PROBLEMAS DE ESTADISTICA ECONOMICA PROBABILIDAD

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1 1 PROBLEMAS DE ESTADISTICA ECONOMICA PROBABILIDAD 1. Un experimento consiste en preguntarle a 3 personas elegidas al azar si lavan sus platos con el detergente marca X. a) Enumerar los elementos del espacio muestral Ω utilizando la letra s para las respuestas afirmativas y n para las negativas. b) Escribir los elementos de Ω que corresponden al suceso A = al menos una de las personas utilizan la marca X. c) Definir (describir) un suceso que tenga como elementos los puntos {sss, nss, ssn, sns}. 2. Una compañía recibe una maquinaria nueva que debe ser instalada y revisada antes de ser operativa. En la siguiente tabla se muestra la valoración de probabilidades de un gerente correspondiente al número de días necesarios para que la maquinaria sea operativa Número de días Probabilidad Sea A el suceso la maquinaria tardará más de cuatro días en ser operativa y sea B el suceso la maquinaria tardará más de seis días en ser operativa. a) Calcular la probabilidad del suceso A. b) Calcular la probabilidad del suceso B. c) Describir el suceso complementario del suceso A. d) Calcular la probabilidad del complementario del suceso A. e) Describir el suceso intersección de los sucesos A y B. f) Calcular la probabilidad del suceso intersección de A y B. g) Describir el suceso unión de los sucesos A y B. h) Calcular la probabilidad de la unión de los sucesos A y B. i) Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes? j) Forman los sucesos A y B un sistema completo de sucesos? 3. El director de unos almacenes ha supervisado el número de quejas recibidas a la semana por un servicio deficiente. Las probabilidades correspondientes al número de quejas por semana encontradas en la revisión se muestran en la tabla. 1 Sol.: a) {sss, ssn, sns, nss, nns, nsn, snn, nnn}, b) A = {sss, ssn, sns, nss, nns, nsn, snn}, c) Al menos dos personas utilizan el detergente X. 2 Sol.: a) 0.68, b) 0.07, d) 0.32, f) 0.07, h) 0.68, i) No, j) No.

2 2 Número de quejas Probabilidad más de Sean A el suceso se recibirá al menos una queja por semana, y B se recibirán menos de 10 quejas por semana. a) Calcular la probabilidad del suceso A. b) Calcular la probabilidad del suceso B. c) Describir el complementario del suceso A. d) Calcular la probabilidad del complementario del suceso A. e) Describir el suceso intersección de los sucesos A y B. f) Calcular la probabilidad del suceso intersección de A y B. g) Describir el suceso unión de los sucesos A y B. h) Calcular la probabilidad de la unión de los sucesos A y B. i) Son los sucesos A y B mutuamente excluyentes? j) Forman los sucesos A y B un sistema completo de sucesos? 4. Se pidió a un analista financiero evaluar las perspectivas de beneficio de siete compañías para el próximo año, y ordenarlas respecto a las previsiones correspondientes al crecimiento del beneficio. a) Cuántas ordenaciones diferentes son posibles? b) Si, de hecho, simplemente se supone una determinada ordenación, cuál es la probabilidad de que esta suposición sea correcta? 5. Una urna contiene 5 bolas rojas y 7 amarillas. Una persona en una sola extracción saca 3 bolas. Cuál es la probabilidad de que 0, 1, 2 o 3 sean rojas? Cuál es la probabilidad de que al menos una sea roja? 6. Una baraja de 52 cartas se reparte entre 4 jugadores. Qué probabilidad tiene un jugador de obtener 0, 1, 2, 3 o 4 reyes? 7. Se lanzan al aire simultáneamente dos dados distinguibles y se desea obtener dos cincos. 3 Sol.: a) 0.86, b) 0.91, d) 0.14, f) 0.77, h) 1, i) No, j) No. 4 Sol.: a) 5040, b) 0, Sol.: P (0 Rojas) = 0,1591, P (1 Rojas) = 0,4773, P (2 Rojas) = 0,3182, P (3 Rojas) = 0,0454, P (al menos una roja) = 0, Sol.: , , , ,

3 3 a) Cuál es la probabilidad de obtener dos cincos en una tirada? b) Cuál es la probabilidad de no obtener dos cincos en una tirada? c) Cuál es la probabilidad de no obtener dos cincos en exactamente n tiradas? d) Y si los dados fueran indistinguibles? 8. Calcular la probabilidad de P (Ā B) conocidas P (A) = a, P (B) = b y P (A B) = c. 9. Calcular la probabilidad de P (A B) conocidas P (A) = a, P (B) = b y P (A B) = c. 10. Sean A, B y C tres sucesos de un mismo experimento. Consideremos los sucesos: S 1 = Ā B C y S 2 = (A B) C Demostrar que: a) S 1 y S 2 son dos sucesos mutuamente excluyentes. b) Calcular la probabilidad de S 1 y S 2 sabiendo que P (A) = 0,5, P (B) = 0,6, P (C) = 0,7, P (A B) = 0,3 P (A C) = 0,2, P (B C) = 0,1, P (A B C) = 0, La probabilidad de que un niño, de mayor, estudie carrera universitaria es 1/6 y de que lo haga una niña es 1/10, siendo ambos casos independientes. Elegidos al azar un niño y una niña, hallar las siguientes probabilidades: a) Ambos estudien una carrera universitaria. b) Al menos uno estudie una carrera universitaria. c) Ninguno estudie una carrera universitaria. d) Solamente la niña estudie carrera universitaria. 12. Las probabilidades de que tres hombres hagan diana en una competición de tiro al blanco es 1/5, 1/4 y 1/3 respectivamente. Cada uno dispara una vez. Se pide: a) Calcular la probabilidad de que sólo uno de ellos haga diana. b) Si solamente uno de ellos hace diana. Cuál es la probabilidad de que sea el tercer hombre? 7 Sol.: a) , b) , c) 0,9722 n 8 Sol.: 1-c 9 Sol.: c-b 10 Sol.: b) P (S 1 ) = 0,45, P (S 2 ) = 0,25 11 Sol.: a) 1 60, b) 1 4, c) 3 4, d) 1 12

