2. EL TENSOR DE TENSIONES. Supongamos un cuerpo sometido a fuerzas externas en equilibrio y un punto P en su interior.

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1 . EL TENSOR DE TENSIONES Como se explcó prevamente, el estado tensonal en un punto nteror de un cuerpo queda defndo por 9 componentes, correspondentes a componentes por cada una de las tensones nternas (vectorales) que resultan al cortar el cuerpo por planos paralelos, sucesvamente, a los planos coordenados. Luego se verá que las componentes dferentes son sólo 6, pues el tensor debe ser smétrco para que se cumplan las ecuacones de equlbro de fuerzas.. Tensones nternas, hpótess de Euler-Cauchy Supongamos un cuerpo sometdo a fuerzas externas en equlbro y un punto P en su nteror. S se corta este cuerpo por un plano de normal nˆ que pase por el punto P, se puede aslar uno de los trozos resultantes, como se muestra en la fgura (.). Para que se mantenga el equlbro de este cuerpo, deben agregarse fuerzas externas sobre la superfce plana de la seccón. DM DF F Α P n F Fgura. Tensón en un Punto Consderemos ahora las fuerzas resultantes sobre una pequeña superfce de esta seccón, que contenga el punto P y cuya área sea A. Estas fuerzas, reducdas al punto P, valen F, y el momento resultante correspondente, M. La hpótess de Euler Cauchy establece que F lm A A M lm A A ( tensón en el punto para el plano de dreccón ˆ ) (.) (.)

2 Fuerzas Volumétrcas Suponendo que exsten fuerzas externas que actúan en el nteror del cuerpo (fuerzas de gravedad por ejemplo), la resultante de estas fuerzas para un pequeño volumen que contengan el punto P, V, y el correspondente momento, reducdos al punto P, satsfacen la condcón. F lm V V f ( fuerza volumétrca por undad de volumen) (.) M lm V V (.4). Componente normal y tangencal de la tensón La fgura. muestra un cuerpo en equlbro que ha sdo secconado por un plano de normal untara n que contene un punto P nteror del cuerpo. Consderando el plano formado por el vector normal y el vector de tensón en el punto,, éste ntercepta al plano según una línea perpendcular a, denomnada tangente. Es común descomponer la tensón s n, en dos componentes, una según la normal y otra según esta últma dreccón, t, que se denomna tangente. s n F t P n F Fgura. Componentes normal y tangencal de tensón Las componentes de este sstema de referenca están dadas por: s nˆ tˆ (.5) t

3 donde: componente normal t componente tangencal.. Componentes cartesanas de tensones Consderemos un punto P(x ) en el nteror de un cuerpo en equlbro. Por dcho punto se pueden pasar planos paralelos a los planos coordenados (cuyas normales serán los vectores untaros,,, respectvamente). Por un punto Q(x dx ), cercano a P, se pueden pasar otros planos, tambén paralelos a los planos coordenados. La nterseccón de estos 6 planos forman un paralelepípedo recto, como se muestra en la fgura.. s dx dx s dx dx Q dx P dx dx s dx dx s j j Fgura. Componentes vectorales de tensones En cada cara del paralelepípedo habrá una tensón, que se puede denomnar de acuerdo al número del vector normal a la cara. Así, la cara cuya normal es el vector tendrá una tensón s. A su vez, este vector puede expresarse según las componentes en el sstema cartesano como: s (.6) j ) j Las componentes j forman un tensor, como se demostrará luego. El prmer índce señala el plano sobre el cual actúa la tensón y el segundo la dreccón de la componente.

4 En la fgura.4 se muestran las componentes de tensones en caras postvas. Evdentemente, en las caras negatvas las componentes de tensones tenen las dreccones opuestas. Fgura.4 Convencón de sgnos para las componentes de tensones.4 Tensón en una dreccón cualquera en funcón de sj En un punto nteror de un cuerpo en equlbro exste un estado tensonal defndo por las componentes del tensor de tensones j. Estas componentes son sufcentes, como se verá a contnuacón, para defnr por completo el estado tensonal en el punto, pues la tensón en un plano cualquera de normal puede obtenerse en funcón de ellas. En efecto, consderemos el equlbro del tetraedro PABC de la fgura.5, formado por tres planos paralelos a los planos coordenados que contenen al punto P y un plano oblcuo, de normal, lgeramente desplazado respecto del punto P. f dx dx dx 6 s n C s n - dx dx dx Fgura.5 Tensón en la dreccón n - s dx dx A dx dx P - s B dx dx 4

