10 MUESTREO. n 1 9/ / σ σ 1

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Alicia Santos Rojas
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1 10 MUESTREO 1 Cómo varará la desvacó típca muestral s se multplca por cuatro el tamaño de la muestra? Y s se aumeta el tamaño de la muestra de 16 a 144? S µ y so la meda y la desvacó típca poblacoales, y se extrae muestras de tamaño, etoces la dstrbucó muestral de la meda tee ua meda µ µ y ua desvacó típca. 1 S se toma muestras de tamaño ' 4, etoces. 4 S el tamaño muestral pasa de 16 a 144 9, la desvacó típca pasa 1 de a Cosderemos la poblacó {1,, 3, 4}. a) Calcular la meda y la desvacó típca de la poblacó. b) Formar todas las muestras co reemplazameto de tamaño, y calcular la meda y la desvacó típca de las medas muestrales. c) Comparar los resultados de a) y b) a) µ ; ; b) Las muestras de tamaño que puede formarse co reemplazameto a partr de la poblacó {1,,3,4}, co # N 4, so las varacoes baras co repetcó de los elemetos de, e úmero de VR 4, Explíctamete, estas muestras y sus medas so: M (1,1) (1,) (1,3) (1,4) (,1) (,) (,3) (,4) x 1 3/ 5/ 3/ 5/ 3 (3,1) (3,) (3,3) (3,4) (4,1) (4,) (4,3) (4,4) 5/ 3 7/ 5/ 3 7/ 4 La dstrbucó muestral de las medas es: x 1 3/ 5/ 3 7/ x x 1 9/4 4 5/4 9 49/4 16 x 1 9/ / ER MUESTREO 145

2 La meda y desvacó típca de la dstrbucó muestral de las medas so: x 40 5 µ, que cocde co la meda poblacoal, 16 x µ ( ) µ /, que o cocde co 5, so que es c) La comparacó está hecha. 3 Las calfcacoes obtedas por los alumos de Estadístca de Segudo de Bachllerato de la provca de Graada está dstrbudas segú ua ley descoocda de meda 6,4 y desvacó típca 1,8. S se elge ua muestra aleatora smple de 11 alumos, calcular: a) La probabldad de que la meda muestral sea a lo sumo 6,6. b) La probabldad de que la meda muestral esté etre 6,4 y 7,4. Auque sga ua ley descoocda, de meda µ 6,4 y desvacó típca 1,8, como el tamaño de la muestra 11 > 30 es sufcetemete grade, por el Teorema Cetral del Límte, la meda muestral sgue aproxmadamete ua ley ormal 1,8 ~ N( µ µ 6, 4 ; 0, ) 11 µ a) Tpfcamos la varable y Z ~ N(0; 1), luego: / 6,4 6,6 6,4 ( 6,6 ) ( Z 1, ) 0,889 0, , ,4 6,4 7,4 6,4 b) ( 6,4 < 7,4 ) < Z (0 < Z 6,1111) Φ( 6,1111) Φ( 0 ) 0, , ,0000 0,5000 0,5 146 ESTADÍSTICA J. Sáchez-Mª S. Sáchez

3 4 Supogamos que la logtud de las truchas de Rofrío se dstrbuye ormalmete co meda 4,5 cm y desvacó típca 4 cm. Se toma ua muestra de 5 truchas. a) Calcular la probabldad de que la meda muestral esté compredda etre cm y la meda poblacoal. b) Calcular la probabldad de que la meda muestral sea mayor o gual que 6 cm. c) Qué tamaño ha de teer las muestras s se sabe que la probabldad de que la meda muestral sea a lo sumo 5 es 0,6915? a) Sea la varable aleatora logtud, co ~ N(µ 4,5; 4), y sea la varable aleatora meda muestral e el muestreo, co tamaño muestral 5. Etoces, por el Teorema Cetral del Límte, sgue ua ley ormal: 4 N( µ µ 4,5; 0, 8 ) 5 µ Tpfcamos la varable, y Z ~ N (0; 1). Etoces: / ( 4,5 < 4,5 ) < Z 0 ( 3,15 < Z 0 ) Φ(0 ) Φ( 3,15 ) 0,8 0 '5000 0, , ,5 b) ( 6 ) 1 ( < 6 ) 1 Z < 1 ( Z < 1,875 ) 0,8 1 0,9696 0,0304 c) Se trata de hallar el tamaño muestral sabedo que ( 5 ) 0, ,5 Z 0,6915 0,15 4 ( ) 0,6915 0,15 0, ER MUESTREO 147

