2. CARACTERES Y VARIABLES ESTADÍSTICAS. Carácter estadístico: Propiedad o característica de la población que se desea estudiar.

Transcripción

1 IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I UIA VARIABLES ESTAÍSTICAS UIIMESIOALES. ITROUCCIÓ A LA ESTAÍSTICA ESCRITIVA. La estadístca es la parte de las matemátcas que se ocupa de recoger, orgazar y aalzar grades catdades de datos para estudar las característcas o comportameto de u colectvo. Uo de sus prcpales objetvos es realzar ua sítess de la formacó recogda. ara ello se calculará ua sere de valores umércos o parámetros que permtrá resumr la formacó que prevamete se agrupará e ua tabla estadístca de frecuecas. e esta maera podremos descrbr y comparar el comportameto de dversas dstrbucoes. Se puede cosderar como atecedetes de la estadístca cualquer recueto que e socedades prmtvas se pudera hacer sobre cabezas de gaado, bees S embargo, formalmete podemos cosderar que los atecedetes de la estadístca está regstrados por los prmeros cesos como los llevados a cabo e Cha alrededor del año a.c. osterormete fue avazado co el coocmeto humao desarrolládose como ceca a partr de los sglos XV y XVI. TERMIOLOGÍA BÁSICA: oblacó: Cojuto de elemetos que so objeto del estudo estadístco. Idvduo: Cada uo de los elemetos de la poblacó. Muestra: Subcojuto de la poblacó elegdo para realzar u estudo estadístco. Se toma ua muestra cuado o es factble observar la característca objeto de estudo e todos los dvduos de la poblacó. or ejemplo, s se quere coocer la tecó de voto e uas eleccoes. La muestra debe ser represetatva de la poblacó, es decr, las coclusoes obtedas de su estudo se puede eteder a toda la poblacó. stgumos dos tpos de estadístca: ESTAÍSTICA ESCRITIVA: Hace el estudo sobre la poblacó completa. o hay gú grado de certdumbre. IFERECIAL: arte de los resultados de ua muestra para obteer coclusoes para la poblacó co u determado grado de fabldad.. CARACTERES Y VARIABLES ESTAÍSTICAS. Carácter estadístco: ropedad o característca de la poblacó que se desea estudar. stgumos dos tpos de caracteres: TIOS E CARACTERES CUALITATIVOS: o Se puede medr. Se descrbe sus dsttas modaldades co palabras: color de los ojos, estado cvl, marca de u automóvl, profesó També se llama ATRIBUTOS. CUATITATIVOS: Se puede medr, es decr, toma valores umércos: estatura, coefcete telectual Varables estadístcas: Los caracteres cuattatvos puede tomar dsttos valores. eterma, por tato, ua varable estadístca. TIOS E VARIABLES ESTAÍSTICAS ISCRETA: Toma valores aslados: úmero de hjos, úmero de goles e la lga e los dsttos equpos de fútbol. COTIUA: uede tomar cualquer valor e u tervalo dado: estatura de los alumos del cetro, presó, temperatura epartameto de Matemátcas rofesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Estadístca y robabldad Udad : Varables Estadístcas Udmesoales

2 IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I or tato: CUALITATIVOS O ATRIBUTOS TIOS E CARACTERES ISCRETA CUATITATIVOS VARIABLE ESTAÍSTICA COTIUA. ORGAIZACIÓ E ATOS. TABLAS ESTAÍSTICAS E FRECUECIAS. Frecueca absoluta de ua modaldad o valor : úmero de veces que se repte ese valor o modaldad. Frecueca absoluta acumulada Frecueca relatva Frecueca relatva acumulada : + +, es decr, k... + f de ua modaldad o valor F : F f + f f, o be, k : Es el cocete etre su frecueca absoluta y el úmero total de datos, es decr, F f E toda tabla estadístca de frecuecas se cumple: f. TABLA ARA CARACTERES CUALITATIVOS. Ejemplo: Al observar el color de pelo de alumos de sttuto observamos que hay co too rubo, moreos, castaños, pelrrojos y co otras coloracoes. Formamos la tabla estadístca de frecuecas: COLOR E ELO Rubo Moreo Castaño elrrojo Otros f /. /. /. /. /.. TABLA ARA ATOS O AGRUAOS. Ejemplo: U profesor tee aotadas e su cuadero las otas de los alumos/as de ua clase: Formamos la tabla estadístca de frecuecas: otas ( ) f /. /. /. /. /. /. /. /. /. /. F /. /. /. /. /. /. /. /. /. / Esta tabla se usa co varables estadístcas dscretas co ua catdad o ecesva de datos. epartameto de Matemátcas rofesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Estadístca y robabldad Udad : Varables Estadístcas Udmesoales

