Matemáticas UNIDAD 1 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS. Material de apoyo para el docente. Preparado por: Héctor Muñoz

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1 CONSIDERACIONES METODOLÓGICAS Material de apoyo para el docente UNIDAD 1 Preparado por: Héctor Muñoz Diseño Gráfico por:

2 INTRODUCCIÓN A LAS POTENCIAS 1. BREVE PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD En esta Unidad se introduce el concepto de potencia. Las potencias de exponente natural mayor que 1 son definidas como una forma abreviada de escribir una multiplicación de factores iguales. Por generalización, se considera que una potencia de exponente 1 es equivalente a la base. Especial atención se presta en esta Unidad a las potencias de 10 y a algunas de sus propiedades más relevantes. Se analizan procedimientos de multiplicación y división de potencias de 10 y de multiplicación y división de un número natural por una potencia de 10. Dado que aún no se han introducido los números decimales, el caso de la división por una potencia de 10 se aplica solo a números naturales terminados en ceros de modo que el cuociente sea un número natural. Como una aplicación directa de lo visto, se presenta la expresión de la descomposición canónica en términos de una adición de productos de un dígito por una potencia de APRENDIZAJES ESPERADOS En esta Unidad se propone organizar los contenidos a tratar en dos secciones: a. Interpretación de las potencias. b. Potencias de Interpretación de las potencias Las potencias se introducen como una multiplicación de factores iguales (primer aprendizaje esperado). En tal sentido, hay un paralelo entre la potenciación y la multiplicación, considerada esta como una adición de sumandos iguales. Esta definición es aplicable solo a potencias de exponente natural mayor que 1. Por tal razón, se hará necesario más adelante dar una definición a las potencias de exponente 1, exponente 0 y exponente negativo. Posteriormente, en Educación Media, habrá que ir más allá y abarcar también las potencias de exponente fraccionario o decimal. Por razones metodológicas, el estudio de potencias en este nivel se limita asimismo a los casos de potencias de base natural, puesto que aún no se ha tratado la multiplicación de fracciones ni decimales. Una vez introducida la definición, se denominan la base y el exponente y se establece lo que ellos representan (segundo aprendizaje esperado). Se muestra con ejemplos que base y exponente no son intercambiables, es decir, la potenciación no es una operación conmutativa. APRENDIZAJES ESPERADOS Interpretación de las potencias Interpretan potencias de base y exponente natural como multiplicación de factores iguales. Identifican e interpretan la base y el exponente en una potencia. Determinan el valor numérico de una potencia de base y exponente natural. Resuelven problemas que involucran cálculo de potencias. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 1

3 Se presenta luego una interpretación para las potencias de exponente 1 y se determina el valor numérico de potencias dada su base y su exponente (tercer aprendizaje esperado). Dos casos especiales que merecen atención son las potencias de base 1 y las potencias de base 0. El tratamiento del tema se complementa con resolución de problemas que involucren potencias (cuarto aprendizaje esperado). 2.2 Las potencias de 10 En la segunda sección la atención se centra en las potencias de 10. Aplicando la definición de potencia se establece que todas las potencias de 10 corresponden a los números que se escriben con un 1 seguido de ceros y que el número de ceros es igual al exponente de la potencia de 10. De esa forma, resulta muy fácil establecer el valor numérico de una potencia de 10 o, a la inversa, expresar como potencia de 10 cualquier número formado por un 1 seguido de ceros (primer aprendizaje esperado). Lo anterior permite establecer procedimientos para multiplicar y dividir potencias de 10 (segundo aprendizaje esperado), anticipando lo que se verá en 7º con potencias de cualquier base positiva. En el caso de la división de potencias de 10 debemos excluir los casos en que el dividendo es igual o menor que el divisor, ya que ello conduce a potencias de exponente 0 o negativo. La multiplicación de un número natural por una potencia de 10 es una operación conocida con anterioridad, aunque entonces la potencia de 10 no estaba expresada como potencia (tercer aprendizaje esperado). APRENDIZAJES ESPERADOS Las potencias de 10 Identifican y establecen el valor de potencias de 10 de exponente natural. Conocen y aplican procedimientos de cálculo de multiplicación y de división de potencias de 10. Multiplican mentalmente un número natural por una potencia de 10. Dividen mentalmente un número natural terminado en ceros por una potencia de 10. Expresan números terminados en ceros como un producto de la forma a 10 n. Expresan la descomposición canónica de un número natural con potencias de 10. Algo parecido sucede con la división de un número natural terminado en ceros por una potencia de 10 para los casos en que el cuociente es un número natural (cuarto aprendizaje esperado). Lo anterior conduce a la posibilidad de expresar cualquier número natural terminado en ceros como el producto de un número natural menor por una potencia de 10 (quinto aprendizaje esperado). Esto prepara la introducción en años posteriores de la notación científica y la posibilidad de expresar números muy grandes con ayuda de potencias de 10 y evitar así el uso de números con una cantidad demasiado grande de cifras. Finalmente, como una aplicación directa de esta forma de escribir números terminados en ceros, se presenta una forma de expresar la descomposición canónica en forma de una adición en que cada sumando es el producto de un dígito por una potencia de 10 (sexto aprendizaje esperado). FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 2

