Práctica 4 Métodos de resolución numérica de ecuaciones

Transcripción

1 practica6.nb 1 Práctica 4 Métodos de resolución numérica de ecuaciones El objetivo de esta práctica es resolver una ecuación del tipo f(x)=0 aplicando un método numérico. Cuando queramos emplear algún método numérico para aproximar una posible raíz de una ecuación, lo primero que tenemos que estudiar es si dicha ecuación puede tener soluciones reales y comprobar que se dan las condiciones necesarias para poder aplicar el método correspondiente. Siempre será muy interesante expresar la ecuación de la forma f(x) = 0 y representar gráficamente la función f(x) en un intervalo apropiado. De esta manera, la ecuación tendrá una interpretación geométrica clara, y nos guiará en la búsqueda de los puntos de corte de la gráfica de dicha función con el eje OX. Los métodos que vamos a estudiar generan una sucesión {x n }, nœn, de valores aproximados de la solución. El método se dice que es convergente si se cumple lim nø x n = s, donde s es la solución de la ecuación f(x) = 0. El error cometido en la n-sima aproximación viene dado por e n =» x n - s». En algunos métodos numéricos (bisección y punto fijo) se dispone de una cota del error de aproximación. Si no se dispone de una cota del error de aproximación puede tomarse la cantidad e n =»x n - x n-1».»x n» Existencia de solución (Teorema de Bolzano) Si f es una función continua en [a, b] y f(a) f(b) < 0, entonces existe al menos un s œ (a, b) tal que f(s) = 0. Unicidad de solución (Corolario del Teorema de Rolle) Si f' '(x) 0 para todo x œ (a,b), entonces f se anula a lo sumo una vez en el intervalo [a,b] 1. Método de la Bisección. Sea f:aør una función continua en A y supongamos que hemos localizado un intervalo [a,b] en el que tiene una única raiz. El método de bisección genera una sucesión de intervalos encajados y en cada iteración la aproximación x n de la raiz de f(x) = 0 es el punto medio del intervalo, y viene dada por x n = a n + b n. Una cota del error cometido en la n-sima iteración viene dada por e n =»x n - s b - a n+1 Ejemplo 1.1 Aplicar el método de bisección con 10 iteraciones para obtener una solución aproximada de la ecuación x - sen x - 1 = 0 y dar una cota del error cometido. à Definimos la función f@x_d := x Sin@xD 1

2 practica6.nb Buscamos un intervalo donde haya alternancia de signo 1 êê N Luego existe solución en el intervalo [0,1]. à Unicidad de la solución f'@xd Cos@xD Al ser la derivada distinta de cero para todo x œ R, la solución es única. à Aplicamos el algoritmo de la bisección a 0 = 0; b 0 = 1; niter = 10; ForBn = 0, n niter, n++, x n = a n + b n ; If@f@x n D 0, Print@"Solución exacta", x n D; Break@DD; If@f@x n D f@a n D < 0, a n+1 = a n ; b n+1 = x n, a n+1 = x n ; b n+1 = b n DF; PrintB"Solución aproximada = ", N@x niter, 10D, " con error menor que ", NB b 0 a 0, FF niter+1 Solución aproximada = con error menor que Podemos presentar los resultados de todas las iteraciones de la siguiente forma (activando previamente en el menú CellØDefault Output Format TypeØTraditionalForm):

