Funciones racionales, irracionales, exponenciales y logarítmicas

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1 Funciones racionales, irracionales, eponenciales y logarítmicas. Funciones racionales Despeja y de la epresión y = 6. Qué tipo de función es? P I E N S A C A L C U L A 6 y = Es una función racional que corresponde a una función de proporcionalidad inversa. Representa la gráfica de la función y = /, calcula el valor de la constante de proporcionalidad e indica si ésta es creciente o decreciente. Tabla de valores: y = / y = las ecuaciones de las asíntotas. c) las discontinuidades. Haciendo la división se obtiene: f() = + y = A P L I C A L A T E O R Í A = Dom(f) = {} = ) á (, Constante de proporcionalidad k = > 0 ò decreciente Dibuja la gráfica de la función f() = Halla: su dominio. 5 Asíntotas Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = c) Es discontinua en = Halla la ecuación de las siguientes funciones: 6 SOLUCIONARIO

2 Se dibujan las asíntotas y un rectángulo. y = = 5 Se dibuja un rectángulo. Como es creciente k es negativo. 5 y = y = Como es decreciente k es positivo. y =. Operaciones con funciones. Funciones irracionales Desarrolla los siguientes polinomios y calcula su suma: ( ) + ( + )( ) 6 P I E N S A C A L C U L A Dadas las siguientes funciones: f() = ( + 5) g() = ( 5) calcula: f + g f g (f + g)() = + 50 (f g)() = 0 5 Dadas las siguientes funciones: f() = ( + ) g() = ( +)( ) 6 calcula: f g f/g c) Dom(f/g) (f g)() = + + (f/g)() = c) Dom(f/g) = {} = ) á (, Dadas las siguientes funciones: f() = + 5 g() = A P L I C A L A T E O R Í A TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 7

3 calcula: g f f g Clasifica la función f() =, halla su dominio y represéntala. (g f)() = g(f()) = g( + 5) = ( + 5) = = (f g)() = f(g()) = f( ) = + 5 La función es irracional. Dom(f) = [, 7 Dada f() = +, calcula f, representa ambas funciones y la recta y =. Qué observas? y = = y + y = + y = ò y = f () = f() = + y = f () = 9 Halla la fórmula de las siguientes funciones: Se observa que f() y f () son simétricas respecto de la recta y = y = + 5 y =. Funciones eponenciales Calcula mentalmente las 0 primeras potencias enteras positivas de,,, 6,, 6,, 56, 5, 0 P I E N S A C A L C U L A SOLUCIONARIO

4 0 Representa la siguiente función: f() = Tabla de valores y = /9 / 0 9 Es la función y = (/) trasladada unidades hacia abajo y una hacia la izquierda. (, ) A P L I C A L A T E O R Í A y = + (/) + y = (, ) (, ) (0, ) Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: Representa la siguiente función: f() = (/) y = (/) 9 0 / /9 y = (/) (, ) (0, ) y = y = + (/) 5 Una célula se reproduce por bipartición cada minuto. Halla la función que epresa el número de células en función del tiempo, y represéntala gráficamente. Representa la siguiente función: f() = + Es la función y = trasladada unidades hacia arriba y una hacia la derecha. (, 5) y = t,t Ó 0 Como no puede haber fracciones de células, será una función discreta. y = + (, ) t 0 y = t 6 5 Representa la siguiente función: f() = + (/) + Número de células y = t Tiempo (min) T TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 9

5 . Funciones logarítmicas Calcula mentalmente los siguientes logaritmos: log log / c) log / d) log / / e) log P I E N S A C A L C U L A c) d) e) 0 6 Representa la siguiente función: f() = log Tabla de valores y = log /9 / 0 y = log (, ) (, 0) 9 Representa la siguiente función: f() = + log ( ) A P L I C A L A T E O R Í A Es la función y = log trasladada una unidad hacia arriba y dos hacia la derecha. y = + log ( ) (5, ) (, ) = 7 Representa la siguiente función: f() = log / Tabla de valores y = log / /9 / Representa la siguiente función: f() = + log / ( + ) Es la función y = log / trasladada una unidad hacia abajo y dos hacia la izquierda. y = log / (, 0) (, ) = y = + log / ( + ) (, ) (, ) 0 SOLUCIONARIO

6 0 Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: Se despeja y y = + y = y = log ( ) y = + log ( ) f () = + log ( ) y = log y = + log / ( + ) y = + Halla la función inversa de y = +. Representa ambas funciones y la recta y =. Qué observas en las gráficas? Se cambian las letras = + y y = y = + log ( + ) Ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS

7 Ejercicios y problemas. Funciones racionales Representa la gráfica de la función y = /. Calcula el valor de la constante de proporcionalidad e indica si es creciente o decreciente. Tabla de valores: Halla la ecuación de las siguientes funciones: y = / Constante de proporcionalidad k = > 0 ò creciente Se dibuja un rectángulo. y = Como es creciente, k es negativo. y = Se dibujan las asíntotas y un rectángulo. Dibuja la gráfica de la función f() = Halla: su dominio. + + = y = las ecuaciones de las asíntotas. c) las discontinuidades. Haciendo la división se obtiene: f() = + Como es decreciente, k es positivo. y = y = + y = = Dom(f) = { } = ) á (, Asíntotas Asíntota vertical: = Asíntota horizontal: y = c) Es discontinua en =. Operaciones con funciones. Funciones irracionales 5 Dadas las siguientes funciones: f() = ( ) g() = 9 calcula: f + g f g (f + g)() = 6 (f g)() = 6 + SOLUCIONARIO

8 6 Dadas las siguientes funciones: f() = 6 g() = ( + ) calcula: f g f/g c) Dom(f/g) (f g)() = + 56 (f/g)() = + c) Dom(f/g) = { } = ) á (, 9 Clasifica la función f() = +, halla su dominio y represéntala. La función es irracional. Dom(f) = [, y = + 7 Dadas las siguientes funciones: f() = 5 g() = + calcula: g f f g (g f)() = g(f()) = g(5 ) = = (5 ) + (5 ) = (f g)() = f(g()) = f( + ) = = 5( + ) = Halla la fórmula de las siguientes funciones: Dada la siguiente función: f() = + 5 calcula f Representa ambas funciones y la recta y =. Qué observas? y = y = + +. Funciones eponenciales = y + 5 = y + 5 y = + 5 y = 5 f () = 5, Ó 0 Representa la función f() = Tabla de valores y = /6 / 0 6 f() = + 5 y = Se observa que f() y f () son simétricas respecto de la recta y = y = 5 y = (, ) (0, ) Representa la función f() = (/) TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS

9 Ejercicios y problemas y = (/) 6 0 / /6 y = (/) y = + y = (/) (, ) (0, ) 6 Un estanque contiene hectolitros de agua y cada mes se gasta la mitad de su contenido. Halla la función que define la capacidad que queda en el estanque en función del tiempo y represéntala gráficamente. Representa la función f() = + Es la función y = trasladada unidades hacia abajo y dos hacia la derecha. y = (/) t,t Ó 0 t 0 y = (/) t Como el agua disminuye continuamente, será una función continua. / 5 / 6 / y = + (, ) (, ) Volumen (hl) y = (/) t Tiempo (meses) T Representa la función f() = + (/) + Es la función y = (/) trasladada unidad hacia arriba y tres hacia la izquierda. (, ) (, 5) y = + (/) +. Funciones logarítmicas 7 Representa la siguiente función: f() = log Tabla de valores y = log /6 / Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. y = log / (, 0) (, ) Representa la siguiente función: f() = log / SOLUCIONARIO

10 y = log / /6 / 0 6 Halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: y = log / (, 0) (, ) 9 Representa la siguiente función: f() = + log ( ) y = log / y = + log ( + ) Es la función y = log trasladada dos unidades hacia arriba y tres hacia la derecha. y = + log ( ) (, ) = 0 Representa la siguiente función: f() = + log / ( ) Es la función y = log / trasladada tres unidades hacia abajo y dos hacia la derecha. Halla la función inversa de y = + log ( ), representa ambas funciones y la recta y =. Qué observas en las gráficas? Se cambian las letras = + log (y ) Se despeja y log (y ) = + log (y ) = y = y = + f () = + Ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = f () = + y = + log / ( ) = (, ) (6, ) y = + log ( ) TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 5

11 Ejercicios y problemas Para ampliar Halla el dominio de las funciones: 7 y = Función irracional. y = Dom(f) = {} = ) á (, Dom(f) = [, Halla el dominio de las funciones: y = + 5 y = log ( ) Creciente ( ) : [, Decreciente ( ) : Ö Dom(f) = = ( Dom(f) = (, 5 Halla las discontinuidades de las funciones: + 5 y = y = + 7 y = + + y = + + Función eponencial. = = Clasifica las siguientes funciones. Represéntalas y halla su crecimiento: + 6 y = y = Función racional. Creciente ( ) : = ( Decreciente ( ) : Ö Función racional. + y = ò y = = y = y = = + y = ò y = + Creciente ( ) : Ö Decreciente ( ) : ) á (, Creciente ( ) : Ö Decreciente ( ) : ) (, y = + y = + log ( + ) 6 SOLUCIONARIO

