Regla de la Cadena. df(x + tv) t=0

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Pascual Guzmán Correa
hace 6 años
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1 Regla de la Cadena Teorema: Si f : R R es diferenciable, entonces todas las derivadas direccionales existen. La derivada direccional en x en la dirección v está dada por [ ] [ ] [ ] Df v (x) = gradf(x) v = f(x) v = x (x) v + y (x) v2 + z (x) v Dem: Sea c(t) = x + tv de manera f(x + tv) = f(c(t)) aplicando el caso particular de la regla de la cadena df(c(t)) = f(c(t)) d(t) dt por otro lado c(0) = f(x), c (t) = v por lo tanto c (0) = v, así que df(x + tv) Df v (x) = dt = f(x) v t=0 Ejemplo: Sean f(x, y, z) = z 2 e yz. Calcular la razón de cambio de f en la dirección del vector unitario v = (,, ) en (, 0, 0) Solución: f v = (2xe yz, zx 2 e yz, yx 2 e yz ) (,0,0) (,, ) = (2, 0, 0)(,, ) = 2 Teorema: Supongamos que f(x) 0. Entonces f(x) apunta en la dirección a lo largo de la cual f crece mas rapido. Dem: Si v es un vector unitario, la razón de cambio de f en la direccón de v esta dada por f(x) v y f(x) v = f(x) v Cosθ = f(x) Cosθ donde θ es el ángulo entre f, v. Esta es máximo cuando θ = 0 y esto ocurre cuando v, f son paralelos. En otras palabras, si queremos movernos en una direcciön en la cual f va a crecer más rapidamente, debemos proceder en la direcciön en la cual f decrece más rapido, habemos de proceder en la dirección f. Caso particular de la regla de la cadena Supongamos que C : R R 2 es una trayectoria diferenciable y f : R R. Sea h(t) = f(c(t)) = f(x(t), y(t), z(t)) donde c(t) = (x(t), y(t), z(t)). Entonces t = x x t + y y t + z Esto es t = f(c(t)) c (t) donde c (t) = (x (t), y (t), z (t)) Dem: Por definición dh h(t) h(t 0 ) t 0 dt (t 0) = lím f(x(t), y(t), z(t)) f(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) sumando y restando h(t) h(t 0) = f(c(t)) f(c(t 0)) = f(x(t), y(t), z(t)) = + f(x(t 0), y(t), z(t)) + f(x(t 0 ), y(t), z(t)) f(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t)) + f(x(t 0 )), y(t 0 ), z((t)) f(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) ( )

2 Aplicando el T.V.M. f(x(t), y(t), z(t)) f(x(t 0 ), y(t), z(t)) = x (c, y(t), z(t))(x(t) x(t 0)) f(x(t 0 ), y(t), z(t)) f(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t)) = y (x(t), d, z(t)(y(t) y(t 0)) f(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t)) f(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) = y (x(t), y(t), e)(z(t) z(t 0)) = x (c, y(t), z(t))(x(t) x(t 0))+ y (x(t), d, z(t))(y(t) y(t 0))+ z (x(t), y(t), e)(z(t) z(t 0)) tomando lím t t 0 y por la continuidad de las parciales t = x x t + y y t + z Ejemplo: Verificar la regla de la cadena para f(u, v, w) = u 2 +v 2 w donde u(x, y, z) = x 2 y, v(x, y, z) = y 2, w(x, y, z) = e xz así u u x + v v x + w n w x = 2x2 y(2xy) + ze xy = Ejemplo: En que dirección desde (0, ) crece mas rapido f(x, y) = x 2 y 2? Sol: El gradiente es f = (2x, 2y) (0,) = (0, 2) 2

3 Ahora cuando hablamos de los conjuntos de nivel f(x, y = k), si tenemos que c(t)ɛf f(c(t)) = K f (c(t)) = 0 f(c(0)) v = 0 Si v es un vector tangente t=0 entonces f es ortogonal a los conjuntos de nivel El gradiente es normal a las superficies de nivel. Sea f : R R una aplicación C y sea (x 0, y 0, z 0 ) un punto sobre la superficie de nivel S definida por f(x, y, z) = k, k = cte. Entonces f(x 0, y 0, z 0 ) Es normal a la superficie de enivel en el siguiente sentido: si v es el vector tangente en t = 0 de una trayectoria c(t) con c(0) = (x 0, y 0, z 0 ) entonces f v = 0. Dem: Sea c(f) en S, entonces f(c(t)) = K. Sea v como en la hipotesis entonces v = c (0) 0 = d dt f(c (t)) f(c(0)) v t=0

