Programación entera 1

Transcripción

1 Programación entera 1 1. El modelo de programación entera. 2. Aplicaciones de la programación entera. 3. Solución gráfica de problemas enteros. 4. El algoritmo de ramificación y acotación. 5. El algoritmo de ramificación y acotación 0-1.

2 Modelos de programación entera 2 Modelo lineal entero Modelo lineal 0-1 opt z = c 1 x 1 + c 2 x c nx n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n > b1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n > b2 opt z = c 1 x 1 + c 2 x c nx n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n > b1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n > b a m1 x 1 + a m2 x a mnx n > bm x 1, x 2,..., x n 0 y enteras a m1 x 1 + a m2 x a mnx n > bm x 1, x 2,..., x n = 0, 1 Modelos de programación entera pura: todas las variables toman valores enteros. Modelos de programación entera 0-1: todas las variables son binarias. Modelos de programación entera mixta: algunas variables toman valores enteros y otras valores continuos.

3 Aplicaciones de la programación entera 3 Ejemplo 1 Personas Día necesarias 1. Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado 16. Domingo 10 min z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x Cada persona debe trabajar cinco días seguidos y descansar 2. x j : número de personas que entran el dia j, j = 1,...,. x 1 + x 4 + x 5 + x 6 + x 15 x 1 + x 2 + x 5 + x 6 + x 13 x 1 + x 2 + x 3 + x 6 + x 15 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 18 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 14 x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 16 x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 10 x 1,..., x 0 y enteras

4 Aplicaciones de la programación entera 4 Ejemplo 2: El problema de la mochila. Capacidad de la mochila: 12 kg. Número de objetos: 4. Peso y valor objetos (ver tabla). x j = Peso (kg) Valor (euros) { 1 si el objeto j es seleccionado 0 en caso contrario max z = 15x x x x 4 3x 1 + 6x 2 + 5x 3 + 5x 4 12 x 1, x 2, x 3, x 4 = 0 ó 1

5 Aplicaciones de la programación entera 5 Ejemplo 3 Distancias entre ciudades (tiempo) min z = x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 Construir una estación a no más de 30 minutos de cada ciudad. j 1 si se construye en j x j = 0 en caso contrario x 1 + x 3 + x 5 1 x 2 + x 5 1 x 1 + x 3 + x 4 + x 6 1 x 3 + x 4 1 x 1 + x 2 + x 5 1 x 3 + x 6 1 x j = 0 ó 1, j = 1,..., 6 Restricción i hay una estación a no más de 30 minutos de la ciudad i.

6 Solución de problemas enteros 6 Enumeración exhaustiva max z = 80x x 2 x 1 + x 2 12x 1 + 5x 2 60 x 1, x 2 0 y enteras x 2 12x 1 + 5x 2 = 60 x 1 + x 2 = max Enumerar las soluciones. Elegir la mejor. x 1

7 Modelo entero y modelo relajado El modelo entero (PE) El modelo relajado (PR) max(min) z = c T x Ax = b x 0 y enteras max(min) z = c T x Ax = b x 0 Problema entero- PE Problema relajado-pr max z = 80x x 2 x 1 + x 2 12x 1 + 5x 2 60 x 1, x 2 0 y enteras max z = 80x x 2 x 1 + x 2 12x 1 + 5x 2 60 x 1, x 2 0 OpenCourseWare, UPV/EHU. Programación entera

8 Ejemplo 8 Solución gráfica del modelo relajado Problema entero- PE max z = 80x x 2 x 1 + x 2 12x 1 + 5x 2 60 x 1, x 2 0 y enteras x 2 12x 1 + 5x 2 = 60 x 1 + x 2 = Problema relajado-pr max P = (3.6, 3.4) max z = 80x x 2 x 1 + x 2 12x 1 + 5x 2 60 x 1, x 2 0 x 1 OpenCourseWare, UPV/EHU. Programación entera

9 Aproximación por redondeo 9 Solución óptima del PR: x PR =(3.6, 3.4) y z PR = 440. Aproximaciones por redondeo: (3, 3),(3, 4),(4, 3),(4, 4). x 2 12x 1 + 5x 2 = 60 x 1 + x 2 = max Solución óptima: (4, 4) x 1 (4, 4) no cumple las restricciones.

10 Solución de problemas enteros 10 Cota superior. El valor óptimo del PR es una cota superior para el valor óptimo del PE. Solución candidata. - Cumple las restricciones. - Es óptima si no se encuentra una mejor. - Proporciona una cota inferior para el PE. Ramificación. Dividir la región del problema en dos, quitando un trozo en el que no hay soluciones del PE. Se crean dos problemas relajados. Acotación. Resolver los dos problemas creados, el valor óptimo de cada uno de los problemas relajados es una cota superior en esa rama.