4 4 13. Una urna contiene 8 bolas blancas, 7 rojas y 5 verdes. Se extraen sucesivamente tres bolas de la urna. Hallar la probabilidad de que sean extraídas en este orden: blanca, roja, verde en los siguientes casos: a) La extracción es sin reemplazamiento. b) La extracción es con reemplazamiento. 14. Una urna A contiene 10 bolas blancas y 4 bolas negras y otra urna B contiene 5 bolas blancas y 7 negras. Se extrae una bola de cada urna. Calcular la probabilidad de que: a) Ambas sean blancas. b) Las dos negras. c) Una sea negra. 15. Los clientes se encargan de evaluar los diseños preliminares de varios productos. En el pasado, el 95 % de los productos de mayor éxito en el mercado recibieron buenas evaluaciones, el 60 % de los productos de éxito moderado recibieron buenas evaluaciones, y el 10 % de productos de escaso éxito recibieron buenas evaluaciones. Además, el 40 % de los productos han tenido mucho éxito, el 35 % un éxito moderado, y el 25 % un escaso éxito. a) Cuál es la probabilidad de que un producto obtenga una buena evaluación? b) Si un nuevo diseño obtiene una buena evaluación, cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito? c) Si un producto no obtiene una buena evaluación, cuál es la probabilidad de que se convierta en un producto de gran éxito? 16. Una compañía eléctrica tiene en uno de sus transformadores tres interruptores automáticos que evitan que en caso de accidente el transformador se estropee. Los interruptores están instalados de forma que operan independientemente unos de otros. Cada interruptor es de un tipo diferente de forma que sus porcentajes de error en caso de tener que intervenir son 7 %, 10 %, y 5 %. Si hubiese un accidente, cuáles serían la probabilidades de que: a) las tres válvulas operen correctamente? b) las tres válvulas fallen? c) sólo una de las válvulas opere correctamente? 12 Sol.: a) 13 30, b) Sol.: a) 171, b) Sol.: a) 25 84, b) 1 15, c) Sol.: a) 0.615, b) , c)

5 5 d) el transformador no se estropee? 17. El 20 % de los clientes que han contratado un crédito con la First Financial Corporation han retrasado sus pagos. El 40 % de los que han retrasado pagos tenían el calificativo de clientes de alto riesgo. El 8 % de los clientes que no han faltado en su pago tenían el calificativo de clientes de alto riesgo. Cuál es la probabilidad de que un cliente seleccionado al azar entre los de no están calificados de alto riesgo retrase sus pagos? 18. Un contable tiene sobre su mesa dos grupos de 20 facturas cada uno. En el primer lote hay dos facturas con errores de cálculo y en el segundo tres. Una corriente de aire hace que las facturas caigan de la mesa y, al recogerlas, una del primer grupo se confunde en el segundo. Cuál es la probabilidad de que, al revisar una factura del segundo grupo tenga un error? 19. Las piezas producidas por una máquina automática presentan dos tipos de defectos, D 1 y D 2. El 5 % de piezas presenta el defecto D 1, el 4 % de las piezas tiene el defecto D 2, el 1 % de las piezas tiene ambos defectos. Responder a las siguientes preguntas: a) Qué tanto por ciento de piezas no presenta defectos? b) Qué tanto por ciento de piezas presenta al menos un defecto? c) Qué tanto por ciento de piezas presenta exactamente un defecto? d) Qué tanto por ciento de piezas presenta solamente el defecto D 1? Qué tanto por ciento de piezas presenta solamente el defecto D 2? 20. En una fábrica se utilizan tres máquinas, A, B, y C, para producir, independientemente, un mismo artículo. La máquina A produce 100 cajas diarias, la B produce 200, y la C produce 300, todas con igual número de artículos. La probabilidad de que un articulo sea defectuoso es: para la máquina A 0.06, para la máquina B 0.02 y para la C Al final de una jornada se revisa la producción eligiendo una caja al azar, y de ella se extrae un artículo de forma aleatoria, resultando ser defectuoso. Cuál es la probabilidad de que dicho artículo haya sido fabricado por la máquina B? 21. Una financiera de una conocida marca de automóviles, opera en tres grandes regiones europeas, A, B y C, con las siguientes proporciones 50 %, 30 % y 20 % respectivamente. La probabilidad de que un cliente no cumpla uno de los plazos es en A, en B y en C. Se eligió al azar una de las operaciones firmadas en una de las regiones y se comprobó que no había sido pagada. Cuál es la probabilidad de que la operación sea de la región C? 22. Cierta empresa envía el 40 % de sus paquetes de correo nocturno por el servicio Mallorca Express, el 50 % son enviados por el servicio IB Express y el 10 % por el servicio Chispas. De los enviados por Mallorca Express el 2 % llega después de la hora garantizada de entrega, de los 16 Sol.: a) , b) , c) , d) Sol.: Sol.: Sol.: a) 92 %, b) 8 %, c) 7 %, d) 4 %, 3 % 20 Sol.: Sol.:

