PROBABILIDAD. Departamento Estadística e IO II (Métodos de Decisión) Universidad Complutense de Madrid

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1 ROILIDD

2 DEFINICIONES Fenómeno Determinista: se conoce el resultado del experimento antes de producirse. Fenómeno leatorio: no es posible conocer con certeza el resultado del experimento hasta que no se produce. Una ROILIDD es una medida de la incertidumbre de los posibles resultados (o sucesos elementales) de un experimento aleatorio

3 DEFINICIÓN CLÁSIC. LLCE (1812) ( 1 ) = Nº decasosfavorablesde Nº decasosposiblesdee Todos los resultados tienen igual probabilidad de ocurrencia.. El número de casos posibles debe ser un número finito.

4 DEFINICIÓN FRECUENTIST rob () = lim n n n n = número de veces que se procuce el suceso en las n realizaciones del experimento La probabilidad de un suceso es igual al cociente entre resultados favorables y posibles únicamente si el experimento se repite infinitas veces.

5 DEFINICIÓN SUJETIV. Hay experimentos que nos se pueden repetir bajo las mismas condiciones. También hay experimentos en los que los casos posibles no son equiprobables. La definición subjetiva de la probablidad consiste en utilizar la información de la que un sujeto dispone, para realizar una apreciación personal de la probabilidad de un suceso, rob (). La probabilidad definidad de esta forma variará en función del sujeto y de la información disponible.

6 MÉTODO XIOMÁTICO. KOLMOGOROV (1933) Este enfoque evita dar una definición conceptual de la probabilidad. Se axiomatizan las propiedades elementalesque debe cumplir una medida de probabilidad sobre un conjunto de sucesos. 1. E = 1 ( ) 2. 0 para cualquier suceso ( ) 3. Si y son sucesos sin parte comun =, entonces = + ( ) ( ) ( ) ( )

7 odemos operar con los sucesos para obtener sucesos nuevos: UNIÓN DE SUCESOS Dados dos sucesos y de un experimento aleatorio, la unión de ambos sucesos y es otro suceso compuesto por los resultados o sucesos elementales pertenecientes a, a, o a los dos a la vez (intersección).

8 odemos operar con los sucesos para obtener sucesos nuevos: INTERSECCIÓN DE SUCESOS Dados dos sucesos y de un experimento aleatorio. La intersección de ambos sucesos y es otro suceso compuesto por los resultados de los sucesos elementales que pertenecen a y a, simultáneamente.

9 odemos operar con los sucesos para obtener sucesos nuevos: Suceso CONTRRIO de a otro suceso, que ocurre cuando no ocurre y sólo en ese caso

10 Ejemplo Definimos el experimento lanzar un dado al aire: Ω = [1, 2, 3, 4, 5, 6] Sea el suceso: = el resultado es un número par Sea el suceso: = el resultado es superior a tres Entonces = [2, 4, 6] and = [4, 5, 6]

11 = [2, 4, 6] = [4, 5, 6] Complementarios: = [1, 3, 5] =[1, 2, 3] Intersección: = [4, 6] Diferencias: \ = = [5] \ = = [2] Uniones: = [2, 4, 5, 6] = [1, 2, 3, 4, 5, 6] = Ω

12 ROIEDDES UE SE DERIVN DE LOS XIOMS = = ( ) ( ) ( ) C C = ( ) ( ) ( ) C C =

13 LGER DE SUCESOS Una familia F de subconjuntos de Ω se dice que es un álgebra si se cumplen que: 1. El suceso seguro está en la familia F: Ω F 2. El complementario de un suceso de Ftambién está en F F F 3. La unión de dos sucesos de Ftambién está en F F, F F la pareja (Ω, F) se la denomina espacio probabilizable.

