Apuntes de Funciones

Transcripción

1 Apuntes de Funciones El concepto de función es un elemento fundamental dentro del análisis matemático, así como en sus aplicaciones. Esta idea se introdujo con el objetivo de matematizar la transformación o relación entre dos magnitudes (por ejemplo, el espacio que recorre un móvil depende de su velocidad). En primer lugar, se definen las funciones reales de variable real y los conceptos que de ellas se derivan (dominio, imagen, grafo ). A continuación, estudiaremos las operaciones entre funciones (suma, producto, cociente, composición y función inversa) y algunas características importantes (simetría, periodicidad y transformación de funciones). Por último, se hace un recorrido por las funciones elementales y se señalan algunas propiedades o características (funciones polinómicas, funciones racionales, funciones de proporcionalidad inversa, funciones con radicales, exponencial, logarítmica, trigonométricas, funciones a trozos, función valor absoluto y función parte entera). 1. Funciones reales de variable real 1.1 Definición: una aplicación entre dos conjuntos A y B es una transformación que asocia a cada elemento del conjunto A un único elemento del conjunto B. Una función real de variable real f es una aplicación entre un subconjunto D R, no vacío, llamado dominio, y el conjunto de los números reales R. La escribiremos así: f: D R x y = f(x) Se trata de una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente x del dominio le corresponde un único valor y R, que es la variable dependiente, a la que llamaremos imagen de x, y = f(x). También diremos que x es la antiimagen o imagen inversa de y. A continuación, definimos dominio, imagen y gráfica de una función: El dominio D está formada por el conjunto de los números reales que tienen imagen. Más adelante, aprenderemos a calcular el dominio de cada tipo de función. D = Dom(f) = {x R/ y = f(x)} La imagen o recorrido de una función es el conjunto de todas las imágenes. Im(f) = {y R/ x D, y = f(x)} La gráfica/ grafo de una función f es el conjunto de pares ordenados (x, y) tales que y = f(x) con x D. y lo escribiremos G(f). La representación en el plano es la gráfica de la función. También es conocido que una función puede expresarse de varias maneras, mediante su expresión algebraica, mediante la gráfica o a través de una tabla de valores. Ejemplo 1 Un móvil que se desplaza a velocidad constante de 90 Km/h recorre un espacio que depende del tiempo que está circulando. Podemos expresar una relación entre las variables tiempo (x: horas) y 1

2 espacio (y: kilómetros) mediante la función lineal afín: y = f(x) = 90 x (Espacio igual a velocidad por tiempo). La fórmula y = 90x es la expresión algebraica de la función. Mediante ella es posible conocer para cada valor del tiempo, el espacio recorrido y al revés. Es claro que los valores que puede tomar el tiempo deben ser no negativos; por eso el dominio de esta función será el intervalo D = Dom(f) = [0, + ). Una tabla para la función estará formada por ciertos valores x y sus imágenes y respectivas: x variable independiente tiempo (abscisa) 0 1 1,5 2 3 y = f(x) variable dependiente espacio (ordenada) La representación gráfica es una recta que pasa por el origen de coordenadas. Un punto pertenece a la gráfica de f si y solo si su ordenada es la imagen de su abscisa. La función recorre el conjunto de reales positivos con lo que Im(f) = [0, + ) Si queremos saber al cabo de cuánto tiempo llevará recorridos 198 Km bastará sustituir y = 198 en la expresión de la función: 198 = 90x x = 2,2 horas = 2 h 12 min 2. Operaciones con funciones Dadas dos funciones f, g con dominios Dom(f), Dom(g) respectivamente, se define: Suma/resta de funciones: f ± g es otra función con dominio Dom(f ± g) = Dom(f) Dom(g) tal que: (f ± g)(x) = f(x) ± g(x) Producto de funciones: f g es otra función con dominio Dom(f g) = Dom(f) Dom(g) tal que: (f g)(x) = f(x) g(x) Cociente de funciones: f/g es otra función con dominio Dom(f/g) = Dom(f) Dom(g) y que además no anulen la función g(x): (f/g)(x) = f(x)/g(x) con g(x) 0 Composición de funciones: dadas f y g dos funciones, se llama composición de f con g (ó f compuesta con g) y se escribe g f a la función que cumple: (g f )(x) = g(f(x)) 1. Es decir, es el resultado de evaluar la función g después de haber evaluado x en la función f. 2. En general la composición de funciones no es conmutativa, (g f )(x) (f g)(x) 2