6 6 enviados por IB Express sólo el 1 % llega tarde, mientras que el 5 % de los paquetes manejados por Chispas llega tarde. a) Identifica los sucesos y las probabilidades que aparecen en el problema. b) Si seleccionamos al azar un envío nocturno, cuál es la probabilidad de que sea enviado por el servicio Mallorca Express y llegue tarde? c) Cuál es la probabilidad de que un paquete elegido al azar llegue tarde? d) Si un paquete elegido al azar llega a tiempo, cuál es la probabilidad de que haya sido enviado por IB Express? e) Si un paquete seleccionado al azar es enviado por el servicio Chispas, cuál es la probabilidad de que no llegue tarde? 23. En una bolsa hay 7 bolas blancas y 10 bolas negras, en otra bolsa hay 8 bolas blancas y 5 negras. Se extrae al azar una bola de cada bolsa: a) Calcular la probabilidad de que las bolas extraídas sean de distinto color. Razona tu respuesta. b) Sabiendo que las bolas han salido de distinto color, cuál es la probabilidad de que la bola de la primera bolsa haya sido blanca? c) Qué es un suceso? Identifica los sucesos que has utilizado en la resolución de los apartados anteriores del problema. Qué entiendes por probabilidad de un suceso? d) Qué son sucesos independientes? Aparecen sucesos independientes en este problema? En caso afirmativo indica cuales. 24. Luis, Pedro y María se reúnen para resolver problemas de estadística. Lluis resuelve el 40 % del total de los problemas, Pedro el 30 % y María el 30 % restante. Luis se equivoca en un 2 % de los problemas que resuelve, Pedro en el 6 % y María en el 1 %. Tomamos un problema al azar. (a) Cuál es la probabilidad de que esté bien resuelto? (b) Si el problema está mal resuelto cuál es la probabilidad de que lo haya resuelto Pedro? (c) Cuál es la probabilidad de que esté bien resuelto si lo ha resuelto Luis? 25. Veinticinco turistas recorren Mallorca en dos microbuses. En el primero de ellos viajan 3 hombres y 7 mujeres, en el segundo 5 hombres y 10 mujeres. En una parada para refrescarse 22 Sol.: b) 0.008, c) 0.018, d) 0.504, e) Sol.: a) , b) Sol.: a) 0.971, b) 0.621, c) 0.98

7 7 uno de los turistas del segundo autobús se pasa al primero. Cuál es la probabilidad de que al elegir al azar un viajero del primer autobús sea hombre? 26. Un ciclista entrena diariamente en la carretera. La probabilidad de pinchar una rueda es Si pincha, la probabilidad de tener un accidente es de Si no pincha, la probabilidad de que un ciclista tenga un accidente es de a) Cuál es la probabilidad de que un ciclista tenga un accidente? b) Si sabemos que ha tenido un accidente, cuál es la probabilidad de que haya sido debido a un pinchazo? 27. Un país está dividido en 4 distritos A, B, C y D. La población activa en cada distrito y sus respectivas tasas de paro aparecen en la siguiente tabla: a) Calcular el porcentaje de paro del país. población tasa de paro A % B % C % D % b) Se escoje al azar una persona cualquiera del país y resulta que está en paro. Cuál es la probabilidad de que sea del distrito A?, y del B? c) Se escoje al azar una persona cualquiera del país y resulta que no está en paro. Cuál es la probabilidad de que sea del distrito C?, y del D? 28. Una empresa de seguridad hace un estudio sobre el sistema de emergencia de una fábrica que está dotado de alarma. La empresa de seguridad sabe que la probabilidad de que se produzca una situación de peligro es de 0.1. Si ésta se produce, la probabilidad de que suene la alarma es de La probabilidad de que se dispare la alarma sin haber situación de peligro es de Calcula: a) la probabilidad de que funcione la alarma; b) la probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no haya situación de peligro; c) la probabilidad de que habiendo peligro, la alarma no funcione; d) la probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma, haya peligro. 29. Una compañía petrolera tiene clasificados los terrenos que pueden tener yacimientos de petróleo en cinco tipos: el tipo I, que son el 50 %, los tipos II, III y IV, que son el 10 % cada Sol.: Sol.: a) ; b) Sol.: a) 6.1 %; b) 0.082; 0.393; c) 0.413; Sol.: a) 0.122, b) 0.22, c) 0.05, d)

8 8 uno, y el tipo V, el restante 20 % de los terrenos. Las probabilidades de obtener petróleo en cada uno de ellos son, respectivamente, 0.1, 0.1, 0.3, 0.4 y 0.4. Calcular la probabilidad de que: a) Un terreno escogido al azar sea del tipo III y no tenga petróleo. b) Un terreno escogido al azar no tenga petróleo. c) Un terreno que no tenga petróleo sea del tipo III. 29 Sol.: a) 0.07, b) 0.79, c)

