Tema 10 Aplicaciones de la derivada

Transcripción

1 Tema 10 Aplicaciones de la derivada 1. Recta tangente. Dada la parábola y se traza la cuerda que une los puntos de la parábola de abscisas = 1 y = 3. Halla la ecuación de la recta tangente a la parábola que es paralela a esa cuerda. Hallamos los etremos de la cuerda: 1 1 y 1 3 y 3 1 A(1, 3) B(3,1) 1 B 1 3 y y1 4 Pendiente de la cuerda: 1 La pendiente de la tangente f ) debe ser igual a la de la cuerda: ( 0 f ( 0 ) 0 0 f ( 0 ) A La tangente en el punto (, -) es paralela a la cuerda que une los puntos A y B. Su ecuación, en forma punto-pendiente, es: y ( ) y 6 1. En este ejercicio representaremos la parábola y su tangente. Para ello: - Pinchamos en la pestaña Operaciones, y a continuación, en Representar. Figura 1. - A continuación, obtendremos:

2 Matemáticas II Tema 10. Figura. - Por último, último, escribimos la función entre los paréntesis. Figura 3. - Para adjuntar la recta tangente, seguiremos los mismos pasos que para la parábola, y pulsamos igual; para que aparezca en el tablero 1 la tenemos que escribir dentro del mismo bloque: Figura 4. - Por último obtenemos la representación gráfica:

3 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura 5. 3

4 Matemáticas II Tema 10.. Recta tangente. Halla los puntos de la gráfica de el eje de abscisas. 3 f ( ) 3 en los que la recta tangente forma un ángulo de rad con 4 Si la recta tangente forma un ángulo de rad con el eje de abscisas, su pendiente es tg Por tanto: f ( ) , Los puntos buscados son (0, 0) y (, -), y las ecuaciones de las tangentes en esos puntos, y e y Para obtener la gráfica de las tres funciones, escribimos representar y la función entre paréntesis. Para que las tres estén en la misma gráfica, las escribimos en el mismo bloque: Figura 6.. Pulsamos igual y obtenemos la representación de la ecuación con sus dos tangentes: 4

5 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura Recta tangente. Si P es un punto cualquiera de la gráfica de y 1, prueba que el triangulo formado por la recta OP, la tangente a esa gráfica en P y el eje y = 0 es isósceles. 1 1 Un punto cualquiera de la curva y tiene por coordenadas a,. a 5

6 Matemáticas II Tema Tangente en P: m f ( a) y ( a) a a a Hallamos el punto de corte de la tangente con el eje y = 0; P 1 1 a a ( a) 0 a Q (a,0) Calculamos la longitud de los lados de un triangulo: O Q OP a 1 a 4 a a 1 PQ (a a) 1 0 a 4 a a 1 Como OP PQ, el triángulo OPQ es isósceles. 1. En primer lugar resolvemos las dos raíces donde calculamos la longitud de los lados del triangulo: Figura 8.. A continuación se representa la figura estudiada. 6

7 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura 9. Figura 10. 7

8 Matemáticas II Tema Intervalos de crecimiento. Estudia los intervalos de crecimiento de las siguientes funciones y di cuales son sus máimos y sus mínimos: a ) f ( ) b ) f ( ) c) f ( ) e ( 3 1) 4 a) f es creciente en los intervalos donde f 0 y decreciente si f 0. Buscamos los puntos donde se anula la derivada, f ( ) 0: f ( ) , 3 Estudiamos el signo de la derivada: f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) La función crece en (, 1) (3, ) y decrece en (-1, 3). Tiene un máimo en = -1 y un mínimo en = 3. Máimo: (1,6). Mínimo: ( 3, 6). 1. Lo primero que debemos hacer es derivar, para lo que tenemos que escribir la función entre paréntesis y escribir un apóstrofe. Después pulsamos igual y obtenemos: Figura 11.. Igualamos el resultado de la derivada a 0 y resolvemos la ecuación. Para ello escribimos resolver y la ecuación entre paréntesis, luego pulsamos igual y obtenemos los dos resultados: 8

9 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura Representamos la función como hemos hecho anteriormente: Figura Por último pulsamos el botón de igual y obtenemos la representación de la función: Figura 14. 9