4 5 Ua máqua fabrca bolas cuyo dámetro es ua varable aleatora de ley descoocda de meda 0 mm y desvacó típca 1 mm. Se extrae a tervalos regulares muestras de tamaño 100. a) Cuál es la ley de probabldad de la meda muestral,? b) Calcular la probabldad de que la meda muestral sea feror o gual a 19,5 mm a) Auque sga ua ley descoocda, de meda µ 0 y desvacó típca 1, como el tamaño de la muestra 100 > 30 es sufcetemete grade, por el Teorema Cetral del Límte, la meda muestral sgue aproxmadamete ua ley ormal 1 ~ N( µ µ 0 ; 0, 1) 10 µ b) Tpfcamos la varable y Z ~ N(0; 1), luego: / ( 0 19,5 0 19,5 ) 0,1 0,1 ( Z 5 ) 1 ( < 5 ) 0 6 Ua máqua fabrca bolas cuyo dámetro es ua varable aleatora de ley ormal de meda 0 mm y desvacó típca 1 mm. Se extrae a tervalos regulares muestras de tamaño 4. a) Cuál es la ley de probabldad de la meda muestral,? b) Calcular la probabldad de que la meda muestral sea mayor o gual a 0,5 mm. a) Ahora sgue ua ley ormal, de meda µ 0 y desvacó típca 1, y auque el tamaño de la muestra 4 sea pequeño, por el Teorema Cetral del Límte, la meda muestral sgue ua ley ormal 1 ~ N( µ µ 0 ; 0, 5 ) µ b) Tpfcamos la varable y Z ~ N(0; 1), luego: / ( 0 0,5 0 0,5 ) ( Z 1) 1 ( < 1) 1 Φ(1) 0,5 0,5 1 0, , ESTADÍSTICA J. Sáchez-Mª S. Sáchez

7 E ua clíca materal se ha estmado que la proporcó de varoes acdos e u certo período largo de tempo es del 45%. Calcular la probabldad de que e los próxmos 100 acmetos: a) Sea varoes más del 50%.

S el valor estmado de la proporcó de varoes es pˆ 0, 45 y el tamaño muestral es 100, la varable aleatora, proporcó de varoes e la poblacó, sgue ua ley ormal pˆ ) 0,45 0,55 ~ N( µ pˆ 0, 45 ; 0, 0497 )

5 7 E ua clíca materal se ha estmado que la proporcó de varoes acdos e u certo período largo de tempo es del 45%. Calcular la probabldad de que e los próxmos 100 acmetos: a) Sea varoes más del 50%. b) Sea ñas meos del 50%. c) La proporcó de ñas esté compredda etre el 50% y el 60%. S el valor estmado de la proporcó de varoes es pˆ 0, 45 y el tamaño muestral es 100, la varable aleatora, proporcó de varoes e la poblacó, sgue ua ley ormal pˆ ) 0,45 0,55 ~ N( µ pˆ 0, 45 ; 0, 0497 ) 100 a) r( > 0,50 ) 1 r( 0,50 ) 1 F(0,50 ) 1 0,848 0, 157, dode F(x) es la fucó de dstrbucó acumulatva de la pˆ ) N( µ pˆ 0, 45 ; 0, 0497 ) o tpfcada, ya que ECEL posblta su uso: b) Suceso equvalete al ateror: r( 1 < 0,50 ) r( > 0,50 ) 0,157 c) r( 0,5 < 1 < 0,6 ) r( 0,6 < 1 < 0,5 ) r( 0,4 < < 0,5 ) F (0,5 ) F(0,4 ) 0,848 0,157 0, ER MUESTREO 149

6 8 Se sabe que el 35% de los adultos de certa cudad es usuaro habtual del autobús. S se elge al azar ua muestra de 100 adultos de dcha cudad, cuál es la probabldad de que más de 40 sea usuaros habtuales del autobús? S el valor estmado de la proporcó de usuaros es pˆ 0, 35 y el tamaño muestral es 100, la varable aleatora, proporcó de usuaros e la poblacó, sgue ua ley ormal pˆ ) 0,35 0,65 ~ N( µ pˆ 0, 35 ; 0, 0477 ) 100 r( > 0,40 ) 1 r( 0,40 ) 1 F(0,40 ) 1 0,857 0, Hallar la probabldad de que e 10 lazametos de ua moeda o trucada la proporcó de caras resultate esté compredda etre el 40% y el 60%. Ahora pˆ 0, 50 y el tamaño muestral es 10, la varable aleatora, proporcó de caras, sgue ua ley ormal pˆ ) 0,50 0,50 ~ N( µ pˆ 0, 50 ; 0, 0456 ) 10 Etoces: r( 0,40 < < 0,60 ) F(0,60 ) F( 0,40 ) 0, ESTADÍSTICA J. Sáchez-Mª S. Sáchez

7 10 Los resultados de uas eleccoes mucpales muestra que u certo caddato obtuvo el 46% de los votos. Determar la probabldad de que, de 1000 dvduos elegdos al azar de etre la poblacó votate, se hubese obtedo ua mayoría de votos para dcho caddato. Ahora pˆ 0, 46 y el tamaño muestral es 1000, la varable aleatora, proporcó de votates al caddato e la poblacó, sgue ua ley ormal pˆ ) 0,46 0,54 ~ N( µ pˆ 0, 46 ; 0, 0158 ) 1000 r( > 0,50 ) 1 r( 0,50 ) 1 F(0,50 ) 1 0,857 0, ER MUESTREO 151

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