3 Ejemplo 1 Dadas las funciones f(x) = x 2 + x 1, g(x) = x 2 + 1: (g f )(x) = g(f(x)) = g ( x 2 + x 1) = ( x 2 + x 1) = x 2 + x = x 2 + x (f g )(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 1) = (x 2 + 1) 2 + x = x 4 + 2x x = = x 4 + 3x Función inversa: la inversa de una función inyectiva f(x) es otra función f 1 tal que para todo valor x del dominio de f(x) se cumple que: Si f(x) = y entonces f 1 (y) = x 1. Las gráficas de una función y su inversa son simétricas respecto de la bisectriz del primer cuadrante (recta y = x). 2. La composición de una función con su inversa sí cumple la propiedad conmutativa: (f 1 f )(x) = (f f 1 )(x) = x = Id 3. La función f(x) = x se conoce como función identidad. 4. El dominio de la función inversa f 1 coincide con la imagen de f(x) 5. La inversa de la función y=x 2 es y = x para x La inversa de la función exponencial y = e x es la función logarítmica y = L x (las estudiaremos más adelante). 3. Características importantes De entre todas las características de las funciones, vamos a estudiar la simetría, la periodicidad y las transformaciones entre funciones. Simetría: las funciones pueden presentar dos tipos de simetría, respecto del eje Y o respecto del origen de coordenadas. Es importante tener en cuenta que pueden existir funciones que no tengan ninguna simetría. - Simetría respecto del eje Y. Simetría par: Diremos que una función f(x) es par si para cualquier valor x del dominio, se cumple que f(x) = f( x) Ejemplo 2 Estudia la simetría de f(x) = x 4 2x 2 + 2: Calculamos f( x) y observamos que: f( x) = ( x) 4 2( x) = x 4 2x = f(x) la función es par. 3

4 - Simetría respecto del origen de coordenadas. Simetría impar: Diremos que una función f(x) es impar si para cualquier valor x del dominio, se cumple que f( x) = f(x) Ejemplo 3 Estudia la simetría de f(x) = x3 x 4 : Calculamos f( x) y f(x) y observamos que: f( x) = ( x)3 ( x) 4 f(x) = x3 x 4 = x3 + x 4 = x3 +x 4 Por tanto, la función es impar. Periodicidad: diremos que una función f(x) es periódica, de periodo T > 0, si su gráfica se repite en intervalos de amplitud T. Conocida la gráfica en un intervalo de dicha longitud, se puede obtener la gráfica completa mediante translaciones de amplitud T hacia la derecha y hacia la izquierda. Ejemplo 4 Las funciones f(x) = sen(x) y f(x) = cos(x) son periódicas de periodo T=2π Transformación de funciones: A partir de la gráfica de f(x) se pueden obtener las gráficas de otras funciones: - g(x) = f(x): es la función simétrica de f(x) respecto del eje X. - g(x) = f( x): es la función simétrica de f(x) respecto del eje Y. - g(x) = f(x) + k: si k > 0 entonces la gráfica de g(x) se obtiene trasladando la gráfica de f(x) verticalmente k unidades hacia arriba. Si, por el contrario, k < 0, entonces se desplaza la gráfica de f(x) verticalmente k unidades hacia abajo. - g(x) = f(x + k): si k > 0 entonces la gráfica de g(x) se obtiene trasladando la gráfica de f(x) horizontalmente k unidades hacia la izquierda. Si, por el contrario, k < 0, entonces se desplaza la gráfica de f(x) horizontalmente k unidades hacia la derecha. 4

5 1. Principales funciones elementales A continuación, vamos a recordar algunas de las funciones elementales estudiadas en cursos anteriores: 1.1 Funciones polinómicas: las funciones polinómicas son aquellas que se expresan analíticamente mediante un polinomio. Vamos a recordar las de primer grado (llamadas rectas) y las de segundo grado (llamadas parábolas). Funciones afines: son las funciones polinómicas de primer grado y su expresión es del tipo f(x) = mx + n. En el caso de que n = 0, entonces la expresión es f(x) = mx y se llama función lineal. El valor m se denomina pendiente y el valor n se conoce como ordenada en el origen. La gráfica es una recta con pendiente m que pasa por el punto (0, n) [1] Función afín y = mx + n Características: 1. Dom(f) = R 2. Si n = 0, la función f(x) = mx pasa por el origen de coordenadas (0, 0). 3. El valor de la pendiente determina la inclinación de la recta (indica lo que aumenta el valor de la variable y cuando la variable x aumenta una unidad) o m > 0 f(x) es una función creciente. o m < 0 f(x) es una función decreciente. o m = 0 f(x) = n la función es constante y paralela al eje X. 5

