CÁLCULO NUMÉRICO 1º Potencias y radicales

Transcripción

1 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics.- Hll el vlor de ls siguientes epresiones: ) CÁLCULO NUMÉRICO º Potencis rdicles ) 0 c) 8.-Simplific reduce ls siguientes epresiones potencis: ) e) h) 6 ) : 6 c 8 9 c i) f) c : 0 0 c 6 c) j) c. 6 8 g) c 8 c d) c.- Efectú ls siguientes sums rests rcionliz en el cso que se necesrio: ) c) 0, 0,8 8 c c 9c 6 cd d c d c ) cd d c d. c 0, 6 6 d) m n ( m n). c ( m n).- Relizr los siguientes ejercicios como rdicles ) ) 6 c) ( - ) d) 6 e) ( ) f) ( ) R-MATCNSI

2 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics.- Oper simplific 0 80 ) 00 c) ) ( ).( ) ( ).( ) 0 80 d) e) 0 f) g) h) º Logritmos.- Aplicndo l definición de logritmo resolver los siguientes ejercicios: ) log 6 = g) log 7 = n) log 6 ) log 8 = h) log = ñ) log / 8/6 = c) log 0 00 = i) log 7 = o) log / 7/ = 9 d) log 6 0, = j) log / = p) log 8 = e) log 0 0,0000 = l) log = q) log 8 7 f) log 8 m) log 6 r) log.- Hllr l se de los logritmos en ls siguientes igulddes: ) log = c) log 0,= ) log 9= d) log = / e) log / = -/ f) log 0,00=-.- Hll el resultdo de ls siguientes epresiones utilizndo ls propieddes de los logritmos su definición: ) log 6 log + log 6 c) log + log 8 log log 6 ) log + log 6 + log 9 + log 7 9 d) log /9 log 0, + log 6 /6 log 0,.- Considerndo que log =, que log 6 =,8, clcule los vlores de los siguientes logritmos sin usr clculdor: ) log 0 ; ) log 0 ; c) log (/) ; d) log 0 ; e) log ; f) log (6/).- Utilizndo ls propieddes, eprese con un solo logritmo: ) log 6 + log 8 log ; ) log 9 + log 8 ( log 7 log 9 ) c) ( log ) ; d) ln (et ) ln (e/t) ; e) log + log ; f) -+ log Considerndo que log6 = 0,87 que log6 = 0,6, clcule los vlores de los siguientes logritmos sin usr clculdor: ) log 6 7 ; ) log 6 0, ; c) log 6 ; d) log 6 e)log 6 R-MATCNSI

3 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics Desrroll m 7 n 8 º Binomio de Newton Hll el noveno término del desrrollo de. Hll el quinto término del desrrollo de 6. Hll el seto término del desrrollo de c 6 7. Hll el término centrl del desrrollo de 8. Hll el cociente que result de dividir el término noveno por el seto del desrrollo de 9. Hll el término medio del desrrollo de 0. Hll los dos términos medios del desrrollo de. Hll el término que ocup el lugr 0 en el desrrollo de. Hllr el término que conteng l curt potenci de en el desrrollo de. Hllr el término medio en el desrrollo de , 6 7 c Justific del modo más rápido l iguldd: 6 0. Encuentr un regl que generlice el cálculo nterior que permit otener el vlor de n n n... 0 n 7 0 R-MATCNSI

4 CÁLCULO ALGEBRÁICO º Polinomios º FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS - MCM Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics Conceptos Fctorizr un polinomio: Descomponer un polinomio como producto de fctores primos. Fctor primo: En el cso de los polinomios, son polinomios que no tienen ms ríces reles, por lo tnto quellos que no se pueden descomponer en fctores ms simples. Mínimo común múltiplo: Un vez descompuestos en fctores primos los polinomios, se eligen los fctores que sen comunes todos los polinomios elevdos l mor eponente se multiplicn por todos los fctores que no sen comunes. Procedimientos ) Fctorizr un polinomio ) Si no tiene término independiente se sc o n fctor común ) Si tiene término independiente se uscn sus ríces Si es de grdo dos se procede como en ls ecuciones de º grdo Si es de grdo mor que dos por Ruffini c) Se fctoriz del siguiente modo P() = ( ríz )( ríz )... Ejemplo: Fctorizr 6 + ; Scmos fctor común los tres sumndos ( + ) El polinomio ( + ) se fctoriz como se eplic continución Ejemplo: = ( )( + ) Ríz = ( ) 9 + = 0; = ; de donde = ; = - Por lo tnto + se fctoriz del siguiente modo: + = ( )( + ) L fctorizción finl de 6 + será: 6 + = ( + ) = ( )( + ) = ( )( )( + ) 6 + = ( ) ( + ) ) Clculr el MCM ) Se fctorizn todos los polinomios siguiendo el procedimiento nterior. ) Se tomn todos los fctores que sen comunes todos los polinomios elevdos l mor potenci los fctores que no sen comunes se multiplicn Ejemplo: Hll el MCM de los siguientes polinomios: ; 6 + ; + +. = ( )( + ) 6 + = ( ) ( + ) + + = ( + ) MCM = ( + ) ( ) ( + )( ) R-MATCNSI

5 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º IGUALDADES NOTABLES ) ( + )( ) = Ej: ( ) ( + ) = (9 6 ) ) ( + ) = + + Ej: ( + ) = c) ( ) = + Ej: (6 ) = 6 + d) ( + ) = Ej: ( + ) = e) ( - ) = Ej: ( ) = Ejercicios.- Aplic ls fórmuls de ls igulddes notles ls siguientes operciones: ) ( )( + ) d) ( ) ) ( + )( ) e) ( ) c) ( + ) f) ( ).- Fctorizr los siguientes trinomios en cudrdos perfectos m mn + n / + (/) + (/6) 8. /9 (/)c + c 9. (9/)c m 6 /6 m n + 6n. 9c 6 0c +. ( ) + ( ) 6. ( ) + ( ) 7. + ( + c) + ( + c) 8. ( + ) ( + )( + z) + ( + z) 9. ( + ) + ( + )( c) + ( c) 0. ( + + c) + ( + + c)( + c ) + ( + c ).- Utiliz ls fórmuls de ls igulddes notles pr fctorizr los siguientes polinomios, cundo se posile: ) (9 ) l) 0 ) ( 9) m) 0 c) ( 6 + 9) d) ( n) ) e) ( 0 +0) o) f) ( ) g) ( + 8 6) p) 9 h) ( ) q) 0 i) ( +6 ) j) ( + ) r) ( ) + ( ) ( ) s) ( ) k) R-MATCNSI

6 º Frcciones lgerics Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics.- Oper simplific: ) - : + d) + : ) + -. c) (+ ). : e) Hz ls operciones indicds simplific: + - ) c) ) Simplific: ) ) : / + / c) d) : : : e) f) + _ _ g) _ : h) i) l) j) + - : _ - + ( - ) k) m) : n) : R-MATCNSI 6

7 º Ecuciones Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º Ecuciones icudrds de grdo superior Resuelve ls siguientes ecuciones ) 0 ) 0 ) 6 ) 0 ) 0 6) (-) - =0 7) =0 8) - -7-=0 9) ) ) ) ( ) 0 8 ) ) ) 6) 7) 8) 9) 0) ) 0 ) ) 6 ) 0 ) 6 0 6) 0 6 7) 60 8) ( ) 77 9) = ) ) 8 ) 0 0 ) ) 0 ) ( - ) 6) ( - ) ( - ) + =( - ) 7) (+) - + = 0 + ( - ) (+) 8) ( - ) - - =( - ) - 9) =0 0) =0 ) =0 R-MATCNSI 7

8 º Ecuciones irrcionles Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics Procedimiento: Si l ecución tiene sólo un término con ríz cudrd: Ejemplo: Quitndo denomindores 9 ) Se dej l ríz sol un ldo del signo = ; ) Se elevn los dos términos de l iguldd l cudrdo (9 + ) = ) Se termin resolviendo como un ecución norml = = 0; = (terminr) 8 Si l ecución tiene dos términos con ríz cudrd: Ejemplo 6 ) Se dej un ríz cd ldo del signo =. 6 ) Se elevn los dos términos l cudrdo. 6 6 ( ) ) Se dej l ríz que qued sol un ldo de l iguldd. 6 ( + ) = - ; = - ) Se vuelve elevr l cudrdo. ; 68 8 ( ) ) Se termin resolviendo como un ecución norml ; = 0 (resolver) Ejercicios: Resuelve ls siguientes ecuciones irrcionles R-MATCNSI 8

9 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º Ecuciones rcionles Procedimiento: ) Descomponer los polinomios de los denomindores como producto de fctores primos (fctorizr los denomindores). ; ( )( ) ) Clculr el MCM de los denomindores. MCM de ( ); ( + ); ( )( + ) = ( )( + ) ) Multiplicr los dos ldos de l ecución por el MCM simplificndo en cd término. ( )( + ) = ( )( + ) ( ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ; simplificndo ( +) ( )( ) = ( )( ) ) Operr proceder como en un ecución norml hst otener el vlor o vlores de. operndo; = ; = ; = Ejercicios: Resolver : )( ) = = = = = = = = R-MATCNSI 9

10 º Ecuciones logrítmics eponenciles Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics.- Resuelve ls siguientes ecuciones logrítmics: ) log log ( 6) = ) log = + log ( ) ) log ( ) log ( + ) = log ) log 8 + ( + 7)log = log ) log ( + ) log = log ( + ) 6) ( )log = log 7) ( + 7) log + log 6 = 8) lg( - ) + +lg0= lg lg ( ) 9) lg( ) 0) lg = + lg (/0) ) lg -lg =lg(/) ) log log log 7 ) lg lg lg = lg ) lg lg lg lg 9 ) lg lg lg 6) log 6 ( - ) = log 6 - log 6 7) log ( ) = + log ( - + ) 8) log log 9) + log log 0) log( ) log ) log log ) log ( - )- / log ( - 0) = log log ) 0 ) log ( )- /log = ) log =00 6) lg lg 0 ; 7) log log 8) log log ( ) 9) log log( ) log 0) +log =log (+6) log ) log ( ) ) log 00 Log = ) Log 7 Log 7 ) Log + Log =Log Log Log ) Log( ).- Resolver ls siguientes ecuciones eponenciles: ). ). ) ) - = ) + = 0, - 6) - = 7) - = 8 8) 6 - = 9) 0) ) ). - + = ) =. + ) ) =0 6) =0 7) =0 8) =960 9) e - -e - +e =0 0) -97 / +6 =0 ) (+) -8 + =0 ) 00 ) e ( e e) e 0 ) =0 ) =7/6 6) =0 7) =0 8) (-) (--) =98 R-MATCNSI 0

11 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º Inecuciones Procedimientos Grdo : Se trj como en un ecución norml, slvo que si tenemos un número negtivo multiplicndo l vrile lo psmos l otro ldo de l desiguldd dividiendo (o vicevers), l desiguldd cmi de sentido. Se d como solución l inecución el intervlo de l rect rel (-, ) o (, ), según correspond. Ejemplo: 0 ; se clcul el MCM pr quitr los denomindores 6 MCM = ; () ( - ) < ( ); 8 + < ; < 0 + 8; - 07 < ; > ; Solución:, Grdo o mor que : Se uscn ls ríces de l ecución se hce un tl de signos pr l ecución. Se dn como solución los intervlos que correspondn l signo de l inecución. Ejemplo: + > 0, (se nos piden los vlores de tles que l sustituirlos en el polinomio nos den vlores mores de 0, es decir, vlores positivos). Clculmos ls ríces de est ecución, pr ello scmos fctor común l polinomio resultnte le hcemos Ruffini por ser un polinomio de grdo. ( +) = ( ) ( + ), de donde se deduce que ls ríces que hemos otenido son = 0; = ; = Tl de signos del polinomio: - 0 Los signos de l tl se hn otenido sustituendo l por, -, 0, en el polinomio. Solución: (-, -) U (0, ) U (, ) Inecuciones rcionles: Se procede como en el prtdo nterior hciendo un tl de signos con los vlores que nuln el numerdor el denomindor. - Ejemplo: 0, Hciendo un tl de signos tenemos: = 0 = / + + Solución = (-, -) /. ) + = 0 = - - / Ejercicios:.- Resuelve ls siguientes inecuciones: ) ) ) 0 0 ) 0 ) ( + ) ( + ) + ( - ) 6) 0 7) ( ) 8) 9) 0 0) 0 ) 0 ) 0 ) R-MATCNSI

12 .- Resuelve ls siguientes inecuciones rcionles: ( 6). 9 ( 6). 9 ( )( 7). 0 ( )( 6)( ). Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º Sistems de tres ecuciones. Método de Guss. Un empres dese disponer de dinero en efectivo en euros, dólres lirs esterlins. El vlor totl entre ls tres moneds h de ser igul euros. Se quiere que el vlor del dinero disponile en euros se el dole del vlor del dinero en dólres que el vlor del dinero en lirs esterlins se l décim prte del vlor del dinero en euros. ( lir = 0,6 Euros; dólr = 0,896 Euros). L sum de ls eddes de tres persons es 7 ños, en el momento ctul. Dentro de diez ños, l edd de l mor de ells será el dole de l edd de l más joven. Hce doce ños, l person con edd intermedi tení el dole de ños que l más joven. Hll ls eddes de ls tres persons.. Un tiend tiene tres tipos de conservs cárnics A,B C. Un cliente compr el primer mes 0 uniddes de tipo A, 0 de B 0 de C, teniendo que onr 80 Al mes siguiente compr 0 uniddes de A de C on 690 Siendo que el precio medio de los tres productos es hll el precio de cd un de ls uniddes R-MATCNSI