3 IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I. TABLA ARA ATOS AGRUAOS E ITERVALOS O CLASES. S la varable estadístca es cotua, o be es dscreta pero co gra catdad de datos, éstos debe agruparse e tervalos o clases. Marca de clase: Valor medo de cada tervalo. Se obtee hacedo la semsuma de los etremos del tervalo. Es el valor represetatvo de ese tervalo o clase. Usualmete se toma todos los tervalos co la msma ampltud salvo que esta valores muy dspersos. E geeral, se cosderará los tervalos cerrados a la zquerda y abertos a la derecha. Ejemplo: A los empleados de ua empresa de pezas de precsó se les ha realzado ua prueba de habldad maual. E ua escala de a se ha obtedo las sguetes putuacoes: Formamos la tabla estadístca de frecuecas: Habl. Maual [, ) [, ) [, ) [, ) [, ) [, ) [, ) [, ) f /. /. /. /. /. /. /. /. F /. /. /. /. /. /. /. /. RERESETACIOES GRÁFICAS. ermte comucar medate u gráfco los resultados de u estudo estadístco.. IAGRAMA E BARRAS. Se usa co caracteres cualtatvos (atrbutos), o cuattatvos dscretos. E el eje horzotal se poe las dsttas modaldades del carácter e el caso de los atrbutos, o be los valores que toma la varable estadístca dscreta. A cotuacó se escrbe las frecuecas absolutas e el eje vertcal y se levata ua barra o rectágulo correspodete a cada modaldad o valor de altura su correspodete frecueca. El dagrama de barras de los ejemplos de los apartados. y. sería: úmero de alumos Rubo Moreo Castaño elrrojo Otros Color de pelo úmero de alumos otas epartameto de Matemátcas rofesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Estadístca y robabldad Udad : Varables Estadístcas Udmesoales

4 IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I. HISTOGRAMA. Se utlza co caracteres cuattatvos agrupados e tervalos o clases. E cada tervalo o clase se forma u rectágulo que tee por base la ampltud del tervalo y como altura su correspodete. or tato los rectágulos está udos etre sí. El hstograma del ejemplo del apartado. sería: utuacó [,) [,) [,) [,) [,) [,) [,) [,) úmero de empleados. OLÍGOO E FRECUECIAS. Se usa co todo tpo de caracteres. Es ua líea polgoal que ue los etremos de las barras que forma el dagrama de barras o los putos medos de la parte superor de los rectágulos del hstograma. El polígoo de frecuecas de los tres ejemplos aterores quedaría así: úmero de alumos Rubo Moreo Castaño elrrojo Otros Color de pelo úmero de alumos otas utuacó [,) [,) [,) [,) [,) [,) [,) [,) úmero de empleados. IAGRAMA E SECTORES. Se utlza, e la mayoría de los casos, co caracteres cualtatvos. Se dvde el círculo e sectores crculares de modo que su área sea proporcoal a la frecueca absoluta de la modaldad cosderada del carácter estudado. El dagrama de sectores del ejemplo. sería: α Rubo: α. α Moreo: α. Otros Rubo α Castaño: α. elrrojo Moreo α elrrojo: α. Castaño α Otros: α. epartameto de Matemátcas rofesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Estadístca y robabldad Udad : Varables Estadístcas Udmesoales