6 [2] Función constante y = k Funciones cuadráticas o parábolas: son las funciones polinómicas de segundo grado y su expresión es del tipo f(x) = ax 2 + bx + c, a 0. [3] Función cuadrática y = ax 2 + bx + c Características: 1. Dom(f) = R 2. La gráfica es una parábola de vértice V = ( b, f ( b )) 2a 2a 3. El valor del coeficiente a determina la forma de la parábola: o a > 0 f(x) es cóncava ( ). El vértice es un mínimo de la función. o a < 0 f(x) es convexa ( ). El vértice es un máximo de la función. o En general, cuanto mayor sea el valor absoluto de a, más cerradas serán las ramas de la parábola. 4. La parábola corta al eje Y en el punto (0, c) y al eje X en los puntos A = (x 1, 0), B = (x 2, 0) siendo x 1, x 2 las soluciones de la ecuación ax 2 + bx + c = 0. Una función polinómica, tiene por expresión algebraica un polinomio de grado n: y = f(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 con a n 0. El dominio de este tipo de funciones es D = R porque siempre podemos calcular el valor de la función en cualquier valor real x. 6

7 Funciones racionales: las funciones racionales son aquellas que se expresan algebraicamente como cociente de dos polinomios f(x) = P(x) donde grado(q(x)) 0 Q(x) El dominio de una función polinómica es R, exceptuando aquellos valores que anulan el denominador. Dom(f) = R {x i R / Q(x i ) = 0} [4] Función racional f(x) = 3x 4 x 2 Ejemplo 5 Calcular el dominio de la función f(x) = 3x 1 x 2 +2x 3 Calculamos los valores que anulan el denominador resolviendo la ecuación de segundo grado x 2 + 2x 3 = 0 ; obtenemos x 1 = 3 y x 1 = 1. Por tanto Dom(f) = R { 3, 1}. Función de proporcionalidad inversa o hipérbola: es un tipo de función racional, con una expresión del tipo f(x) = k con k R {0} x [5] Función de proporcionalidad inversa y = k (Hipérbola) x Características: 1. Dom(f) = R {0}. Im(f) = R {0} 2. La función es impar. 3. La gráfica no corta a los ejes de coordenadas. Diremos que en x = 0 hay una asíntota vertical y que en y= 0 hay una asíntota horizontal. 5. El valor del coeficiente k determina la forma de la hipérbola: o k > 0 f(x) es decreciente y la gráfica está en el primer y tercer cuadrante. o k < 0 f(x) es creciente y la gráfica está en el segundo y cuarto cuadrante. 7

8 Funciones con radicales: son funciones en las que la x aparece bajo un signo radical n f(x) = g(x) La función más conocida es la función raíz cuadrada [6] Función raíz cuadrada f(x) = x Características: 1. si n es par entonces Dom(f) = {x R/ g(x) > 0} 2. si n es impar entonces Dom(f) = R Ejemplo 6 Calcular el dominio de la función f(x) = Como el índice es par: 3x 1 x 2 +2x 3 x Dom(f) 3x 1 x 2 + 2x 3 0 Debemos buscar los valores reales que hacen positiva o cero la expresión anterior. Para resolver este tipo de inecuaciones (cociente de polinomios) procedemos de la siguiente forma: (i) Buscamos los valores que anulan numerador y denominador: 3x 1 = 0 x = 1 3 ; x = 3 x2 + 2x 3 = 0 { x = 1 Estos tres valores dividen la recta real en cuatro intervalos. (ii) Consideramos los intervalos teniendo en cuenta que si los valores anteriores anulan el numerador, cerramos el intervalo en ellos; y si anulan el denominador, abrimos el intervalo en ellos) y determinamos el signo de nuestra expresión en cada uno de ellos: El signo lo determinamos a partir del signo del resultado que se obtiene al sustituir en la expresión un valor cualquiera en cada intervalo (no extremos). Por tanto, el dominio de la función f viene dado por la unión de los intervalos con el signo positivo. Dom(f) = ( 3, 1/3] [1, + ) 8

9 Funciones exponenciales: las más sencillas son funciones del tipo f(x) = a x donde x R, a > 0 y a 1 [7] Función exponencial y = a x Características: 1. Dom(f) = R. 2. La función exponencial siempre es positiva. Im(f) = (0, + ) 3. Pasa siempre por los puntos (0, 1) y (1, a) pues a 0 = 1 y a 1 = a 4. El valor de a determina la forma de la función: o a > 1 f(x) es creciente. o 0 < a < 1 f(x) es decreciente. La función más conocida es la función f(x) = e x Funciones logarítmicas: las más sencillas son funciones del tipo f(x) = log a x donde x > 0, a > 0 y a 1 [8] Función logarítmica y = log a x Características: 1. Dom(f) = (0, + ) pues solo existen logaritmos de números positivos. 2. Im(f) = R 3. Pasa siempre por los puntos (1, 0) y (a, 1) pues log a 1 = 0 y log a a = 1 4. El valor de a determina la forma de la función: o a > 1 f(x) es creciente. o 0 < a < 1 f(x) es decreciente. 5. Si la base es 10, se expresa f(x) = log x. Si la base es el número e, se expresa f(x) = Lx La función logaritmo f(x) = log a x se define como la función inversa de la función exponencial f(x) = a x. 9

