TEMA 3: Polinomios y fracciones algebraicas. Tema 3: Polinomios y fracciones algebraicas 1

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1 TEMA Polinomios y frcciones lgerics Tem Polinomios y frcciones lgerics

2 ESQUEMA DE LA UNIDAD.- Operciones con polinomios...- Sum y rest de polinomios...- Producto de polinomios...- División de polinomios..- Fctor común..- Identiddes notles...- Cudrdo de un sum o un diferenci...- Sum por diferenci...- Otención de un identidd notle....- Epresión de un inomio como un sum por un diferenci....- Epresión de un trinomio como el cudrdo de un sum o un diferenci..- Regl de Ruffini..- Teorem del resto..- Descomposición de un polinomio en fctores. 7.- Simplificción de frcciones lgerics. 8.- Máimo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios..- Operciones con frcciones lgerics...- Sums y rests...- Multiplicciones y divisiones...- Operciones cominds..- OPERACIONES CON POLINOMIOS..- Sum y rest de polinomios Ejemplo Ddos P ( ) y Q ( ), clculr ) P( ) Q( ) P( ) Q( ) ) P( ) Q( ) P( ) Q( ) Tem Polinomios y frcciones lgerics

3 Ejemplo Ddos P(, y y y y Q(, y y, clculr ) P(, Q(, P(, Q(, y y y y y y y y y y y y y y ) P(, Q(, P(, Q(, y y y y y y y y y y y y y y..- Producto de polinomios Ejemplo Ddos R ( ) y S ( ), clculr R( ) S( ) R( ) S( )..- División de polinomios Oservciones ) Elementos de un división ) Pr que se pued hcer un división entre polinomios, el grdo del dividendo tiene que ser myor o igul que el grdo del divisor. c) L división de polinomios termin cundo el grdo del resto es menor que el grdo del divisor. d) En tod división, tnto en l de números como en l de polinomios, se cumple lo siguiente DIVIDENDO = COCIENTE DIVISOR + RESTO Ejemplo Ddos P ( ) y Q ( ), clculr P ( ) Q( ) 0 0 Tem Polinomios y frcciones lgerics

4 Tem Polinomios y frcciones lgerics Teniendo en cuent l oservción d), podemos escriir entonces lo siguiente ) ( ) ( ) ( ) ( R Q C P 0.- FACTOR COMÚN Recordtorio ) Cundo un término sle entero como fctor común, dentro del préntesis se pone un "". ) El signo no es conveniente scrlo como fctor común. Ejemplo sc fctor común ) ) IDENTIDADES NOTABLES..- Cudrdo de un sum o un diferenci Ejemplo resuelve ls siguientes identiddes notles ) ) c) d)..- Sum por diferenci Ejemplo resuelve ls siguientes identiddes notles ) ) c) 8 0 d) 8

5 ..- Otención de un identidd notle Se trt de epresr un inomio (polinomio de dos términos) o un trinomio (polinomio de tres términos) como un sum por un diferenci o como el cudrdo de un sum o diferenci....- Epresión de un inomio como un sum por un diferenci. Hy que compror que el inomio represent un identidd notle. Pr ello st oservr que entre los dos términos del inomio hy un rest.. Escriir cd término como un cudrdo.. Ls ses de los cudrdos nteriores son los elementos de l identidd notle. Ejemplo epres como un identidd notle los siguientes inomios ) (rest) Al número se le sc ríz cudrd ( ) y l eponente de l "" se le divide entre / ( ) 8 ) 8 8/ 7 7 / 7 c) d)...- Epresión de un trinomio como el cudrdo de un sum o un diferenci. Buscr en el trinomio los dos términos en los que l vrile estén elevdos l número más grnde y l número más pequeño. Compror que esos términos tienen el mismo signo y que se pueden escriir como un cudrdo.. Compror que el dole producto de ls ses de los cudrdos nteriores coincide con el otro término del trinomio que no se h utilizdo hst hor.. De cumplirse los puntos nteriores, se puede firmr que el trinomio corresponde un identidd notle, en concreto l cudrdo de un sum o de un diferenci en función del signo que teng el término del trinomio que se h utilizdo en el punto nterior. Tem Polinomios y frcciones lgerics

6 Ejemplo epres como un identidd notle los siguientes trinomios ) Tienen el mismo signo (los dos términos son positivos) Los dos términos se pueden escriir como un cudrdo 8 8 que es el otro término del trinomio Después de compror que se cumplen ls condiciones pr que este trinomio se un identidd notle podemos escriir dich identidd 8 ) c) 8 d).- REGLA DE RUFFINI Es un método que se utiliz, por ejemplo, pr fctorizr polinomios o pr dividirlos cundo el divisor es de l form o, siendo " " un número. Ejemplo hll el cociente y el resto de l siguiente división utilizndo el método de Ruffini 7 Recordr que en tod división se puede escriir que DIVIDENDO = COCIENTE DIVISOR + RESTO, sí en este cso tendremos que TEOREMA DEL RESTO Enuncido El resto de l división de un polinomio () numérico del polinomio pr. P entre es igul l vlor Tem Polinomios y frcciones lgerics