9 9 PROBLEMAS DE ESTADISTICA ECONOMICA VARIABLES ALEATORIAS 30. Queremos estudiar el sexo de la descendencia en una familia con 4 hijos. Estamos interesados en el número de varones y en la cantidad de cambios en la secuencia de sexos (es decir, tendremos un cambio si después de un varón nace una mujer o viceversa). Para ello responder ordenadamente a las siguientes cuestiones: a) Construir el espacio muestral asociado al experimento. b) Calcular las probabilidades de los sucesos elementales. c) Construir la variable aleatoria, X = número de varones en familias de 4 hijos. Construir su función de probabilidad y de distribución. d) Construir la variable aleatoria, Y = número de cambios en la secuencia de sexos en familias de 4 hijos. Construir su función de probabilidad y de distribución. e) Representar gráficamente las funciones de los dos apartados anteriores. f) Calcular la esperanza y la varianza de ambas variables aleatorias. 31. Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad { kx si x {1, 2, 3,..., n} f(x) = 0 en el resto a) Hallar el valor de k. b) Calcular la función de distribución. c) Calcular la esperanza y la varianza de esta variable aleatoria. (Indicación: (n 1)+n = n(n+1) 2, (n 1) 2 +n 2 = n(n+1)(2n+1) 6, (n 1) 3 + n 3 = n2 (1+n) 2 4 ) 32. Determinar el valor c de tal forma que cada una de las siguientes funciones sirva como una función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X: a) P X (x) = c(x 2 + 4) para x = 0, 1, 2, 3 y cero en el resto. b) P X (x) = c ( )( 2 3 ) x 3 x para x = 0, 1, 2 y cero en el resto. 30 X Y Sol.: c) d) P (X = x) P (Y = y) f) E(X) = 2; E(Y ) = 3 2 ; V ar(x) = 1; V ar(y ) = si x < Sol.: a) n(n+1), b) F x X(x) = 0 (x 0 +1) si x n(n+1) 0 x < x 0 + 1con x 0 = 1, 2, 3,..., n, c) E(X) = 2n+1, 3 1 si n x V ar(x) = n2 +n 2 18

10 Un contratista estima la probabilidad del número de días necesarios para concluir un proyecto como indica la tabla siguiente: Tiempo (en días) Probabilidad a) Cuál es la probabilidad de que un proyecto elegido aleatoriamente necesite de tres días para su conclusión? b) Hallar el tiempo esperado necesario para acabar un proyecto. c) Hallar la desviación típica del tiempo necesario para terminar un proyecto. d) El coste del proyecto se divide en dos partes: un coste fijo de dos mil euros, más 200 euros por cada día de duración del proyecto. Hallar la media y la desviación típica del coste total del proyecto. 34. Consideremos la v.a. W = número de caras menos el de cruces en tres lanzamientos de una moneda. Indicar los elementos del espacio muestral para los tres lanzamientos de la moneda y asignar un valor w de la variable W a cada punto muestral. Calcular E(W ) y V ar(w ). 35. Encontrar la distribución de probabilidad de la variable W que da el número de caras menos el de cruces en tres lanzamientos de una moneda cargada de forma que la probabilidad de cara es el doble que la de cruz. Calcular la función de distribución o distribución acumulada de la variable W. Calcular (basándose en lo anterior) P (W > 0) y P ( 1 W 3). Dibujar la gráfica de la función de distribución. 36. De una caja que contiene 4 monedas de 1 euro y 2 de 0.20 euros, se seleccionan tres de ellas al azar sin reemplazo. Determinar la distribución de probabilidad para el total T de las 3 monedas. Expresar gráficamente la función de probabilidad y la función de distribución. Calcular E(T ) y V ar(t ). 37. De una caja que contiene 4 pelotas negras y 2 verdes, se seleccionan 3 de ellas en sucesión con reemplazamiento. Representar gráficamente la función de probabilidad de la variable X = número de pelotas negras. Calcular µ X y σ 2 X. 38. Consideremos la siguiente función: { 3 f(x) = 2x(x 1) si 0 < x < 2 0 en el resto 32 Sol.: a) c = 1 30, b) c = Sol.: a) 0.35, b) 3.2, c) , d) 2640; Sol.: E(W ) = 0, V ar(w ) = 3 35 Sol.: P (W = 3) = 1 27, P (W = 1) = 2 9, P (W = 1) = 4 9, P (W = 3) = 8 20, P (W 0) = 27 27, P ( 1 W 3) = Sol.: E(T ) = 11 32, V ar(t ) = Sol.: µ X = 2, σx 2 = 2 3