10 Funciones trigonométricas: las principales funciones trigonométricas que vamos a estudiar son la función seno, la función coseno y la función tangente. 1. Función coseno: se expresa f(x) = cos x o Dom(f) = R o 1 cosx 1 x R Im(f) = [ 1,1] o Es una función par porque f( x) = cos( x) = cosx = f(x) (función simétrica respecto del eje Y) o cos0 = 1 ; cos π 2 = 0 ; cosπ = 1 ; cos 3π 2 = 0 ; cos2π = 1 o Es periódica de periodo 2π radianes cos(x + 2kπ) = cosxk Z. Para representarla, basta dar valores en el intervalo [0, 2π] y repetir la gráfica. 2. Función seno: se expresa f(x) = sen x o Dom(f) = R o 1 senx 1 x R Im(f) = [ 1,1] o Es una función impar porque f( x) = sen( x) = senx = f(x) (función simétrica respecto el origen de coordenadas) o sen0 = 0 ; sen π = 1 ; senπ = 0 ; sen 3π = 1 ; sen2π = o Es periódica de periodo 2π radianes sen(x + 2kπ) = senx k Z. Para representarla, basta dar valores en el intervalo [0, 2π] y repetir la gráfica. 3. Función tangente: se expresa f(x) = tgx y se define como tgx = senx cosx o Está definida en todos los números reales, excepto aquellos que anulan la función o o o coseno, es decir, puntos del tipo π + kπ. Dom(f) = R 2 {π + kπ} k Z 2 Im(f) = R Es una función impar f( x) = tg( x) = sen( x) = senx = tg(x) = f(x) cos ( x) cosx Es periódica de periodo π radianes tg(x + kπ) = tgx k Z. Para representarla, basta dar valores en el intervalo [0, π] y repetir la gráfica. 10

11 Es importante conocer los valores de las razones trigonométricas de determinados ángulos, como los siguientes: A continuación, estudiamos las principales razones trigonométricas entre ángulos: RELACIONES ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE DETERMINADOS ÁNGULOS Ángulos suplementarios: α y 180 o - α Ángulos complementarios: α y 90 o -α sen (180 o - α) = sen α cos (180 o - α) = - cos α tg (180 o - α) = - tg α sen (90 o - α) = cos α cos (90 o - α) = sen α tg (90 o - α) = 1/tg α Ángulos que difieren en 180 o : α y 180 o + α Ángulos opuestos: α y - α =360 o - α sen (180 o + α) =- sen α sen(-α)= -sen α cos (180 o + α) = - cos α tg (180 o + α) = tg α cos(-α) = cos α tg(-α)= - tg α 11

12 Funciones definidas a trozos: es una función formada por distintas expresiones algebraicas dependiendo del intervalo al que pertenezca la variable independiente. Para estudiar la función hay que estudiar cada expresión algebraica de forma independiente. Ejemplo 7 Estudiar el dominio de la siguiente función y representarla. 1 si x < 1 f(x) = { x x + 2 si 1 x 3 x 2 6x + 5 si x > 3 Estudiamos el dominio de la función según los distintos intervalos: 1. x < 1 entonces f(x) = 1. Como bien sabemos, el dominio de la función de x proporcionalidad inversa es Dom(f) = R {0}. Pero en este caso, x =0 no pertenece al intervalo en el que estamos trabajando, por tanto, f(x) = 1 está definida para todo x < 1. x 2. 1 x 3 entonces f(x) = x + 2 función lineal, cuyo dominio es R. 3. x > 3 entonces f(x) = x 2 6x + 5 función cuadrática, cuyo dominio es R. Unificando toda la información anterior, podemos concluir que el dominio de la función es R. Función valor absoluto: esta función asocia a cada número real su valor absoluto y se puede considerar como una función definida a trozos: x si x 0 f(x) = x = { x si x < 0 Se observa que no hay gráfica debajo del eje de abscisas (eje X) 12

13 Función parte entera: esta función asocia a cada número real su parte entera, es decir, el primer entero menor o igual que él. f(x) = [x] Se puede considerar una función definida a trozos, con infinitos intervalos, en los que la función es constante. f(x) = { 1 si x [ 1, 0) 0 si x [0, 1) 1 si x [1, 2) 13