12 Función irracional. 50 Dadas las siguientes funciones: f() = 7 g() = calcula: f + g f g (f + g)() = + (f g)() = 9 + Creciente ( ) : [, Decreciente ( ) : Ö Función logarítmica. 5 Dadas las siguientes funciones: f() = 7 g() = + 7 calcula: f g f/g c) el dominio de f/g Creciente ( ) : (, Decreciente ( ) : Ö 9 y = + (/) y = log / ( ) Función eponencial. (f g)() = 9 7 (f/g)() = + 7 c) Dom(f/g) = { 7} = 7) á ( 7, 5 Representa la función f() =, multiplica dicha función por y represéntala en los mismos ejes coordenados. Qué observas en las gráficas de ambas funciones? La gráfica de la función f() = es la simétrica de la función f() = respecto del eje f() = Creciente ( ) : Ö Decreciente ( ) : = ( Función logarítmica. Creciente ( ) : Ö Decreciente ( ) : (, f() = 5 Dadas las siguientes funciones: f() = g() = 5 + calcula: g f f g (g f)() = g(f()) = g( ) = 5( ) + = = (f g)() = f(g()) = f(5 + ) = 5 + = = 5 TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 7

13 Ejercicios y problemas Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica Función racional. Función racional. y = y = Función eponencial. y = e Función irracional. y = Función logarítmica Función logarítmica. y = L y = log /e Función racional. Función racional. y = y = SOLUCIONARIO

14 5 60 Función eponencial. y = 5 Función racional. Función irracional. y = + Función racional. 5 y = 5 y = 59 6 Función racional. Función racional. 6 y = Función eponencial. y = (/e) 6 y = Función eponencial. y = (/5) TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 9

15 Ejercicios y problemas 6 Función racional. y = Función irracional. y = + Problemas 6 Un árbol crece durante los tres primeros años, según la función y =. Representa dicha función en los tres primeros años de vida del árbol. y = (f g)() = f(g()) = f ( ) = = ( ) + = + = c) Que las funciones f y g son una inversa de la otra. 65 Dada la siguiente función: f() = calcula: f f Qué puedes afirmar del resultado obtenido? (f f)() = f(f()) = f( ) = Que la función f es inversa de sí misma. 6 Dadas las funciones: f() = + g() =, Ó calcula: g f f g c) Qué puedes afirmar del resultado obtenido? (g f)() = g(f()) = g( + ) = + = = = 66 Calcula la función inversa de f() = 5, Ó 0. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados, y la recta y =. Qué observas? y = 5, Ó 0 Se cambian las letras. = y 5 Se despeja la y y = 5 50 SOLUCIONARIO

16 y = + 5 f () = + 5 Los puntos de corte son: O(0, 0) y A(, ) f () = + 5 y = f() = 5 O(0, 0) y = y = A(, ) Se observa que ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = 69 y = y = 67 Calcula la función inversa de f() = +. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados, y la recta y =. Qué observas? y = + Se cambian las letras. = y + Se despeja la y = y + y = + y = f () = y = / El único punto de corte es P(, ) 70 y = y = + log ( ) y = P(, ) f () = f() = + y = P(, ) y = + log ( ) Se observa que ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = El único punto de corte es P(, ) Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: Representa en unos mismos ejes coordenados las siguientes funciones y luego halla los puntos de corte: 6 y = y = 7 TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 5

17 Ejercicios y problemas Función racional. Función racional. y = = y = Función irracional. y = y = + = + + Función logarítmica. y = log /5 7 7 Función eponencial. Función eponencial. y = + + y = 0 Función racional. Función racional. y = = y = 0 = y = + = y = SOLUCIONARIO

18 Función racional. Función racional. = = y = y = + 7 y = = + + Función irracional. y = + y = = Función logarítmica. y = log 76 7 Función racional. Función racional. y = y = = = + y = = + + Función eponencial. y = (/0) y = + = Función irracional. y = TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 5