14 ROIEDDES DE UN ÁLGER DE SUCESOS Si una familia F de subconjuntos de Ω es un álgebra, se verifican las siguientes propiedades: 1. La intersección de dos sucesos de Ftambién está en F F, F F 2. La diferencia de dos sucesos de Ftambién está en F: F, F \ 3. El suceso imposible está en F F F

15 ROIEDDES DE UN ÁLGER DE SUCESOS Supongamos que una familia F de subconjuntos de Ω es un álgebra y que además se cumple que la familia F es cerrada por uniones infinitas numerables, es decir, i F, i = 1,2,... i= 1 i F Entonces, F se dice que es una σ álgebra. Ejemplo: Supongamos que Ω=R (recta de números reales). La mínima σ álgebra sobre R que contiene a todos los intervalos del tipo (-, x], se denomina σ álgebra de orel y sus elementos (sucesos) de denominan borelianos

16 CONSECUENCIS DE L DEFINICIÓN XIOMÁTIC Dado un espacio de probabilidad (Ω, F, ), se verifican las siguientes propiedades de una probabilidad: 1. Dado un suceso F, se cumple que: ( ) = 1 ( ) 2. ( ) = 0 3. Dados dos sucesos, F, F, se cumple que: ( ) = ( ) + ( ) ( ) 4. Dados un suceso F contenido en un suceso F,, se cumple que: ( \ ) = ( ) ( )

17 2.2. ROILIDD CONDICIOND

18 ROILIDD CONDICIOND. DEFINICIÓN La probabilidad de un suceso queda definida sobre la condición del cumplimiento del suceso seguro (espacio muestral) E. ( ) = ( E) La probabilidad condicionada de un suceso por la ocurrencia de otro suceso (de probabilidad positiva, () > 0) implica que los resultados posibles son aquellos en los que ocurren de forma simultánea y y los resultados totales los relacionados con el suceso. ( ) = ( ) ( )

19 ROILIDD CONDICIOND Operando con la definición de probabilidad anterior: ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) C C = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = n n n

20 INDEENDENCI DE SUCESOS Los sucesos y son independientes cuando el conocimiento de que uno de ellos ha ocurrido no modifica la probabilidad de que ocurra el otro. sí, las probabilidades condicionadas son igual a las absolutas: ( ) ( ) ( ) ( ) = = Despejando por tanto la probabilidad de la intersección: { } ( ) ( ) = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) = = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

21 ROILIDD RIORI Y OSTERIORI En ausencia de información, a la probabilidad de un suceso se la denomina probabilida a priori: ( ) La incorporación de la condición previa permite deducir la probabilidad a posteriori sabiendo que ya ha ocurrido el suceso que marca la condición: ( ) mbas se relacionan a través de la intersección: ( ) = ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )

22 TEOREM DE L ROILIDD TOTL Sea S, S,..., S un conjunto de sucesos { } 1 2 n mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos suceso: n = ( ) ( ) ( ) i= 1 / S S i i

23 TEOREM DE YES { } S e a,,..., u n c o n ju n to d e su c eso s 1 2 n m u tu a m e n te e x clu y e n tes y c o le ctiv a m en te e xh a u stivo s i= 1 ( ) " su c e so c o n 0 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) / / S ( S j / ) = = n ( / ) j J j J i i

24 NEXO REGLS DE CONTEO COMINTORI

25 REGLS DE CONTEO Regla 1: Si se repite n vecesel mismo experimento con kposibles resultados en cada ocasión, el número total de posibles resultados es: Ejemplo: Si se lanza un dado tres veces el número de posibles resultados es 6 3 = 216. k n Regla 2: Si del primer experimento hay k 1 resultados posibles, del segundo k 2 posibilidades, y del n-esimo hay k n posibilidades, el número de posibles resultados combinando los n experimentos es de: Ejemplos: k 1 k 2 k n Supongamos que hay 3 pantalones, 4 camisas y 6 zapatos. El número de combinaciones posibles de las tres prendas es de = 72.

26 REGLS DE CONTEO Regla 3: El número de ordenaciones posibles de n objetos diferentes es: n! = n (n 1) Ejemplo: El número de posibles ordenaciones de 5 libros diferentes en una estantería es de 5! = = 120. Regla 4: ermutaciones: El número de maneras de ordenar r objetos seleccionados de entre n objetos diferentes es: n! n r = (n r)! Ejemplo: El número de combinaciones posibles de colocar 3 libros en una estanteria, seleccionados de entre 5 libros diferentes es de: 5! = = = 60 (5 3)! 2

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