10 Matemáticas II Tema 10. b) La función no está definida en el punto = y en el punto =-. Los puntos de derivada nula son: 4 1 f ( ) 0, 0, 3, 3. Estudio del signo de la derivada: ( 4) f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) Crece en (, 3) ( 3, ); decrece en ( 3, 3),. El punto ( 3, 3 3) es un máimo relativo y ( 3,3 3) un mínimo relativo. En = 0 la función no tiene máimo ni mínimo. 1. Derivamos la función como en el ejercicio anterior: Figura 15.. Resolvemos la ecuación resultante igualando la derivada a 0. Como vemos, no hemos tenido que igualar a 0, porque cuando escribimos resolver y una función, automáticamente interpreta que está igualada a 0. Por último, pulsamos igual y obtenemos los valores: 10

11 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura Representamos la función sin derivar: Figura Pulsamos el botón igual y obtenemos la función representada: 11

12 Matemáticas II Tema 10. Figura 18. c) f ( ) e ( 3 1) e ( 3) e ( ) Como e 0 para anular cualquier, f se anula si: 0 1, f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0-1 La función crece en (, 1) (, ) y decrece en (-1, ). 5 Tiene un máimo en 1, y un mínimo en (, e ). e 1. Derivamos la ecuación como hemos hecho anteriormente: 1

13 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura 19.. Resolvemos la ecuación: Figura Escribimos representar y la ecuación entre paréntesis: Figura Después del paso 3, pulsamos el botón igual y obtenemos la representación gráfica: 13

14 Matemáticas II Tema 10. Figura. 5. Máimos y mínimos. Razona por qué la gráfica de la función no puede tener etremos relativos. f ( ) 3 sen. La función f ( ) 3 sen es continua y derivable en. Sus etremos relativos solo pueden estar en las soluciones de f ( ) 0. Pero si f ( ) 3 cos 0 cos 3, lo cual es imposible. Por tanto, f no puede tener etremos relativos. 1. Escribimos representar y la función entre paréntesis: 14

15 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura 3.. Pulsamos igual y obtenemos en el Tablero 1 la representación gráfica: Figura 4. 15

16 Matemáticas II Tema Máimos y mínimos. Halla los máimos y mínimos de las siguientes funciones: a) f ( ) sen cos Si 0, b) f ( ) ln c) f ( ) e a) Resolvemos la ecuación f ( ) 0. Sus soluciones son los posibles máimos y mínimos: f ( ) cos sen cos sen 0 f f 4 4 El punto, 4 5 es un máimo y, es un mínimo. Podemos confirmarlo estudiando el signo de 4 f : f ( ) sen cos.. Si, 0 4 y hay un máimo en,. 4 5 Si 5, y 0 hay un máimo en, Escribimos la función que queremos representar entre paréntesis y escribimos delante: representar : Figura 5.. Por último, pulsamos igual y obtenemos: 16

17 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura 6. b) f ( ) ln 1; f ( ) 0 ln 1 0;ln 1, e 1 ; f ( ) 1. 1 Si e f ( ) 0. En 1 e hay un mínimo. Mínimo: 1 1, e e 1. Idénticamente al apartado anterior escribimos representar y después la función entre paréntesis: 17

18 Matemáticas II Tema 10. Figura 7.. Pulsamos igual y obtenemos la representación: Figura 8. 18

19 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato e e e (1 ) 1 1 c) f ( ) 0 0, 1 Posible máimo o mínimo. ( e ) ( e ) e e e (1 ) e 1 1 f ( ). Si 1, f ( ) 0 Máimo: 1,. ( e ) e e 1. De la misma forma que en los ejercicios anteriores, escribimos la función entre paréntesis después de escribir representar : Figura 9.. Pulsamos igual y en el Tablero 1 obtenemos: Figura

20 Matemáticas II Tema Puntos de infleión. Halla los puntos de infleión de la función y estudia su curvatura. f ( ) ln( 1) Los puntos de infleión están entre las soluciones de la ecuación f ( ) 0. f 1 f ( ) ( 1) ( 1) f ( ) Estudiamos el signo de, 1 1,1 1,. f en los intervalos f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 La curva es cóncava en el intervalo ( 1,1) y convea en (, 1) (1, ). Los puntos (1,ln ) (1,ln ) son puntos de infleión. 1. Representaremos la función escribiéndola entre paréntesis después de representar : Figura 31.. Cuando pulsemos igual, obtendremos la representación gráfica: 0

