Introducción a la programación lineal. Modelos

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1 Introducción a la programación lineal Modelos

2 Antecedentes La producción industrial, el flujo de recursos en una economía a gran escala y las actividades militares son ejemplos de sistemas que envuelven un gran numero de actividades. El objetivo de los administradores consiste en construir y delinear las actividades a realizarse, tiempos y cantidades (un programa) que permitirá a los administradores obtener un resultado específico.

3 Antecedentes Si el sistema puede representarse mediante un modelo matemático, se puede aplicar un método para seleccionar el mejor programa de actividades dentro de todas las opciones eistentes. Esto es lo que se conoce como programación matemática. Si TODAS las ecuaciones son lineales, entonces al modelo se le llama modelo de programación lineal.

4 Más antecedentes George Stigler (9 99): el problema de la dieta, er problema de optimización a gran escala (77 variables, 9 ecuaciones incluyendo la función objetivo). Wassily Leontief ( ): Matriz insumo producto. George Dantzig ( ): estudios sobre programación lineal, desarrollo del método simple

5 Supuestos Proporcionalidad: el consumo de un recurso es proporcional al nivel de actividad. No negatividad: no se permiten cantidades negativas (actividades). Aditividad: la cantidad total consumida de un recurso es igual a la suma de lo que consumen las actividades. Función objetivo lineal. Certeza: los valores son constantes

6 Elementos de un problema de. Variables de decisión. programación lineal 2. Medida de desempeño: Función objetivo. 3. Restricciones del sistema: limitantes propias del sistema, los recursos no son infinitos y por lo tanto deben emplearse de la mejor manera (,,=,sistemas de ecuaciones y/o desigualdades)

7 Ejemplo Un artesano fabrica dos tipos de productos: mesas de centro y esquineros. Los datos de producción se muestran en la siguiente tabla. El artesano no desea trabajar más de 40 horas a la semana y además, sus recursos no le permiten gastar más de Tipo Horas de fabricación Mesa centro 6 Costo M.P. Utilidad ($) $000 en materiales a la semana; Esquinero entonces, cuántas mesas se cada tipo deberá fabricar para obtener la máima utilidad semanal?

8 Ejemplo 2 Se tienen los siguientes datos de dos tipos de hospitales que se proyecta construir. Se cuentan con 650 equipos médicos y con 50,000 toneladas de material. Formule el problema de programación lineal para determinar cuantos hospitales de cada tipo se deben construir para atender al máimo número de pacientes. Tipo de hospital Datos 2 Equipos médicos(u) Cantidad de materiales de construcción requeridas (ton) Cap. de atención. 30,000 pacientes 35,000 pacientes

9 Ejemplo 3 El gerente de la compañía Aceros BB recibió un pedido para fabricar tubos de acero. Cada tubo requiere la materia prima A que cuesta $3 por unidad y la materia prima B que cuesta $8 por unidad. Cada tubo necesita al menos 6 unidades de materia prima B y no más de 2 unidades de materia prima A. Se sabe que cada unidad de materia prima A pesa 4 kg y cada unidad de materia prima B pesa 6 kg, sin embargo el peso total del producto final debe ser de 300 kg. Construya el modelo de Programación Lineal que permita calcular cuántas unidades de materias primas deberán comprarse de tal manera que se minimice el costo total de la compra.

10 Ejemplo 4(Tarea) Una compañía de juguetes tiene planeado comenzar la producción de dos nuevos lanzamientos: un camioncito que tendrá un precio de venta de $50 y una nueva muñeca que por introducción se venderá a $70. Los costos de producción son$3 y $4 respectivamente. La empresa considera que no tendrá dificultad para vender cualquier cantidad de ambos juguetes, sin embargo, la planta tiene una capacidad limitada. El proceso de estampado tiene capacidad para procesar hasta 0,000pzas de los camiones, o la mitad de esa cantidad de muñecas. La sección de ensamblado tiene capacidad para procesar hasta 6000 pzas de ambos juguetes. Construya un modelo de PL que permita calcular la cantidad a fabricar de cada juguete maimizando la ganancia.

11 Ejemplo 5 Una persona recibe $0 millones de pesos gracias a una venta eitosa y le aconsejan que invierta en dos tipos de acciones. Las acciones tipo A tienen un gran nivel de riesgo pero producen una ganancia del 0%, las tipo B, más seguras producen un 7% anual. Después de consultar con corredores de bolsa, decide invertir como máimo 6 millones en las tipo A y al menos 2 millones en las tipo B. Debe invertir la totalidad del dinero. Plantee el problema de PL para determinar la combinación óptima.