19 Ejercicios y problemas Función racional. = 5 = 0 (5 ) = 0 ò = 0, = 5 Para = 0 es cuando empieza a funcionar. A partir de los 5 años empezará a ser deficitaria. 0 y = 5 + y = = Función logarítmica. y = log /0 En una granja hay pienso para alimentar 000 pollos durante 0 días. Calcula la función que da el número de días en función del número de pollos. Clasifica la función obtenida y = ò y = Es una función racional. Es de proporcionalidad inversa. Halla la función que calcula la longitud del lado de un cuadrado de área m. Clasifica la función obtenida. y = Es una función irracional. Los ingresos y gastos, en millones de euros, de una empresa en función del número de años que llevan funcionando vienen dados por: i() = g() = Calcula la función que da los beneficios de dicha empresa. Cuándo empieza a ser deficitaria la empresa? b() = i() g() b() = 5 Empieza a ser deficitaria a partir de que los beneficios sean cero. 5 Las diferencias de presiones, que aparecen al ascender por una montaña, son la causa del mal de montaña y del dolor de oídos. Se ha probado eperimentalmente que la presión viene dada por la fórmula y = 0,9, donde y se mide en atmósferas, y, en miles de metros. Representa dicha función. Qué presión hay a 000 m de altura? c) A qué altura tendremos que ascender para que la presión sea de 0,59 atmósferas? Gráfica Presión (atmósferas) y = 0,9 = 0,79 atmósferas. c) 0,9 = 0,59 log 0,9 = log 0,59 log 0,59 = = 5 log 0,9 Altura = m La bacteria Eberthella typhosa se reproduce por bipartición cada hora. Si partimos de un millón de bacterias, calcula: la función que epresa el número de bacterias en función del tiempo. cuántas bacterias habrá al cabo de horas. Da el resultado en notación científica. c) qué tiempo tiene que transcurrir para tener 0 millones de bacterias. y = 0 6 0,9 0, 0,7 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, Longitud (miles de metros) 5 SOLUCIONARIO

20 y = 0 6 =, c) 0 6 = = 0 = 0 = 0 horas. 5 Un barco de vela deportivo cuesta un millón de euros. Si se devalúa un % anualmente, calcula: la función que epresa el valor en función del número de años. el valor que tendrá al cabo de 0 años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que valga la mitad del precio inicial. y = 0 6 0, y = 0 6 0, 0 = 7 c) 0 6 0, = 0, , = 0,5 log 0, = log 0,5 log 0,5 = =,9 años log 0, Aproimadamente años y medio. 6 El alquiler de un piso es de 500 mensuales. Si en el contrato se hace constar que se subirá un % anual, calcula: la función que epresa el precio del alquiler en función del número de años. el precio del alquiler al cabo de 0 años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que se duplique el alquiler. la función que epresa el volumen de madera en función del número de años. el volumen que tendrá al cabo de 5 años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que se triplique el volumen. y = 5, y = 5, 5 = 0,9 m c) 5, = 5, = log, = log log = =,5 años. log, Para profundizar Calcula la función inversa de f() = e. Representa ambas funciones en unos mismos ejes coordenados, y la recta y =. Qué observas en las gráficas? y = e Se cambian las letras. = e y Se despeja la y e y = y = L f () = L y = 500,0 y = 500,0 0 = 67,96 c) 500,0 = 000,0 = log,0 = log log = =,5 años. log,0 7 Un bosque tiene 5 m de madera. Si el ritmo de crecimiento es de un 0% al año, calcula: Se observa que ambas gráficas son simétricas respecto de la recta y = 9 f() = e y = Calcula la función inversa de f() =. Qué puedes afirmar viendo el resultado que has obtenido? f () = L TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 55

21 Ejercicios y problemas y = Se cambian las letras. = y Función logarítmica. y = + log ( ) Función irracional. y = + Se despeja la y y = 9 f () = Se puede afirmar que dicha función coincide con su inversa. Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: 90 Función racional. = 0 y = Función racional. = y = 6 + y = = Función logarítmica. y = + log / ( ) y = + = + + Función eponencial. y = + (/) 9 Función eponencial. y = + + Función irracional. y = + 9 Para recolectar las fresas de una huerta, 0 trabajadores tardan 5 días. Calcula la función que da el número de días en función del número de trabajadores. Clasifica la función obtenida. 56 SOLUCIONARIO

22 y = y = y = 5 (/) t/0 y = 5 (/) 50/0 = 0,7 g Es una función racional. Es de proporcionalidad inversa Halla la función que calcula la longitud del radio de un círculo de área m. Clasifica la función obtenida. πr = R = /π R = /π f() = /π Función irracional. Se define el período radioactivo como el tiempo necesario para que la mitad de los átomos de un isótopo se hayan desintegrado, emitiendo radiaciones. El actinio tiene un período de desintegración de 0 años. Escribe la función que calcula la cantidad de actinio en función del número de años. Si tenemos inicialmente 5 g de actinio, al cabo de 50 años cuánto actinio tendremos? 97 Un capital de se deposita en un banco a interés compuesto del 5%. Calcula: la función que epresa el valor del capital en función del número de años. el valor que tendrá al cabo de 5 años. c) cuántos años tendrán que transcurrir para que se duplique el capital inicial. C = 0 000,05 t C = 0 000,05 5 = 6 6 c) 0 000,05 t = ,05 t = t log,05 = log log t = =, años. log,05 TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 57

