VARIABLES ALEATORIAS

Transcripción

1 VARIABLES ALEATORIAS

2 Ejemplo: lanzar dos dados y sumar lo que sale en las dos caras. El espacio muestral está formado por los 36 resultados posibles (de lanzar los dados) Y el resultado del experimento está formado por los números de 2 al 12. Por ejemplo El resultado sacar 3 define los eventos {(1,2), (2,1)} El resultado sacar 10 define los eventos {(6,4), (5,5), (4,6)} Los resultados definen conjuntos de eventos y permiten calcular las probabilidades

3 Una variable aleatoria es una función (fórmula, regla) que asigna a cada elemento del espacio muestral un número real. La variable aleatoria X es discreta si sólo toma una cantidad finita (o una sucesión) de valores numéricos x 1,x 2,x 3 Para cada valor está bien definida la probabilidad de que X tome el valor x i La variable aleatoria X es continua si si sus valores forman un conjunto continuo dentro de los números reales (como una unión finita de intervalos, acotados o no), Dado un intervalo I=(a,b) (puede ser a=-infinito o b=+infinito), la probabilidad de que el valor de X esté dentro de ese intervalo I está bien definida. P( X I) Ejemplo: La regla que asocia al lanzamiento de 2 dados la suma del resultado de cada lanzamiento es una variable aleatoria discreta. La regla que asocia a cada individuo su altura es una variable aleatoria continua. Ver sección 4.1 del libro

4 Ejemplo: Un experimento de Bernouilli es un experimento aleatorio que sólo tiene dos resultados éxito (E) y fracaso (F) con probabilidades P(E)= p P(F)=q p+q=1 Nos referiremos a esto como a un experimento Bernouilli(p). Una variable aleatoria X es de tipo Bernoullí asigna X(Éxito) = 1, X(Fracaso) = 0 1.Lanzar una moneda; éxito cara y fracaso cruz. Si no está trucada P(E) = P(X = 1) = 0.5 P(F) = P(X = 0) = Obtener un 5 al lanzar un dado; éxito = "sacar 5" y fracaso ="no sacar 5. Si no está trucado P(E) = P(X=6) = 1/6 P(F) = P(X <> 6) = 5/6 Ver sección del libro

5 Un experimento binomial de tamaño n con probabilidad de éxito p consiste en realizar n veces, de forma independiente, un experimento de Berniulli con probabilidad de éxito p. Para un experimento binomial, se llama variable aleatoria binomial a la variable X = nº de éxitos al repetir n veces el experimento Bernoulli Ejemplo: Considera el experimento Bernoulli: lanzar un dado y que salga 6. Éxito = que salga 6, P(E) = 1/6. Fracaso = que NO salga 6, P(F) = 5/6. El experimento binomial consiste en lanzar 5 veces un dado (repetir 5 veces el experimento Bernoulli). X = nº de seises en 5 lanzamientos. Cuál es la probabilidad de sacar 2 seises? P(X = 2)? Ver sección del libro

6 Empezamos haciendo un recuento de las situaciones en las que salen 2 seises en 5 tiradas: Llamamos A i = sacar 2 seises en la tirada nº i Queremos calcular P(sacar 2 seises al lanzar un dado 5 veces) = Ver sección del libro

7 Llamamos A_i = sacar 2 seises en la tirada nº i Queremos calcular Los eventos son disjuntos, por tanto Calcular, por ejemplo, la probabilidad de A_1 Como los eventos son independientes Por qué hay 10 posibles eventos asociados con el éxito? Ver sección del libro

8 En general, si X es una variable binomial de parámetros n (nº de repeticiones del experimento Bernoulli) y p (probabilidad de éxito La probabilidad de obtener k éxitos en los n experimentos Bernoulli es Ver sección del libro

9 La función de densidad (de probabilidad) de una variable aleatoria discreta es la función definida mediante: para cualquier número real x. f (x) = P (X = x), Ejemplo: lanzar dos dados y sumar lo que sale en las dos caras. Ejemplo. El experimento consiste en lanzar 5 veces un dado, X = nº de seises en 5 lanzamientos. Éxito = sacar 6. X P(X = x)

10 MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: EL VALOR ESPERADO Recordad la media de una variable estadística: Junto con la definición frecuentista de probabilidad

11 Ejemplo: valor esperado de la suma del resultado de lanzar dos dados Al aplicar la fórmula anterior obtenemos:

12 VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA Recordad la varianza de una variable estadística: Junto con la definición frecuentista de probabilidad

13 Ejemplo: varianza de la suma del resultado de lanzar dos dados Al aplicar la fórmula anterior obtenemos: