JUEGOS DE BÚSQUEDA Y EMBOSCADA MODIFICADOS

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1 7 Cogreo Nacoal de Etadítca e Ivetgacó Operatva Lleda, 8- de abrl de 3 JUEGOS DE ÚSQUEDA Y EMOSCADA MODIFICADOS P Zoroa, N Zoroa, MJ Ferádez-Sáez Departaeto de Etadítca e Ivetgacó Operatva Uverdad de Murca, 37 Epardo, Murca, Epaña E-al: procopo@ue zoroa@ue ajoe@ue RESUMEN E ete trabajo e etuda juego de búqueda y ebocada e lo que el jugador que ecode debe tuar lo objeto e puto de u retículo Se troduce la pobldad, o etudada prevaete, de que lo puto del retículo correpodete a dtta colua tega dtto peo, lo que puede dcar dferete probabldade de deteccó, lugare de dtto valor etratégco, etc Eto afectará drectaete a la fucó de pago Se reuelve tuacoe dvera, obteédoe etratega ópta y el valor del juego e cada cao Palabra y frae clave: Juego bperoale, retículo, búqueda y ebocada Clafcacó AMS: 9A5 Itroduccó Alguo problea de búqueda y ebocada e puede tratar dede el puto de vta de la teoría de juego coo juego bperoale de ua ula obre u retículo L=,,,,,, { } { } E geeral repreetareo u juego de eta caracterítca por ua tera ( X, Y, M) dode X ( L) e Y ( L) o lo cojuto de etratega de lo jugadore I y II repectvaete y M : X Y e la fucó de pago que repreeta la gaaca del jugador I y la pérdda del jugador II E Ruckle (983) y Zoroa et al (993) e etuda juego de ete tpo e lo que la fucó de pago M ( A, ) e ua fucó de A, y A y el cojuto de etratega de uo de lo jugadore e el cojuto F de toda la fucoe de,,, Eto juego puede repreetar tuacoe e la cuale {,,, } e { }

2 u jugador tee que cruzar líea que vedrá repreetada por la colua L de L, L = {} {,,, } E lo juego de ebocada el eego coloca obtáculo (a, trapa) e puto de L E lo juego de búqueda el eego ecode e puto de L objeto (areale, tea de epoaje) que el otro jugador trata de ecotrar E ete trabajo etudareo juego obre el retículo L e lo que cada ua de la colua L tee agado u peo c, por tato la fucó de pago M ( A, ) erá ahora ua fucó de A, y A L =,,, Sobre el retículo L podeo defr la traforacoe T : L L, =,,, de, j la fora T (, j) =, j+ =, j<, =, j = traforacó ducda por Tabé repreetareo por T la T obre ( L), T : ( L) ( L) Dado u ubcojuto C L, ea C la clae defda por C = { D= T T T C,,,, etero} E Zoroa et al (993), e deuetra lo guete teorea Teorea Sea G = ( X, Y, M) u juego obre u retículo L atfacedo X = F ( L) Y ( L) M ( T A T ) = M ( A ) ( A X Y = ),,,,,,,,,, Ua etratega ópta para el jugador I e la dtrbucó ufore obre X = F x( A) = xf ( A) = =, A X F Sea Y tal que M xf,,,, Y M A M A M x = = = A F A F Etoce ua etratega ópta para el jugador II e la dtrbucó obre Y cocetrada uforeete e y ( ) = o M x y el valor del juego e F,

