tubo de ensyos está horiontl: α = 0 y l rvedd reltiv lo lro del tubo es sólo el efecto centrífuo. undo el tubo de ensyos está verticl: α = π/ y l rvedd reltiv lo lro del tubo es sólo l rvedd físic. El ánulo más ventjoso es el que mimi '. Derivndo e iulndo cero se obtiene el vlor buscdo: ( ) ω r = cosα sinα = 0 α 9.81 tnα = = = ω r de donde: α = 1.8 o P.9

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