11 11 Es función de densidad? Si es posible, calcular la función de distribución asociada. 39. Consideremos la siguiente función: f(x) = { 1 x 2 c si 0 < x < 1 0 en el resto Calcular c para que f sea una función de densidad. Calcular la función de distribución asociada. 40. Consideremos la siguiente función: f(x) = { x + c si 0 < x < 1 0 en el resto Calcular c para que f sea función de densidad. Calcular la función de distribución asociada. 41. La v.a. X tiene por función de densidad f(x) = ax 2 si x (0, 3) y cero en el resto de casos. Hallar el valor de la constante a. Hallar la función de distribución y calcular las siguientes probabilidades: P (X < 0), P (1 < X 2,5) y P (X > 1). Obtener la función de distribución. 42. Un inversor planea dividir 2000 euros entre dos inversiones diferentes. La primera da un beneficio fijo del 10 %, la segunda da un beneficio que tiene un valor esperado de 18 % y desviación típica 6 %. a) Si el inversor decide invertir su dinero en dos partes iguales, hallar la media y la desviación típica del beneficio que obtendrá. b) Cuál es la diversificación de la inversión que maximiza la ganancia esperada? qué varianza tiene? c) Cuál es la diversificación de la inversión que minimiza la varianza de la ganancia? qué esperanza tiene? 43. Un consultor comienza a trabajar en tres proyectos. Los beneficios esperados de estos proyectos son 5000, 7200, y 4000 euros. Sus desviaciones típicas son 1000, 1200 y 900 respectivamente. Suponiendo independencia en los resultados, hallar la media y la desviación típica del beneficio total del consultor entre estos tres proyectos. 44. Un inversor tiene 1000 euros que tiene la posibilidad de invertir con distintas proporciones en dos activos financieros alternativos. Los intereses por euro en estos activos se representan 38 Sol.: No es función de densidad, toma algún valor negativo. 0 si x 0 39 Sol.: c = 2 3, F (x) = 3x x 3 si 0 < x < si 1 x 0 si x 0 40 Sol.: c = 1 2, F (x) = x 2 +x si 0 < x < si 1 x 41 Sol.: a = 1 26, P (X < 0) = 0, P (1 < X 2,5) = 0,541667, P (X > 1) = Sol.: a) media = 280, desviación típica = 60, b) invertirlo todo en la segunda, varianza = 14400, c) invertirlo todo en la primera, esperanza = Sol.: esperanza = 16200, desviación típica =

12 12 mediante las v.a. X e Y. Supongamos que ambas inversiones tienen la misma media µ y la misma varianza σ 2, y que son independientes entre sí. Supongamos que el inversor decide colocar α euros en el primer activo, y por lo tanto 1000 α euros en el segundo. Se pide calcular la esperanza y la varianza del beneficio en función de α. Qué valor de α hace mínima la varianza? 45. Un jugador tramposo utiliza una moneda cargada tal que la probabilidad de que salga cara es el triple de la que salga cruz. Sea X la variable aleatoria que nos da el número de cruces en tres lanzamientos consecutivos de la moneda. a) Hallar la distribución de probabilidad y la función de distribución (acumulada) de la variable X. b) Hallar el valor medio y la varianza del número de cruces. c) Si el jugador da 6 euros por cada cara aparecida en los tres lanzamientos y recibe 4 euros por cada cruz, cuál es la esperanza matemática y la desviación tíıpica de la ganancia del jugador en este juego? 46. Una empresa de limpieza recibe 100 euros diarios por la limpieza de unas oficinas. El número de horas necesarias para la limpieza diaria varía de acuerdo con la siguiente tabla: número de horas probabilidad El coste diario de la limpieza consta de una cantidad fija de 50 euros (independiente del número de horas) más 10 euros por hora trabajada. a) Calcular el valor esperado y varianza del coste. b) Calcular la esperanza matmática y la desviación típica del beneficio diario. c) Cuál es la probabilidad de que el beneficio diario sea de 30 euros o más? 47. El encargado de un kiosco pide diariamente 20 revistas especializadas. La probabilidad de vender una revista es de 0,8. (a) Cuál es la probabilidad de que se vendan todas las revistas? 44 Sol.: α = 500 euros 0 si x < 0 27 si 0 x < Sol.: a) F (x) = si 1 x < 2 b) E(X) = , Var(X) = 9 ; c) E(G) = -10.5, d.t.(g) = si 2 x < si x 3 46 Sol.: a) E(C) =71, Var(C) = 139; b) E(B) =29, d.t.(b) = 11.79; c) 0,70.

13 13 (b) Cuál es la probabilidad de que al final del día no se hayan vendido 5 o menos? (c) Calcular el número esperado de revistas vendidas Cuál es la desviación típica? Por cada revista vendida ingresa 3 euros y por cada una no vendida tiene una pérdida de 0,5 euros en gastos de devolución. (d) Escribir los ingresos netos en función del número de revistas vendidas. (e) Calcular la esperanza y la desviación típica de los ingresos netos. 48. Una tienda vende paquetes de caramelos. El número de caramelos por paquete varía tal como indica la tabla adjunta. caramelos probabilidad a) Cuál es la probabilidad de que un paquete elegido al azar tenga 101 o más caramelos? b) Halla el número esperado de caramelos por paquete y la desviación típica. c) El coste en la elaboración de un paquete de caramelos viene dada por una cantidad fija de 2.00 euros más 0.05 euros por cada caramelo. Cada paquete de caramelos cuesta euros (independientemente del número de caramelos que contiene). Halla la media y la desviación típica del beneficio por paquete. 49. El Obispado de Mallorca está organizando viajes desde Roncesvalles hasta Santiago de Compostela con motivo del Año Santo Compostelano. La duración del viaje es de 15 a 20 dias con las siguientes probabilidades número de dias probabilidad a) Define el concepto de variable aleatoria e indica cuál es la variable aleatoria de interés para este problema. Hallar su esperanza matemática y su varianza. b) Calcular la probabilidad de que un peregrino elegido al azar tarde más de 17 dias en realizar el camino. c) El coste del viaje (para el Obispado) viene dada por una cantidad fija de 80 euros más 25 euros por dia. Cada peregrino paga 575 euros por el viaje (independientemente del número de dias). Halla el valor esperado y la desviación típica del beneficio obtenido por el Obispado. d) Dos amigos inician el trayecto el mismo dia caminando de forma independiente. Calcular la probabilidad de que ambos terminen el mismo dia. 47 Sol.: a) , b) , c) 16, 2 2, e) 30, Sol.: a) 0.31, b) E(X) = 99.8, d.t.(x) = 1.386, c) E(B) = 3.01, d.t.(b) =