3 Teorea Sea G = ( X, Y, M) u juego obre u retículo L atfacedo X ( L) Y = F ( L) M ( T A T ) = M ( A ) ( A X Y = ),,,,,,,,,, Ua etratega ópta para el jugador II e la dtrbucó ufore obre F y( ) = yf ( ) = =, Y F Sea A X tal que ax M A, yf ax,,, A X M A M A M A y = = = F Etoce ua etratega ópta para el jugador I e la dtrbucó obre X cocetrada uforeete e A A A x ( A) = A A A Ao y el valor del juego e M ( A, y F ) Reolucó de alguo cao F Dado A y ubcojuto de L, podreo = L =,,, A, = A = A y Juego de ebocada poderado Sea k,, k,, k, etero tale que k, L, y c c c Llaareo juego de ebocada poderado al juego ( X, Y, M ) tal que X = F Y = : L,, L k, =,,, { } M A, = c A, L = c H = { A L = } H dode : cotate E evdete que ua clae copleta de etratega para el jugador II e la forada por la etratega de cardal gual a Por er X = F podeo aplcar el Teorea co lo que obteeo que ua etratega ópta para el jugador I e la dtrbucó ufore obre F, x F Para obteer 3

4 ua etratega ópta para el jugador II heo de deterar M x ea ío F, Sea k p tal que p p k < k y = = L tal que p = (, j) : j k para < p, j k para = p = e cuplrá M ( xf, ) = M ( xf, ) Por tato, ua etratega ópta para el jugador II erá la dtrbucó ufore obre y el valor del juego e p p v= M ( xf, y ) = M ( xf, ) = c( k) + + k + c = = = p+ Ete juego e ua odfcacó del juego de ebocada Abuh Gae que aparece e Zoroa et al (993) Juego de búqueda poderado E certo odo étrco del ateror, teeo el Juego de búqueda poderado que e ua geeralzacó del Juego de búqueda ple, tratado e Ruckle (983), a la tuacó que o ocupa Sea k,, k,, k etero tale que < k+ k + + k y c, =,,, cotate tale que c c c E el juego de búqueda poderado la tera( X, Y, M ) etá forada por X = F Y = L = L k = { :,,,,,, }, = M A c A L Podeo aplcar el Teorea y obteeo que la dtrbucó ufore obre el cojuto de toda la fucoe x F, e ua etratega ópta para el jugador I Para obteer ua etratega ópta para el jugador II heo de calcular el ío M xf, = M A, Y A F 4

5 = c A A F = c A A F S llaao = = L reulta M ( xf, ) = c Por tato heo de calcular M x, = c = c + c+ + c F dode lo c k S la hpóte pueta o k, k = Veao prero que ua clae copleta de etratega e la forada por lo Y, tale que =, pueto que dado Y, co = + h, k epre podeo toar u ubcojuto de tal que =, k upredo h eleeto e la colua adecuada y erá M A, = c c = M A, H H { } { } co H = : A ; H = : A y H H pueto que A A Por tato podeo coderar ólo lo eleeto de Y de cardal S k = el ío e alcazará e u que tega k eleeto e la colua L S > k hay que hacer ía la ua c co =, k, =,,, Heo upueto c c c c = ck + c, y = = k > = = = p p Toareo = = Sea p tal que ( k ) < ( k ) y por tato = k =,,, p p p = ( k) = = e el reto 5

6 = =,,, p p = ( p ) = k e el reto y co eto valore de e alcazará el ío Por tato ua etratega ópta para el jugador II e la dtrbucó ufore obre co tal que L = =,,, y el valor del juego e v= M ( xf, ) = c p = c cp( ( p ) ) ck + + = = p+ El cao k = k = = k =, c = c = = c etá reuelto e Ruckle (983) 3 Juego de ebocada últple E el juego de ebocada últple, la tera ( X, Y, M ) vee dada por { :,, } X = A A L k A k h A L h Y = F M A = a A + a A L, dode a y lo a, =,,, o úero reale que verfca a a a y k, k, h, h o etero que atface h h, h k k h Podeo aplcar el Teorea, por tato ua etratega ópta para el jugador II erá la dtrbucó ufore obre F Para obteer ua etratega ópta para el jugador I habrá que deterar A de aera que M ( A, yf) = ax M ( A, yf) M ( A, yf) = ax a A a A L + A F = ax = aa+ a + a + + a A y coo A = = A L A M ( A, yf) = ax a ( a a a) A = ax (( a + a) + ( a + a) + + ( a + a) ) A 6