5 IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I. ICTOGRAMA. So dbujos alusvos a la dstrbucó que se utlza para comparar datos o agrupados e tervalos o clases. Su prcpal problema es que tee muy poca precsó.. CARTOGRAMA. Cosste e represetar sobre u mapa cualquer tpo de dato relacoado co u área geográfca.. IRÁMIES E OBLACIÓ. So dos hstogramas horzotales que comparte el eje vertcal que cotee los tervalos de clase. E uo de ellos, se represeta los datos correspodetes a la dstrbucó por edades del seo masculo y e el otro, los del seo femeo.. MEIAS E OSICIÓ. Tee como objetvo resumr, e pocos valores umércos, la formacó coteda e las tablas estadístcas de frecuecas. Estos valores represetatvos del cojuto de datos recbe el ombre de parámetros o meddas de poscó.. MEIAS E TEECIA CETRAL. Aporta valores umércos que se terpreta como resume global de la dstrbucó. MEIA ARITMÉTICA. Valor que se obtee al dvdr la suma de todos los valores de la varable, multplcados por sus Meda poderada: frecuecas absolutas, etre el úmero total de éstos. p p esos p p epartameto de Matemátcas rofesor: Ramó Lorete avarro de modo abrevado (També f ) S la dstrbucó está agrupada e tervalos o clases, será la marca de clase de cada tervalo. Bloque III: Estadístca y robabldad Udad : Varables Estadístcas Udmesoales

6 IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I Segú el estadístco Ldy Yule, u parámetro de cetralzacó o de dspersó debe verfcar: efrse de modo objetvo. Usar todas las observacoes. Teer u sgfcado cocreto. Ser secllo de calcular. restarse al cálculo algebraco. Ser poco sesble a fluctuacoes muestrales. Cálculo práctco de la meda artmétca: Caso : atos o agrupados Ejemplo: El úmero de hjos de las famlas de alumos de º de Bachllerato vee dado por la tabla: º hjos ( ) Es decr, el úmero medo de hjos por famla es de. Caso : atos agrupados e tervalos o clases Ejemplo: La duracó e horas de bombllas vee dada por la tabla:. úmero horas [, ) [, ) [, ) [, ) [, ) [, ) Es decr, la duracó meda de cada bomblla es de horas. MOA. Es el valor de la varable estadístca, o la modaldad e el caso de atrbutos, co mayor frecueca absoluta. La moda puede o ser úca, es decr, la dstrbucó puede teer dos modas, tres, e cuyo caso recbe e ombre de bmodal, trmodal Estas dstrbucoes se llama plurmodales. Cálculo práctco de la moda: Caso : atos o agrupados o atrbutos Ejemplo : S observamos la tabla de frecuecas del puto.: COLOR E ELO Rubo Moreo Castaño elrrojo Otros Mo Castaño Es decr, la moda de la dstrbucó es teer color de pelo castaño. Ejemplo : El úmero de hjos de las famlas de alumos de º de Bachllerato vee dado por la tabla: epartameto de Matemátcas rofesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Estadístca y robabldad Udad : Varables Estadístcas Udmesoales

7 IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I º hjos ( ) Mo Es decr, la moda de la dstrbucó es teer dos hjos por famla. Caso : atos agrupados e tervalos o clases Itervalo o clase modal (I Mo ): la que tee mayor frecueca absoluta. Como ua prmera apromacó puede tomarse como MOA la marca de clase de la clase modal, pero s se desea ua mayor precsó se obtedrá co la epresó: Sedo: L Límte feror de la clase modal Mo L + C ( ) + ( + ) C Ampltud de la clase modal Frecueca absoluta clase modal Ejemplo: La duracó e horas de bombllas vee dada por la tabla: Método gráfco de cálculo de la moda (semejaza) úmero horas [, ) [, ) [, ) [, ) [, ) [, ) Itervalo Modal: I [,) Mo Mo +. ( ) + ( ) Mo E dstrbucoes agrupadas Es decr, la moda de la dstrbucó es que ua bomblla dure. horas. Fíjate, ua apromacó meos precsa hubese sdo tomar la marca de clase Mo. MEIAA. Es el valor de la varable estadístca que dvde a la poblacó e dos partes guales, es decr, el % de las observacoes será ferores a dcho valor y el otro % será superores. Es, por tato, el valor que ocupa el lugar cetral e u cojuto ordeado de datos. Cálculo práctco de la medaa: E cualquer caso, lo prmero que se hará es calcular. Caso : atos o agrupados Observamos el prmer valor de las frecuecas absolutas acumuladas obtee la medaa Me como se descrbe e los dos ejemplos sguetes: gual o superor a y se Ejemplo : Ejemplo : Me + Me. Me. epartameto de Matemátcas rofesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Estadístca y robabldad Udad : Varables Estadístcas Udmesoales