14 Se lanzan tres monedas, dos de ellas están balanceadas y la tercera moneda está cargada, la probabilidad de cruz es el triple que la probabilidad de cara. Encontrar: a) El espacio muestral. Indica claramente la notación utilizada. b) Probabilidad de que salgan dos cruces. Probabilidad de que salga una cara o más. c) Qué es una variable aleatoria? Qué es la función de probabilidad de una variable aleatoria discreta? d) Consideramos la variable aleatoria X = número de caras, hallar su función de probabilidad. e) Encontrar la esperanza matemática y la varianza. 49 Sol.: b) 0.45, c) E(B) = 61.25, d.t.(b) = 32.86, d) Sol.: b) 7 16, 13 16, d) P X(0) = 3 16, P X(1) = 7 16, P X(2) = 5 16, P X(3) = 1 16, e) E(X) = 5 11, V ar(x) = 4 16

15 15 PROBLEMAS DE ESTADISTICA ECONOMICA DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD 51. Un estudiante contesta a una prueba con 20 cuestiones. Cada una de ellas admite diez respuestas posibles, de las cuales sólo dos son verdaderas. El cuestionario se cumplimenta eligiendo sólo una de las diez opciones. Cuál es la probabilidad de responder mal a las 25 preguntas? Cuál es la probabilidad de responder bien a 5? Cuál es la probabilidad de responder bien a más de 5? Cuál es el valor esperado y la varianza de las respuestas correctas? 52. Una moneda es lanzada al aire 100 veces consecutivas. Suponiendo que la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento vale 0,01. Calcular las probabilidades: a) No obtener ninguna cara. b) Obtener dos caras. c) Obtener seis o menos caras. d) Obtener más de siete caras. e) Obtener dos o más caras y menos de seis 53. Una prueba de inteligencia consta de 4 cuestiones, cada una de ellas con cinco respuestas, siendo verdadera sólo una. Por cada respuesta acertada se le suma un punto y por cada repuesta incorrecta se restan 0.5 puntos. Suponiendo que el individuo contesta al azar, calcular la función de probabilidad, de distribución, la esperanza y la varianza de la v.a. suma de la puntuaciones de las 4 preguntas. 54. Cinco personas lanzan al aire dos monedas cada una. Sea X = número de personas que obtienen al menos una cara. a) Especificar la función de probabilidad de la variable X de forma analítica y mediante una tabla. b) Calcular P (X 3). 51 Sol.: X = número de respuestas correctas, P X (0) = 0,0115, P X (5) = 0,1746, P (X > 5) = 0,1958, E(X) = 4, V ar(x) = 3,2 52 Sol.: a) , b) , c) , d) , e) Aproximando por una P(1), a) , b) , c) , d) aproximadamente cero, e) ,4096 si y = 2 0,4096 si y = 0,5 53 0,1536 si y = 1 Sol.: Sea Y = puntuación, P Y (y) =, 0,0256 si y = 2,5 0,0016 si y = 4 0 en el resto de casos 0 si y < 2 0,4096 si 2 y < 0,5 0,8192 si 0,5 y < 1 F Y (y) =, E(Y ) = 0,8, V ar(y ) = 1,44 0,9728 si 1 y < 2,5 0,9984 si 2,5 y < 4 1 si 4 y