13 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics. Se un triángulo de vértices A(, ), B(, ) C(, c). Se se que ls ordends de sus tres vértices sumn 9, que l ordend es l medi ritmétic de ls otrs dos, que c son números nturles consecutivos, siendo c >.. En un instituto, donde se imprten primero segundo ciclo de enseñnz oligtori chillerto h en totl 0 grupos de lumnos. Si se sumn los grupos de chillerto de segundo ciclo de enseñnz oligtori se tiene el triple del número de grupos del primer ciclo. Si huier un grupo más del segundo ciclo, su número igulrí l de chillerto. Cuántos grupos h de cd uno? 6. Se dispone de tres cjs A, B C con moneds de euro. Se se que en totl h 6 euros. El número de moneds de A ecede en dos l sum de ls moneds de ls otrs cjs. Si trsld un moned de l cj B l cj A, est tendrá el dole de moneds que B verigu cunts moneds h en cd cj 7. Un grupo de persons se reúne pr ir de ecursión, juntándose un totl de 0 entre homres, mujeres niños. Contndo homres mujeres juntos, su número result ser el triple del número de niños. Además, si huier cudido un mujer más, su número igulrí l del homres. Resolver el prolem. Sol, hrán sistido 8 homres, 7 mujeres niños l ecursión 8. Cierto estudinte otuvo, en un control que const de pregunts, un clificción de 8 puntos. En l segund pregunt scó dos puntos más que en l primer un punto menos que en l tercer. Resolver el sistem. Sol punto en l primer pregunt, en l segund en l tercer. 9. En un confiterí envsn los omones en cjs de 0 gr., 00 gr. Y kg. Cierto dí se envsron 60 cjs en totl, hiendo cjs más de tmño pequeño (0 gr.) que de tmño medino (00 gr.). Siendo que el precio del kg. de omones es.000 pts. que el importe totl de los omones envsdos sciende.000 pts: Sol se hrán envsdo cjs pequeñs, 0 medins grndes. 0.- Un utoescuel tiene ierts sucursles en l ciudd. El número totl de mtriculdos es, pero los mtriculdos en l tercer son sólo un curt prte de los mtriculdos en l primer. Además, l diferenci entre los mtriculdos en l primer los mtriculdos en l segund es inferior en dos uniddes l dole de los mtriculdos en l tercer. Plnter resolver el sistem de ecuciones pr verigur el número de lumnos mtriculdos en cd sucursl. Sol: 00 lumnos mtriculdos en l primer sucursl, 0 en l segund 0 en l tercer.-un person disponí de los reprtió en tres fondos de inversión diferentes (A, B C), oteniendo sí.00 de eneficios. Semos que en el fondo A invirtió el dole que en los fondos B C juntos; semos tmién que el rendimiento de l inversión relizd en los fondos A, B C fue del %, 0% 0% respectivmente. Plnter resolver un sistem pr determinr ls cntiddes invertids en cd uno de los fondos..- Prte de los 6 huéspedes de un pequeño hotel se encuentr en el comedor; en el mismo momento otr prte se encuentr en l sl de estr el resto en l iliotec. Posteriormente, se desplzn del comedor l iliotec, de l sl de estr l comedor de l iliotec l sl de estr. Ahor, h queddo el mismo número de persons en cd un de ls tres estncis. Plnter resolver un sistem pr determinr cuánts persons se encontrn inicilmente en cd hitción..- Un tiend de músic h otenido unos ingresos de 768 l vender 600 discos compctos de tres grupos musicles. Los discos se vendín ; sin emrgo, los del segundo tercer grupo, l ser menos recientes, se vendieron con descuentos del 0% del 0% respectivmente. Semos que el número de discos vendidos con descuento fue l mitd que el número de discos que se R-MATCNSI

14 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics vendieron su precio originl. Plnter resolver un sistem de ecuciones pr determinr cuántos discos de cd grupo se vendieron..- Un empres h vendido 000 rtículos de ppelerí, olígrfos, goms rotuldores, l precio de.,. respectivmente. El totl de los ingresos producidos por ess vents sciende Se se, demás, que el número de olígrfos que se h vendido es el 0% del número totl del resto de rtículos vendidos. ) Plnter un sistem pr determinr el número de cd tipo de rtículos vendidos. ) Resolverlo.- Un lirerí h vendido 900 liros de mtemátics, correspondientes tres editoriles diferentes, A, B, C. Semos que de l editoril B se hn vendido el dole de ejemplres que de l editoril A. Semos, tmién, que l rzón entre el número de ejemplres vendidos de ls editoriles B C es igul / Plnter un sistem pr determinr el número de liros vendidos de cd editoril. Resolverlo 6.-Un editoril v lnzr l mercdo tres liros de olsillo L, L L. El importe totl de l edición es de 870. Los costes, en euros, por unidd, son 7, 6, respectivmente. Se se que el número de ejemplres de L es igul los dos séptimos de los del tipo L que, si l triple del número de ejemplres de L se le sum el número de ejemplres de L, se otiene el dole de ejemplres de L. ) Plnte un sistem de ecuciones pr verigur cuántos liros de cd tipo se hn editdo. ) Resuelve dicho sistem.- Un utoús urno trnsport en hor punt 90 vijeros de tres tipos: vijeros que pgn el illete entero, que vle ; estudintes que tienen un % de descuento l presentr el crnet; juildos de l loclidd que únicmente pgn el 0% del precio del illete. L recudción del utoús en ese vije fue de 6. Clcul el número de vijeros de cd clse siendo que el número de juildos er el mismo que el número del resto de vijeros..- Un empres tení, en el ño 00, cierto número de empledos, unos homres otros mujeres. En el ño 00 umentron en los trjdores de l empres en 6 el número de trjdors, quedndo sí dole número de mujeres que de homres. En el ño 00 umentron en ls trjdors se redujo en el número de trjdores, resultndo quedr el triple de mujeres que de homres. Plnte un sistem pr determinr el número de homres mujeres que trjn en dich empres en el ño 00. Resuélvelo si es posile..-un tiend posee tipos de conservs, A, B C. El precio medio de ls conservs es de Un cliente compr 0 uniddes de A, 0 de B 0 de C, deiendo onr 0.9. Otro compr 0 uniddes de A de C on.7. Clcul el precio de un unidd A, otr de B otr de C. 6.- Se juntn 0 persons entre homres, mujeres niños. Se se que entre los homres ls mujeres duplicn l número de niños. Tmién se se que entre los homres el triple de ls mujeres eceden en 0 l dole de niños. Plnter un sistem de ecuciones que permit verigur el número de homres, mujeres niños. Resolver el sistem de ecuciones plntedo 7.- Un estdo compr rriles de petróleo tres suministrdores diferentes que lo venden 7, 8 $ el rril, respectivmente. L fctur totl sciende 6 millones de $. Si del primer suministrdor recie el 0% del totl del petróleo comprdo, cuál es l cntidd comprd cd suministrdor?. R-MATCNSI

15 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics R-MATCNSI Resolver ) 6 z z z ) 7 z z z c) 7 7 z z z d) z z z e) 7 7 z z z f) 6 z z z g) 7 z z z h) z z z i) z z z j) z z z k) 7 7 z z z l) z z z

16 Cteto Opuesto GEOMETRÍA º Trigonometrí Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Hipotenus sen tg cteto opuesto hipotenus cteto opuesto cteto contiguo cos cteto contiguo hipotenus Cteto contiguo Rzones inverss hipotenus sec cos cteto contiguo cteto contiguo cot g tn cteto opuesto cosec sen hipotenus cteto opuesto Signo de ls rzones trigonométrics Si tommos l circunferenci de rdio trzmos un triángulo rectángulo X Y P=(X,Y) sen cos seno + coseno tngente seno coseno tngente + seno + coseno + tngente + seno coseno + tngente - Es decir el seno es l coordend el coseno es l coordend del punto que determinn sore l circunferenci. Con lo cul podemos deducir los signos de ls rzones trigonométrics en los cudrntes SENO 0 COSENO TANGENTE 0 Rzones trigonométrics de ángulos notles 0º 0º º 60º 90º 0 No eiste Relciones entre ls rzones trigonométrics sen + cos = +tn =sec +cotn =cosec R-MATCNSI 6

17 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics Relción entr ls rzones de ciertos ángulos sen(80º- ) sen cos(80º+ ) sen cos sen cos(80º- ) cos sen(80º+ ) cos cos(60º- ) sen(60º- ) sen(80º- )=sen cos(80º- )= -cos tg(80º- )= -tg sen(80º+ )= -sen cos(80º+ )= -cos tg(80º+ )=tg sen(60º- )= -sen = sen(- ) cos(60º- )= cos = cos(- ) tg(60º- )= -tg = tg(- ) Rzones trigonométrics de l sum diferenci de ángulos Sum Sen (+)=sen cos + cos sen Cos (+)=cos cos sen sen t g ( ) tg - tg tg tg Diferenci Sen (-)=sen cos - cos sen Cos (-)=cos cos + sen sen t g ( ) tg tg tg tg Rzones trigonométrics del ángulo dole mitd Ángulo dole Ángulo mitd Sen = sen cos - cos Cos = cos sen Sen ( ) tg tg - tg tg ( ) - cos cos Cos ( ) cos Trnsformciones de sums en productos vicevers Productos en sums Sums en productos A B A B sen cos = [ sen(+) + sen(-) ] sena + cosb = sen cos A B A B cos sen = [ sen(+) sen(+) ] sena - cosb = cos sen A B A B cos cos = [ cos(+) + cos(-) ] cosa + cosb = cos cos A B A B sen sen = [ cos(+) - cos(-) ] sena + senb =- sen sen Teorem del seno c sen A sen B sen C C A B c Teorem del coseno = + c c cos A = + c c cos B c = + cos C R-MATCNSI 7

18 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics EJERCICIOS. Siendo que sen = / 80º < < 70º. Clculr el resto de ls rzones trigonométrics. Siendo que tn = 80º < < 70 º. Clculr el resto de ls rzones trigonométrics. Siendo que sec = 70 º < < 60º. Clculr el resto de ls rzones trigonométrics. Siendo que cosec = - 90º < < 80º. Clculr el resto de ls rzones trigonométrics. Clculr ls rzones trigonométrics de 7º. ( 7º = 0º + º ) 6. Clculr ls rzones trigonométrics de º. ( º = º - 0º ) 7. Clculr ls rzones trigonométrics de 0º 8. Si tn =/. Hllr tn ( + 0º ) tn (º- ) 9. Si tg α = / 90 < α < 80, clcul: ) sen ( α) ) cos (80 ) c) tg (900 + α) 0. Epresr el sen en función de sen. Si cos = /. Clculr ls rzones trigonométrics de ( / ). Siendo que tn = clculr el vlor de sen. Si cotn = / es un ángulo del tercer cudrnte. Hllr cos, sen ( + 0º ) tn (/). Si es un ángulo del segundo cudrnte tn = - / Clculr ls rzones trigonométrics del ángulo ( / ). Semos que cos = sen < 0. Sin hllr el vlor de, clcul: ) sen ) cos (π + ) c) cos d) tg e) sen ( ) f ) cos (π ) 6. Si cos 78 = 0, sen 7 = 0,6, clcul sin utilizr l clculdor sen, cos tg 7. Si tg (α + β) = tg α =, hll tg β.. 8. Demostrr l siguiente iguldd: sen ( +). sen ( - ) = sen sen 9. Pror que cos( ) cos( ) sen ( ) sen( ) cos( ) 0. Pror que cos( ) cos( ) sen ( ) sen( ) cos( ). Demostrr l siguiente iguldd: cos ( +). cos ( -) = cos sen. Clculr cos en función del cos. Epres sen α cos α en función de sen α cos α.. Pror que cos ( ) sen ( ) cos( ) tg( ). Pror que tg() ( tg( )) tg( ) cos ( ) - cos ( - ) 6. Demostrr: sen ( ) sen ( - ) - tn 7. Demostrr l siguiente iguldd : tn ( º + ) tn ( º - ) = tn 8. Demostrr l siguiente iguldd: sen ( + ). cos ( -) = / ( sen + sen ) sen sen 9. Demostrr l siguiente iguldd: cos cos tn 0..Demostrr l siguiente iguldd: tn + tn + tn c = tn. tn. tn c, siendo que,, c son los tres ángulos de un triángulo cos ( - ) - cos c. Demostrr l siguiente iguldd: cos cos Siendo que,, c son los tres ángulos de un triángulo.. Pror que tg ( ) cos ( ) sen( ) tg( ) R-MATCNSI 8

19 sen( ) tg( ) tg( ). Pror que sen( ) tg( ) tg( ) cos( ) tg( ) tg( ). Pror que cos( ) tg( ) tg( ) cos( ) sen( ). Pror que cos() cos( ) sen( ) sen() 6. Si,, c son los tres ángulos de un triángulo demostrr : tn ( + ) tn c = 0 7. Demostrr: sen sen cos - tn cos 8. Demostrr sen ( ) tn.contn sen ( - ) tn. contn - tn 9. Demostrr tn - tn cos 0. sen (. cos ( ) sen ( ) cos ( )= sen α sen β )= sen α sen β. Resolver ls siguientes ecuciones sistems de ecuciones trigonométrics: Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics. sen = cos. sen+sen=0. sen+cos=0. sen = 0. sen + cos = 6. cos + cos + = 0 7. cos + sen = 8. cos + cos = 0 9. cos + cos = 0. sen +cos=. cos-sen+=0. tn. sec =. cos = sec. sen cos + cos = 0. cos +cos = 6. tg + cos = 0 7. sen = 8. cos = sen 9. sen + cos = 0. Sen+ cos=-. tg tg = 0. cos (/) cos =. cos( )-sen=0. cos-cos( )=0. cos ( )-= 6. sen ( / ) + cos = 7. sen cos 6sen = 0 8. sen. cos = sen 9. cos cos 6 = sen + sen 0. cos + cos = cos. sen sen = sen. sen 6 sen = sen. cos + cos =. cos + cos. cos = 0. sen cos = sen cos R-MATCNSI 9