4 3. OBSERVACIONES Y COMENTARIOS ACERCA DEL ENFOQUE METODOLÓGICO 3.1 Acerca de la definición de potencia En 3º básico se define multiplicación como una adición de sumando iguales. Así, la adición es igual al producto 5 3 (5 veces 3). Esta definición es fácil de captar por el estudiante y proporciona un procedimiento simple para determinar el valor de las combinaciones multiplicativas básicas. Sin embargo, se tropieza con problemas cuando uno o los dos factores son fracciones, números decimales o números negativos y es necesario ampliar el campo de aplicación de la multiplicación cuidando de conservar sus propiedades más fundamentales. En el caso de la introducción de las potencias enfrentamos una situación similar. Se parte definiendo una potencia como una multiplicación de factores iguales. Esta definición recuerda la definición inicial de la multiplicación como adición de sumando iguales y resulta simple y fácil de captar por los estudiantes. Pero tiene el inconveniente que solo es aplicable a potencias de exponente natural mayor que 1. Para poder ampliar su campo de aplicación será necesario introducir algunas definiciones adicionales sobre la base de conservar las propiedades más fundamentales. En 6º año se trabaja con la definición inicial con un solo agregado: la definición de las potencias de exponente 1. Establecer que a 1 = a no es algo que podamos demostrar. Es una definición complementaria que adoptamos como generalización de la definición inicial dada. Por ejemplo, analicemos la siguiente secuencia: a 4 = a a a a a 3 = a a a a 2 = a a a 1 =? Vemos que en a 4 el producto tiene 4 factores a. Luego vamos disminuyendo uno a uno el número de veces que aparece el factor a. Parece razonable considerar que a 1 = a. Y eso lo establecemos como una definición que complementa la anterior. Lo que sí podemos demostrar aplicando las definiciones dadas es que, para todo número natural n, 0 n = 0, y 1 n = 1. (Quedan excluidos los casos 0 0 y 1 0 pues por el momento las potencias de exponente 0 no han sido definidas. En 7º año podremos levantar la restricción para 1 0, no así para 0 0 que lleva a una situación de indefinición similar a la que se produce con la división 0 : 0 o la fracción 0/0.). 3.2 El trabajo con las potencias de 10 Las potencias de 10 constituyen un conjunto muy especial en el sistema de numeración. La razón de ello radica en que nuestro sistema de numeración es un sistema de base 10. Debido a eso, las potencias de 10 aparecen en el principio de valor de posición y las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división por una potencia de 10 resultan muy simples y pueden efectuarse mentalmente. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 3

5 A causa de su relevancia, los estudiantes han tenido oportunidad de conocer las potencias de 10 como aquellos números formados por un 1 seguido de ceros: 10, 100, 1.000, , etc. Ahora podrán conocer nuevas facetas de estos números: Resultan ser potencias, en el sentido que son un producto de factores iguales. En este caso, los factores son todos iguales a 10. El exponente de una potencia de 10 está directamente relacionado con la cantidad de ceros, de modo que es muy simple establecer mentalmente el valor numérico de cualquier potencia de 10 y, viceversa, es muy simple expresar como potencia de 10 cualquier número formado por un 1 seguido de ceros. La multiplicación y división de potencias de 10 es asimismo muy simple: basta agregar o eliminar ceros. La única restricción que debemos respetar todavía es que en la división el exponente de la potencia de 10 del dividendo debe ser mayor que el de la potencia de 10 del divisor. De esta forma, propiedades básicas de las potencias, como son su interpretación y las operaciones de multiplicación y división se presentan al alumno o alumna en un contexto familiar en que las operaciones son sencillas y fáciles de realizar. El próximo año cuando se profundice y generalice el estudio de las potencias, lo que se vio este año servirá de estructura de base que hará más simple su comprensión y aprendizaje. El trabajo con potencias de 10 incluye este año asimismo la sistematización de los procedimientos de cálculo de multiplicaciones y divisiones de un número natural por una potencia de 10, con la única limitación que en el caso de la división el cuociente siga siendo un número natural. Esto conduce a la posibilidad de expresar cualquier número natural terminado en ceros como el producto de un número natural menor por una potencia de 10 y a la posibilidad de expresar la descomposición canónica como una adición en que cada sumando es un producto de un dígito por una potencia de 10. FUNDACIÓN CHILE - Educación - Mejor Escuela. 4