2. Ecuación de Bernoulli

Transcripción

1 Descargar versión para imprimir. Ecuación de Bernoulli Repaso: trabajo de una fuerza, energía potencial gravitatoria, y energía cinética 1. Trabajo de una fuerza. Uno de los efectos producido por las fuerzas es el trabajo. Diremos que: Una fuerza aplicada a un cuerpo realiza trabajo si lo desplaza cierta distancia, o lo que es lo mismo, si aumenta o disminuye su rapidez. En particular si la fuerza saca al cuerpo del reposo, o contrariamente, lo deja en reposo, se produce un cambio en la rapidez (=módulo) de la velocidad, y consecuentemente la fuerza realiza un trabajo. Si α representa el ángulo formado entre la velocidad v y la fuerza F, y en caso de que la fuerza sea constante en el tiempo, en tal caso el trabajo (W ) realizado por dicha fuerza se da por: W = F d cos α siendo d la distancia que se desplazó el cuerpo (ver figura). 1

2 Observar que: Si la fuerza y la velocidad forman un ángulo igual a 90, el trabajo realizado por la fuerza es nulo (no realiza trabajo). Si el ángulo formado entre la fuerza y la velocidad es nulo o agudo, el trabajo es distinto de cero y positivo. En tal caso se dice que la fuerza acelera el movimiento del cuerpo. Si el ángulo formado entre la fuerza y la velocidad es obtuso o llano, el trabajo realizado por la fuerza es distinto de cero y negativo. En tal caso la fuerza frena el movimiento de cuerpo. La unidad internacional del trabajo es el joule (J).. Energía potencial gravitatoria. Al dejar caer el un cuerpo, su peso realiza un trabajo ya que lo desplaza desde cierta altura hasta, por ejemplo, el piso. El trabajo realizado por el peso coincide con el valor de la energía potencial gravitatoria (E g ). La energía potencial gravitatoria de un cuerpo es numéricamente igual al trabajo realizado por peso de éste, al desplazarlo desde cierta altura hasta la superficie de la Tierra. De lo anterior se deduce que: E g = W Pero el trabajo realizado por el peso P del cuerpo, al descenderlo desde una altura h hasta la superficie, se da por: W = P h cos 0 = P h = mgh = E g

3 es decir: E g = mgh donde se tomó en cuenta que P = mg, y que cos 0 = 1. Más aun: El trabajo realizado por el peso del cuerpo se realiza a expensas de consumir la energía potencial gravitatoria asociada a dicho cuerpo. La unidad internacional de la energía también es el joule (=J). Un joule es la energía requerida para elevar hasta un metro de altura (aquí en la Tierra) un cuerpo con una masa igual a 10 g. Notar que 10 g masa, le corresponde a un peso aproximado de 1 N. Por demás decir que un joule de energía para nuestro propósito (la generación de energía a gran escala) representa una pequeña cantidad de energía. Otra unidad de energía ampliamente difundida (sobre todo en la industria de la generación) más apropiada es el kilovatio-hora (=kwh), no perteneciente a ningún sistema de unidades en particular. La relación de equivalencia con el joule es la siguiente: 1 kwh = J = 3, J o dicho de otra manera: un kilovatio hora equivale a 3,6 megajuoles (1 kwh = 3,6 MJ). 3. Energía cinética. Un cuerpo en movimiento es portador de energía cinética. 3

4 Esta energía depende de la masa del cuerpo y del cuadrado de su velocidad. Matemáticamente la energía cinética se da por: E c = mv siendo E c la energía cinética, m la masa del cuerpo, y v la velocidad (rapidez 1 ) con la que se mueve dicho cuerpo. Observar que si (por ejemplo) se duplica la masa del cuerpo, manteniendo su velocidad, se duplica la energía cinética del cuerpo; mientras que si se duplica la velocidad (si la masa queda constante) se cuadriplica la energía cinética. (Demuéstrelo.) Energía de presión (o energía de flujo) Cualquier porción de un líquido que se desplaza dentro de una tubería posee energía de presión. Podemos imaginar una finísima capa del líquido dentro de una tubería forzada a moverse de izquierda a derecha (ver figura), como consecuencia de la diferencia de presión: el líquido se mueve desde donde es mayor la presión hacia donde es menor. 1 Es lo que mide, por ejemplo, el velocímetro de un auto. 4

5 Supongamos que la diferencia entre la presión alta (a la izquierda) y la presión baja (a la derecha) es p. Esta presión es consecuencia de la fuerza F que actúa sobre la finísima capa de líquido con sección recta de área A, y la desplaza una distancia d. Esta fuerza al desplazar a la finísima capa de líquido realiza un trabajo. Así resulta que la energía de presión E p, es igual al trabajo W realizado por la fuerza F = pa, es decir: W = F d = pad = pv = E p donde se tomó en cuenta que: V = Ad, es el volumen del líquido desplazado por la finísima capa de líquido (como si ésta fuera un pistón). En definitiva: La energía de presión es igual al trabajo necesario para desplazar una finísima capa de líquido una cierta distancia como consecuencia de la diferencia de presión dentro del líquido. o matemáticamente: E p = pv Principio de continuidad (restringida a líquidos) No es otra cosa que la conservación de la masa de un fluido. Supongamos que por una tubería circula cierto líquido, e imaginariamente aislamos una porción o rodaja 3 de ese líquido con volumen V y densidad ρ. Ahora, la rodaja de líquido en su posición 1 tendrá una velocidad v 1, y en la posición tendrá una velocidad v. Igual a la sección recta interior de la tubería. 3 O más correctamente: elemento de fluido. 5