16 Un conjunto de n bolas numeradas de 1 a n se introducen en N cajas. Hallar la probabilidad de que en la primera caja se hayan introducido k de las n bolas. 56. Por una larga experiencia se ha estimado que el promedio de errores tipográficos al componer un libro es de 2 por cada 20 páginas. a) Hallar la probabilidad de que en un libro de 100 páginas existan a lo sumo 10 erratas. b) Hallar la probabilidad de que en un libro de 50 páginas existan más de 15 erratas. c) Hallar la probabilidad de que el número de erratas de una publicación de 10 páginas sea mayor o igual que 2 y menor o igual que En promedio llegan 2.4 clientes por minuto al mostrador de una compañía aérea durante el período de máxima actividad. Asumir que el número de llegadas es Poisson. a) Cuál es la probabilidad de que no llegue nadie en un minuto? b) Cuál es la probabilidad de que se produzcan más de tres llegadas en un minuto? 58. Consideremos una v.a. X que sigue una distribución U(0, 100). Calcular: a) Sus funciones de densidad y de distribución y sus gráficas. b) P (2 < X 3), P (X < 3X), P (X + 1 < 3), P (X 2 < 50). 59. Consideremos una v.a. X que sigue una distribución U( 5, 5). Calcular: a) Sus funciones de densidad y de distribución y sus gráficas. b) P (2 < X 3), P (X < 3X), P (X + 1 < 3), P (X 2 < 5). 60. Dibujar y hallar el área encerrada bajo la curva normal estándar en cada uno de los casos siguientes: 54 Sol.: a) P X (x) = ( 5 ( 3 ) x ( 1 ) (5 x) x) 4 4 si x = 0, 1, 2, 3, 4, 5 y cero en el resto de casos, b) P (X 3) = 0, n! (N 1) Sol.: n k k!(n k)! N n 56 Sol.: a) , b) , c) Sol.: a) , b) en el resto de casos, F X(x) = { 1 58 si 0 < x < 100 Sol.: a) f X (x) = si x 0 x si 0 < x < si x 100 b) P (2 < X 3) = 1 1, P (X < 3X) = 1, P (X + 1 < 3) = , P (X2 < 50) = { 1 0 si x 5 59 si 5 < x < 5 Sol.: a) f X (x) = 10 0 en el resto de casos, F x+5 X(x) = si 5 < x < 5, 10 1 si x 5 b) P (2 < X 3) = 1 10, P (X < 3X) = 1 7, P (X + 1 < 3) = 2 10, P (X2 < 5) = 5 5

17 17 a) Entre z = 0 y z = 1,2. b) Entre z = 0,68 y z = 0. c) Entre z = 0,46 y z = 2,21. d) Entre z = 0,81 y z = 1,94. e) A la izquierda de z = 0,6. f) A la derecha de z = 1,28. g) A la derecha de z = 2,05 o a la izquierda de z = 1,44. h) El valor z tal que el área a su izquierda es 0,4960. i) El valor z tal que el área a su derecha es 0,9678. j) El valor z > 0 tal que el área comprendida entre z y z es 0, Dada una distribución normal con µ = 30 y σ = 6, encontrar: a) El área de la curva normal a la derecha de x = 17. b) El área de la curva normal a la izquierda de x = 22. c) El área de la curva normal entre x = 32 y x = 41. d) El valor de x que tiene el % del área de la curva normal a la izquierda. e) El valor δ tal que P (µ δ X µ + δ) = 0, Dada la v.a. X distribuida normalmente con media 18 y desviación típica 2.5, encontrar: a) P (X 15). b) El valor de k tal que P (X < k) = 0,2236. c) El valor de k tal que P (X > k) = 0,1814. d) P (17 < X < 21). 63. Cuantiles: Dada una v.a. continua X, llamaremos cuantil de orden q (0 q 1) a cualquier valor, x q R tal que P (X x q ) = q 60 Sol.: a) , b) , c) , d) , e) , f) , g) , h) -0.01, i) -1.85, j) Sol.: a) , b) , c) , d) 35.1, e) δ = 6,9 62 Sol.: a) , b) 16.1, c) , d)

18 18 Sea X una v.a. tal que X U(0, 100). Calcular sus cuantiles 0,25, 0,5, 0,75. Dar una fórmula general para el cuantil q de una v.a. X U(a, b). 64. A los cuantiles 0,25, 0,5 y 0,75 se les denomina primer, segundo, y tercer cuartil respectivamente. Al cuantil 0,5 también se le denomina mediana. Los percentiles son los cuantiles formados por centésimas partes de la unidad. a) Calcular el primer cuartil, el tercel cuartil y la mediana para una v.a. X N (0, 1). b) Calcular el percentil 0,25 y el percentil 0,96 para una v.a. Y con distribución normal de media 1 y varianza Un ejecutivo de televisión está estudiando propuestas para nuevas series. A su juicio, la probabilidad de que una serie tenga audiencia mayor que 17,35 es 0,25; además la probabilidad de que la serie tenga audiencia mayor que 19,2 es 0,15. Si la incertidumbre de este ejecutivo puede representarse mediante una v.a. normal, cuál es la media y la desviación típica de esta distribución? 66. Supongamos que el número de horas que un auxiliar administrativo necesita para aprender el nuevo programa de facturación es una v.a. X con distribución normal. Si el % de los auxiliares emplean más de tres horas y sólo el % más de nueve, cuánto valen µ X y σ 2 X? 67. Si X es una v.a. con distribución normal estándar y se define Y = 2X 1, calcular la probabilidad de que Y no se aparte de su media más de una desviación típica. 68. Si un conjunto de calificaciones de un examen de estadística se aproxima a la distribución normal con media 74 y desviación típica 7.9, encontrar: a) La calificación más baja de apto si el 10 % de los estudiantes de nota más baja se les declararon no aptos. b) El notable de puntuación más alta si el 5 % de los estudiantes tiene un sobresaliente. c) El notable más bajo si al 5 % de los estudiantes se les dió sobresaliente y al siguiente 25 % se le dió notable. 69. Un cierto test de diagnóstico es un indicador de los problemas sólo si un individuo se encuentra en el décimo percentil. Si la puntuación media del test es 150 y la desviación típica 30, asumiendo que la distribución es normal, a partir de que nota un individuo tendrá problemas? 63 Sol.: x 0,25 = 25, x 0,5 = 50, x 0,75 = 75, x q = (b a)q + a con 0 q 1 64 Sol.: a) x 0,25 = 0,67, x 0,75 = 0,67, x 0,5 = 0, b) y 0,25 = 0,34, y 0,96 = 4,6 65 Sol.: µ = 14, σ = 5 66 Sol.: µ X = 6,4483, σx 2 = 11, Sol.: Sol.: a) , b) , c) Sol.: 111.6