8 IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I Fíjate: º) Se calcula y observamos la tabla e (frecuecas absolutas acumuladas). º) S o cocde co gú valor de Me es el valor del prmer valor tal que <. + º) S + etoces Me. Observacó: S el úmero de datos es pequeño o hace falta obteer la tabla estadístca de frecuecas: úmero mpar de datos: úmero par de datos:,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, + Me Me. Caso : atos agrupados e tervalos o clases Ua vez calculado se determa el Itervalo medao o clase medaa IMe, que es el que va a coteer a la medaa. Auque se podría tomar su marca de clase como ua prmera apromacó a la medaa, ésta se puede obteer co mayor precsó a partr de la epresó: Sedo: L Límte feror de la clase medaa Me L + C C Ampltud de la clase medaa Frecueca absoluta clase medaa Frecueca absoluta acumulada clase medaa Ejemplo: Ua estacó meteorológca regstró días de lluva el pasado año, segú se muestra e la tabla sguete: Método gráfco de cálculo de la medaa (semejaza) Ltros/ m Obtecó del tervalo medao: [, ). [, ). I Me [,) / [, ). [, ). or tato: [, ). - [, ). Me +. Me. L Me L + [, ). E dstrbucoes agrupadas. MEIAS E TEECIA O CETRAL (CUATILES). Los cuatles so meddas de poscó ya que va a sumstrar valores etre los cuales se ecuetra parte de la dstrbucó. Va a dvdr a la dstrbucó e partes guales y va a recbr dsttos ombres, segú el úmero de partes e que se dvda la dstrbucó. CUARTILES. So valores de la varable,,,, que dvde a la poblacó e partes guales. Etre dos cuartles cosecutvos se ecuetra / (%) de la poblacó. % % % % epartameto de Matemátcas rofesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Estadístca y robabldad Udad : Varables Estadístcas Udmesoales

9 IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I Es evdete que Me. Fíjate: deja por debajo el % de los datos. deja por debajo el % de los datos. deja por debajo el % de los datos. Cálculo práctco de cuartles: El procedmeto es aálogo al del cálculo de la medaa, tato e el caso de datos o agrupados como e el caso de datos agrupados e tervalos o clases. Caso : atos o agrupados Observamos el prmer valor de las frecuecas absolutas acumuladas gual o feror a, o be segú se desee obteer, o respectvamete, y se procede de la msma forma que co la medaa Caso : atos agrupados e tervalos o clases Ua vez calculado, o be, segú se desee obteer, o respectvamete, se determa el tervalo e el que se va a ecotrar el cuartl correspodete. Auque se podría tomar sus marcas de clase como ua prmera apromacó de los cuartles, éstos se puede obteer co mayor precsó a partr de las epresoes: L + C Me L + C ECILES. So valores de la varable,,,...,, que dvde la poblacó e partes guales. Etre dos decles cosecutvos se ecuetra / (%) de la poblacó. % % % % % % % % % % Cálculo práctco de decles: El procedmeto es aálogo al del cálculo de los cuartles, tato e el caso de datos o agrupados como e el caso de datos agrupados e tervalos o clases. Caso : atos o agrupados Observamos el prmer valor de las frecuecas absolutas acumuladas gual o feror a,,..., segú se desee obteer,,..., respectvamete, y se procede de la msma forma que co los cuartles. Caso : atos agrupados e tervalos o clases Ua vez calculado,,...,, segú se desee obteer,,..., respectvamete, se determa el tervalo e el que se va a ecotrar el decl correspodete. Auque se podría tomar sus marcas de clase como ua prmera apromacó de los decles, éstos se puede obteer co mayor precsó a partr de la epresó: epartameto de Matemátcas rofesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Estadístca y robabldad Udad : Varables Estadístcas Udmesoales