20 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics. Resolver los siguientes triángulos:. =,m. =7,m =,m B= 0º c= m C=0º. = m. c=,78m = 8m A=0º A=0º B=8º. =70m =m C= 7º 7 6. A=60º B=7º c=. En el triángulo ABC los ldos miden m, 8m 6 m. Clculr su áre.. Hll el rdio de l circunferenci circunscrit l triángulo cuos ldos miden m, m m. 6. Uno de los ldos de un triángulo mide el dole que el otro el ángulo comprendido mide 60º. Hllr los otros dos ángulos 7. Hllr el áre del triángulo ABC siendo que =m, B= 0º C= º 8. Dos individuos A B oservn un gloo situdo en un plno verticl que ps entre ellos. L distnci entre los dos individuos es de kms..los ángulos de elevción son respectivmente º 60º. Hllr l ltur del gloo l distnci cd oservdor. 9. Un túnel AB h de trvesr un montñ. Pr clculr su longitud se tomn desde el punto C ls siguientes medids. AC = 90m BC= 700m ACB= º. Hllr dich longitud 0. Se AB un ltur de pie ccesile, situd en un terreno horizontl. Desde el punto E, situdo,m de A, con un prto colocdo en C un metro del suelo se dirige l visul B que form un ángulo de º con l horizontl. Clculr l ltur AB. Desde un punto rs del suelo se ve l zote de un edificio con un ángulo de elevción de 8º. Avnzndo 0 metros en dirección l edificio, el ángulo de elevción se increment en 6º. Clculr l ltur del edificio.. Un psillo de 0 m de lrgo que form º con l horizontl conduce l pie de un grn torre. Clculr l ltur de ést, siendo que desde el inicio del psillo el ángulo de elevción de su punto ms lto es de 8º.. Un fro est sore un cntildo. Desde un rco tommos un punto C l prte superior se ve con un ángulo de elevción de º. Situándose en un punto D 0 m más cerc, se constt que dicho ángulo de elevción se trnsform en 80º, que el de l se del fro vle 60º. Cuál es l ltur del fro del cntildo?. Un pendiente de 0m de lrgo un inclinción de º conduce l pie de un colosl esttu. Clculr l ltur de est siendo que desde el inicio de l pendiente, el ángulo de elevción del punto más lto es de 8º.. Un homre oserv que el ángulo de elevción de un gloo es de 0º 0, se cerc 00 m entonces l elevción es de 6º. Cuánto dee ndr el homre pr colocrse dejo del gloo? 6. Pr clculr l distnci entre dos puntos inccesiles A B se h medido un se CD de 0 m situd en el mismo plno que A B, tmién se hn medido los ángulos. DAC= 06º, DCB= 9º CDB= º CDA= º. Clculr l distnci entre A B. 7. Desde dos punto B C de un crreter, seprdos 70m, se oserv un árol A. Siendo que el ángulo BCA = º CBA= 6º, clcul l distnci del árol l punto más cercno. 8. Un solr de form tringulr tiene dos ldos de longitudes 0,m 00,6 m el ángulo opuesto l primero es de 0º. Hllr l longitud de un cerc que lo rodee completmente. 9. Dos estciones A B están situds en ldos opuestos de un montñ, son vists desde un tercer estción C. Se conocen ls distncis AC=, km. BC= 9, km. el ángulo ACB= 9º 0. Hllr l distnci entre A B 60..El ángulo de elevción de un peñ mide 7º. Después de cminr 000 m hci ell, suiendo un pendiente inclind º respecto de l horizontl, su ángulo de elevción es de 77º. Hll l ltur de l peñ con respecto l plno horizontl de l primer oservción. R-MATCNSI 0

21 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics 6. A un ldo de un cmino está el st de un nder, fij en l prte superior de un muro. Desde un punto l otro ldo del cmino oservmos l prte superior de l nder con un ángulo de elevción del 0º, si nos cercmos metros el ángulo ps ser de 7º el de l prte inferior de l nder 60º. Clculr l ltur de l nder del muro 6. Un ctedrl se encuentr sore un colin. Cundo se oserv l prte superior del cmpnrio desde l se de l colin, el ángulo de elevción es de 8º; cundo se ve un distnci de0 metros desde l se de l colin, es de º. L colin se elev un ángulo de º. Clcul l ltur de l ctedrl. 6. Pr loclizr un emisor clndestin, dos receptores, A B, que distn entre sí 0 km, orientn sus ntens hci el punto donde está l emisor. Ests direcciones formn con AB ángulos de 0 o 6 o. A qué distnci de A B se encuentr l emisor 6. Un rco B pide socorro se recien sus señles en dos estciones de rdio, A C, que distn entre sí 0 km. Desde ls estciones se miden los siguientes ángulos: BAC = 6 o BCA = o. A qué distnci de cd estción se encuentr el rco? 6. Pr hllr l ltur de un gloo, relizmos ls mediciones indicds en l figur. Cuánto dist el gloo del punto A? Cuánto del punto B? A qué ltur está el gloo? 66. En un entrenmiento de fútol se coloc el lón en un punto situdo m 8 m de cd uno de los postes de l porterí, cuo ncho es de 7 m. Bjo qué ángulo se ve l porterí desde ese punto? 67. Hll l ltur de l torre QR de pie inccesile más jo que el punto de oservción, con los dtos de l figur figur. 68. Clcul l ltur de QR, cuo pie es inccesile más lto que el punto donde se encuentr el oservdor, con los dtos de l 69. Pr medir l ltur de un montñ AB nos hemos situdo en los puntos C D distntes entre sí 0 m, hemos tomdo ls siguientes medids: ACB = 60 o BCD = 6 o, BDC = 80 o Clcul l ltur de l montñ 70. Clculr l ltur de un repetidor de TV uicdo en l cim de un montñ siendo que desde un punto lejdo del pie de l montñ l se el vértice del repetidor se ven jo unos ángulos de 66º 70º respectivmente. Si nos lejmos de es posición en líne rect, m el vértice hor lo vemos jo un ángulo de 67º 7. Clculr l distnci entre dos puntos inccesiles (X e Y) si desde dos puntos, A B que distn 0 m, se oservn los puntos X e Y jo ls visules que muestr l figur. R-MATCNSI

22 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º Los números complejos Número imginrio.- Se define i Ejemplo : i -; i -; - i - - Número complejo.- Un número complejo es un número rel + un número imginrio = + i = prte rel del número complejo = prte imginri del número complejo Ejemplo: + i; - + i; 7 6i; - i Representción de un número complejo.- Eje Imginrio Z = - + i Z Z Eje Rel Z = + i Z = - - i Z Form crtesin.- (, ) Form inómic.- + i Form polr.- m ; m = módulo del complejo, m = = Arctng = ángulo que form el complejo con el eje OX Pr clculr el ángulo es necesrio representr el número complejo pr ser en que cudrnte está. Form trigonométric.- m(cos + isen ) Z = (, ) = + i = m = m(cos + isen ) Operciones.- Sum rest: Se hcen en form crtesin o inómic Ejemplo.- (, -) + (-, 7) = (-, ) ( i) + (- + 7i) = - + i Producto, división, potencis ríces: Se hcen en form polr Producto: m. m = (m. m ) m m División: m m Potencis: (m ) n = (m n ) n Ríces: n m = n soluciones = n m k, donde k = 0,,,., n- n R-MATCNSI

23 Ejemplos.-.- Sen Z = + i, Z = - i, Z = + i. Clculr Z m = = ; = Arctng Z 60.( Z) Z ; Z = 60 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics Z m =. = ; = Arctng 0 ; Z = 0 Z m = ; = Arctng ; Z = 0.( 60 Si k = 0 Si k = Si k = ) = = = 68 = = (Cos 0 + i Sen 0 ) = 6 i (Cos 0 + i Sen 0 ) = 6 i (Cos 70 + i Sen 70 ) = 0 i 6 = i 6.- Resuelve l ecución 8 = 0 = 8 = 8 = 8 0 = Si k = 0 8 (Cos 0 Sen 0 ) Si k = (Cos0 Sen 0 0 ) i Si k = (Cos 0 Sen 0 0 ) i R-MATCNSI

24 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics EJERCICIOS.Epres los siguientes números complejos en form polr represéntlos. ) i e) ) i f) i g) -i c) i h) -i d) i i) i j) - i k) -- i l) -. Escrie los siguientes números complejos en form inómic º 0º º 0º 8º 0º º / º 0º 9º / º 90º 6º 00º 0º º 7º 0º º /6 º /. Oper los siguientes ejercicios dndo el resultdo en form polr inómic: º 0º. 60º º ( /6 ) 6 8º(- i) 6 º ( º ): ( º ) 0 6º ( i ) 9º( / ):( 60º ) º 0º. 70º. 0º 7º (+i) º ( º ):( º ). Resuelve ls siguientes ecuciones en el cuerpo de los números complejos: º -8=0 º -=0 º +8=0 º +=0 º +=0 6º -8. Clcul represent ls siguientes ríces: ) i f) i ) i i g) c) 8 i d) i e) i h) 8 8 i i) j) i i i k) i 6 6. Sen los complejos z i () Form polr de z w w i. Se pide (c) Ls ríces curts de w z en form polr inómic () Clculr w z (d) Representr gráficmente ls ríces curts. i Clcul: () z en form inómic polr. () z i i R-MATCNSI

25 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º Ecuciones de l rect en el plno. Prolems métricos A B Vector: AB B A; Punto medio de un segmento AB Pendiente: Inclinción de l rect, se clcul m = v /v = tn. L rect: Pr clculr l ecución de un rect necesitmos conocer un punto A(, ) un vector dirección V (v, v ), o dos puntos por los que pse l rect, o un punto por donde ps l pendiente. Ecuciones de l rect: *Ecución vectoril: (, ) = (, ) + (v, v ) R v *Ecuciones prmétrics: R v *Ecución continu: v v *Ecución generl: A + B + C = 0, en este cso m = -A/B *Ecución eplícit: = m + n *Ecución punto pendiente: = m( ) Distncis: Entre dos puntos: d(a, B) = AB = De un punto un plno: d(a, ) = Ángulo entre dos rects: A = Arctng ( u A ) ( ) B r B mr m s m. m Posición reltiv de dos rects: A B C Son coincidentes si A B C A B C Son prlels si A B C A B Se cortn en un punto si, en este cso se resuelve el sistem pr clculr ls A B coordends del punto de corte. Condiciones de prlelismo perpendiculridd: *Si nos dicen que r es prlel s, esto signific que V r V s s C u, o lo que es lo mismo que m r = m s *Si nos dicen que r es perpendiculr s, esto signific que V r V s, o lo que es lo mismo que m r = -/m s Triángulos Meditriz.- Rect perpendiculr un ldo que ps por su punto medio Medin.- Rect que ps por el punto medio de un ldo por su vértice opuesto Altur.- Rect perpendiculr un ldo que ps por el vértice opuesto Circuncentro.- Punto donde se cortn ls meditrices A B C Bricentro.- Punto donde se cortn ls medins. G = Ortocentro.- Punto donde se cortn ls lturs Bse. Altur d( A, B). d( C, rectab) Áre de un triángulo: A = R-MATCNSI

26 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º Geometrí del plno.- Encuentr l ecución vectoril, prmétric continu de l rect que ps por los puntos A=(,) B=(,-)..- Cuál es l ecución prmétric de l rect que ps por los puntos P=(,) Q=(,-). Pr qué vlores del prámetro se otienen los puntos P Q el punto medio de P Q?..- ) Cuál es l pendiente de l rect que ps por los puntos A=(,) B=(0,)?. ) Escrie ls ecuciones eplícit e implícit de l rect que ps por los puntos P=(,) Q=(,)..- Deduce l ecución de l rect cuos puntos de intersección con los ejes son A=(6,0) B=(0,-)..- Escrie ls ecuciones generles de los ejes coordendos. Cuál es l ecución prmétric de cd uno?. 6.- Escrie l ecución eplícit de l isectriz del primer tercer cudrnte. Escrie tmién l de l isectriz del segundo el curto cudrnte. 7.- Escrie en forms eplícit continu l ecución de l rect: += Clcul l ecución de l rect perpendiculr r que ps por el punto P en los csos: ) r: {=- t; =+t}; P=(,); ) r: (-)/=/, P=(0,); c) r: =-, P=(,); d) r: -+=0, P=(0,0). 9.- Hll l ecución de s que es perpendiculr r: +-=0 ps por el punto A=(,). Busc ls coordends de un punto S perteneciente l rect s que equidiste de A de r. 0.- Cuál es l pendiente de l rect que ps por los puntos A(0,) B(,)?..- Cuál es el vector de dirección l pendiente de ls siguientes rects?: ) =-. ) (- )/=(+)/..- Hllr l ecución de l rect que ps por B(,) es prlel l que ps por los puntos A(,0) C(,-).- Hllr l ecución de l rect perpendiculr l rect +-=0 que ps por el punto A(,)..- Hll l ecución de l perpendiculr l rect +-=0 por su punto de scis..- Hll l ecución de l rect perpendiculr l vector w (,) que cort =- en el punto de ordend. 6.- Hllr l ecución de l rect que ps por el punto de intersección de ls rects ++=0 --=0, es perpendiculr l rect (/)+(/)=. 7.- Dds ls rects r: {=+λ; =λ} s: (+)/=(-)/. ) Determinr el punto de intersección de ms ls ecuciones de ls rects que psndo por dicho punto sen: ) prlel =-;c) perpendiculr ++= Si te dicen que el punto (,k) pertenece l rect = +6. Cuánto vle k?. 9.- Hll l ecución de l rect que ps por el punto (,-) que es prlel l que ps por los puntos (,0) (,). 0.- Dds ls rects siguientes, decide cules son prlels cuáles no: ) {=+t; =-+t}, {=+t; =t}, {=t; =t}; ) ++=0; -+=0; c) -+=0; -=0..- Cuál o cuáles de ls siguientes rects psn por el punto (,)?. ) -+=0; ) +-=0; c) =-..- Pertenece el punto (0,) l rect determind por el vector (,) el punto (,)?. º Segmentos. Pto Medio. Ptos de corte. Punto simétrico..- Hll los puntos de corte con los ejes coordendos de l rect: (+)/=(-)/..- Encuentr ls coordends de un punto de --6=0, que diste uniddes de -+=0..- Encuentr ls coordends del punto simétrico de P=(,-) respecto l rect r: +-=0..- Ddos los puntos A(,6) B(,0) l rect r: -+=0, hllr: ) El simétrico de A respecto B. ) El simétrico de B respecto r. c) L ecución de l rect s, simétric l AB respecto de r..- Hllr: ) Ls coordends del punto P' simétrico del P(,), respecto del M(,0). ) Ls coordends del punto A', simétrico de A(-,) respecto de l rect t: +-=0. c) L ecución de l rect r', simétric de l r: +-=0 respecto de l s: +=. R-MATCNSI 6

27 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics 6.- Hllr l ecución de l rect que ps por el punto de intersección de l rect -+=0 con el eje X es prlel l rect que ps por el punto (,-) por el punto medio del segmento de etremos (0,) (,-). 7.- Hllr ls coordends del punto simétrico de P(-,-) respecto de l rect +-6= Hllr l ecución de l meditriz del segmento determindo por los puntos A(,) B(,) el ángulo que form con el eje X. 0.- Hllr ls ecuciones de ls rects prlel perpendiculr l -+=0, por el punto P(,). Ams rects cortn los ejes OX OY respectivmente en los puntos A B. Clcúlese l meditriz de AB..- Ecución de l meditriz del segmento que determin l rect += l cortr los ejes de coordends..- Ddo el segmento de etremos A(,0) B(,). Hll un punto P de este segmento de mner que l distnci PA se tres veces PB. º Meditrices distncis.- Hll l ecución de l meditriz del segmento de etremos A=(,) B=(,)..- Clcul l distnci del punto P=(,-) cd un de ls rects siguientes: ) ++=0; ) =-; c) (+)/=(-)/; d) {=+t; =-t}, e) +=; f) /+/=..- Clcul l distnci entre ls rects prlels: r: +-=0 s: +=0..- Clcul l distnci entre ls rect prlels: ) r: +-=0; s: ++=0; ) r: =-; s: -+=0..- Clcul ls longitudes de ls tres lturs del triángulo determindo por los puntos A=(,), B=(,) C=(,). 6.- Un punto P que es equidistnte de A=(,) de B=(,), dist el triple del eje de sciss que del eje de ordends. Cuáles son sus coordends 7.- Ddos los puntos A(,-) B(-,) l rect r: --=0, hllr un punto P que equidiste de A B se incidente con r. 8.- Hllr l distnci entre ls rects r: -+=0 s: -+= Hllr un punto de l rect r: +-=0 que equidiste de los puntos A(,) B(,). 0.- Clculr l distnci del punto P(,) cd un de ls rects siguientes: ) -+=0; ) /=(-)/; c) {=+t; =-t}; d) /+/=..- Un punto P que es equidistnte de A(,) B(,) dist el dole del eje de sciss que del eje de ordends. Cuáles son sus coordends?..- Dd l ecución -+=0. Hllr l ecución de un prlel dich rect un distnci de uniddes.- Hllr l distnci entre ls rects prlels: ) +-=0; ++=0. ) (-)/=(+)/; {=t; =+t}..- Hllr ls coordends de un punto de l rect --=0 que diste unidd de l rect - +=0..- Hllr ls coordends de un punto P equidistnte de puntos ddos: A(,), B(,) C(-,). 6.- Hllr ls ecuciones de ls rects que son incidentes con el punto A(,) distn uniddes del origen de coordends. º Prolems con incógnits.- Determin el vlor de k pr que los puntos A(,-), B(,) C(k,9) estén linedos..- Clcul el vlor de pr que ls rects -+=0 +6-9=0 sen perpendiculres, demás, l segund pse por el punto P=(,)..- Clcul el vlor de m pr que ls rects r: m++6=0, s: +-=0 t: -= psen, ls tres, por un mismo punto. R-MATCNSI 7

28 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics.- Determin m n siendo que l rect +n=0 ps por el punto (,) es prlel l rect m-+=0.- Dds ls rects r: += s: -+=8. Determinr "" pr que formn un ángulo de º..- Hllr pr que l distnci de O(0,0) l rect r: +-=0 se. 6.- Dd l rect m-+m-=0. Clculr m pr que: ) dich rect pse por el punto (,-). ) dich rect se prlel l rect (-)/ = (-)/. 7.- Hllr el vlor de A de B pr que ls rects: A+-8=0 +B= se corten en el punto (,). 8.- Hllr "m" "n" siendo que l rect +m=0 ps por el punto (,) es prlel l rect n+-= Clcul el vlor de pr que ls rects -+=0 +-=0 sen perpendiculres demás l segund pse por el punto (-,). 0.- Ls rects +-=0 A++=0, formn un ángulo de π/ rdines. Cuánto vle A?..- Hllr el vlor de "" pr que ls rects: r: ++=0; s: 6-=0. Sen: ) Prlels, hllndo su distnci. ) Perpendiculres.- Hllr "" pr que ls rects siguientes sen prlels: ) += -=; ) (+)-= +(-) =..- Hll el vlor de "m" pr que l rect (-)/m=(+)/ se prlel l rect: {=t; =t+}. - Dds ls rects siguientes, determinr "m" pr que formen un ángulo de º. r: +=; s: +m=. º Prolems de triángulos.- En el triángulo de vértices A=(,), B=(-,0) C=(,), Hll l ecución de ls medins..- Hll los vértices del triángulo cuos ldos están sore ls rects r, s t de ecuciones: r: =; s: +=; t: +-=0..- Clcul el áre itd por l rect (/)+(/6)=, el eje de sciss el eje de ordends..- Indic qué tipo de triángulo es el de vértices ABC, siendo: ) A=(,); B=(,0); C=(,); ) A=(,); B=(-,); C=(,6); c) A=(,); B=(,); C=(,)..- Clcul el áre del triángulo que tiene sus vértices en los puntos A=(,), B=(,-) C=(-,0). 6.- Hll ls coordends del ricentro (punto de corte de ls medins), del triángulo de vértices: A=(0,), B=(-,) C=(,0). 7.- Hll ls ecuciones de ls lturs del triángulo que determinn los puntos A=(,0), B=(-,) C=(-,-) determin el ortocentro. 8.- En el triángulo de vértices A=(,6) B=(,) C=(,-). Determin: ) el ricentro; ) el ortocentro; c) el circuncentro. 9.- Clcul el áre del triángulo formdo por ls rects +-8=0; -+0=0 -+= El punto A(,-) es vértice del triángulo ABC. Ls ecuciones de ls rects que contienen ls lturs son: -=0 -+=0, respectivmente. Hllr l ecución del ldo los vértices..- Averigur si el triángulo ABC, donde A(-,), B(,8) C(-6,-), es isósceles si el de vértices A'(,), B'(,-) C'(6,) es rectángulo..- Los puntos B(,) C(8,) son vértices de un triángulo rectángulo. Si BC es l hipotenus, hllr el vértice A, siendo que está en l rect =-..- Los puntos A(,), B(,0) C(,) son vértices de un triángulo. Pror que el ortocentro, circuncentro ricentro están linedos..- Ddos los puntos A(-,-) B(,), hllr sore l rect r: = + un punto P tl que con los ddos determine un triángulo de áre u..- Ddo el triángulo de vértices A(0,); B(,), C(,). Se pide: ) Ecución de l ltur correspondiente l vértice A; ) Ecución de l medin correspondiente l vértice B; c) Áre del triángulo. 6.- Hllr l ecución de l rect que ps por el punto P(,) que determin l cortr los ejes coordendos un triángulo de áre 9 u. R-MATCNSI 8

29 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics 7.- ) Clcul el ricentro los puntos medios de los ldos del triángulo de vértices A(,), B(-,), C(,). ) Ecución vectoril de l rect que ps por A(,) es prlel l l rect +-= ) En el triángulo de vértices A(,-), B(,), C(0,): ) escriir en form prmétric l ltur correspondiente l vértice A. ) Hllr l distnci del punto A(,-) l rect -+-8= Dds ls rects: -=; --=0; {=-t; =+t}. Clcul el áre del triángulo que determinn. Sol: / 0.- Clculr el áre del triángulo cuos vértices son los puntos: A(,), B(,), C(0,)..- Compror si es isósceles el triángulo de vértices: A(,), B(,) C(,). Sol: Sí.- Decir que tipo de triángulo tiene de vértices: A(,), B(,) C(7,8)..- Clcul el vlor de de pr que r: +-=0 s: += se corten en el punto (,). 6º Prolems de figurs geométrics.- Los puntos medios de los ldos de culquier cudrilátero formn un prlelogrmo. Compruélo con el cudrilátero de vértices: A=(,); B=(,0); C=(,) D=(8,)..- Clcul el vértice D del prlelogrmo ABCD, siendo que A=(,-); B=(,-) C=(0,)..- Un romo ABCD, tiene su vértice A en el eje de ordends otros dos vértices opuesto son B=(,) D=(,). Determin: ) ls coordends de los vértices A C; ) el ángulo que formn sus ldos; c) cuánto vle su áre..- Dos ldos de un prlelogrmo están sore r: =+9 s: ++6=0 tiene un vértice en el punto (,). Hll ls ecuciones de ls rects de los otros dos ldos ls coordends del resto de sus vértices..- Un cudrdo de vértice A en el punto (0,) su centro el punto (,). Clcul ls coordends de los otros tres vértices. 6.- Conocemos dos vértices de un rectángulo, A=(,) B=(,), semos que uno de sus ldos está sore l rect +=6. Clcul ls coordends de los otros dos vértices. Sol: (,) (,) 7.- Un cudrdo tiene por vértices contiguos los puntos A=(,) B=(,). Clcul sus otros dos vértices. Cuánts soluciones tiene el prolem?. Sol: Dos soluciones: C(,), D(,0); C'(,), D'(,) 8.- De un cudrdo conocemos dos vértices opuestos A=(,) C=(,6). Clcul sus otros dos vértices. Cuánts soluciones tiene el prolem?. 9.- Clcul el áre del cudrilátero de vértices A=(,0), B=(,), C=(0,) D=(-,-). 0.- El punto A(,) es uno de los vértices de un prlelogrmo. Dos de sus ldos están situdos en ls rects r: /+/-= s: ++=0. Hllr ls coordends de los vértices ls ecuciones de los otros ldos..- Los puntos A(0,) D(,) son vértices consecutivos de un prlelogrmo. El punto M(,) es el punto de intersección de ls digonles. Hllr ls coordends de los otros vértices B C, ls ecuciones de los ldos, el áre del prlelogrmo..- Los puntos A(0,0) C(,7) son vértices opuestos de un rectángulo. Un ldo está situdo sore l rect -=0. Hllr ls coordends de los vértices B D ls ecuciones de los ldos..- Determinr ls coordends de los vértices B D del cudrdo que tiene por digonl AC, donde A(,) C(,).- El centro de un cudrdo es el punto P(,) un vértice A(,). Hllr ls coordends de los otros dos vértices el áre del cudrdo..- Los puntos A(,) C(0,) son vértices opuestos de un romo. El vértice D está situdo sore l rect r: --=0. Hllr ls coordends de D ls del curto vértice, B. 6.- Los puntos A(,) B(,) son vértices consecutivos de un rectángulo. Siendo que el vértice D, opuesto l B, está sore l rect ++=0, hllr ls coordends de los vértices C D. 7.- El ldo AB del cudrdo ABCD está sore l rect r: +=0. Si el centro del cudrdo es el punto M(9/,/), hllr los vértices. 8.- Hllr ls coordends del vértice D ls ecuciones de los ldos del prlelogrmo de vértices: A(,), B(,) C(,). R-MATCNSI 9

30 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º Cónics Circunferenci Elementos: Centro: (c, c ) Rdio: r = d(c, P) = d(c, r t ) Ecución: ( c ) + ( c ) = r ; desrrolld + + D + E + F = 0; Relciones: D E F - c - c c c - r Elipse Elementos: Focos F F ; eje focl; eje secundrio; centro (c, c ); vértices A, A, B, B ; rdio vectores PF PF. Distnci focl = c; longitud del eje mor = ; longitud del eje secundrio =. Ecución: PF + PF = ; ( c ) ( c ) (eje focl horizontl); ( c ) ( c ) (eje focl verticl); Relciones: = + c ; e = c (e < ) Hipérol Elementos: Focos F F ; eje focl; eje secundrio; centro (c, c ); vértices A, A, B, B ; rdio vectores PF PF. Distnci focl = c; longitud del eje mor = ; longitud del eje secundrio =. Ecución: PF - PF = ; ( c ) ( c ) (eje focl horizontl); ( c ) ( c ) (eje focl verticl) Relciones: c = + c ; e = (e > ) Asíntots: = Práol Elementos: Foco F; directriz = (práol verticl), = (práol horizontl); vértice V(v, v ) Ecución: PF = d(p, directriz) = p/; ( v ) = p( v ) (práol verticl iert hci rri); ( v ) = -p( v ) (práol verticl iert hci jo); ( v ) = p( v ) (práol horizontl iert l derech) ( v ) = -p( v ) (práol horizontl iert l izquierd) Relciones: d(f, directriz) = p. R-MATCNSI 0

31 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics EJERCICIOS CIRCUNFERENCIAS.- Escrie l ecución de l circunferenci de centro C(-,) rdio..- Clcul l posición del punto P(-,) respecto l circunferenci: + --=0.- Hll el centro el rdio de ls circunferencis: ) + -+-=0; ) + --8=0; c) =0.- Hll l ecución de l circunferenci que es tngente l eje de sciss cuo centro es el punto ) C(,). ) C(,)..- Clcul ls posición reltiv de los puntos O(0,0); A(,0) B(,0) respecto l circunferenci + -9= Hll l ecución de l tngente l circunferenci de centro C(-,) en el punto de tngenci (,). 7.- Clcul l ecución de l circunferenci que ps por los puntos A(,); B(0,-) C(-,0). 8.- Cuál es l ecución de l circunferenci cuo centro es C(-,) ps por el punto P(-,)? Hll l ecución de l circunferenci cuo diámetro tiene por etremos los puntos A(,) B(,) 0.- Clcul l longitud de l cuerd que determin l rect = l cortr l circunferenci =0..- Clcul l ecución de un circunferenci tngente los ejes coordendos que ps por A(9,) - Pr qué vlor de l rect =- es tngente l circunferenci + =8?. -. Qué posiciones ocupn los puntos A(-,0); B(,); C=(,); D=(,-) respecto l circunferenci: =0?..- Escrie l ecución de un circunferenci concéntric + -++=0 cuo rdio es.. -Hll l circunferenci circunscrit l triángulo cuos ldos están sore ls rects: -+=0; += +=. 6.- Hll l ecución de l circunferenci definid por los puntos A=(,0), B=(-,0) C=(0,9). 7.- Hll l ecución de l circunferenci de centro C, situdo en l rect r: +-=0, que ps por los puntos A=(-,) B=(,0). 8.- L rect : +-=0 es tngente en (0,) un circunferenci, que ps por el punto P (,). Hllr su ecución. R-MATCNSI