3 practica6.nb 3 a 0 = 0; b 0 = 1; A = Array@B, 81, 7<, 80, 0<D; B@0, 0D = "n"; B@0, 1D = "a n "; B@0, D = "b n "; B@0, 3D = "x n "; B@0, 4D = "fha n L"; B@0, 5D = "fhb n L"; B@0, 6D = "fhx n L"; ForBn = 0, n 10, n++, x n = a n + b n ; B@n + 1, 0D = n; B@n + 1, 1D = N@a n, 10D; B@n + 1, D = N@b n, 10D; B@n + 1, 3D = N@x n, 17D; B@n + 1, 4D = N@f@a n DD; B@n + 1, 5D = N@f@b n DD; B@n + 1, 6D = N@f@x n DD; If@f@x n D f@a n D < 0, a n+1 = a n ; b n+1 = x n, a n+1 = x n ; b n+1 = b n DF; A Print@"Solución aproximada = ", N@x 10, 0DD; Print@"Error ", N@Hb 0 a 0 Lê^11DD 88n, a n, b n, x n, fha n L, fhb n L, fhx n L<, 80, 0, , , 1., , <, 81, , , , , , <, 8, , , , , , <, 83, , , , , , <, 84, , , , , , <, 85, , , , , , <, 86, , , , , , <, 87, , , , , , <, 88, , , , , , <, 89, , , , , , <, 810, , , , , , << Solución aproximada = Error Ejemplo 1. Aplicar el método de bisección para obtener una solución aproximada de la ecuación 1+ cos x - x = 0 con una precisión de 5 cifras decimales exactas. En primer lugar observemos que si x es una solución de la ecuación x = 1 - cos x, x œ [0, ], es decir fuera del intervalo no hay soluciones de la ecuación.

4 practica6.nb 4 Definimos la función f@x_d := 1 + x à Buscamos un intervalo donde haya alternancia de signo f@0d f@d êê N Luego existe solución en el intervalo [0,]. à Unicidad de la solución f'@xd 1 Sin@xD Al ser la derivada distinta de cero para todo x œ [0,], la solución es única en dicho intervalo y, por tanto, en todo R (por la observación anterior). Plot@8f'@xD, 0<, 8x, 0, <D

5 practica6.nb 5 Aplicamos el algoritmo de la bisección: como en este caso no conocemos el número de iteraciones que hemos de realizar, por lo que utilizaremos una instrucción que nos permita interrumpir el algoritmo cuando hayamos alcanzado la precisión deseada. Si el número de cifras decimales exactas que queremos conseguir es ncifras, entonces el error debe ser menor que 1 10 ncifras. a 0 = 0; b 0 = ; ncifras = 5; ε = 1 10 ncifras ; n = 0; WhileBTrue, x n = a n + b n ; IfB b 0 a 0 n+1 < ε, Print@" Solución aproximada ", N@x n, 10D, " con una precisión de ", ncifras, " decimales." "Se han necesitado ", n, " iteraciones"d; Break@DF; If@f@x n D 0, Print@" Solución exacta ", x n D; Break@DD; If@f@x n D f@a n D < 0, a n+1 = a n ; b n+1 = x n, a n+1 = x n ; b n+1 = b n D; n = n + 1F; Solución aproximada con una precisión de 5 decimales. Se han necesitado 18 iteraciones. Método de la cuerda o Regula-Falsi Este método sigue el mismo esquema que el método de la bisección salvo que en cada iteración la aproximación x n viene dada por x n = a n + f(a n ) b n - a n fhb n L - fha n L En este método no disponemos de una cota del error cometido en la n-sima iteración, por lo que para estimarlo utilizaremos el valor e n =»x n-x n-1».»x n» Ejemplo.1 Aplicar el método de la cuerda con 5 iteraciones para resolver la ecuación x - sen x -1 = 0. Dar una cota del error cometido. à Definimos la función f@x_d := x Sin@xD 1

6 practica6.nb 6 Buscamos un intervalo donde haya alternancia de signo (se ha visto en ejemplo 1.) f@0d 1 f@1d êê N Presentamos los resultados de todas las iteraciones: a 0 = 0; b 0 = 1; niter = 5; ForBn = 0, n niter, n++, b n a n x n = a n f@a n D f@b n D f@a n D ; If@f@x n D 0, Print@"Solución exacta", x n D; Break@DD; If@f@x n D f@a n D < 0, a n+1 = a n ; b n+1 = x n, a n+1 = x n ; b n+1 = b n DF; PrintB"Solución aproximada = ", N@x niter, 10D, " con error menor que ", NBAbsB x niter x niter 1 F, FF x niter Solución aproximada = con error menor que Método del Punto Fijo Un punto fijo de una función F es un valor x tal que F(x) = x. El problema de encontrar las soluciones de una ecuación f(x)=0 y el de encontrar los puntos fijos de una función F(x) son equivalentes en el siguiente sentido: Definiendo F(x)=x-f(x), o F(x) = x + f(x), un punto fijo de F será una raíz de f, o, al contrario, una raíz de f será un punto fijo de F. Condiciones de convergencia del método de punto fijo. Las condiciones suficientes para la existencia de punto fijo de F:[a,b]ØR son las siguientes: i) FœC bd ii) F(x)œ[a,b], "xœ[a,b] iii)»f' (x)» k<1, "xœ[a,b] en cuyo caso existe una única solución de la ecuación F(x) = x en [a,b]. Además, la sucesión {x n }dada por x n+1 = F(x n ), n = 0,1,... converge a dicha solución, siendo x 0 un punto arbitrario del intervalo [a,b]. Acotación del error: en la n-sima iteración viene dado por: e n = x n - s Kn 1-K» x 1 - x 0»