4 Caso particular de la regla de la cadena Supongamos que C : R R es una trayectoria diferencias y f : R R. Sea h(t) = f(c(t)) = f(x(t), y(t), z(t)) donde c(t) = x(t), y(t), z(t). Entonces t = x x t + y y t + z Esto es t = f(c(t)) c (t) donde c (t) = (x (t), y (t), z (t)) Demostración: Por definición t (t 0) = lím t 0 h(t) h(t 0 ) h(t) h(t 0 ) = f(c(t)) f(c(t 0)) = f(x(t), y(t), z(t)) f(x(t 0), y(t 0 ), z(t 0 )) sumando y restando = f(x(t), y(t), z(t)) f(x(t 0 ), y(t), z(t)) + f(x(t 0 ), y(t), z(t)) f(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t)) + f(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t)) f(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) Aplicando el Teorema del Valor Medio f(x(t), y(t), z(t)) f(x(t 0 ), y(t), z(t)) = x (c, y(t), z(t))(x(t) x(t 0)) f(x(t 0 ), y(t), z(t)) f(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t)) = y (x(t), d, z(t))(y(t) y(t 0)) f(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t)) f(x(t 0 ), y(t 0 ), z(t 0 )) = z (x(t), y(t), e)(z(t) z(t 0)) ( ) = (x(t) y(t)) (c, y(t), z(t)) x t t 0 + (x(t), d, z(t)) (y(t) y(t 0)) y t t 0 + (x(t), y(t), e) (z(t) z(t 0)) z t t 0 tomando el lím y por la continuidad de las parciales t t0 t = x x t + y y t + z... ( )

5 Ejemplo: Verificar la regla de la cadena para f(u, v, w) = u 2 + v 2 w donde u(x, y, z) = x 2 y, v(x, y, z) = y 2, w(x, y, z) = e xz asi u u x + v v x + w w x = 2x2 y(2xy) + ze xz Teorema: Si f : R R es diferenciable, entonces todas las derivadas direccionales existen. La derivada [ direccional ] en [ x en la ] dirección [ v ] esta dada por Df v (x) = gradf(x) v = f(x) v = x (x) v + y (x) v 2 + z (x) v Demostración: Sea c(t) = x + tv de manera f(x + tv) = f(c(t)) aplicando el caso particular de la regla de la cadena df(c(t)) = f(c(t)) d(t) dt por otro lado c(0) = f(x), c (t) = v c (0) = v asi que df(x + tv Df v (x) = dt = f(x) v t=0 Ejemplo: Sean f(x, y, z) = z 2 e yz. Calcular la razón de cambio de f en la dirección del vector ( ) unitario v =,, en (,0,0) Solución : ( f v = (2xe yz, zx 2 e yz, yx 2 e yz ) (,0,0) ( ) = (2, 0, 0),, ),, = 2 Teorema: Supongamos que f(x) 0. Entonces f(x) apunta en la dirección a lo largo de la cual f crece mas rapido. Demostración: Si v es una recta unitaria, la razón de cambio de f en la dirección v esta dada por f(x) v y f(x) v = f(x) v cos θ = f(x) cos θ donde θ es el ángulo entre f(x), v. Este es máximo cuando θ = 0 y esto ocurre cuando v, f(x), son paralelos. En otras palabras, si queremos movernos en una dirección en la cual f va a crecer más rapidamente, debemos proceder en la dirección en la cual f decrece más rápido, habremos de proceder en la dirección f(x). 2

6 Ejemplo: En que dirección desde (0, ) crece más rápido f(x, y) = x 2 y 2? Solución: El gradiente es f = (2x, 2y) (0,) = (0, 2) Ahora cuando hablamos de los conjuntos φ niveles f(x, y) = k, si tenemos que c(t) f f (c(t)) = 0 f(c(0)) v = 0 Si v es un vector tangente t = 0 entonces f es ortogonal a los conjuntos de nivel. El gradiente es normal a las superficies de nivel. Sea f : R R una aplicación C y sea (x 0, y 0, z 0 ) un punto sobre la superficie de nivel S definida por f(x, y, z) = k, k = cte. Entonces f(x 0, y 0, z 0 ) es normal a la superficie de nivel en el siguiente sentido: si v es el vector tangente en t = 0 de una trayectoria c(t) con c(0) = (x 0, y 0, z 0 entonces f v = 0 Demostración: Sea c(t) en S, entonces f(c(t)) = k. Sea v como en la hipotesis entonces v = c (0) 0 = d df t=0 f(c(t)) f(c(0)) v

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