32 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics 9.-Determin l ecución de l circunferenci de centro el punto A(,) es tngente l rect r:+=. 0.- Hll ls ecuciones de ls circunferencis de rdio, tngentes l de ecución + = en el punto P(,-)..- Hll ls ecuciones de ls rects tngentes l circunferenci dd, en los puntos de ordend = =0..- Dd l circunferenci : (-) +(-) =, hll ls ecuciones de ls tngentes trzds desde A(,)..- Dd l circunferenci r: (-) +(+) =, hll ls ecuciones de ls tngentes ell prlels l rect -+=0..- Clcul m pr que el rdio de l circunferenci + +m++=0. se..- Hll l ecución de l circunferenci que ps por el punto A(,0) es tngente l rect r: +-=0 en el punto B(,). 6.- Hll l ecución de l circunferenci de centro C(,) tngente l rect r: = Hll l ecución de l circunferenci que ps por los puntos A(,) B(-,) tiene su centro en l rect r: --=0 8.- Hll ls ecuciones de ls rects tngentes l circunferenci (-) +(-) =, en los puntos de scis =0. ELIPSES.- Clcul l ecución de l elipse formd por los puntos cu sum de distncis F(,) F(7,) es igul 0.-Encuentr los elementos principles de l elipse ( /)+( /9)= diuj su gráfic..- Hll los elementos principles de l elipse: 9 + =900.- Escrie l ecución reducid de l elipse cu distnci focl es 6 cuo semieje mor tiene de longitud 0..- Encuentr l ecución reducid de l elipse cuo semieje mor tiene longitud que ps por P(,/). 6.- Hll l ecución de l tngente l elipse ( /)+( /9)=. en el punto de scis =. 7.- Encuentr los semiejes, vértices focos verigu l ecentricidd de ls elipses: ) ( /69)+( /)=; ) 6 + =00; c) +6 =. 8.- Determin l ecución reducid de l elipse cuo eje mor mide 8 ps por el punto P(,). 9- Escrie l ecución de l elipse cu sum de distncis F(8,0) F(-8,0) vle 0. R-MATCNSI

33 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics 0.- Encuentr l ecución de l elipse de focos F(-,0) F(,0) cuo semieje mor tiene longitud 6..- Hll ls ecuciones de ls elipses definids por los siguientes dtos: ) =, =; ) =, c=; c) =, c=..- Hll l ecución de l elipse con centro en el origen siendo que los rdios vectores de un punto P son r= r'=6 que l distnci focl es 8..- Hll l ecución de l elipse que ps por el punto P (6,6/0) cuos semiejes mor menor son proporcionles, respectivmente.- Un elipse, cu ecución está referid sus ejes, tiene sus focos en F(,0) F'(-,0) ps por P(,0). Hll su ecución.- Hllr l ecución de l elipse con C(-, ); F(-, 6) sum de distncis 6. Escriir ls coordends de sus cutro vértices. 6.- Hll l ecución de l elipse cuo centro es C(,), uno de los vértices A(7,) l ecentricidd e=/.. Clculr ls coordends de sus vértices los focos 7.- Hllr l ecución todos los elementos de l elipse con C(-, ); F(-, 6) sum de distncis Escriir l ecución reducid de un elipse siendo que su centro está en el punto (, ), que los etremos de su eje mor son A(6, ) A (-, ) que su ecentricidd es e = 0,. Escriir ls coordends de todos los vértices focos. 9.- Hllr l ecución de l elipse con focos F`(-, ); F(-, 6) sum de distncis 6. Escriir ls coordends de sus cutro vértices. 0.- Hllr l ecución de l elipse con C(-, ); F(-, 7) siendo que = Escriir ls coordends de sus cutro vértices. R-MATCNSI

34 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics HIPÉRBOLAS. Hllr l ecución reducid de un hipérol siendo que = =, escriir ls coordends de los cutro vértices los focos.. Hll ls ecuciones de ls hipérols definids por los siguientes dtos, escriir ls coordends de los cutro vértices los focos.: ) =,=; ) =, c=; c) =, c= ; d) =, e=/.. Hll l ecución de l hipérol cu diferenci de distncis F(,0) F(-,0) vle 6. Escriir ls coordends de los cutro vértices los focos.. Clculr l ecución de l hipérol con focos en (8,0) simétrico un vértice en A(-,0). Escriir ls coordends de los cutro vértices los focos.. Escrie l ecución de l hipérol de focos (,) (-,), cuo semieje mor tiene longitud. Escriir ls coordends de sus cutro vértices. 6. Hllr l ecución reducid de un hipérol cuos focos están en F(-, ), F (-, -) cu diferenci de distncis es. Clculr ls coordends de los vértices 7. Hllr l ecución reducid de un hipérol cuos focos están en F(, -), F (, 8) cu diferenci de distncis es. Clculr ls coordends de los vértices 8. Hllr l ecución reducid de un hipérol cuos focos están en F(, ), F (, 0) cu diferenci de distncis es. Clculr ls coordends de los vértices. 9. Escrie l ecución reducid de l hipérol, centrd en el origen siendo que uno de sus focos es F (7,0) uno de sus vértices es A(,0).Escriir ls coordends de sus vértices. 0. Hllr l ecución reducid de un hipérol cuos focos están en F(0, ), F (8, ) cu diferenci de distncis es. Clculr ls coordends de los vértices. Hllr l ecución reducid de un hipérol centrd en el punto C(,) siendo que = =, escriir ls coordends de los cutro vértices los focos.. Un hipérol tiene por síntots = es incidente con el punto P(6,). Hll su ecución.. Clcul m pr que l rect =+m se tngente l hipérol: - =.. Escrie l ecución de l hipérol de focos (,) (-,), cuo semieje mor tiene longitud. Escrie l ecución reducid de un hipérol siendo que su distnci focl es 6 l distnci de un foco l vértice más próimo es. 6. Escriir ls ecuciones de ls hipérols siguientes clculr todos sus elementos : ) Su centro Q-,0), F(,0) e = / ) Sus vértices son A(6,), A (-,) su distnci focl es 0 c) = 8, C(,-), B'(-,-) R-MATCNSI

35 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics 7.Clculr l ecución de l hipérol cuo centro está en el punto (, ) dos de sus vértices son A(,) B(, ). Clculr l ecentricidd. Clculr el resto de los vértices los focos. PARÁBOLAS. Un práol de eje verticl tiene por vértice V=(,-) por foco F(,0). Hll ls ecuciones del eje, de l directriz de l práol. Dd l práol de ecución =8, hll ls coordends del vértice del foco ls ecuciones de l directriz del eje. Hllr l ecución de l práol de vértice V(,) F(6,), escrie l ecución de l directriz. Hllr l ecución de l práol de vértice V(-,) directriz =- escrie ls coordends del foco. Hllr el vértice el foco,el eje l directriz de ls siguientes práols ) =-8 ) --=0 c) +6-8-=0 6. Hllr l ecución de l práol siendo que su directriz es = su foco es F(,-) 7. Su directriz es el eje de ordends su vértice es el punto V(,) 8. Su foco es el punto F(,) su vértice es V(,-) 9. Su foco es F(,0) l directriz es =- 0. Encuentr el vértice, el foco, el eje l directriz de l práol: =.. Escriir ls ecuciones de ls siguientes práols representrls.. ) Vértice (,-) directriz = - ) Foco (6, ) vértice V(, ) c) Directriz = 0, vértice V(,) d) Vértice V(-,) foco (-,8) R-MATCNSI

36 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics ANÁLISIS º Funciones Dominio: Es el conjunto de números reles pr los cules eiste imgen medinte l función f(). Dom f() = R f() Funciones polinómics.- f() = P(), Dom f() = R Funciones rcionles.- f() = Polinomio/Polinomio, Dom f() = R - nuln el polinomio del denomindor. Funciones irrcionles.- - Ejemplo :f(), Dom f() 9 f ( ) g( ), Dom f() R - R / g() 0 R tles que Ejemplo :f() + 6 = 0, =, =, + + Dom f() = (-,, ) Ejemplo : f() = - -, 0, Hciendo un tl de signos tenemos: = 0 = / + + Dom f() = (-, -) /. ) + = 0 = - - / Funciones eponenciles.- f() = g(), Dom f() = R - Prolems de g(). f() =, Dom f() = R Ejemplo : f() = e, Dom f() = R / Ejemplo : f() = e, Dom f() = R -. Funciones logrítmics.- f() = log(g()), Dom f() = R / g() > 0 Ejemplo: f() = Ln( ) >0, hcemos = 0 = = - Hcemos un tl de signos pr Por lo tnto Dom f() = (-, -) (, ) Funciones trigonométrics.- f() = sen(g()) Dom f() = R - Prolems de g(). f() = cos(g()) Dom f() = R - Prolems de g(). f() = tng (g()) Dom f() = R - R / cos (g()) = 0. f() = Cosec (g()) Dom f() = R - R / sen (g()) = 0. f() = Sec (g()) Dom f() = R - R / cos (g()) = 0. f() = Cotng (g()) Dom f() = R - R / sen (g()) = 0. Puntos de corte con los ejes: Eje OX Si = 0, despejndo se otienen los vlores de. Eje OY Si = 0, sustituendo se otiene el vlor de. - 6, - Tl de signos pr el rdicndo Simetrís: Pr Se tiene est simetrí cundo f(-) = f(). En este cso l función es simétric respecto del eje OY. Impr Se tienen est simetrí cundo f(-) = -f(). En este cso l función es simétric respecto del origen de coordends, el punto (0, 0). 6 0, R-MATCNSI 6

37 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics EJERCICIOS º Funciones dds por tls ( Interpolción).- El gsto en fotocopis de un oficin viene ddo por l tl: Meses Enero Ferero Mrzo Gsto 0 7 Otener el polinomio interpoldor de segundo grdo deducir el gsto de fotocopis pr el mes de ril..- El número de lumnos mtriculdos en miles en ls prues de selectividd de l Universidd de Murci en tres ños fue el siguiente: Años Alumnos 0 8 Otener el polinomio interpoldor de segundo grdo pr estimr el número de lumnos mtriculdos en 986 el número de lumnos que se mtriculrán en El número de funcionrios de un Comunidd Autónom en tres ños fue el siguiente: Años Funcionrios Otener el polinomio interpoldor de segundo grdo pr estimr el número de funcionrios en 99 el número en 998. Cuál de ls dos estimciones es más file?..- El gsto en mteril de oficin en euros de un empres viene ddo por l tl: Meses Aril Mo Junio Gsto 0 0 Otener el polinomio interpoldor de segundo grdo deducir el gsto de fotocopis pr el mes de julio..- L tempertur en grdos Fhrenheit (ºF) puede ser epresd como un función de primer grdo de l tempertur en grdos Celsius (ºC). En l escl Fhrenheit el gu se congel ºF hierve ºF; en l escl Celsius, se congel 0 ºC hierve 00 ºC. Epresr l tempertur Fhrenheit,, como un función de l tempertur Celsius,. Si l tempertur norml del cuerpo humno es de 98,6 ºF, qué tempertur corresponde en l escl Celsius?. 6.- De un función f() se conocen los vlores f() =, f() = 7 f() =. ) Clculr l función de interpolción cudrátic que tom dichos vlores. ) Clculr el vlor de l función de interpolción pr =. 7.- Dd l tl de l función f(): f() Clculr el error cometido cundo se clcul f() medinte l interpolción cudrátic utilizndo los otros tres vlores de l tl. R-MATCNSI 7

38 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º Concepto de función.-se quiere construir un pozo en form cilíndric de m. de diámetro. Epres el volumen del gu que ce en el pozo en función de su profundidd..- El rdio de un círculo mide 0 cm. Epres el áre de un rectángulo inscrito en el mismo en función de l medid de l se. Cuál es el dominio?.- En un loque de viviends ls ventns son rectngulres deen tener m de luz. Si es l longitud del ldo de l se, otén el perímetro en función de. Cuál es el dominio?.- Se dispone de un crtulin de 00 0 cm se quiere construir un cj con tpder cortndo un cudrdo en dos esquins dos rectángulos en ls otrs dos. Hll l epresión del volumen en función del ldo del cudrdo..- El coste de l energí eléctric se otiene medinte un sumndo fijo otro proporcionl l cntidd de energí gstd. En dos meses distintos se h pgdo,70 por 0 kwh, por 8 kwh. Cuál es el sumndo fijo? 6.- Felicino quiere comprr un coche; tiene mu clro el modelo pero no se si comprrlo de gsolin o de gsóleo. El primero vle 8000 el segundo El precio de l gsolin es de,08 /l, el del gsóleo 0,90 /l. Supongmos que el consumo de un coche diesel es de litros cd 00 km el de un coche de gsolin de 6 litros cd 00 km. ) Di l función que relcion el coste (precio del coche más precio del comustile) con el número de kilómetros de cd coche. ) Represent ests funciones. Oserv el punto de corte. Qué signific? 7.- Los piojos del cello se reproducen duplicndo su número cd dís. Si un niño tiene un piojo en su cez, suponiendo que todos viven: ) Cuántos piojos tendrá dentro de dís? ) Escrie l función represéntl. c) Si en el momento inicil un niño tení 0 piojos, contest los prtdos ) ). 8.- L cntidd Q(t) que qued de un ms M mg de un sustnci rdictiv l co de t dís viene epresd por l fórmul: Q(t) = M. e -0,. t ) Al co de cunto tiempo l ms M se h reducido l mitd ) Si l ms inicil M es de 7 mg, cuánt sustnci quedrá proimdmente l co de 0 dís?. Representr en este cso l ms proimd de Q(t). 9.- Un lgo está repoldo por un nuev especie de peces. Actulmente se estim un polción de peces tres ños ntes de peces. Suponiendo que l polción de peces crece de form eponencil ( = k. t ), clculr: ) L función que epres el número de peces en función del tiempo. ) Cuándo hrá de peces? c) Cuántos ños hce que se introdujeron los primeros ejemplres? 0.- Después de invertir en ols un individuo ps de tener 000 euros tener 00 euros en un mes. Si semos que l inversión que reliz sigue un le eponencil ( = k. t ), clculr: ) L función que epres el dinero en función del tiempo ) Cuánto dinero tendrá l co de un ño c) En qué mes tendrá 66 euros R-MATCNSI 8