7 Con otrs plrs pr clculr el resto de l división de un polinomio () (que son ls divisiones que pueden hcerse por el método de Ruffini) sin hcer l división, hy que sustituir en l del polinomio P () el número. P entre Ejemplo clcul, sin hcer l división, el resto de ls siguientes divisiones de polinomios ) Llmmos ( ) es P () P. Por el teorem del resto, el resto de l división P ( ) 8 P( ) ) Llmmos ( ) P () P. Por el teorem del resto, el resto de l división ( ) P es P() Oservciones. Al número que sle l sustituir l "" de un polinomio por un número se le llm "vlor numérico del polinomio en número ".. Un número " " se dice que es ríz de un polinomio P () si el vlor numérico de ese polinomio en vle cero..- DESCOMPOSICIÓN DE UN POLINOMIO EN FACTORES Descomponer un polinomio en fctores consiste en escriirlo como producto de otros polinomios. Psos pr fctorizr un polinomio. Scr fctor común (si es que se puede).. Buscr, utilizndo el método de Ruffini, ls ríces del polinomio que qued entre préntesis (si es que se h scdo fctor común) o del polinomio entero (si no se h scdo fctor común). Ls posiles ríces son los divisores del término independiente del polinomio,. Repetir el método de Ruffini hst que se cumpl un de ls siguientes condiciones - Si después de pror con tods ls posiles ríces del polinomio no hy ningun (es decir, con ninguno de los divisores del término independiente sle en el método de Ruffini como resto cero). - Que queden solmente dos términos.. Escriir l descomposición o fctorizción del polinomio. Tem Polinomios y frcciones lgerics 7

8 Oservciones ) Descomponer o fctorizr un polinomio de grdo es lo mismo que scr fctor común (si es que se puede, en cso de que no se pued scr fctor común, l fctorizción serí el mismo polinomio). Ejemplo descomponer en fctores los siguientes polinomios 7 7 ) Muchs veces los inomios y trinomios no se pueden descomponer en fctores utilizndo el método de Ruffini porque son identiddes notles. Ejemplo descomponer en fctores los siguientes polinomios Primero lo intentmos por Ruffini. Posiles ríces del polinomio (No sle cero) - 7 (No sle cero) El método de Ruffini, por tnto, no nos permite en este cso fctorizr el polinomio, por lo tnto quedn dos opciones o se trt de un identidd notle, o no dmite fctorizción. Después de relizr ls comprociones se oserv que el trinomio que tenemos que fctorizr es un identidd notle, por lo tnto l fctorizción del mismo será est Lo intentmos por Ruffini. Posiles ríces del polinomio (No sle cero) - (No sle cero) Por Ruffini no se puede fctorizr. Es un identidd notle? L respuest es que sí (se trt de un inomio cuyos términos están restndo. L fctorizción será por tnto Tem Polinomios y frcciones lgerics 8

9 Ejemplo fctoriz los siguientes polinomios ) P ( ) 8. Fctor común en este cso no se puede scr fctor común.. Buscr ls ríces del polinomio utilizndo Ruffini posiles ríces,,, 8 (recordr que ls posiles ríces son los divisores del término independiente) Posiles ríces,,, 8 0 Prmos porque solo quedn dos números (el y el ). Escriir l fctorizción P ( ) ) P( ) 8. Fctor común P ( ) 8 8. Buscr ls ríces del polinomio que qued en el préntesis utilizndo Ruffini posiles ríces,,,,, 8 (recordr que ls posiles ríces son los divisores del término independiente) Posiles ríces ls misms Posiles ríces,, 0 Prmos porque solo quedn dos números (el y el ). Escriir l fctorizción P ( ) Tem Polinomios y frcciones lgerics

10 c) P ( ) 8. Fctor común en este cso no se puede scr fctor común.. Buscr ls ríces del polinomio utilizndo Ruffini posiles ríces,, (recordr que ls posiles ríces son los divisores del término independiente) Posiles ríces,, - 0 Prmos porque solo quedn dos números (el y el -). Escriir l fctorizción P( ) d) P ( ). Fctor común en este cso no se puede scr fctor común.. Buscr ls ríces del polinomio utilizndo Ruffini posiles ríces (recordr que ls posiles ríces son los divisores del término independiente) Posiles ríces Prmos unque quedn tres números porque el polinomio no tiene más ríces; es decir, l pror el método de Ruffini con el y el - no sle de resto cero.. Escriir l fctorizción P ( ) 7.- SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES ALGEBRAICAS Un frcción lgeric es un frcción en l que l menos en el denomindor hy un polinomio. Pr simplificrls hy que descomponer en fctores por seprdo el numerdor y el denomindor, y después tchr los términos comunes. Tem Polinomios y frcciones lgerics 0

11 Ejemplo simplific ls siguientes frcciones lgenrics ) - Fctorizmos el numerdor - Así 0 - Fctorizmos el denomindor Así 0 - Sustituimos en l frcción el numerdor y el denomindor por sus fctorizciones y simplificmos ) Fctorizmos el numerdor Tem Polinomios y frcciones lgerics