5 Como el tetraedro está en equlbro ante las fuerzas externas, la suma total de fuerzas debe ser nula, es decr: dx dx dxdx dx dx dxdxdx s s s s da f (.7) n 6 Cuando dx, dx y dx tenden a, el térmno con la fuerza de volumen f desaparece. Además, s la expresón (.7) se dvde por da y se toma en cuenta que la proyeccón del área del trángulo ABC sobre uno de los planos coordenados, el plano de normal por ejemplo, vale: se obtene dx dx da n da (.8) s s s s (.9) es decr: o ben, es componentes s s (.) (.) La relacón (.) muestra que las 9 componentes de tensones respecto al sstema coordenado son sufcentes para obtener las tensones en cualquer dreccón. Luego se verá que el tensor j es smétrco, de manera que el número de componentes ndependentes es sólo 6..5 Ecuacones de Equlbro Las componentes de tensones en un punto de un cuerpo no son ndependentes entre s, pues deben satsfacerse las condcones de equlbro en cualquer pedazo del cuerpo. Infntesmalmente ello se traduce en ecuacones dferencales de equlbro. Se dce entonces que las componentes de tensones deben ser estátcamente admsbles, es decr, satsfacer las ecuacones dferencales de equlbro. Consderemos un paralelepípedo nfntesmal, como se apreca en la fgura,.6, cuyas cara sean paralelas a los planos coordenados. 5

6 fdxdxdx (ss,dx)dxdx sdxdx C P Q dx dx dx Fgura.6 Formulacón de las ecuacones de equlbro Como el cuerpo es muy pequeño, se puede suponer que las tensones sobre cada una de sus caras y la fuerza externa por undad de volumen son unformes dentro de él, de manera que sus resultantes están aplcadas en el centro de gravedad de, ya sea, cada cara o el volumen. Consderando, por smplcdad, sólo las fuerzas sobre las caras tpo, se obtene como resultante: s dx dx s dxdx s, dxdxdx s, dxdxdx (.) Luego, s se consdera los tres tpos de caras del cuerpo, el resultado es: s dxdx dx (.), La ecuacón de equlbro de fuerzas sobre el paralelepípedo, ncluyendo las fuerzas volumétrcas, será en consecuenca: o ben s, dx dx dx fdxdxdx (.4) En componentes: s f (.5), f j, j (.6) Las relacones (.6) son las ecuacones de equlbro de fuerzas, pero tambén debe satsfacerse las ecuacones de equlbro de momentos. Para ello consderemos el momento de todas las fuerzas externas con respecto al centro de gravedad del cuerpo, C. Como la resultante de las fuerzas de volumen pasa por el punto, ella no contrbuye a esta relacón. 6

7 Para las fuerzas en las caras tpo, se tene: dx dx ( s dx dx ) dx dx dx s s (.7) Cuando las arstas del paralelepípedo tenden a cero, el térmno que contene a s, desaparece y la expresón anteror se transforma en:, s dxdxdx (.8) Consderando los tpos de caras y dvdendo por dx dx dx, se obtene: es decr: e δ (.9) j j e j j (.) Esta últma expresón es equvalente a: (.) j j es decr, el tensor de tensones es smétrco..6 Las componentes de tensón forman un tensor Se ha menconado anterormente al tensor de tensones sn demostrar que realmente sus componentes cumplen la ley de transformacón de un tensor. Para demostrarlo consderemos la expresón (.), que da las componentes de la tensón para una dreccón cualquera, en funcón de las componentes de tensones, es decr, s s. ' a ' Fgura.7 El tensor de tensones es un tensor 7

8 S el vector es reemplazado por el vector a, que es un vector untaro en la dreccón del nuevo eje, se obtene la tensón correspondente a esa nueva dreccón s ' a s Las componentes de este vector están referdas al sstema prmtvo, de manera que para obtener las componentes referdas al nuevo sstema se debe hacer la transformacón de coordenadas correspondente, con lo que se obtene ' a a j jl l (.) La expresón (.) corresponde a la ley de transformacón de un tensor, lo cual demuestra que las componentes de tensones forman un tensor..7 Elpsode de Lamé Lamé propuso una nteresante forma de representacón gráfca del tensor de tensones a través de un elpsode. Supongamos que los ejes del sstema coordenado se elgen de manera tal que concdan con las dreccones prncpales del tensor de tensones del punto que se quere estudar. Entonces el tensor tene forma canónca, con las tensones prncpales en la dagonal ( ) y elementos nulos fuera de ésta. S se desea conocer el vector de tensón para un plano de dreccón cualquera de normal, aplcando la relacón (.) se obtene: ( sn suma sobre ) (.) Además, se tene que (vector untaro) (.4) De la relacón (.) se puede obtener y reemplazar en (.4), con lo cual resulta: (.5) La relacón (.5) representa la ecuacón de un elpsode en el espaco (,, ) cuyos sem-dámetros tenen los valores,,. Además, s A, A, A son las áreas de las elpses prncpales y V es el volumen del elpsode, las nvarantes prncpales valen: 8

9 I ( A A A ) π I V 4π I suma de los sem dámetros (.6) (.7) (.8) s Fgura.8 Elpsode de Lamé.8 Tensones tangencales máxmas Dado un estado tensonal en un punto de un cuerpo en qué dreccones se producen las máxmas componentes tangencales de tensones y cuanto valen éstas?. S se hacen concdr los ejes coordenados con las dreccones prncpales de tensones en el punto, la tensón en una dreccón cualquera es: (.9) cuya proyeccón sobre la normal al plano vale (.) s n t t Fgura.9 Tensones tangencales 9

10 Usando el teorema de Ptágoras se puede obtener el cuadrado de la componente tangencal en térmnos de y. s t (.) pero s luego L L L L L L L 4 t (.) como - (.) se tene que ( ) L - t (.4) o ben ( ) t, en que cuando (.5) Los valores extremos de t concdrán con los de t, de manera que el problema que debe resolverse es: Determnar tal que ( ) t (.6) sea máxmo o mínmo, con la condcón

11 Este problema, de máxmo o mínmo condconado, se puede transformar en un problema de máxmo o mínmo sn condcones usando el concepto de los multplcadores de Lagrange, de la sguente forma: Determnar y λ de manera que: ( ) ( ) ( ) ( ), t F λ λ λ (.7) sea máxmo o mínmo La solucón está dada por : λ F F (.8) Resulta así el sguente sstema de ecuacones no lneales cuyas solucones resuelven el problema planteado: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λ (.9) Las solucones, que son 8, se encuentran en la Tabla.. Las 6 prmeras solucones corresponden a las dreccones prncpales, en las cuales las tensones tangencales son nulas. Las últmas solucones son las que nteresan; ellas corresponden a planos que contenen una dreccón prncpal y forman ángulos de 45º con las otras dos dreccones prncpales. Además, los valores extremos son guales a la mtad de la dferenca de los valores prncpales, es decr, de las tensones normales máxmas o mínmas correspondentes al estado tensonal. Es nteresante comparar estos resultados con el caso plano, en el cual la transformacón se puede representar medante el círculo de Mohr (..4). En ese caso el valor máxmo de la

12 λ t ± ± ± } 6 solucones ( ) - ( ) - ( ) } solucones Tabla. Solucones para las tensones de corte máxmas tensón tangencal es el rado del círculo, vale decr, ( ) -, y el correspondente valor de la componente normal es la coordenada del centro del círculo, ( ). Además, los puntos de máxma tensón tangencal se encuentran a 9º del eje de las abscsas, lo que corresponde a 45º de las dreccones prncpales..9. Dagrama de Mohr en dmensones Es posble, tambén, obtener un dagrama smlar al círculo de Mohr para las tensones en dmensones. En este caso se obtenen círculos los cuales fjan las fronteras del espaco de valores posbles. Como se ha vsto, en coordenadas prncpales se tene r t (.4) De este sstema de ecuacones se puede despejar,, en funcón de y vt,,. Se obtene:

13 ( - )( - ) ( - )( - ) t (.4) Supongamos que las tensones prncpales se ordenan de tal manera que > >. Entonces la expresón (.4) se puede nterpretar de la sguente manera: - Para, el denomnador es postvo, lo cual sgnfca que el numerador tambén es postvo, pues es, obvamente, postvo. Entonces los puntos del espaco posble en el sstema coordenado (, t ) son aquéllos que están fuera del círculo de ecuacón: t ( - )( - ) (.4) - Con déntco razonamento, consderando, e respectvamente, los puntos posbles deben estar dentro del círculo de ecuacón (.4) y fuera del círculo de ecuacón (.44): t ( )( ) - - (.4) ( - )( - ) t La stuacón anteror se ha representado en la fgura.. (.44) t Fgura. Círculos de Mohr en dmensones

14 . Tensones de desvacón Se defne el sguente tensor de desvacón: d j - δ (.45) j j con: / tensón meda Es decr, la tensón j se ha dvddo en dos térmnos, una componente esférca o hdrostátca, δ j, y una componente de desvacón respecto a la stuacón hdrostátca, d. j El tensor de desvacón es mportante en la teoría de plastcdad. Tene la partculardad de que su prmera nvarante es sempre nula (tensón normal meda ). Además, es fácl demostrar que su segunda y tercera nvarantes, en térmnos de las nvarantes de j y de o, están dadas por: I d I - (.46) I d I I (.47) 4

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