7 La etratega ópta para el jugador I erá la dtrbucó ufore obre A, co A =, j : j h para =,,, p; j h + r para = p+ ; j h para = p+,, { } k h p =, r = k h p h h h h dode k vale k a + a, k a + a y e el cao e que a + a > y a + a, etoce k = qh + q h k qh + q h k q q+ = + ( ) < y k qh + ( q) h > k k k qh q h k 4 Juego del ecodte poderado 4 Cao geeral Sea k,, k,, k etero tale que k y c, c,, c cotate Llaao juego del ecodte poderado al juego dado por la tera (,, ) { :, } XYM dode X = A A L A = Y = F M ( A, ) = c H A, dode H = { : A L = k} Ua etratega ópta para el jugador II erá la dtrbucó ufore obre F Para obteer ua etratega ópta para el jugador I, tedreo que calcular el áxo ax M ( A, yf ) = ax A X A X M ( A, ) F = ax c A, = ax c A X A X F H H = Supogao que lo k etá ordeado decreceteete, e decr k k k S ecrbo de la fora = + r, r < y e verfca la codcoe + k, =,,, r () k, = r +,, el áxo e alcazará toado 7

8 = + =,,, r = = r+,, ya que co eto valore e hace áxo tato el producto ( ) c pue e ete cao H {,,, } H = coo la ua = Por lo tato ua etratega ópta para el jugador I erá la dtrbucó ufore obre A co cualquer A tal que A L = El valor del juego erá r r v= c = 4 Cao = Vao a etudar ahora el juego ateror para el cao partcular = Sea k,, k etero tale que k k y c, c cotate Llaao juego del ecodte poderado co =, al juego dado por la tera ( XYM,, ) dode { :, } X = A A L A = Y = F c A, k, < k c A, < k, k M ( A, ) = ( c+ c) A, k, k e el reto dode = A L y = A L Coo e u cao partcular del ateror, etará reuelto epre que e verfque la codcoe () que ahora o k k () Vao a etudar ahora la tuacoe e la que o e verfca la codcoe () Para ello dtgureo: 8

9 a) < k k E ete cao la fucó de pago e epre gual a cero y por tato el juego e trval b) k < k E ete cao vale c( )( ) k M ( A, yf ) = e el reto y por tato lo que pretedeo hacer áxo erá c( )( ) = c( )( + ) = c( + ) = c( + ( ) ) Eta fucó alcaza el áxo e = k y e = k < k c) k k c( )( + ) k c S < k+ k, etoce M ( A, yf ) = c( )( + ) k e el reto El áxo de la prera raa e alcaza e = k y = k y el valor del áxo erá c( k)( + k) (3) El áxo de la eguda raa e alcaza e = k y e = k e otro cao y el valor de ete áxo erá c + k k = k (4) c + = (5) Co lo cuál, para calcular el valor del juego tedreo que coparar (3) co (4) o be (3) co (5) y quedaro co el áxo c S k+ k razoado de fora aáloga e obtee que el valor del juego erá el áxo de ( c+ c)( k)( + k) y c + ultplcado por 9

10 Para copletar el etudo del cao = ólo o queda etudar qué ucede o poeo la codcó A X = L Habrá que calcular = fjo, eto e ax c ( )( ) H Oberveo qué ocurre cuado toao cojuto A tale que A L = k y A L = < k Etoce el áxo de c ( )( ) e alcaza toado = k y = y erá c ( k ) El cao étrco k, < k toará coo valor áxo c ( k ) Y por últo, para lo k, k, obteeo ua fucó de la fora ( c + c )( )( ) que alcaza u áxo e = k y = k edo ete áxo ( c + c )( k )( k ) Por tato, el valor del juego erá el áxo de eto tre valore Refereca Ruckle, W H (983), Geoetrc Gae ad ther Applcato, Pta, oto, MA Zoroa, N Ad Zoroa, P (993), Soe gae of earch o a lattce, Naval Reearh Logtc, Vol 4, pp 54-54

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