Normalidad. y si no qué pasa? por: Aarón O. Lemus Bernal

Transcripción

1 Normalidad y si no qué pasa? por: Aarón O. Lemus Bernal Marzo 2010

2 Introducción Cuando en un proyecto de mejora nos encontramos con variables de tipo continuo, la mayoría de las veces necesitamos aplicar recursos estadísticos para obtener claridad en el curso de acción a seguir. La mayoría de las ocasiones, cuando se llevan a cabo pruebas de hipótesis, por ejemplo, para poder determinar si una variable es significativa es necesario se cumpla la condición de que la distribución sea de tipo normal. No pocas veces se da por hecho que se cumple con esta condición. Sin embargo es esto correcto? Generalmente, en la industria de servicios las distribuciones no son de tipo normal, pero cómo saberlo con certeza? Se debe asumir normalidad y realizar las pruebas de cualquier modo? Este artículo tiene por objetivo revisar algunas herramientas para determinar si una distribución es normal o no. Se presentará algunas reglas empíricas a este respecto y se hablará de las herramientas alternas cuando una distribución no se puede considerar normal. La presentación se hará en tres entregas, la primera abordará algunas herramientas para probar la normalidad: 1. Histograma. 2. Papel Probabilístico Kolmogorov-Smirnov La segunda parte de este documento presentará algunas reglas empíricas acerca de la normalidad de una distribución con base en los teoremas del límite central y de normalidad. Finalmente, se observarán pruebas de normalidad con minitab y pruebas alternas.

3 Frequency Pruebas de Normalidad Antes de empezar con las pruebas de normalidad, es preciso dar una definición de este tipo de distribución, también conocida como Gaussiana (Montgomery). Se dice que una distribución es normal si la función de densidad es: Donde el valor esperado de X y la varianza se denotan como: Histograma. La nomenclatura usual para identificar a la distribución norma es: N(, 2 ) Después de un poco de base teórica, la primera prueba a abordar es la del Histograma Esta representación gráfica es 14 Histogram of Minutos considerada la forma menos confiable 12 para determinar si la distribución en 10 cuestión es o no normal. Sin embargo 8 es una aproximación. Para tener una idea el análisis se debe centrar en la forma que se crea con las barras, se busca una apariencia de campana Minutos Donde las barras de ambos extremos deben ser más pequeñas que las centrales. No es el único análisis que se puede hacer, pero para el tema con esto es suficiente. Es normal?

4 Papel Probabilístico Normal Este criterio parte del supuesto que la función de distribución Normal representada en Papel Probabilístico Normal es una recta en la que a cada uno de sus puntos le corresponde un valor de la variable. Si tenemos n valores, y una vez ordenados de menor a mayor j representa su número de orden, una forma de asignar las ordenadas es haciendo F(Xi)=j/n. Si tenemos muchos puntos, supongamos que , esta fórmula puede ser buena, ya que una vez ordenados es razonable considerar que el que ocupa la posición es un buen representante del que en la población deja también un 10% de valores por debajo y le podemos asignar un valor de la función de distribución de 0,10. Al que está en la posición le asignamos 0,2, etc. Pero si vamos a representar pocos puntos, por ejemplo 10, ya no es tan razonable suponer que el menor representa al que en la población deja por debajo el 10 %, el segundo al que deja por debajo al 20 %, ni el mayor de todos es el que representa al valor máximo de la distribución. Sería, por tanto, mejor, asignarles valores de la función de distribución que correspondan a puntos que representen al intervalo mejor que su valor máximo. Esto se consigue de una forma muy satisfactoria restando 0,5 al número de orden, ya que así se asigna a cada uno de nuestros valores la función de distribución que corresponde a punto que divide cada zona en 2 áreas de igual probabilidad.1 Pero además, existe una tercera forma para calcular la f(x) y esa es (j-(3/8) / (n + (¼)) Sin embrago, como se mostrará a continuación, los tres sistemas producen una salida muy parecida al graficarlas, utilizando una muestra de 100 elementos: Z(j/n) R² = Z(j-0.5)/n R² = Z(j-(3/8)/(n+(1/4)) R² = Lineal (Z(j/n)) Lineal (Z(j-0.5)/n) Lineal (Z(j-(3/8)/(n+(1/4))) Observar que en la gráfica los puntos generados por los tres sistemas siguen el mismo patrón, e incluso se superponen. Asimismo, el resultado que ofrece la R 2 de cada uno de los métodos es superior a 90%, en este ejemplo, por lo que se asume que la distribución tiene un comportamiento aproximadamente normal.

5 También se puede usar el papel probabilístico normal para corroborarlo. En la imagen se observa este tipo de papel utilizado hace algunos años para poder evaluar la normalidad. Prueba 2 Para esta prueba, se plantean las hipótesis siguientes: H 0 : f(x, ) = N(, ²) H 1 : f(x, ) N(, ²) est =9.9844, ² est = y, est =9.9844, ² = (Para el ejemplo) Se deben contrastar los datos de frecuencia observados contra los esperados para cada una de las clases, elevándolos al cuadrado y sumándolos. Pero, antes de llegar a este valor, se tiene que obtener el valor Z para cada extremo superior del intervalo lo que permite obtener su probabilidad acumulada con base en la curva normal, enseguida se obtiene la probabilidad de cada intervalo; la cual multiplicada por el total de elementos (n) nos proporciona el valor esperado de cada clase.

6 Ahora sí, a cada frecuencia se le resta el valor esperado correspondiente, dicha diferencia es elevada al cuadrado y se divide entre el mismo valor esperado. Continuando, todos los valores obtenidos se suman para obtener el valor 2.el cual será comparado con los valores de tablas o de Excel. LI LS PM Acumulada Individual Z LS Probabilidad Acumulada Probabilidad Individual del Intervalo Valor Esperado Valor Valor Cuando el valor 2 Valor Excel es mayor que el de tablas (o Excel) se asume que el comportamiento de la distribución es normal. El mismo procedimiento se sigue para cualquier tipo de distribución. Para este caso, es normal? Al ser la misma muestra que para la prueba por papel normal y por histograma, se corrobora que es normal.

7 Kolmogorov-Smirnov Para esta prueba se obtiene el máximo valor absoluto de la diferencia de la probabilidad acumulada para cada clase menos la frecuencia acumulada relativa. LI LS PM Acumulada Individual Relativa Z LS Probabilidad Acumulada Absoluto de la diferencia Máximo del Abs Dif Dato de tabla = De la tabla anterior se observa que la máxima diferencia absoluta es , la cual se tiene que comparar con un valor de la tabla de aproximaciones como la siguiente:

8 Para realizar la prueba se seleccionó alfa ( ) igual a 0.01; por lo tanto, se obtiene un valor de comparación igual a Lo que indica que la distribución se comporta de forma normal. Como se observó, con todas las pruebas revisadas se concluyó que la distribución observa una forma normal.