10 IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I k k L + C k {,,...,} ERCETILES O CETILES. So valores de la varable,,...,, que dvde la poblacó e partes guales., Etre dos percetles cosecutvos se ecuetra / (%) de la poblacó. % % % % % % % % % k Cálculo práctco de percetles: El procedmeto es aálogo al del cálculo de los cuartles y decles, tato e el caso de datos o agrupados como e el caso de datos agrupados e tervalos o clases. Caso : atos o agrupados Observamos el prmer valor de las frecuecas absolutas acumuladas gual o feror a,,..., segú se desee obteer,,..., respectvamete, y se procede de la msma forma que co los cuartles y decles. Caso : atos agrupados e tervalos o clases Ua vez calculado,,..., segú se desee obteer,,..., respectvamete, se determa el tervalo e el que se va a ecotrar el percetl correspodete. Auque se podría tomar sus marcas de clase como ua prmera apromacó de los percetles, éstos se puede obteer co mayor precsó a partr de la epresó: k k L + C k {,,...,} Ejemplo: E el ejemplo de la estacó meteorológca obteer el valor de los cuartles, del decl y del percetl : Ltros/ m [, ) [, ) [, ) [, ) [, ) [, ) [, ) E prmer lugar, hay que obteer el tervalo o clase e el que se ecuetra cada uo de los cuatles que vamos a calcular. [,) I +. [,) I +. Me. [,) I +.. epartameto de Matemátcas rofesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Estadístca y robabldad Udad : Varables Estadístcas Udmesoales

11 IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I. [,) I [,) I MEIAS E ISERSIÓ. os permte coocer el grado de agrupameto de los datos e toro a las meddas de cetralzacó.. MEIAS E ISERSIÓ ABSOLUTAS. Se utlza e estudos dvdualzados de dstrbucoes. RECORRIO O RAGO. Se defe como la dfereca etre el mayor y el meor valor de la varable: R E má mí mí má RECORRIO O RAGO ITERCUARTÍLICO. Se defe como la dfereca etre el tercer y el prmer cuartl: R E. I. mí % Me má os proporcoa la logtud del tervalo e el que se ecuetra el % de las observacoes cetrales. ESVIACIÓ MEIA RESECTO A LA MEIA. Se defe como: VARIAZA. Se defe como: epartameto de Matemátcas rofesor: Ramó Lorete avarro ( ) També se represeta co S. σ o be σ ESVIACIÓ TÍICA. Se defe como la raíz cuadrada de la varaza: σ σ Es la medda de dspersó más utlzada. os proporcoa la dspersó de los datos respeto a la meda artmétca e su msma dmesó. També se represeta co S.. MEIAS E ISERSIÓ RELATIVAS. ermte comparar dsttos grados de dspersó de dstrbucoes heterogéeas. Se va a estudar úcamete el coefcete de varacó. COEFICIETE E VARIACIÓ. Se defe como: σ C v sempre que. Se puede dar e porcetaje ermte comparar dos poblacoes o muestras para determar e cual de ellas es más represetatva su meda. Cuato meor sea el valor obtedo del coefcete de varacó más represetatva será la meda e esa poblacó o muestra. Bloque III: Estadístca y robabldad Udad : Varables Estadístcas Udmesoales

12 IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I Ejemplo: Calcula las meddas de dspersó aterores e la sguete dstrbucó de frecuecas: R má mí... ya que ; E R E. I +.. ya que. σ σ σ σ. C v. %. S la dstrbucó está agrupada e tervalos se hará gual pero tomado las marcas de clase.. IAGRAMA E TALLOS Y HOJAS. IAGRAMA E CAJAS Y BIGOTES.. IAGRAMA E TALLOS Y HOJAS. Es ua forma rápda de resumr los datos de ua dstrbucó estadístca y mateer a la vsta todas las observacoes dvduales. Ejemplo: El úmero de corbatas que se ha veddo e uos grades almacees e días so: Se ordea de meor a mayor: Se forma el dagrama de tallos y hojas:. Tallo Hojas odemos obteer la tabla estadístca de frecuecas a partr del dagrama de tallos y hojas: També se puede formar prmero el dagrama de tallos y hojas y, posterormete, ordearlos. úmero corbatas ( ) epartameto de Matemátcas rofesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Estadístca y robabldad Udad : Varables Estadístcas Udmesoales

13 IES adre oveda (Guad) Matemátcas Aplcadas a las CCSS I. IAGRAMA E CAJAS Y BIGOTES. Stetza la formacó de ua dstrbucó dvdédola e cuatro partes co gual úmero de datos. Los cuartles marca los putos de dvsó. Las cajas ecerra los datos compreddos etre cuartles y los bgotes el % de los datos que está por debajo y por ecma del prmer y tercer cuartl respectvamete. Ejemplo: Obteer el dagrama de cajas y bgotes de la dstrbucó: Hay que calcular Me,, mí,, ;. Me;. ;. má mí Me má epartameto de Matemátcas rofesor: Ramó Lorete avarro Bloque III: Estadístca y robabldad Udad : Varables Estadístcas Udmesoales