7 practica6.nb 7 Ejemplo 3.1 Aplicar el método de punto fijo para resolver la ecuación x - sen x - 1 = 0 con 0 iteraciones. Dar una cota del error cometido. En ejemplos anteriores hamos probado que la ecuación tiene solución única en el intervalo [0, 1]. Hacemos FHxL = 1 H1 + senhxll Definimos la función F(x) Φ@x_D := 1 H1 + Sin@xDL Comprobamos si se cumplen las condiciones suficientes de convergencia: i) La función FœC 1D Φ'[x] Cos@xD ii) F(x)œ[0,1], "xœ[0,1] Podemos comprobarlo representando la gráfica de la función en el intervalo [0,1] y viendo que su imagen queda dentro del intervalo [0,1]. Plot[{Φ[x],0,1},{x,0,1}]

8 practica6.nb 8 iii)»f' (x)» k<1, "xœ[0,1] Representamos la gráfica de»f'(x)» en el intervalo [0,1] y tomamos como K el valor máximo en dicho intervalo (existe por el teorema de Weierstrass) Plot[{Abs[Φ'[x]],0,1},{x,0,1}] Luego podemos tomar K=1/. Como se cumplen las tres condiciones, la sucesión dada por x n+1 =F(x n ), n 0, converge a la solución de la ecuación partiendo de cualquier punto x 0 del intervalo [0,1]. Aplicamos el método con 0 iteraciones: K = 1 ; x 0 = 1; For@n = 0, n 19, n++, x n+1 = Φ@x n DD; Print@"Solución aproximada = ", N@x 0, 10DD; PrintB"Error de aproximación = ", NB Kn 1 K Abs@x 1 x 0 D, FF Solución aproximada = Error de aproximación =

9 practica6.nb 9 ü Instrucción FixedPoint Mathematica dispone de la instrucción FixedPoint que implementa directamente este método de aproximación al punto fijo de una función, el formato básico es FixedPoint[función iteradora, valor inicial] Si utilizamos la instrución FixedPoint se implementa directamente este método de aproximación al punto fijo de la función F. FixedPoint@Φ, 1., 0D Método de Newton-Raphson (o de las tangentes). El método de Newton-Rapshon parte de un valor inicial x 0 y también ahora se construye iterativamente una sucesión de valores x k. Para ello utiliza las rectas tangentes a la gráfica de la función en los puntos (x k, fhx k )) calculando el punto de corte de éstas con el eje OX, de esta forma se aproxima la raíz buscada. Para que este método funcione correctamente será necesario que la derivada de la función no esté próxima a cero, al menos en cierto entorno de la raíz, ya que de lo contrario se podría producir una división entre cero o bien la creación de enormes errores de redondeo al dividir entre cantidades muy pequeñas. Las condiciones suficientes para la convergencia del método de Newton-Raphson son las siguientes: Sea f:[a,b]ør fœc [a,b]. Si se cumple: i) f(a) f(b) <0 ii) f' (x) 0, "xœ[a,b] iii) f''(x) no cambia de signo en todo el intervalo, entonces, si partimos de cualquier punto inicial x 0 œ[a,b] con la condición de que f(x 0 ) f'' (x 0 ) > 0, la sucesión {x n }dada por converge a la solución de la ecuación f(x) = 0. x n+1 = x n - fhx nl, n = 0, 1,... f ' Hx n L Acotación del error: No se dispone de cota del error cometido en la n-sima iteración, por lo que utilizamos el valor e n =»x n-x n-1».»x n» Ejemplo 4.1 Aplicar el método de Newton-Raphson para resolver la ecuación x x - 10 = 0 con 5 iteraciones y estimar el error cometido. Definimos la función