21 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura Derivadas nulas. Dada 5 f ( ) 1 ( ), comprueba que f ( ) 0, f ( ) 0 y f ( ) 0. Tiene f máimo, mínimo. O punto de infleión en =? f 4 3 ( ) 5( ) f ( ) 0( ) f ( ) 60( ) Al hacer = se verifica f ( ) f () f () 0. Estudiamos el signo de f a la izquierda y a la derecha de = : Comprobamos que tiene un punto de infleión estudiando el signo de f : 1

22 Matemáticas II Tema 10. f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f ( ) 0 f f crece a la izquierda y a la derecha de ; luego no tiene máimo ni mínimo en =. A la izquierda de =, f es convea y a la derecha de =, f es cóncava. El punto (, 1) es un punto de infleión. 1. Escribimos la función. Es muy importante darle un nombre como: f(), g(), z(y) Después, escribimos el nombre, sustituyendo la por el número que queramos, en este caso el, y un apóstrofe para indicar que hay que sustituir el número en la primera derivada, dos apóstrofes para sustituirlo en la segunda Por último, escribimos representar y la función entre paréntesis: Figura 33.. Pulsamos el botón igual y obtenemos la representación de la función:

23 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura Cálculo de coeficientes de una función. Halla los coeficientes a, b, c, d, de la función: f ( ) a tangente a la curva en el punto de infleión (1,0) es =0. f ( ) 3a b c f ( ) 6a b 3 b c d sabiendo que la ecuación de la y 3 3, y que la función tiene un etremo relativo en f pasa por ( 1,0) f (1) 0 a b c d 0 1 es un punto de infleión f ( 1) 0 6a b 0,0 1 La pendiente de la tangente en = 1 es igual a -3 f ( 1) 3 3a b c 3 3 3

24 Matemáticas II Tema 10. f tiene un etremo en = 0 f ( 0) 0 c 0 4 Resolviendo el sistema formado por las 4 ecuaciones, obtenemos; a 1, b 3, c 0, d. 1. Averiguaremos los valores de a, b, c y d resolviendo un sistema de ecuaciones. Para ello, dentro de la pestaña Operaciones, pinchamos en Resolver sistema, indicamos que tendrá cuatro ecuaciones, rellenamos con nuestros datos, y al pinchar en igual obtenemos nuestro resultado: Figura Beneficio máimo. El propietario de un inmueble tiene alquilados cuarenta pisos a 300 al mes cada uno. Pro cada 10 de aumento en el precio del alquiler pierde un inquilino, que se traslada a otro piso mas económico. Cuál es el alquiler que mas beneficios produce al propietario? Si aumenta euros, cobra por cada piso ( 300 ), pero alquila 40 pisos. Por tanto, el beneficio es: 10 1 B( ) (300 ) con La curva y = B() es una parábola abierta hacia abajo y cuyo vértice es el máimo, que obtenemos haciendo B( ) 0 : 1 1 B ( ) , B( ) 0. Para que el beneficio sea máimo, debe poner el alquiler a Obtenemos la función y la escribimos entre paréntesis después de escribir representar : 4

25 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura 36.. Pulsamos el botón igual y obtenemos la representación gráfica: Figura Área máima. En un jardín con forma de semicírculo de radio 10 m. se va a instalar un parterre rectangular, uno de cuyos lados está sobre el diámetro y el opuesto a él tiene sus 5

26 Matemáticas II Tema 10. etremos en la parte curva. Calcula las dimensiones del parterre para que su área sea máima. y P (, y) Tomamos como origen de coordenadas el centro de la circunferencia. P (, y) Es un punto de la circunferencia. El área del parterre es S y Como el punto P pertenece a la circunferencia, debe verificar que: y 100 y 100. Así pues, hay que maimizar S( ) 100. Calculamos S ( ) ( ) ; S( ) no vale En 5 hay, efectivamente, un máimo, ya que S ( ) 0 si 5, y S( ) 0 si 5 dimensiones del parterre serán 10 m y 5 m, y su área máima será 100m.. Las 1. Para este ejercicio, tenemos que resolver la función igualada a 0, pulsamos igual y obtenemos dos soluciones, aunque nos quedamos sólo con el positivo. Figura 38. 6