11 Solución gráfica 11 Ramificación y acotación del PR P2 max z = 80x x 2 x 1 + x 2 12x 1 + 5x 2 60 x 1 3, x 1, x 2 0 x 1 + x 2 = x 2 12x 1 + 5x 2 = 60 x 1 = 3 x 1 = 4 P3 max max z = 80x x 2 x 1 + x 2 12x 1 + 5x 2 60 x 1 4, x 1, x 2 0 P2 (3, 4) (4, 2.4) P3 x 1 arbol OpenCourseWare, UPV/EHU. Programación entera

12 Solución gráfica 12 Ramificación y acotación del P3 P4 max z = 80x x 2 x 1 + x 2 12x 1 + 5x 2 60 x 1, x 2 0 x 1 4, x 2 2 P5 x 2 12x 1 + 5x 2 = 60 x 1 = 4 x 1 + x 2 = max max z = 80x x 2 x 1 + x 2 12x 1 + 5x 2 60 x 1, x 2 0 x 1 4, x 2 3 x 2 = 3 x 2 = 2 P5 P4 (4.16, 2) x 1 arbol OpenCourseWare, UPV/EHU. Programación entera

13 Solución gráfica 13 Ramificación y acotación del P4 P6 max z = 80x x 2 x 2 x 1 + x 2 12x 1 + 5x x 1 + 5x 2 = 60 x 1 = 4 x 1 + x 2 = x 1 = 5 x 1, x 2 0 x 1 4, x 2 2, x 1 4 max P P6 max z = 80x x 2 x 1 + x 2 12x 1 + 5x 2 60 x 1, x 2 0 x 2 = 2 (4, 2) P (5, 0) x 1 x 1 4, x 2 2, x 1 5 arbol OpenCourseWare, UPV/EHU. Programación entera

14 Arbol solución 14 PR x PR = (3.6, 3.4) z PR = 440 x 1 3 x 1 4 P2 P3 x P2 = (3, 4) x P3 = (4, 2.4) z P2 = 420 z P3 = 428 z I = 420 x 2 2 x 2 3 P4 P5 x P4 = (4.16, 2) z P4 = Infactible x 1 4 x 1 5 P6 P x P6 = (4, 2) x P = (5, 0) z P6 = 410 z P = 400 Paso 1 Paso 2 Paso 3 algoritmo OpenCourseWare, UPV/EHU. Programación entera

15 Algoritmo de ramificación y acotación 15 Paso 1. Inicialización. Resolver el PR. Si la solución óptima es entera parar y esa solución es óptima también para el problema entero. En otro caso, fijar una cota inferior z I para el valor óptimo del problema entero. Si no se conoce ninguna solución candidata para el problema entero, hacer z I =. Paso 2. Ramificación. Seleccionar un problema no terminal. Elegir una variable x j que, teniendo que ser entera, tome un valor no entero en la solución actual. Crear dos nuevos problemas añadiendo x j [x j ], x j [x j ] + 1 Paso 3. Acotación. Resolver cada uno de los dos problemas recien creados. Paso 4. Problemas terminales. Son terminales los problemas que cumplen una de las siguientes condiciones: (1) El problema es infactible. (2) z S z I. (3) z S > z I y la solución es entera. Se actualiza la cota inferior haciendo z I = z S y esta solución entera es la solución candidata. Si todos los problemas son terminales, parar. La solución óptima es la candidata. Si no hay candidata el PE es infactible Si hay problemas no terminales, volver al Paso 2.. arbol

16 Aplicación del algoritmo (tablas) 16 Primera iteración Paso1. Inicialización. max z = 80x x 2 x 1 + x 2 12x 1 + 5x 2 60 x 1, x 2 0 x 1 x 2 x 3 x a a z I =. Paso 2. Ramificación. La solución del PR no es entera. Elegir x 1 y crear P2 y P3. Paso 3. Acotación. Resolver (análisis de sensibilidad).

17 Solución P2 x Primera iteración (continuación) x 1 x 2 x 3 x 4 x a a a a a a a a a Operaciones elementales: fila 3 fila 2. No factibilidad primal simplex dual. Tabla óptima

18 Solución P3 x Primera iteración (continuación) x 1 x 2 x 3 x 4 x a a a a a a a a a Operación elemental: fila 3 + fila 2. No factibilidad primal simplex dual. Tabla óptima.

19 Problemas terminales y segunda iteración 19 Paso 4. Problemas terminales. P2 z S = 420 > z I y x 1 = 3 y x 2 = 4. El problema es terminal nueva cota: z I = z S = 420. P3 no es terminal. Volver al Paso 2. Segunda iteración. Paso 2. Ramificación. Seleccionar P3 y la variable x 2. Ramificar x 2 2 y x 2 3 P4 y P5. Paso 3. Acotación. Resolver P4 y P5. Paso 4. Problemas terminales. P5 infactible terminal. P4 z S = > z I = 420 y solución no entera, no terminal. Volver al Paso 2.

