I, al tener una ecuación. diferencial de segundo orden de la forma (1)

Transcripción

1 .6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida 9.6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida Si conocmos una solución difrnt d cro n un intrvalo difrncial d sgundo ordn d la forma I, al tnr una cuación a ( ) + a + a () 0 Podmos ncontrar una sgunda solución, d tal manra qu ambas solucions formn un conjunto linalmnt indpndint, ntoncs l cocint d llas s otra función u( ) n s intrvalo I, o sa u = () Dspjando obtnmos = u () Con un jmplo obsrvarmos l procdiminto para rducir una cuación d sgundo ordn a una d primr ordn para ncontrar la solución, a partir d otra, o sa. Ejmplo.6.. Tnindo = d 0 d =, como solución n l intrvalo (, tnmos Rducir l ordn para dtrminar su sgunda solución. ) Sindo = u, por convnincia scribimos = u () = u + u () u u u = + + (6) Sustitundo () (6) n la cuación difrncial

2 .6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida 9 u + u + u u (7) Obtnmos u + u, o bin u + u (8) D la cuación (8), si db sr difrnt d cro, ntoncs cro, a qu l producto d ambas s igual a cro, ( u u ) + db sr igual a Utilizando una sustitución w= u (9) Entoncs u + u = w + w (0) D tal manra qu l lado drcho dl igual s convirt n una cuación difrncial d primr ordn, manjando un factor intgrant como, multiplicándolo por la cuación antrior quda w w + () d La cuación (), provin d ( w ) d w d d Intgrando = 0 obtnmos w = c o bin w = c, Rstitundo u = c, volvmos a intgrar u = c + c () Por lo tanto n nustra cuación original u = quda = c + c ()

3 .6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida 9 Simplificando = c + c hacindo c = c obtnmos = Dtrminando l Wronskiano, W (, ) = Calculando l Wronskiano para dtrminar si son linalmnt indpndints o no. W, = = () Son solucions linalmnt indpndint d una cuación d sgundo ordn. Dmostración d manra gnral Tnindo como n (), la forma gnral d una cuación d sgundo ordn, a ( ) + a + a 0 Dividindo () ntr l coficint a nos quda a a + + = a a 0 0 () Rscribiéndola nos quda + p + q (6) Hacindo intrvalo I. p a = a q a, dond a p q son continuas n l Suponindo qu s la solución qu conocmos d la cuación d sgundo ordn qu s admás difrnt d cro para todo valor d n l intrvalo Sindo = u, Por convnincia scribimos = u (7)

4 .6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida 9 Primra drivada = u + u (8) Sgunda drivada = u + u + u (9) Entoncs sustitundo n la cuación difrncial(6) obtnmos ( u u u ) p ( u u ) q ( u ) (0) Dsarrollando u + u + u ++ pu + pu + qu Racomodando u ( p q ) u ( p ) u ( ) El factor qu multiplica a u s igual a cro pus s la cuación difrncial misma D tal manra qu nos quda u + p + u () Racomodando nuvamnt u ( ) u( p ) + + Hacindo w= u ntoncs w = u, por lo tanto w + w + p () Sparando variabls (dividindo ambos términos ntr w obtnmos w + p + () w w Simplificando + + p w Intgrando obtnmos ln ln w + + pd= c Aplicando propidads d logaritmos ln w = pd + c

5 .6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida 9 Aplicando antilogaritmo ln( w ) pd c = + obtnmos w = c pd Dspjando w pd c =, pro como w u = ntoncs c u = pd pd Volvindo a intgrar obtnmos u = c d+ c d la solución gnral = c + c () Hacindo c = c 0, nos qudaría = = u d tal manra qu p d = d () La cual s conoc como sgunda solución, a partir d otra, o sa. Ejmplo.6.. Sindo =, solución d: + dtrminar la solución gnral n l intrvalo ( 0, ). Dividindo la cuación ntr, nos qudaría + Es dcir 0 + =, n la forma stándar. Hacindo p = ntoncs nos quda ) d = d ( ) Simplificando ln( ) = d, o bin = d

6 .6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida 96 D tal manra qu =, intgrando obtnmos qu d = ln Y la solución gnral s = c + c ln El método d rducción d ordn dmustra qu si s tin una solución d una cuación homogéna, ntoncs simpr s pud obtnr la sgunda solución, (Sin mbargo no ist un método gnral para obtnr una solución d la cuación homogéna). Suponga qu s quir rsolvr la cuación homogéna + p + q. Y qu s ha tnido la suficint surt como para conocr una solución d + p + q. La clav s buscar solucions d la cuación difrncial n la forma = u Dond u s una función dsconocida d s la solución conocida d la cuación homogéna d sgundo ordn + p + q. Ejmplo.6.. Tnindo qu = s una solución d + Encuntr una sgunda solución d la cuación difrncial mustr la solución gnral Sa = u o bin = u, sustitundo l valor n la cuación d sgundo ordn tnmos = u+ u u u tnmos Racomodando = + ( u u ) ( u u) ( u) u + u + u + u u (6) Simplificando u + u hacindo w= u ntoncs w + w (7) Dividindo (7) ntr, w + w= 0

7 .6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida 97 qudando una cuación d un ordn mnor, racomodando w + (8) w Intgrando ln w = ln +c aplicando antilogaritmo ln( w) ln( c ) + =, rsulta w = c (9) Rstitundo a qu w= u ntoncs u = c, intgrando nuvamnt c u = Entoncs c =, la sgunda solución = c (0) D tal manra qu la solución gnral qudaría como = + () c c Drivando = c c () La sgunda drivada = c () Sustitundo n la cuación difrncial () (), nos damos cunta qu sí la satisfac por lo tanto sí s una solución. Tnindo la cuación difrncial + Sustitundo la solución gnral sus drivadas ( ) ( ) ( ) c + c c c + c () + = Dsarrollando c c 9c c c 0 lo cual quda dmostrado.

8 .6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida 98 Ejmplo.6.. Tnindo qu = s una solución d + ncuntr una sgunda solución d la cuación difrncial mustr la solución gnral. Sa = u o bin = u, sustitundo l valor n la cuación d sgundo ordn tnmos = u+ u u u, así = + ( u u ) ( u u) ( u) Racomodando u + u u u+ u = 0 Simplificando u + u Hacindo w= u dividindo ntr nos quda w + w Una cuación d mnor ordn, racomodando (dividindo ntr w ) ln w + ln =c, aplicando antilogaritmo Intgrando w + w ln c ln w + + =, ln + + c w= o bin w= c d tal manra qu si rstituimos l valor d w= u Entoncs u = c al intgrar rquir d una intgral dfinida para ncontrar u o sa u = c d, d tal manra qu la antidrivada t u = c t dt Por lo qu la solución t = t dt o sa t = t dt La solución gnral sría t = c+ c t dt

9 .6. Rducción d ordn d una cuación difrncial linal d ordn dos a una d primr ordn, construcción d una sgunda solución a partir d otra a conocida 99 Rsumn d rducción d ordn El método d rducción d ordn s pud usar para ncontrar un conjunto fundamntal d solucions d la cuación homogéna + p + q con una solución dada, como sigu:. S hac = u s sustitu n la cuación difrncial. Esto llva a una cuación linal d sgundo ordn n sólo con términos n u u. S hac w= u para obtnr una cuación linal d primr ordn n w.. S ncuntra una solución para w a sa por sparación d variabls o por factors intgrants.. Sa u una antidrivada d w.. S hac = u Entoncs {, } s un conjunto fundamntal d solucions d la cuación difrncial linal homogéna d sgundo ordn + p + q