10 practica6.nb 10 f[x_]:=x^3 + 4 x - 10 Buscamos un intervalo donde se cumplan las hipótesis del teorema de convergencia: Se cumple i) pues f(1) f() < 0. f[1] 5 f[] 6 Se cumple ii) pues f'(x) 0 para todo xœ[1,] f'[x] x Y se cumple iii) pues f''(x)>0 en [1,]. para generar la sucesión tomamos un valor inicial x 0 œ[1,] tal que f(x 0 L f '' Hx 0 ) > 0. Generalmente se suele tomar uno de los extremos del intervalo. f[1] f''[1] 30 f[] f''[] 7 Luego tomamos x 0 =. Aplicamos el método de newton-raphson con 5 iteraciones

11 practica6.nb 11 x 0 = ; ForBn = 0, n 4, n++, x n+1 = x n f@x nd f'@x n D F; Print@"Solución aproximada = ", N@x 5, 0DD; PrintB"Error estimado = ", NBAbsB x 5 x 4 F, FF x 5 Solución aproximada = Error estimado = También podemos resolverla utilizando la instrucción FindRoot [ecuación, {x,x 0 }]que encuentra un valor aproximado de la solución de la ecuación dada (en este caso suponemos que en la variable x) partiendo del valor inicial x 0 y aplicando el método de Newton-Raphson. FindRoot[x^3+ 4 x - 10, {x,}] 8x < 5.-Método de la secante El método de la secante se puede obtener a partir del método de la cuerda o a partir del método de Newton- Raphson. El procedimiento a seguir a partir del método de la cuerda es similar, pero en este caso se construye iterativamente una sucesión de valores x k+1 = x k - x k -x k-1 fhx k L- fhx k-1 L fhx k L, k = 0,1,.. sin realizar la comprobación de cambio de signo. Para obtenerlo a partir del método de Newton-Raphson se sustituye en éste la derivada por el cociente de diferencias, geométricamente equivale a sustituir la tangente por la secante. Ahora bien, debemos implementar algún criterio de parada. Lo que haremos ahora es fijarnos en la diferencia entre dos iteraciones consecutivas, al no poder controlar de forma tan clara como en el método de bisección el error absoluto cometido, pararemos el proceso cuando la diferencia sea inferior a la tolerancia prefijada. Ejemplo 5.1 Aplicar el método de la cuerda con 5 iteraciones para resolver la ecuación x - cos x = 0. Dar una cota del error cometido. à Definimos la función f@x_d := x Cos@xD à Buscamos un intervalo donde haya alternancia de signo

12 practica6.nb 1 f@0d 1 f@1d êê N Presentamos los resultados de todas las iteraciones: a 0 = 0; b 0 = 1; niter = 10; ForBn = 0, n niter, n++, b n a n x n = a n f@a n D f@b n D f@a n D ; If@f@x n D 0, Print@"Solución exacta", x n D; Break@DD; If@f@x n D 0, a n+1 = a n ; b n+1 = x n, a n+1 = x n ; b n+1 = b n DF; PrintB"Solución aproximada = ", N@x niter, 0D, " con error menor que ", NBAbsB x niter x niter 1 F, 0FF x niter Solución aproximada = con error menor que FindRoot[ x - Cos[x]==0,{x,0,1}] 8x < 6. Ejercicios propuestos Ejercicio 1. Probar que la ecuación x + cos x = 3 tiene solución real única y obtener un valor aproximado de la solución aplicando el método de la secante con 5 iteraciones y el método de Newton-Raphson con 7 iteraciones. Estimar el error cometido en cada caso. Ejercicio. Cuántas iteraciones del método de la bisección son necesarias para obtener una solución de la ecuación x ln x = 4 con 5 cifras decimales exactas?. Hallar la solución. Ejercicio 3. Aplica el método iterativo de punto fijo para resolver la ecuación e -3 x - x = 0. Dar una estimación del error cometido.