12 Ejemplo 6 Considere una empresa que elabora dos productos. La ganancia por cada lote producido es de $3 por el producto y $5 por el producto 2. El producto se elabora en la planta A y cada lote consume hr, el producto 2 se elabora en la planta B y cada lote requiere 2 hrs (base semanal). La dirección recientemente construyó la planta C donde se pueden elaborar ambos productos. El producto consume 3 hrs y el producto 2 consume 2 hrs. La capacidad de las plantas es de 4, 2 y 8 hrs a la semana. Construya el modelo de PL para planificar los lotes a fabricar en cada una de las plantas

13 Ejemplo 7 Problema de mezcla(tarea) Una dulcería vende 3 presentaciones de cajas de galletas, cada una contiene diferentes cantidades de galletas de almendra, nuez, chocolate y mantequilla. Para preservar la reputación en términos de calidad, eisten ciertos porcentajes máimos y mínimos que deben respetarse en la mezcla. A la dulcería le gustaría determinar la cantidad eacta de cada tipo de galleta que deberá ir en cada mezcla del tal manera que se maimice la ganancia. Con los datos siguientes, formule el modelo de programación lineal y resuélvalo.

14 Mezcla Roja Oro Azul Requerimientos (% del total) No más de 20% de nuez. Al menos 40% de mantequilla No más de 25% de chocolate. No más de 35% de nuez. Al menos 25% de almendra. nuez, máimo 50%, mínimo 25%. Al menos 30% almendra Precio de venta por kg. $ $ $ Tipo de galleta Costo ($/ kg) Eistencias (kg) Almendra Chocolate Nuez Mantequilla

15 Ejemplo 8 Problema de transporte Una fábrica productora de alimentos, realiza cada semana una planeación de los envíos desde las bodegas a sus clientes. En la tabla anea se muestra el costo de envío desde cada bodega hacia los clientes. Construya un modelo de programación lineal que permita construir el programa de envíos a los clientes desde cada una de las bodegas de tal manera que se minimice el costo total, pero satisfaciendo la demanda de los clientes. Clientes Bodega Veracruz Puebla Hidalgo Morelia Eistencias Celaya ,000 Cd Méico ,000 Querétaro ,000 Demanda ,000 2,000 9,000

16 Ejemplo 9 Problemas de asignación Una armadora de vehículos fabrica 6 modelos distintos de autos y cuenta con 6 plantas distintas. La empresa desea dedicar de manera eclusiva una planta a cada modelo. Se cuenta con los datos del costo de producción de los vehículos en cada una de las plantas y que se muestra en la tabla anea. Construya un modelo de PL que permita determinar la asignación vehículo-planta que minimiza el costo total de producción. Modelo de vehículo Planta Monterrey Cd Méico Querétaro Guadalajara Hermosillo Saltillo

17 Geometría de un modelo de Programación lineal Región factible: delimitada por restricciones. Solución factible: aquella que cumple con las restricciones. Punto etremo: donde se cortan dos restricciones (base, solución básica, solución de un sistema de ecuaciones). Óptimo (sol. óptima): aquella que maimiza la función objetivo y cumple con las restricciones.

18 Ejemplo 2 Se tienen los siguientes datos de dos tipos de hospitales que se proyecta construir. Se cuentan con 650 equipos médicos y con 50,000 toneladas de material. Formule el problema de programación lineal para determinar cuantos hospitales de cada tipo se deben construir para atender al máimo número de pacientes. Tipo de hospital Datos 2 Equipos médicos(u) Cantidad de materiales de construcción requeridas (ton) Cap. de atención. 30,000 pacientes 35,000 pacientes

19 Solución óptima única. Casos Punto etremo Conjunto de soluciones factibles.

20 Casos Óptimos alternativos Punto etremo Conjunto de soluciones factibles.

21 Casos Problema no acotado Conjunto de soluciones factibles.

22 Ejemplo 0 Considere el siguiente problema. Una planta armadora de automóviles debe planear la producción de camiones y autos compactos. Eisten cuatro departamentos: estampado, armado del motor, armado final de camión, armado final de auto. En el área de estampado tiene capacidad de 25,000 autos al mes, o bien de 35,000 camiones al mes, o bien alguna combinación de ambos De igual manera, en el área de armado del motos eiste capacidad para 33,333 vehículo o bien 6,667 camiones. Finalmente en el área de armado final del auto hay capacidad para 22,500 autos, para el caso de los camiones hay capacidad para 5,000 unidades. a. Construya el modelo que representa el sistema. b. Realice un análisis geométrico del problema. Resuélvalo.

23 Modelo de programación lineal Forma canónica y forma estándar 0,2,..., ; i j j j j m j b a a a c c c Z f 0,2,..., ; i j j j j m j b a a a c c c Z f

24 Modelo de programación lineal Representación vectorial U L T Z f b A c U L m nm n m T n n b b a a a a c c b A c 2,,...,,,

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