39 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics.- El nivel de contminción de un ciudd ls 7 de l mñn es de 0 prtes por millón crece de form linel prtes por millón cd hor. Se l contminción en el instnte t después de ls 7 de l mñn. ) Hllr l ecución que relcion con t. ) Hllr el nivel de contminción ls de l trde..- Pr fomentr l utilizción del trnsporte púlico entre dos puntos de un determind ciudd, un compñí de trnsportes ofrece sus servicios en uns determinds condiciones:. Si el número de vijeros es menor o igul que 0 el illete costrá 80 por person.. A prtir de 0 vijeros el precio por illete se otendrá restndo de 80 el número de vijeros que ecedn de 0. Teniendo en cuent que en cd utoús cen como máimo60 vijeros designndo como el número de persons por vije, se pide: ) L epresión lgeric l representción gráfic de l función P() que proporcion el precio que h de pgr cd vijero. ) L epresión lgeric l representción gráfic de l función I() que proporcion los ingresos por vije de l compñí. c) Otener el número de vijeros que proporcion el máimo ingreso por vije l compñí, sí como el vlor de dicho ingreso..- A ls nueve de l mñn surge un rumor en un ciudd que se difunde un ritmo de e t persons /hor. Siendo que t represent el número de hors trnscurrids desde l prición del rumor, clculr el número de persons que lo hrán oído entre ls diez ls doce de l mñn..- Se se que cundo comienz el invierno el número de moscs de un región decrece dicho. t número viene ddo por l función N( t). e, donde t es el tiempo en dís son dos constntes no nuls. ) Determinr el signo de ls constntes justificdmente ) Siendo que l co de 6 dís el número de moscs se h reducido un 6ª prte de l polción inicil, determinr el vlor de c) Si en est polción se estim que el numero de moscs l comenzr el invierno es de 0,000 Cuánts quedrán l co de 60 dís? d) en el supuesto nterior cuánto tiempo tiene que psr pr que queden l mitd de moscs 6.- Hce cutro ños que se repoló un zon con 00 ejemplres de un nuev especie de pinos. Actulmente h.000 ejemplres. Se estim que el número N de pinos viene ddo en función del tiempo, t, por l función N = Ae Bt, donde A B son dos constntes. El tiempo t se consider epresdo en ños desde el momento de l repolción. ) Determin l función que epres el número de pinos en función del tiempo ) Cuánto tiempo se h de esperr pr que h ejemplres? 7.- El crecimiento de un coloni de mosquitos viene ddo por l función A(t)=A 0.e k.t Donde A 0 k son constntes no negtivs t es el tiempo en dís ) Rzon el signo de A 0 k ) Si inicilmente hí 000 mosquitos l co de un dí umento 800, determin l función que epres el número de mosquitos en función del tiempo en dís c) Cuánto tiempo tiene que psr pr que l coloni teng 0000 mosquitos? R-MATCNSI 9

40 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics 8.- El crecimiento de un coloni de ejs viene dd por l siguiente función P ( t) 0 0,7. t 6,. e ) Cuánts ejs hí inicilmente? ) Cuánto tiempo le tomrá l ejs tener un polción de 80? 9.- L función f ( ) 00. X 99.(,09) d l vent en dís después del lnzmiento de un video juego ) Cuántos video juegos se vendieron el primer dí? ) Cuántos dís tienen que psr pr que se vendn 6000 juegos? 0.- Se dministrn 0 mg. de nestesi un pciente l principio de un operción. Se se que l concentrción en l sngre humn disminue eponencilmente con rreglo l función f() = k 0'9, donde K es l cntidd inicil el tiempo, en minutos, que h trnscurrido desde su dministrción. ) Cuántos mg. de nestesi quedn en l sngre del pciente l hor medi de su dministrción? ) Cuánto tiempo tiene que trnscurrir pr que le quede en sngre l mitd de l nestesi.- Un empres tiene unos ingresos rutos lo lrgo de los ños que siguen un función del tipo i(t)=0 t, con unos gstos que se dptn un función del tipo g(t)=t. ) Represent gráficmente ms funciones. ) Qué función nos d los eneficios de l empres lo lrgo del tiempo, (t)? c) En cuánto tiempo empezrá tener eneficios? d) Qué función h(t) nos indic lo lrgo de los ños, cuánts veces son mores los ingresos que los gstos? º Dominios º Dds ls siguientes funciones clculr su dominio, puntos de corte : ) f ( ) 6 ) f ( ) ) 6 6 ) f ( ) f ( ) ) f ( ) 6) f ( ) 7) f ( ) 8) f ( ) 9) f ( ) 9 0) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) 9 ) f ( ) ) f ( ) ) f ( ) 6) f ( ) 7) f() - 8) f ( ) 8 9) f ( ) 0) f ( ) ) f ( ) ) ) f ( ) 6 ) f ( ) f ( ) 6 ) 7 7) f ( ) si o 8) 6) f ( ) si 0 R-MATCNSI 0

41 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics 9) 0) f ( ) si si - - ) ) 9 ) log ( ) ) f ( ) Ln ) f ( ) e 6) f ( ) 0 º Composición de funciones función recíproc º Dds ls funciones f()= + g()=, hll: ) (f o g)() ) (g o f)() º Dds ls funciones f() = + g() = escrie: ) (f o f)() ) (f o g)() c) (g o f)() d) (f o (f o f))() º Dds ls funciones f ( ) g ( ) 9, clculr l epresión el dominio de ls funciones f+g, f-g, f g f/g º Dds ls funciones del prtdo nterior, relizr g o f f o g, indicndo el dominio de cd un de ells. º Sen ls funciones f ( ), g ( ) h ( ), compror con ells l propiedd socitiv de l composición, es decir, que se cumple. Clculr el dominio de l función resultnte. 6º Clcul l función invers de f ( ) comprue el resultdo. 7º Clcul l invers de l función f ( ), compruélo clcul los dominios de ms. 8º Relizr ls composiciones indicds con ls funciones propuests: ) f, g, h f g, h g, f g h ) f, g, h f f, f h, f h g c) f, g, h f h, h g, g f, h f g 9º Clculr l función recíproc de ls siguientes funciones, comprondo el resultdo: ) f ) f c) e) i) f 7 f) 6 f j) f g) f d) f 9 f h) f 7 f k) f l) f 7 9 R-MATCNSI

42 Definición : Continuidd º Continuidd derivilidd Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics Se dice que l función f() es continu en = sí se verific: ) L función está definid en =, es decir, f(). ) Eiste Lim f(). Pr ello es necesrio que Lim f() Lim f() mos sen igules. c) El vlor del límite coincide con el vlor de l función en el punto, es decir, Lim f() f(). Por lo tnto, el vlor de un función en un punto dee ser el que le sign el límite en ese punto. De no ser sí se dice que l función f() es discontinu en el punto =. Un función f() es continu en el intervlo, cundo lo es en todos los puntos del intervlo. Clsificción de ls discontinuiddes: Discontinuidd evitle en = : Est discontinuidd se tiene cundo Lim f(), pero no eiste f(). Geométricmente corresponde un gráfic que tiene un gujero en =. Pr hcer que l función se continu en este punto st con definir f() Lim f(). Discontinuidd de ª especie en = : Est discontinuidd se tiene cundo Lim f() f(), Pero tomn vlores distintos. Gráficmente corresponde un gráfic donde el punto (, f()) está fuer de su lugr. Discontinuidd de ª especie con slto finito en = : Est discontinuidd se tiene cundo eisten los límites lterles en = pero tomn vlores distintos. Geométricmente corresponde un gráfic que en el punto (, f()) está rot present un especie de esclón. Discontinuidd de ª especie con slto infinito en = : Est discontinuidd se tiene cundo lguno de los límites lterles en = tiende ó -. Geométricmente l función tiene un síntot verticl en ese punto. Definición : Derivilidd Se dice que l función f() es derivle en = si: ) Es continu en =. ) Eiste f (), es decir, eiste f + () eiste f - () son igules Aprte de los prolems de continuidd ls funciones vlor soluto tienen prolems de derivilidd en los vlores de que nuln el interior del vlor soluto. R-MATCNSI

43 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics Ejercicios º Dds ls siguientes funciones, estudir su continuidd derivilidd ) ) c) d) si f () si 6 si si f () si si f () si si si f () si g) h) si 0 f () si 0 si si 0 f () si 0 6 si si si 0 i) f () si si e) f) si 8 f () si f () 8 si si si j) k) f ( ) f ( ) l) f ( ) si si 0 0 º Clculr los vlores los prámetros pr que l función se continu en R. Estudir l derivilidd pr esos vlores e si 0 ) f ( ) ) f ( ) si 0 - si ) f ( ) si 0 ) f ( ) - si 0 6) f ( ) si 0 ln si 0 ) f ( ) 7) f ( ) ( e ) si 0 R-MATCNSI

44 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º Dd l siguiente función : f ( ) sen k H lgún vlor de k pr el cul f() se continu en =0? º Consider l función si si 0 0 n sen( ) si 0 f ( ) Siendo n un número nturl 0 si 0 ) Demuestr que f es derivle en =0 pr n= ) Demuestr que f no es derivle en =0 pr n= º Estudi nlíticmente l continuidd derivilidd de ls funciones: º f ( ) si si 0 si - si º f ( ) - º f ( ) si - si si si - - si 0 º f ( ) si 0 si 0 º f ( ) si - e si 0 6º f ( ) - si 0 7º f ( ) 8º f ( ) ln( -) si - 6 e - si 0 si si 0 si 0 º Representr, escriir como un función trozos estudir l continuidd derivilidd de: )f() = -. ) f() = sen. c) f() = -. d) f ( ) log ( ) e) f ( ) log ( ) f) f ( ) 8 º Clcul el vlor de "k" pr que ls siguientes funciones sen continus: ) + si f() = - k si > ) f() = k si = 0 si 0 c) f ( ) k si si º Estudir l continuidd representr gráficmente ls discontinuiddes de: ) f ( ) ) f ( ) c) 6 f ( ) 9 6 R-MATCNSI

45 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics.- Clculr los siguientes límites de funciones: º Límites n n 0. n n n n n. n n n n. n n 9n n n. n n n n. n n n ( ) R-MATCNSI

46 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º Asíntots Verticles: Son rects verticles = en ls que se verific que Lim f () ls cules se cerc l función sin llegr cortrls cundo se dispr hci ó -. Están entre los vlores pr los que no eiste f(). Horizontles: Son rects horizontles = ls que l función se cerc sin llegr cortrl cundo tiende hci ó -. Se dee verificr que Lim f ( ) Olícus: Son rects de l form =m+n ls que se cerc l cundo tiende hci ó -. f ( ) pr clculrls m Lim n Lim( f ( ) m) Clcul ls síntots de ls siguientes funciones: 7 ) f() = ) f() = 6 d) f() = e) f() = g) f() = h) f() = c) f() = f) f() = i) f() = º L derivd.- Ts de vrición medi Responde l pregunt cuánts uniddes crece l vrile por cd un que crece l vrile?. f ( ) f ( ) f ( h) f ( ) t 0 0 m h Ejemplo: L ecución del espcio recorrido por un móvil en función del tiempo, medido en metros es, S(t) = t t +. Hllr l velocidd medi entre t = t = 6 segundos. Como l velocidd es l vrición del espcio respecto del tiempo, se tiene: t m S(6) 6.- Ts de vrición instntáne S() 0 m Es el límite de l ts de vrición medi, cundo los intervlos donde se mueve l vrile independiente se hcen cd vez más pequeños. Estudi como vrí l función en un punto. Si l función vrí positivmente es que por ese punto ps creciendo, si l función vrí negtivmente es que por ese punto l función ps decreciendo. t i Lim 0 f ( ) f ( ) f ( h) f ( ) 0 0 Lim h Lim 0 h Ejemplo: L ecución del espcio recorrido por un móvil en función del tiempo es, R-MATCNSI 6

47 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics S(t) = t t +. Hllr l velocidd del móvil en el instnte t =. t i h Lim 0 S( h) h S() Lim ( h 0 h) ) S( + h) = ( + h) ( + h) + = + h + h ) S() =. + = ) S( + h) S() = h + h S( h) -S() h h ) h h h.- Derivd de un función en un punto L derivd de un función en un punto = es: f () Coincide con l ts de vrición instntáne de l función en el punto. f ( h) f ( ) h Lim 0 h Ejemplo: Clcul l derivd de l función f ( ) en el punto o = - ( h) f f ( h) f ( ) ( h) h ( ) h Lim 0 h h Lim 0 h h Lim 0 h( h ) h Lim 0 h.- Función derivd Se llm función derivd de l función f() se escrie f () l función: f f h f h Lim ( ) ( ) ( ) o h Ejemplo: Clculr l derivd de l función f ( ). ( h) f ( ) h Lim 0 f ( h) h f ( ) h Lim 0 ( h) h h Lim 0 ( h 6h )( ) h h Lim 0 ( h 6 )( ) 6 ( ).- Interpretción geométric de l derivd Geométricmente l derivd de un función en un punto es l pendiente de l rect tngente l función en ese punto. Pendiente de l rect tngente = m t = f ( 0 ) L ecución de l rect tngente es: F( 0 ) f( 0 ) = f ( 0 )( 0 ) Ejemplos:.- Clculr l ecución de l rect tngente l función f() = + en el punto 0 =. Necesitmos f() f () = m t, f() =.8. + = ; f () = 9 ; f () = 9. = r t : = ( ); 7 = 0 X 0 R-MATCNSI 7