19 La vida promedio de un cierto tipo de motor pequeño es de 10 años con una desviación típica de 2 años. El fabricante repone sin cargo todos los motores que fallen dentro del periodo de garantía. Si está dispuesto a reponer sólo el 3 % de los motores que fallan, cuál debe ser la duración de la garantía que otorgue? (Suponer que las vidas de los motores siguen una distribución normal.) 71. La compra media que realiza un cliente en un determinado comercio, es de 82 euros, siendo la desviación estándar 5 euros. Todos los clientes que compran entre 88 y 94 euros son clientes clasificados como preferentes. Si las compras están distribuidas aproximadamente como una normal y 8 clientes son preferentes, cuántos clientes tiene este comercio? 72. Consideremos la siguiente función de distribución de una cierta v.a. X: 0 si x < 0 x F X (x) = 100 si 0 x si x > 100 a) Justificar qué tipo de distribución conocida es. b) Calcular su función de densidad. c) Calcular su esperanza y su varianza. d) Calcular el cuantil p (0 < p < 1) de una variable que tenga por función de distribución F. 73. La empresa de Don Gabriel se dedica a la fabricación de repuestos para maquinaria de grandes obras. Entre las piezas que fabrica están los repuestos de cabezas de taladradoras, que deben tener un diámetro aproximado de 10 cm. El diámetro de las cabezas producidas sigue aproximadamente una distribución normal con media 10 cm y desviación típica 0.4. a) Calcular un intervalo centrado en la media que contenga al 90 % de las piezas fabricadas. b) Qué porcentaje de piezas se tendrán que desechar si el error máximo admisible es de ±1 cm? c) Cuál es la probabilidad de fabricar una pieza de más de 15 cm de diámetro? d) Por encima de qué tamaño se encuentra el 20 % de la producción? 74. En cierta fabricación mecánica el 96 % de las piezas resultan con longitudes admisibles (dentro de las toleradas), un 3 % defectuosas cortas y un 1 % defectuosas largas. Calcular la probabilidad de: 70 Sol.: Sol.: Sol.: a) Es una distribución uniforme sobre el intervalo (0,100), b) f X (X) = { 1 si 0 < x < en el resto de casos, c) E(X) = 50, V ar(x) = , d) x p = 100p con 0 p 1 73 Sol.: a) (9.344, ), b) 1.24 %, c) prácticamente nula, d)10.336

20 20 a) En un lote de 250 piezas sean admisibles 242 o más. b) En un lote de 500 sean cortas 10 o menos. c) En 1000 piezas haya entre 6 y 12 largas. 75. Una organización de investigación de mercados ha encontrado que el 40 % de los clientes de un supermercado no quieren contestar cuando son encuestados. Si se pregunta a 1000 clientes, cuál es la probabilidad de que menos de 500 de ellos se nieguen a contestar? 76. Un servicio de grúa de auxilio en carretera recibe diariamente una media de 70 llamadas. Para un día cualquiera, cuál es la probabilidad de que se reciban menos de 50 llamadas? 77. Debido a su dilatada experiencia, la Compañía de Seguros de Vida SEVISA ha determinado que 1 de cada 1500 trabajadores fallecen anualmente por accidente laboral. La Compañía SEVISA tiene hechos seguros de vida de este tipo en toda la nación. a) Calcular la probabilidad de que en un año fallezcan por accidente laboral: i) 7 personas o menos; ii) entre 10 y 17 (ambos inclusive) personas; iii) más de 20. b) El seguro de vida estipula que a los familiares de las víctimas se les tiene que abonar 6000 euros por cada póliza. Cuál es la probabilidad de que la Compañía SEVISA tenga que pagar en un año por lo menos euros en concepto de primas? 78. Un pequeño hotel rural dispone de 10 habitaciones. El departamento de reservas hace 12 reservas al día porque sabe que la probabilidad de que cada una de ellas falle es del 25 %. Las reservas se realizan de forma independiente. a) Hallar la probabilidad de que en un día elegido al azar no tenga suficientes habitaciones para atender todas las reservas. (Indica claramente la variable que utilizas y el tipo de distribución que sigue la variable.) b) Hallar la probabilidad de que en un día elegido al azar no llene todas las habitaciones. c) Hallar la probabilidad de que en un fin de semana largo (3 dias) no le falten habitaciones ningún dia. 79. Un fabricante utiliza un sistema automático para llenar cajas de detergente, garantizando 5 kg por caja. Debido a las fluctuaciones aleatorias del mecanismo utilizado, el peso de las cajas es una variable aleatoria con distribución normal. Sabiendo que la probabilidad de que haya más de 4.5 kg de detergente en la caja es y la probabilidad de que haya más de 7 kg de detergente en la caja es , 74 Sol.: Aproximando por el T.C.L. a) , b) , c) Sol.: Aproximando por el T.C.L. prácticamente es 1 76 Sol.: Aproximadamente Sol.: a) i) ; ii) ; iii) : b) Sol.: a) , b) , c)