23 Aplica tus competencias 9 Escribe la fórmula que relaciona la presión y el volumen dada por la ley de Boyle-Mariotte, y clasifícala. PV = k k P = V Es una función racional; es de proporcionalidad inversa. 99 Escribe la fórmula que relaciona la presión y el volumen dada por la ley de Boyle-Mariotte, sabiendo que para una determinada cantidad de gas P = atmósferas, V = litros. Represéntala gráficamente. Tabla de valores: V P Gráfica: Presión (atmósferas) V 6 P = V 6 PV = P = V P 5 SOLUCIONARIO

24 Comprueba lo que sabes Define función eponencial y pon un ejemplo. Una función es eponencial si la variable independiente está en el eponente. Es de la forma: f() = a siendo a > 0 y a π Ejemplo: Representa la función f() = Se hace una tabla de valores: y = / / / 0 y = (, ) (, ) (0, ) Se despeja la y y = y = + y = + f () = + f () = + y = Ambas son simétricas respecto de la recta y = f() = Clasifica y representa la función y = /, calcula el valor de la constante de proporcionalidad, indica si la función es creciente o decreciente y di si es continua. Clasifica, halla el dominio y representa la función f() = + log ( + ) Es una función logarítmica. Dom(f) = (, Es una función racional. y = + log ( + ) = k = > 0 ò decreciente. Es discontinua en = 0 5 Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. Halla la función inversa de f() =, Ó 0. Representa ambas funciones y la recta y =. Qué observas? Se cambian las letras. = y TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 59

25 Comprueba lo que sabes Función racional. = 5 Función irracional. y = + + Función eponencial. y = e 5 + y = = Clasifica y halla la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica. 7 Para hacer la revista del centro, alumnos tardan 6 días. Calcula la función que epresa el número de días en función del número de alumnos. Clasifica la función obtenida. y = ò y = Es una función racional. Es de proporcionalidad inversa. Una ciudad tiene un índice de crecimiento de población del 0,5%. Si en el año 000 tenía millones de habitantes, escribe la función que calcula la población en función del número de años. Cuántos habitantes tendrá en el año 050? Función logarítmica. y = + log ( + ) P = 0 6,005 t 000 P = 0 6, =, = = habitantes. y = 60 SOLUCIONARIO

26 Linu/Windows GeoGebra Windows Derive Paso a paso 00 Dada la función: y = + clasifícala. Represéntala. Descríbela como traslación. Halla y representa las asíntotas. Halla el dominio, las discontinuidades y el crecimiento. Resuelto en el libro del alumnado. 0 Representa en los mismos ejes las funciones: y = y = log y = Qué observas? Resuelto en el libro del alumnado. 0 Clasifica la siguiente función dada por su gráfica y mediante ensayo-acierto halla su fórmula o ecuación: Resuelto en el libro del alumnado. 0 Internet. Abre: y elige Matemáticas, curso y tema. TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 6

27 Linu/Windows GeoGebra Practica 0 Dada la función: y = + + clasifícala. represéntala. c) descríbela como traslación. d) halla y representa las asíntotas. e) halla el dominio. f) halla las discontinuidades. g) halla el crecimiento. 05 y = + 06 y = e Dadas las siguientes funciones: clasifícalas. represéntalas. c) halla el dominio. d) halla el crecimiento. 6 SOLUCIONARIO

28 Windows Derive 07 y = log 09 Representa en unos mismos ejes coordenados las funciones y =, y = (/). Qué observas? 0 Representa en unos mismos ejes coordenados las funciones y =, y = log, y =. Qué observas? 0 Representa en unos mismos ejes coordenados las funciones y = log, y = log /. Qué observas? TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 6

29 Linu/Windows GeoGebra Clasifica y halla mediante ensayo-acierto la ecuación de las siguientes funciones definidas por su gráfica: Función racional. y = + + Función logarítmica. y = + log ( ) Función eponencial. y = + ( ) Función irracional. y = + 6 SOLUCIONARIO

30 Windows Derive Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Geogebra o Derive: 5 Una célula se reproduce por bipartición cada minuto. Halla la función que define el número de células y represéntala gráficamente. TEMA. FUNCIONES RACIONALES, IRRACIONALES, EPONENCIALES LOGARÍTMICAS 65

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