48 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics.- En qué punto de l gráfic de l función f() = l rect tngente es prlel l isectriz del primer cudrnte, ( = ). (Rects prlels signific que tienen l mism pendiente). L pendiente de l isectriz = es m =, por lo tnto m t = Como m t = f ( 0 ), esto signific que f ( 0 ) =, de donde 0 6 = 0 = 7/ Pr clculr l segund coordend del punto sólo tenemos que sustituir este vlor en l función, 0 = f( 0 ) = f(7/) = (7/) 6(7/) + 8 = -/ El punto de tngenci es el punto P(7/, -/) 6.- Regls de derivción pr ls operciones de funciones º ( f ( ) g( )) f ( ) g ( ) º( f ( ). g( )) f ( ). g( ) f ( ). g ( ) f ( ) f ( ). g( ) g ( ) f ( ) º g( ) g ( ) ( f ( g( h( ))) f ( g( h( ))). g ( h( )). h ( ) 7.- Tl de derivds (regl de l cden) f() = f () = 0 ( = constnte) f() = n f () = n n- (n = nº) f() = u n f () = un n-.u (u = f()) f() = n f () = f() = n u f () =. n n n n u u f() = Ln() f () = f() = Ln(u) f () =. u u f() = log () f () =.log e f() = log (u) f () =.log e.u u f() = f () =.Ln f() = u f () = u.ln.u f() = e f () = e f() = e u f () = e u.u f() = sen() f () = cos() f() = sen(u) f () = u.cos(u) f() = cos() f () = -sen() f() = cos(u) f () = -u.sen(u) f() = tng() f () = cos ( ) () = ( + tg ()) f() = tng(u) f () = cos ( ) f() = cotg() - f () = sen ( ) = -cosec () = -( + cotg ()) f() = cotg(u) - f () = sen ( ) f() = sec() f () = tg().sec() f() = sec(u) f () = u.tg(u).sec(u) f() = cosec() f () = -cotg().cosec() f() = cosec(u) f () = -u cotg(u).cosec(u) f() = rc sen() f () = f() = rc sen(u) f () = - - u.u f() = rc tg() f () = f() = rc tg(u) f () = u. u f() = rc cotg() - - f () = f() = rc cotg(u) f () = u. u R-MATCNSI 8

49 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics EJERCICIOS. Ts de vrición. Aplicciones de l derivd º El crecimiento de un polción de cteris sigue l ecución p(t)=t -t+. Clculr: ) Velocidd medi de crecimiento ) Velocidd instntáne de crecimiento c) Velocidd instntáne en el instnte t= º El espcio recorrido por un móvil tiene l siguiente ecución s(t)=t -8t+. Clculr: ) Velocidd medi en el intervlo [,] ) Velocidd instntáne c) Velocidd instntáne en el instnte t= º El crecimiento de un polción de micro orgnismos sigue l ecución p(t)=t -t+. Clculr: ) Velocidd medi de crecimiento ) Velocidd instntáne de crecimiento c) Velocidd instntáne en el instnte t= º Hll l T.V.M. de l función f () = + en el intervlo [, + h], con el resultdo otenido, clcul f ' (). ºHll l ts de vrición medi de l función f () = e en el intervlo [;,00] comprue que su vlor está mu próimo e. º Ecución de l tngente ls curvs de ecución: ) =6 -- en 0 = - si e) f ( ) en el punto =0 ) = si +8 en (0,8) si c) =6 - + en (,) f) f ( ) en el punto =- - si d) f()= en el punto = g) - si f ( ) en el punto =- Ln si 6º En que punto de l gráfic de l función f()= l rect tngente es prlel l rect =-8? 7º En que puntos de l gráfic de l función = -, l rect tngente es prlel l rect =-? 8º En que punto de l gráfic de l función f()= -6+8 l tngente es prlel l eje de sciss? Y l isectriz del primer cudrnte? 9º Un rect tngente l curv = tiene pendiente ps por el punto (0, - ). Cuál es el punto de tngenci? 0 º Hll l ecución de l tngente l curv = ln que es prlel l rect =. º Cuáles son los puntos singulres de ls funciones = sen e = cos en el intervlo [0, π]? º Tiene lgún punto de tngente horizontl l función = tg? º Escrie l ecución de l tngente l curv f () = e en el punto donde cort el eje de ordends. R-MATCNSI 9

50 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º Determin el punto de l curv f() = + 8 en el que l tngente es prlel l isectriz del primer tercer cudrnte. Escrie l ecución de dich tngente. Funciones no compuests: ) ( ) ) 7) DERIVADAS 6 f ) f ( ) ) f ( ) f ( ) ctg e 0) f ( ) rctg ) f ) rctg rcsen ) f ( ) sen cos f ( ) 6) f ( ) ln tg 8) f ( ) e sen e cos 9) f ( ) rcsen ) ( ) sen cos 6) f ) sen cos 9) f ( ) e sen ( 7) Funciones compuests: ) 6 ) 6 ) ) ) 6) 7) sen rctg cos 7 rcsen 8) sen sen 9) cos cos ( ) 0) ln ( sen) ) log sen ) ) ) ) cos cos rcsen sen sen rccos cos cos 0) f ( ) ) f ( ) rctg ) f ( ) tg ctg sen 8) f ( ) sen ) ln f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) R-MATCNSI 0 6) rctg 7) rcsen 8) rcsen e 9) ln e e 0) ) ) ) ) ) 7) 8 6 e rcsen ln cos cos rcsen ( ) e e ln ln e rcsen rcsen ln ln ln ( rcsen) rcsen (ln 8) 9) ) ln

51 0) ) rcsen ln ln ln ) sen sen sen ) cos rccos ( sen) ) ) rctg tg 6) = sen ( - e ) 7) sen 8) rcsen 9) = tg.ln 0) = ) sen = cos ) =cos -cos - ) =.e -. + ) =.ln ) sen(tg) 6) = ln( ) 7) Ln( +) = + 8) = cos + cos 9) =e.sen 0) (- ) = ) = Ln( + ) ) = + ) ) e = Ln ) = ( + ) 6) =.sen+.cos 7) -Ln =.7 8) - = Ln + 9) = Ln 60) rcsen = Ln Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics R-MATCNSI 6) 6) 6) e = sen 6) = Ln. tg sen - sen 6) 66) =sen.e cos 67) e. tg. sen( ) 68). ctg 69) =rctg(ln) 70) =ln(sen ) e 7) ln e 7) =ln (sen) tg 7) e. 7). sen( ) 7) e e 76) 77) sen( ) sen ( ) 78) sen( e ) 79) cos( ).sen( ) 80) = tg + tg + tg 8) = e. 8) = 0 8) 8) Ln( ) 8) sen Ln( ) tg sen 86) 87) sen sen

52 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics 88) 89) Ln 90) Ln 9) sen 9) sen 9) ( ) cos cos ln 9) f() = ( + +) - Cos ( ) 9) f() = Ln 96) f() = e 6-.Cos(7) 97) f() = 7 + 7Tng( 98) f() = Ln(6 Ln (6 ) ) 99) f() = Ln( Ln ( ) ) 00) f() = (6 +) - Sen ( ) 0) f() = Ln 0) f() = e -6.tng() 0) f() = + 7Cos( 6 f ( ) e f ( ) sen( ).cos( 0) 0) ) 06) f ( ) tn( ) f ( ) 0 f ( ) cos( 6). sen( 07) 08) 8) 09) f ( ) tn( ) Prolems de funciones. Derivds.- El elemento rdio se descompone según l epresión Y(t) = n.e -0,000t, donde Y(t) es l cntidd en grmos en el instnte t, t es el tiempo en ños, n es l cntidd inicil en grmos. Si se empiez con 00 grmos: ) Cuántos grmos quedrán l co de 00 ños? ) Cuál será l velocidd de descomposición l co de t ños? c) Cuál será l velocidd de descomposición los 000 ños? d) Cuánto tiempo tendrá que psr pr que l velocidd de descomposición se igul 0,67?..-) Hcer un esquem de l gráfic de l función Y = + 6, clculndo sus máimos o mínimos reltivos sus puntos de corte con el eje de ciss. ) Hllr el áre comprendid entre l curv nterior, el eje de ciss ls rects = =..- El número de enfermos por gripe en un ciudd lo lrgo del psdo mes de enero h venido ddo por l función: Y(t) = e 0,t donde t represent el número de dís trnscurridos prtir del de enero de 996. ) Cuántos enfermos hí el de enero? ) Clculr l epresión lgeric de l función que represent l velocidd de evolución del número de enfermos l co de t dís c) Determinr l fech en l cul l velocidd de evolución del número de enfermos h sido igul 80, enfermos/dí..- Un nco lnz l mercdo un pln de inversión cu rentilidd R(), en miles de euros, viene dd en función de l cntidd que se invierte,, en miles de euros, por medio de l siguiente epresión: R() = 0,00 + 0,0 +, ) Qué cntidd de dinero se dee invertir pr otener l máim rentilidd? ) Qué rentilidd se otendrá? R-MATCNSI

53 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics.- El coste totl de fricción de q uniddes de cierto rtículo es: C (q) = q + q + 7 dólres El coste medio por unidd es M(q) = C(q)/q ) Cuánts uniddes se deen fricr pr que el coste medio por unidd se mínimo? ) Clcul C(q) M(q) pr el vlor de q que hs hlldo en el prtdo ) L función f () = indic los eneficios otenidos por un empres desde que comenzó 9 funcionr ( f () en miles de euros, en ños, = 0 indic el momento de constitución de l empres). ) Hz un representción gráfic proimd de l función teniendo en cuent el dominio válido en el conteto del prolem. ) Al co de cuánto tiempo otiene l empres el eneficio máimo? Cuál es ese eneficio? c) Perderá dinero l empres en lgún momento? Es posile que llegue un momento en que no oteng eneficios ni pérdids? Rzon l respuest. 7.-Un discotec re ls 0 de l noche cierr cundo se hn mrchdo todos sus clientes. L epresión que represent el número de clientes en función del número de hors que llev iert, t, es N(t ) = 80t 0t. ) A qué hor el número de clientes es máimo? Cuántos clientes h en ese momento? c) A qué hor cerrrá l discotec? 8.- Un frnquici de tiends de mod h estimdo que sus eneficios semnles (en miles de euros) dependen del número de tiends que tiene en funcionmiento (n) de cuerdo con l epresión: B(n) = 8n + 60n 96n Determin rzondmente: ) El número de tiends que dee tener pr mimizr sus eneficios semnles. ) El vlor de dichos eneficios máimos. 9.- El número de persons ingresds en un hospitl por un infección después de t semns viene 0t ddo por l función: N(t ) = siendo t 0 t t 8 Clcul el máimo de persons ingresds l semn en que ocurre. A prtir de qué semn, después de lcnzr el máimo, el número de ingresdos es menor que? R-MATCNSI

54 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics LIMITES L HOPITAL sen 0 sen 0 sen sen( sen) 0 cos( sen) 0 ln 0 sen sen() 0 ln(cos( )) ln(cos( )) e e sen e ln( ) tn cos. sen cos e. cos ln e ln 0.. (.ln ) 0 cos sen e 0 tn 0 sen ln( ) e e e 9. 0 rctn 0. 0 rcsen. 0 sen. 0 tg sen cos. ( e. 0 0 ) ln( e ) e. 0 ln( ) e e sen cos( e e cos ) cos co 0. 0 ( ) e. 0 ln( ) sen. 0 sen rctn. 0 rcsen. ln. (cot g ) 0 sen 6. 0 sen e 7. sen sen e e 0 e cos R-MATCNSI

55 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics 6º Estudio representción gráfic de funciones Monotoní: Es el estudio del signo de l primer derivd en el dominio de l función. Se hce del siguiente modo: Otenemos ceros polos de f () hcemos un tl de signos pr f () en el dominio de f(). Si f ( o ) > 0 f() es creciente en el punto o. Si f ( o ) < 0 f() es decreciente en el punto o. Si f ( o ) = 0 o es un posile máimo o mínimo reltivo pr l función f(). Máimos mínimos (reltivos): Son puntos = que nuln l primer derivd (f () = 0) en los cules cmi l monotoní de l función. Pr clculr los máimos mínimos de un función se puede seguir culquier de los dos métodos siguientes: Método ) Se hce l primer derivd de l función se igul cero (f () = 0), oteniendo sí los puntos singulres ( = ) de l función, (posiles máimos o mínimos). ) Se hce l segund derivd de l función se sustituen en ell los puntos singulres ntes clculdos, presentándose ls siguientes posiiliddes: ª) f () > 0 En el punto (, f()) l función tiene un mínimo reltivo. ª) f () < 0 En el punto (, f()) l función tiene un máimo reltivo. ª) f () = 0 En el punto (, f()) l función puede tener un punto de infleión. Método ) Se estudi l monotoní de l función ) En los puntos = donde l función cmi de form continu, (que no h en ellos un síntot verticl), de ser decreciente ser creciente, l función tiene un mínimo reltivo. En los puntos = donde l función cmi de form continu, (que no h en ellos un síntot verticl), de ser creciente ser decreciente, l función tiene un máimo reltivo. Curvtur: Es el estudio del signo de l segund derivd en el dominio de f(). Se hce del siguiente modo: Otenemos ceros polos de f () hcemos un tl de signos pr f () en el dominio de f(). Si f ( o ) > 0 f() es cóncv hci rri en el punto o. Si f ( o ) < 0 f() es conve en el punto o. Si f ( o ) = 0 o es un posile punto de infleión pr l función f(). Puntos de infleión: Son puntos = que nuln l segund derivd (f () = 0) en los cules cmi l monotoní de l función. Pr clculr los puntos de infleión de un función se puede seguir culquier de los dos métodos siguientes: Método ) Se hce l segund derivd de l función se igul cero (f () = 0), oteniendo sí los posiles puntos de infleión ( = ) de l función. ) Se hce l tercer derivd de l función se sustituen en ell los puntos singulres ntes clculdos, presentándose ls siguientes posiiliddes: ª) f () 0 En el punto (, f()) l función tiene un punto de infleión. ª) f () = 0 H que hcer l siguiente derivd de l función. Si l primer derivd que no se nul en el punto = es un derivd de orden impr en el punto (, f()) l función tiene un punto de infleión, si l primer derivd que no se nul en el punto = es un derivd de orden pr, en el punto (, f()) l función tiene un máimo o mínimo reltivo dependiendo del signo del número que quede l sustituir. R-MATCNSI

56 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics Método ) Se estudi l curvtur de l función ) En los puntos = donde l función cmi de form continu, (que no h en ellos un síntot verticl), de ser cóncv ser conve, o vicevers, l función tiene un punto de infleión. EJERCICIOS.- Estudi represent l gráfic de ls siguientes funciones:. Represent f ( ) ( )( ) ( ) f()= f()= + 6 f() = + f()= f() = f() = f() = + f()= + f()= En l función = e k, determin k pr que en = teng un máimo.. Clcul los intervlos de concvidd, conveidd puntos de infleión de ls curvs: ) =sen.cos; 0, ; ) = e ; c) = ; d) =. Determin ls ecuciones de ls rects tngente norml en el punto de infleión ls curvs ) 7 ) = 8. Encontrr ls funciones polinómics f ( ) c d, cu segund derivd se. Cuál o cuáles de ells tienen un mínimo reltivo en el punto (, -/)? 9. Estudi el crecimiento decrecimiento de ls funciones: ) = e e ; ) = cot g ; c) = ; d) = 0 0. Estudi los máimos mínimos de ls funciones siguientes: ) = e 8. L función = ; ) = ; c) =,d)= 8 6 se nul pr = tiene un mínimo pr =. Hll.. Dd l función f ( ), clcul máimos mínimos, intervlos de crecimiento decrecimiento. Estudi su curvtur. k. Determin k pr que l función f ( ) teng un máimo pr. Demostrr que l función ln es creciente en todo su dominio. R-MATCNSI 6

57 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics. Determin, de form rzond, tods ls funciones f que sen polinómics de tercer grdo que ' ' verifiquen f () f ( ) 0. Puede eistir lgun de ls funciones determinds nteriormente que verifique f ( 0) f () 0? 6. Estudi el crecimiento de l función f ( ) e mínimos reltivos.. Determin, si eisten, sus máimos 7. Estudi el tipo de curvtur l eistenci o no de puntos de infleión de ls siguientes funciones: ) f ( ) 9 ) f ( ) c) f ( ) 8 d) f ( ) e) f ( ) e f) f ( ) ln( ) 8. Escrie l ecución de l rect tngente l curv = + 7 en su punto de infleión. 9. Hll l ecución de l rect tngente l curv = 0 en su punto de infleión. 0. Estudir representr ls siguientes funciones: ) f() = ) f() = ) f() = 6 ) f() = ) f() = 6) f() = 7) f() = 8) f() = 9) f() = 0) f() = ) f() = ) f() = ( ) ) f() = + - ) f() = e + 6) f() = Ln( ) 7) f() = Ln( -) 8) f()= 9) f()= 0) f()= ) f()=e (-) ) f()= ) f()=.e R-MATCNSI 7

58 APLICACIONES DEL ESTUDIO DE FUNCIONES Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics Prolems de funciones con prámetros Criterios pr determinr el vlor de los coeficientes de un función jo diferentes condiciones de monotoní curvtur ) Si f() ps por el punto (0, 0) Signific que f(0) = 0. ) Si f() tiene un máimo o un mínimo reltivo en 0 Signific que f (0) = 0. c) Si f() tiene un punto de infleión en 0 Signific que f (0) = 0. d) Si l rect tngente en 0 tiene de pendiente m Signific que f (0) = m (que dos rects sen prlels signific que tienen l mism pendiente). L plicción de ests condiciones drá lugr un sistem de ecuciones que h que resolver. Reliz los siguientes ejercicios: ) Clcul los vlores de, c pr que l siguiente función f() = c teng un mínimo en el punto (0, ) un punto de infleión en 0 =. ) Clcul los vlores de,, c d pr que l función f() = + + c + d teng un máimo reltivo en 0 =, un punto de infleión en (-, 0) su rect tngente en 0 = 0 se = +. ) Clcul los vlores de,, c d pr que l función f() = + + c + d teng un mínimo reltivo en (0, -) un máimo reltivo en (, 0). ) Clcul los vlores de,, c, d e pr que l función f() = + + c + d + e teng un punto de infleión en 0 = 0 en ese punto su rect tngente se prlel l isectriz del primer cudrnte ( = ), que teng un mínimo reltivo en el punto (-, 0) un máimo reltivo en 0 =.. Clcul los vlores de,, c d pr que l función f() = + + c + d teng un mínimo reltivo en (0, -) un máimo reltivo en (, 0). ) Clcul los vlores de,, c, d pr que l función f() = + + c + d teng un punto de infleión en 0 = 0 en ese punto su rect tngente es = teng un mínimo reltivo en el punto (-, 0).. 6) Clcul los vlores de,, c d pr que l función f() = + + c + d teng un mínimo reltivo en (0, ) un máimo reltivo en (-, 0). 7) Clcul los vlores de,, c, d pr que l función f() = + + c + d teng un punto de infleión en 0 = 0 en ese punto su rect tngente es = teng un mínimo reltivo en el punto (, 0). 8) Clcul los vlores de, c pr que l siguiente función f() = c teng un mínimo en el punto (0, ) un punto de infleión en 0 =. 9) Clcul los vlores de,, c d pr que l función f() = + + c + d teng un máimo reltivo en 0 =, un punto de infleión en (-, 0) su rect tngente en 0 = 0 teng de pendiente. 0). Clcul los vlores de,, c d pr que l función f() = + + c + d teng un máimo reltivo en 0 =, un punto de infleión en (, 0) su rect tngente en 0 = 0 teng de pendiente. R-MATCNSI 8

59 ).L función = m n p por (0,). Hll m, n, p. Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics tiene un máimo en =- un mínimo en = ps ) L función = c d ps por (,7); tiene sus etremos en =0 = un punto de infleión en =. Clcul,, c, d. ) Se l función = c d,0) un mínimo en (,-).. Clcul,, c, d pr que teng un máimo en (- ) L función = m n p ps por el punto (-,0), tiene un mínimo en = un punto de infleión en =-/. Clcul m, n, p. ) L función f()= tiene un punto de infleión en =/ se nul en =. Clcul los vlores de los etremos de l función. 6) Hll un polinomio de tercer grdo cuo coeficiente del término de grdo se,con un punto de infleión en (,) que como tngente en ese punto teng l rect +=. 7) Determin l práol = + + c que es tngente l rect = en el punto A(, ) que ps por el punto B(, ). c 8) L curv de l figur represent l función f() =. d e Otén el vlor de,, c, d, e l vist de l gráfic. Prolems de máimos mínimos Pr hcer prolems de máimos mínimos dees seguir los siguientes psos: ) Diuj el elemento geométrico nomr sus ldos. ) Plnte un ecución que relcione ls vriles un función que h que optimizr. ) Despej en l ecución un vrile en función de l otr sustitúel en l función. ) Clcul los vlores de que hcen máim o mínim l función, según se pid. Pr ello hz l primer derivd, iguáll cero con lo que otienes los puntos críticos de es función (posiles máimos o mínimos). Hz l segund derivd sustitue en ell los puntos críticos. Si l sustituir te qued un vlor positivo, pr ese vlor h un mínimo, si l sustituir te qued un vlor negtivo, pr ese vlor h un máimo. ÁREAS Y VOLUMENES (PARA PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS) Prlelogrmo Triángulo Trpecio h = se h= ltur B Áre =. h h. h Áre = B Áre=. h R-MATCNSI 9 h

60 Polígono regulr Sector circulr Círculo Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics α r r perímetro. Áre= r Áre= r Áre Sector= 60º Perímetro= Prism regulr recto Pirámide regulr rect Cilindro r g=h r S L = Superficie lterl P B = Perímetro de l se S L =Superficie lterl Áre lterl : S L = P B. h Áre totl : S T = S L + S B Volumen: V = S B. h Cono l ltur: es l perpendiculr desde el vértice l se.(h) l potem: es l ltur del triángulo de un cr ( p ) Áre lterl: Áre totl: Volumen: PB. P S L S T SL S V S B. h Esfer B Áre lterl : S L = P B. h = rg Áre totl : S T = S L + S B = r (g+r) Volumen: V = S B. h = r h h g Áre lterl: Áre totl: = r (g+r) Volumen: r L PB. P S S S = rg S = T L V S B. h B =/ r h Superficie: S = R Volumen: V = / R EJERCICIOS: º Dividir el número 8 en dos sumndos no negtivos, tles que el cuo del primero ms el cudrdo del segundo dé el mínimo vlor posile. º Dos números no negtivos sumn 0. Cuál es el mínimo vlor que pueden tomr l sum del cuo del primero más el triple del cudrdo del segundo, cuánto vlen los números en este cso? º En un mpli prder trvesd por un cmino recto se quiere vllr un cmpo rectngulr tomndo como uno de sus ldos el cmino. Se se que el metro de vll del ldo del cmino vle 00 el metro l de los otros ldos 0 el metro. Cuál es l medid del mor cmpo que se puede vllr con 6000? R-MATCNSI 60

61 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics º Dos números no negtivos sumn 0. Hllr el máimo el mínimo del producto del cuo de uno de ellos por el cudrdo del otro? º Se quiere construir un ventn rectngulr con m de luz. Se se que el precio del mrco verticl es de 80 /metro el horizontl 0 /metro. Cuáles serán ls medids del mrco más económico? 6º Se quieren vllr dos cmpos de deporte rectngulres igules con un ldo común con 600 m de vll (se trt de vllr el contorno de mos el ldo de seprción). Hll ls dimensiones si el cercdo encierr un superficie máim. 7º Dividir un segmento de 60 cm con l condición de que los dos triángulos equiláteros construidos sore ellos sen mínims. 8º De entre todos los rectángulos de perímetro 8. Cuál es el que tiene mor áre? 9º L sum de todos los ldos de un prim recto de se cudrd es 7 Clculr ls dimensiones pr que el volumen se máimo Volumen prism = áre se. ltur Áre cudrdo = Ldo. Ldo 0º De entre todos los rectángulos de perímetro 0 cm determinr el que tiene l digonl menor. º Se dese cercr un terreno rectngulr de 60m. Si l tel metálic cuest 00 pts el metro. Determinr ls dimensiones pr que el gsto se mínimo. º Ls cinco crs de un estnque de se cudrd tienen un áre de 9m. Clculr ls dimensiones pr que el volumen se máimo. Volumen prism = Áre de l se. ltur Áre cudrdo = ldo. ldo Áre rectángulo = se. ltur º Hllr el volumen máimo del cono que puede generr un triángulo rectángulo l girr lrededor de uno de sus ctetos, siendo que dichos ctetos sumn. º De un piez de crtón de cm de ldo se recort un cudrdo en cd esquin, pr formr, dolndo los ordes, un cj de se cudrd. Clculr l longitud de los ldos de los cudrdos que se deen cortr, pr que l cj teng cpcidd máim. º Se tiene un lmre de m de longitud se dese dividirlo en dos trozos pr formr con uno de ellos un círculo con el otro un cudrdo. Determinr l longitud que se h de dr cd uno de los trozos pr que l sum de ls áres del círculo del cudrdo se mínim. 6º Hllr ls dimensiones que hcen mínimo el coste de un contenedor que tiene form de prlelepípedo rectngulr siendo que su volumen h de ser 9 m, su ltur m el coste de su construcción por m es de 0 pr l se; 60 pr l etp 0 pr cd pred lterl. 7º Recortndo convenientemente en cd esquin de un lámin de crtón de dimensiones 80 cm 0 cm un cudrdo de ldo dolndo convenientemente (vése figur), se construe un cj. Clculr pr que volumen de dich cj se máimo R-MATCNSI 6 -

62 Colegio Interncionl Pinosierr Deprtmento de Mtemátics 8º Un rectángulo de perímetro gir lrededor de un ldo gener un cilindro, clculr ls dimensiones del rectángulo pr que el volumen del cilindro se máimo. Volumen cilindro = Áre de l se. ltur 9º Un rectángulo de perímetro 0 gir lrededor de un ldo gener un cilindro, clculr ls dimensiones del rectángulo pr que el volumen del cilindro se máimo. Volumen cilindro Áre de l se. ltur Áre del círculo r 0º L sum de todos los ldos de un prim recto de se cudrd es 8 Clculr ls dimensiones pr que el volumen se máimo Volumen prism = áre se. ltur Áre cudrdo = Ldo. Ldo º De entre todos los rectángulos de perímetro 0 cm determinr el que tiene l digonl menor. º Se quiere construir un pist de entrenmiento que const de un rectángulo de dos semicírculos dosdos dos ldos opuestos del rectángulo. Si se dese que el perímetro de l pist se de 00 m, hll ls dimensiones que hcen máim el áre de l región rectngulr º Se dese construir un cj cerrd de se cudrd cu cpcidd se 8 dm. Averigu ls dimensiones de l cj pr que su superficie eterior se mínim. º Se quiere construir un recipiente cónico de genertriz 0 cm de cpcidd máim. Cuál dee ser el rdio de l se? º Un o, formd por dos conos rectos de hierro unidos por sus ses h de ser construido medinte dos plcs circulres de m de rdio. Clculr ls dimensiones de l o pr que su volumen se máimo. 6º Con un crtulin de 8X metros se dese construir un cj sin tp, de volumen máimo. Hllr ls dimensiones de dich cj. 7º Dos postes de 8 metros de ltur, distn 0 metros entre si. H que conectrlos medinte un cle que este tdo en lgún punto del suelo entre los postes. En qué punto h de mrrrse l suelo con el fin de utilizr l menor longitud de cle posile? 8º Un fricnte dese diseñr un cj iert con se cudrd que teng un áre totl de 08 metros cudrdos de superficie. Qué dimensiones producen l cj de máimo volumen? Dto: L ertur de l cj es uno de los ldos cudrngulres 9º Se consider un ventn rectngulr en l que el ldo superior se h sustituido por un triángulo equilátero. Siendo que el perímetro de l ventn es 6,6 m, hllr sus dimensiones pr que l superficie se máim 0º Un empres inmoiliri h decidido convertir un hotel en 6 estudios. Alquilndo 600 cd estudio, conseguirí lquilrlos todos, por cd 0 que umente el lquiler, lquilrí uno menos. Si cd estudio lquildo requiere 60 mensules de gstos, cuánto dee lquilrlos pr otener máimo eneficio?. R-MATCNSI 6