20 Tercera iteración 20 Paso 2. Ramificación. Elegir P4 y la variable x 1 P6 y P. Paso 3. Acotación. Resolver P6 y P. Paso 4. Problemas terminales. P6 z S = 410 < z I = 420 terminal. P z S = 400 < z I = 420 terminal. Todos los problemas son terminales. La solución óptima es la solución candidata: x 1 = 3, x 2 = 4, z = z I = 420

21 Programación entera Modelo lineal 0-1 Modelo relajado opt z = c 1 x 1 + c 2 x c nx n a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n > b1 opt z = c 1 x 1 + c 2 x c nx n x 1, x 2,..., x n = 0, 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n > b Se quitan todas las restricciones excepto la condición de ser binarias para las variables. a m1 x 1 + a m2 x a mnx n > bm x 1, x 2,..., x n = 0, 1 Problema 0-1 max z = 4y 1 + 6y 2 4 2y 1 + 3y 2 8 y 1 y 2 16 y 1, y 2 = 0 ó 1 Problema relajado (PR) max z = 4y 1 + 6y 2 4 y 1, y 2 = 0 ó 1

22 Ordenar los coeficientes 0 c 1 c 2 c n 22 Cambio de variable. Elegir en la función objetivo el menor coeficiente en valor absoluto, c 2 = 4; por ser negativo x 2 = 1 y 1. Elegir el siguiente, c 1 = 6; por ser positivo x 1 = y 2. max z = 6x 1 4x 2 3x 1 + 2x 2 10 x 1 + x 2 1 x 1, x 2 = 0 ó 1 max z = 4y 1 + 6y 2 4 2y 1 + 3y 2 8 y 1 y 2 16 y 1, y 2 = 0 ó 1

23 Solución parcial y complección 23 Solución parcial. Es una solución donde el valor de alguna variable está sin fijar. Complección. Se obtiene a partir de la solución parcial dando valor a todas las componentes que están sin fijar. Soluciones parciales: (1, 1, ), (0,, ) (0, 1, ) Complecciones de la solución parcial (0,, ): (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)

24 Ejemplo 24 Problema 0-1 max z = x 1 + 2x 2 + 4x 3 x 1 + x 2 + 2x 3 4 3x 1 + x 2 + 2x 3 5 x 1, x 2, x 3 = 0 ó 1 PR max z = x 1 + 2x 2 + 4x 3 x 1, x 2, x 3 = 0 ó 1 c 1 = 1 c 2 = 2 c 3 = 4. Ordenar las soluciones del PR. x = (1, 1, 1) x = (0, 1, 1) x = (1, 0, 1) (1, 1, 0) (0, 0, 1),

25 Solución de problemas enteros 25 Cota superior. El valor óptimo del PR es una cota superior para el valor óptimo del problema 0-1. Solución candidata. - Cumple las restricciones. - Es óptima si no se encuentra una solución mejor. - Da una cota inferior para el problema 0-1. Ramificación. Elegir en una solución parcial el valor 0 ó el valor 1 para la siguiente variable, creando así dos problemas. Acotación. Calcular la mejor complección para cada problema. El valor del objetivo en dicha complección es una cota superior en esa rama.

26 Algoritmo de ramificación y acotación Objetivo maximizar 0 c 1 c 2 c n Paso 1: Inicialización. Si x=(1,..., 1), satisface las restricciones es óptima y parar. En otro caso, si x = (0, 1,..., 1) satisface las restricciones, es óptima y parar. Si no, fijar una cota inferior z I. Asociar al problema el índice k = 1. Paso 2: Ramificación. Seleccionar un problema no terminal y ramificar en dos, añadiendo, respectivamente, x k = 0 y x k = 1. Paso 3: Acotación. Para cada nuevo problema, hacer x S igual a la complección que tiene 0 la componente k + 1 y 1 en el resto. Calcular el valor z S. Asociar a estos problemas el índice k = k + 1. Paso 4: Problemas terminales Son terminales los problemas que verifiquen alguna de las siguientes condiciones: (a) z S z I (b) Si z S > z I e x S es factible. Entonces actualizar z I = z S (c) Ninguna complección satisface todas las restricciones. El problema es infactible. Si todos los problemas son terminales parar. En otro caso, ir al Paso 2. arbol 0-1

27 El problema de la mochila 2 Algoritmo de ramificación y acotación 0-1 max z = 15x x x x 4 3x 1 + 6x 2 + 5x 3 + 5x 4 12 x 1, x 2, x 3, x 4 = 0 ó 1 Cambio de variable: x 4 = y 1, x 3 = y 2, x 1 = y 3, x 2 = y 4. max z = 10y y y y 4 5y 1 + 5y 2 + 3y 3 + 6y 4 12 y 1, y 2, y 3, y 4 = 0 ó 1

28 Aplicación del algoritmo 28 Solución del ejemplo de la mochila PR y S = (0, 1, 1, 1) z S = 52 y 1 = 0 y 1 = 1 P2 P3 y = (0,,, ) y = (1,,, ) y S = (0, 0, 1, 1) y S = (1, 0, 1, 1) z S = 40 z S = 50 z I = 40 y 2 = 0 y 2 = 1 P4 P5 y = (1, 0,, ) y = (1, 1,, ) y S = (1, 0, 0, 1) y S = (1, 1, 0, 1) z S = 35 z S = 4 y 3 = 0 y 3 = 1 P6 P y = (1, 1, 0, ) y = (1, 1, 1, ) y S = (1, 1, 0, 0) y S = (1, 1, 1, 0) z S = 22 z S = 3 algoritmo 0-1