6 Teniendo presente que la masa de la rodaja no cambia ( por qué?), entonces debe cumplirse que: m 1 = m ρv 1 = ρv siendo ρ la densidad del líquido y V 1 su volumen en la posición 1 y V el volumen en la posición. Ahora, el volumen de la rodaja se puede calcular mediante la ecuación: V 1 = A 1 x 1, siendo A 1 al área de la sección recta 4 del tubo en la posición 1, y x 1 el espesor de la rodaja. Este espesor no puede tener un valor fijo, sino que dependerá de la velocidad de la rodaja en la respectiva posición dentro del tubo. Así x 1 = v 1 t, siendo t el tiempo 5 que demora la rodaja en pasar íntegramente por la sección recta del tubo de corriente (o pasar por la línea imaginaria naranja), en la posición 1. Por todo lo dicho, el volumen de la rodaja en la posición 1 se da por: V 1 = A 1 v 1 t. Similarmente V = A v t. Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior resulta: 4 o sección transversal 5 Muy corto, para que el espesor de la rodaja sea lo más fino posible ( por qué?). 6

7 ρa 1 v 1 t }{{} m 1 = ρa v t }{{} m Como el tiempo t y la densidad ρ son iguales a ambos lados de la ecuación se pueden simplificar, y la ecuación se reduce a: A 1 v 1 = A v que es la expresión matemática del principio de continuidad para un líquido. Otra ecuación para recordar es la siguiente: m = ρavt Ecuación de Bernoulli (restringida a líquidos no viscosos) La ecuación de Bernoulli representa la conservación de la energía mecánica de una masa fluida en condiciones ideales. Por condiciones ideales se entenderá que deben satisfacerse las siguientes: 1. el fluido es incompresible, o a efectos prácticos un líquido;. el fluido no es viscoso, y por ende se desprecian los efectos de cualquier fuerza de rozamiento, ya sea dentro del propio fluido (líquido), y entre éste y las paredes de la tubería por la que circula; en otras palabras, no habrá disipación de energía por calor, ruido, etc. Cumplidas las dos condiciones anteriores, supongamos que tenemos un líquido que circula dentro de una tubería, tal como se representa en la siguiente figura. 7

8 Elegimos una porción de ese líquido que de aquí en más denominaremos rodaja (en celeste oscuro), y lo seguimos en su recorrido por la tubería, desde su posición inicial en la parte más alta hasta su posición final en la parte más baja de la tubería (ver figura). En la parte más alta la rodaja tiene: energía potencial gravitatoria igual a: mgh 1 ; energía cinética igual a: 1 mv 1; y energía de presión igual a: p 1 V Por lo tanto la energía total en la posición inicial E 1 vale: E 1 = mgh 1 + mv 1 + p 1V Similar razonamiento se hace para calcular la energía de la rodaja en su posición final, E : E = mgh + mv + p V Observar que para escribir las dos últimas ecuaciones se tomó en cuenta que la masa y el volumen de la rodaja permanecen invariables ( por qué?), pero 8

9 sin embargo la forma de la rodaja puede cambiar tal como se ve en la figura. Ahora, las dos condiciones antes impuestas aseguran la conservación de la energía, lo que matemáticamente se expresa como: E 1 = E, y por lo tanto debe cumplirse que: mgh 1 + mv 1 + p 1V = mgh + mv + p V Recordando que la masa se puede escribir en términos de la densidad de masa: m = ρv, entonces la ecuación anterior se puede simplificar a la forma: (ρv )gh 1 + (ρv )v 1 + p 1 V = (ρv )gh + (ρv )v + p V y como el volumen V aparece en todos los términos queda finalmente: ρgh 1 + ρv 1 + p 1 = ρgh + ρv + p que es la ecuación de Bernoulli valida para las condiciones impuestas al principio. Cuestión: qué ocurriría si la altura inicial y final de la rodaja son iguales entre sí? En este caso se cumple que: h 1 = h, y la ecuación de Bernoulli se reduce aun más tomando la forma: ρv 1 + p 1 = ρv + p ecuación se puede reescribir como: ρ(v1 v) = p p 1 De esta última ecuación se pueden hacer algunas conclusiones: si p = p 1, entonces v = v 1. si p es mayor a p 1, entonces v 1 es mayor a v. 9

10 si p es menor a p 1, entonces v 1 es menor a v. Otras conclusiones que se pueden hacer combinando la ecuación de Bernoulli con la ecuación de continuidad (A 1 v 1 = A v ) son las siguientes: 1. Al disminuir la sección recta de la tubería, aumenta la velocidad del líquido.. En los tramos descendentes aumenta la energía cinética del líquido, y en los ascendentes disminuye. 3. La energía cinética del líquido aumenta si la presión en el tramo alto de la tubería es mayor que la presión en el tramo bajo de dicha tubería. 10