27 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato 1. Problema de tiempo mínimo. Un nadador, A, se encuentra a 3 Km. de la playa enfrente de una caseta. Desea ir a B, en la misma playa, a 6 Km. de la caseta. Sabiendo que nada a 3km/h y anda por la arena a 5 km/h, averigua a qué lugar debe dirigirse a nado para llegar a B en el menor tiempo posible. P 6 - B Llamamos a la distancia de la caseta al punto P al que debe llegar a nado. Tiene que recorrer: AP 9 a 3 km/h y PB 6 a 5km/h 3 km el tiempo empleado es t ( ) t( ) A t ( ) ,5 km 5 9( 9) comprobamos que: 9 4 ( no vale) Si,5 t( ) 0 Si,5 t( ) 0 Debe dirigirse a nado a un punto que diste,5 km de la caseta. El tiempo que tardará en llegar a B es: t,5 9 6,5 1,5 0,75 horas Primero escribimos la función y después escribimos f(), para indicar que queremos que derive la función. 7

28 Matemáticas II Tema 10. Figura 39.. Resolvemos la ecuación formada por la igualación de la derivada a 0. Figura Sustituimos el punto obtenido en la función: 8

29 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura Regla de L Hopital. Calcula estos límites: 1 1 a) lim 0 ln(1 ) sen b) lim 0 sen c) lim (ln ) 1 e 1 1 a) lim 0 ln(1 ) efectuamos la resta ln(1 ) 0 lim 0 ln(1 ) 0 (aplicamos la regla de L Hopital) 11/(1 ) 0 lim 0 ln(1 ) /(1 ) 0 1(1 ) lim 0 1/(1 ) 1/(1 ) 1 9

30 Matemáticas II Tema Para este apartado, iremos a la pestaña Análisis, y luego pulsaremos el botón de límite, y sustituimos para escribir nuestro límite. Luego pulsamos el botón igual y obtenemos el resultado. Figura 4. sen 0 b) lim 0 sen 0 1 cos lim 0 cos 0 0 lim 1 cos 0 cos 4 sen 0 1. Para este apartado seguiremos los mismos pasos que en el anterior y escribiremos el límite y pulsaremos igual. Figura 43. c) lim (ln 1 e 0 e ) Tomamos logaritmos: (ln ) 1 1 lim lim ln (ln ) e 1/( ln lim e lim 1 ln e 0 lim (ln ) 1 e e

31 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato 1. Resolvemos el límite escribiendo el logaritmo y pulsando igual. Figura Regla de L Hopital. Determina k para que eista y sea finito: e e k lim Calcula ese límite para ese valor de k. 0 sen El límite es del tipo (0/0). Por regla de L Hopital: e e k lim 0 sen e lim 1 0 e k cos Para poder seguir aplicando la regla, es necesario que el numerador sea igual a 0 en = 0, es 0 0 decir : e e k 0 k. Entonces: e e 0 lim 0 1 cos 0 e e 0 lim 0 sen 0 e e lim 0 cos. 1. Igual que en el ejercicio anterior, escribimos el límite y lo resolvemos: 31

32 Matemáticas II Tema 10. Figura Regla de L Hopital. Calcula: lim 0 4 (1/ 3) tg 3 lim 4 (1/ 3) tg lim 0 11/ cos 3 (1) 0 cos 1 lim cos 4 lim cos lim 4 sen () lim 1 sen cos lim 0 (cos sen ) 1 (1) Hemos transformado el límite del producto en el producto de los límites y hemos cambiado el signo del numerador y del denominador. () Aplicamos que lim cos( ) Para este último ejercicio, como en los anteriores, dentro de la pestaña Análisis, pinchamos en límite, lo rellenamos y pulsamos igual: 3

33 Educando con Wiris. Solucionario de Problemas de Matemáticas para Segundo de Bachillerato Figura