12 Así 7 - Fctorizmos el denomindor Así 0 - Sustituimos en l frcción el numerdor y el denomindor por sus fctorizciones y simplificmos 7 0 c) - Fctorizmos el numerdor Podemos compror que el trimonio que hy en el numerdor es el desrrollo de un identidd notle, por lo que podemos escriir lo siguiente PERO hcerlo sí directmente requiere que, un vez escrit l identidd notle, hy que compror que los polinomios que quedn entre préntesis no se pueden descomponer más, lo cul sucede en este cso, y que qued un polinomio de primer grdo y semos que fctorizr este tipo de polinomios equivle scr fctor común, cos que no se puede hcer en este cso, por lo que y estrí termind l fctorizción. Así Tem Polinomios y frcciones lgerics

13 - Fctorizmos el denomindor Al igul que ntes, podemos compror que este inomio es el desrrollo de un identidd notle, por lo que podemos escriir lo siguiente De l mism mner deemos compror que los polinomios que quedn entre los préntesis y no pueden descomponerse más, cos que sucede. Así - Sustituimos en l frcción el numerdor y el denomindor por sus fctorizciones y simplificmos Ejercicio fctorizr el siguiente polinomio Un opción serí utilizr el método de Ruffini pr descomponer o fctorizr el polinomio, pero si nos dmos cuent este inomio es el desrrollo de un identidd notle, sí Pero l hcer l fctorizción trvés de ls identiddes notles, como se h comentdo nteriormente, no st escriir l epresión de l identidd notle, sino que hy que compror si los polinomios que quedn en los préntesis se pueden seguir fctorizndo o no. En nuestro cso hy dos préntesis En este préntesis h queddo un polinomio que no se puede fctorizr (comprorlo cd uno por Ruffini). el desrrollo de un identidd notle, por lo que podemos escriirlo sí Sin emrgo, el polinomio de este préntesis sí puede descomponerse más, vuelve ser Nuevmente hrí que compror si estos nuevos préntesis contienen polinomios que se pueden seguir fctorizndo, en cuyo cso hrí que continur (no es nuestro cso, pues y quedn polinomios de primer grdo los que no se les puede scr fctor común). Por lo tnto, l fctorizción es 8.- MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINOMIOS Tnto el m.c.d. como el m.c.m. de polinomios se clcul de l mism form que se clculn el m.c.d. y el m.c.m. de números Tem Polinomios y frcciones lgerics

14 Máimo común divisor Después de descomponer en fctores los polinomios, se multiplicn los fctores comunes elevdos l menor eponente. Mínimo común múltiplo Después de descomponer en fctores los polinomios, se multiplicn los fctores comunes y no comunes elevdos l myor eponente. Ejemplo hll el m.c.d. y el m.c.m. de los siguientes polinomios ) P ( ), Q ( ) - Descomponemos fctorilmente los polinomios Así P ( ) y Q ( ) M -. C. D. P( ), Q( ) M -. C. M. P( ), Q( ) ) P( ) 8, Q( ) 8 - Descomposiciones en fctores de los polinomios P ( ) Q ( ) - Máimo común divisor y mínimo común múltiplo M. C. D. P( ), Q( ) M. C. M. P( ), Q( ) Tem Polinomios y frcciones lgerics

15 Tem Polinomios y frcciones lgerics.- OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS Ls operciones con frcciones lgerics se hcen igul que ls operciones con frcciones de números enteros...- Sums y rests Psos. Ponerle el mismo denomindor tods ls frcciones (que será el m.c.m. de todos los denomindores).. Relizr ls operciones que queden en los numerdores.. Escriir en un sol frcción teniendo mucho cuiddo con los signos.. Agrupr en el numerdor.. Simplificr el resultdo. Ejemplo Clculmos el m.c.m. de los denomindores... m c m Empezmos l operción =..- Multiplicciones y divisiones Psos. Multiplicr en líne o en cruz (dependiendo de si se trt de un producto o un cociente de frcciones) PERO dejndo indicdos los productos y utilizndo préntesis.. Descomponer o fctorizr cd uno de los polinomios que hy en los préntesis.. Simplificr los términos comunes.

16 Ejemplos ) Fctorizciones de los polinomios que hy entre préntesis Recordr que fctorizr un polinomio de primer grdo es lo mismo que scr fctor común (si se puede, y si no se puede es porque el polinomio y está fctorizdo). 0 Es un identidd notle. Primero se sc fctor común y después se fctoriz el polinomio que qued entre préntesis (que en este cso es de primer grdo y y está fctorizdo). Es un identidd notle. ) Fctorizciones de los polinomios que hy entre préntesis Recordr que fctorizr un polinomio de primer grdo es lo mismo que scr fctor común (si se puede, y si no se puede es porque el polinomio y está fctorizdo). Primero se sc fctor común y después se fctoriz el polinomio que qued entre préntesis (que en este cso es de primer grdo y y está fctorizdo) Tem Polinomios y frcciones lgerics

17 Tem Polinomios y frcciones lgerics 7..- Operciones cominds Se hcen respetndo el orden de ls operciones cominds de números enteros. Ejemplos ) ) FIN DEL TEMA