Números Complejos. Matemática

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1 Números Complejos Matemátca 4º Año Cód M r t a R o s t o V e r ó n c a F l o t t J u a n C a r l o s B u e Dpto. de Matemátca

2 Los Números Complejos. Una amplacón más en el campo numérco La necesdad de crear nuevos conjuntos numércos (enteros, raconales, rraconales), fue surgendo a medda que se presentaban stuacones que no tenían solucón dentro de los conjuntos numércos ya conocdos. Problema ) Resuelve las sguentes ecuacones, ndcando a qué conjunto numérco pertenecen sus solucones N(naturales) : Z(enteros) : Q(raconales) ; I(rraconales). a) 3x 5 b) 3 x c) 5 x 6 5 d) 3 x e) x 5 x f) Un desafío: Encuentra los valores de x que hacen certa la ecuacón: x² + =0. Es posble encontrar en los conjuntos numércos que conoces algún número x que verfque la ecuacón? Por qué? En el sglo XVIII, el matemátco Euler ntrodujo el símbolo (ncal de la palabra latna magnarus) para nombrar un número cuyo cuadrado es gual a - Se defne entonces el número, al que llamamos undad magnara, como aquel cuyo cuadrado es (-). Es decr: =- P O L I T E C N I C O

3 Números Complejos Matemátca Luego las solucones de la ecuacón x² = - son: x= pues ² = - o x = - pues (- )² = (- ).(- ) = - Más desafíos Resolvamos la sguente ecuacón : x + c=0 S c 0 x c x = -c S c>0 x = - c x c x c Luego x;= c Problema ) Determna las solucones de : a) x +5 = 0 b) x +5 = 4x Una amplacón más del campo numérco: Los números complejos Llamamos números complejos a los números de la forma a + b donde a y b son números reales e la undad magnara. S Z es un número complejo resulta: Z = a + b es la componente real Re(Z) es la componente magnara Im(Z) P O L I T E C N I C O

4 Defnmos al conjunto de los números complejos: C = {Z / Z = a + b, a R ; br ; =-} Un complejo expresado de la forma Z = a + b se la conoce con el nombre de forma bnómca del complejo Z Por ejemplo, el número complejo: Z = ,4 tene Re(Z)=-3 e Im(Z)=0,4 Problema 3) Completa el sguente cuadro Z Forma bnómca del Z Re(Z) Im(Z) Z 5 Z - Z Z4 0 Observacones S Z=a+b y a=0 Z= b recbe el nombre de magnaro puro S Z=a+b y b=0 Z=a. En este caso el número complejo, cuya componente magnara es nula es un número real. Notemos entonces que el conjunto de los números reales es un subconjunto del de los números complejos R C P O L I T E C N I C O 3

5 Números Complejos Matemátca Dos números complejos son guales s son respectvamente guales sus componentes reales e magnaras a b c d a c b d Problema 4) Determna x e y pertenecentes al conjunto de los números reales de modo que Z=Z sendo Z=x+y-(x+y) Z= -x+(+y)+3 Operacones con números complejos.propedades Propuesta de trabajo: Resuelve la adcón y multplcacón de los sguentes números complejos tenendo en cuenta que se expresan como bnomos y tú ya sabes operar con ellos. Dados Z=a+b W= c+d Adcón Recuerda! =- Z+W=(a+b)+(c+d)= Multplcacón Z.W=(a+b).(c+d)=. 4 P O L I T E C N I C O

6 Propedades Adcón Multplcacón Z C;W C; V C Z+W=W+Z Conmutatva Z. W = W..Z (Z+ W ) + V = Z+ ( W + V ) Asocatva (Z. W ). V = Z. ( W. V ) ZC ; 0C/ Z 0 Z Exstenca de elemento neutro ZC ; C/ Z. Z Z C; ( Z) C / Z ( Z) 0 -Z se denomna opuesto de z Exstenca de elemento nverso Z 0 C; Z C/ Z.Z Z - se denomna recíproco de z Dstrbutva del producto con respecto a la adcón (Z+ W ). V = Z. V + W.V Resta de números complejos Dados Z=a+b, W=c+d defnmos : Z W = Z + (-W) =(a+b)+(-c-d) Conjugado de un número complejo S Z = a + b, llamamos conjugado de Z y lo notamos Z al complejo Z = a b P O L I T E C N I C O 5

7 Números Complejos Matemátca Propedades Sean Z=a+b y W=c+d Z Z Z Z a Z Z b Z. Z a b (.Número real que recbe el nombre de norma del complejo Z) Z W Z W Z. W Z. W Problemas 5) Demuestra las propedades del conjugado de un número complejo 6) Dados los complejos: Z 3 ; Z ; Z 3 9 Calcula: a) Z Z= b) Z. Z= c) Z Z. Z 3 d) Z Z = e) Z Z3. Z f) Z Z3 Z Nota: en operacones combnadas con números complejos al resolver con a<0 consdera sólo la solucón postva a Para pensar Dados Z=a+b W= c+d Cómo resolver el cocente de números complejos? En símbolos : Z a b? W c d Te proponemos completar el sguente procedmento, tenendo en cuenta que el producto de un complejo por su conjugado (norma de un complejo ) es un número real : artfco Z Z W W W W Ejemplo: P O L I T E C N I C O

8 Problema 7) Resuelve las sguentes ecuacones : a) 3 x x c) b) 6. x x d) 5 (-3 +) = 4 La undad magnara y un producto que genera un cclo 0 (por defncón) 3. ( ) n? n N0 Para resolver este problema recordemos que por aplcacón del algortmo de una dvsón entera resulta: n () () c (3) 4cr 4c r r c 4.. r r n 4 0 < r < 4 r N0 () producto de potencas de gual base ()potenca de otra potenca (3)potenca de la undad magnara r c n=4c+r Luego: n r con 0 < r < 4 r N0 De donde S llamamos P al conjunto de todas las potencas de es : P= ; ; ; P O L I T E C N I C O 7

9 Números Complejos Matemátca Problemas 8) Calcula: a) 43 b) 4 c) 779 9) Determna: a) el conjugado de X / 4. 5 X b) (-W) s W + ( ) = c) X s X 0) El producto entre un complejo y su conjugado es 80. S la componente real es 4. Cuál es la otra componente? ) La suma de dos complejos conjugados es 0 y el producto es 34. Cuáles son los complejos? ) Calcula: ; ; 9 3) Determna el valor de x real para que el producto: ( 5).(3 + x) a) sea magnaro puro b) sea un número real 4 ) Escrbe un número complejo tal que: ) su parte real sea el doble de su parte magnara ) su parte real sea la cuarta parte que su parte magnara ) sea un magnaro puro y su parte magnara sea un número rraconal comprenddo entre 5 y 6 Representacón gráfca de los números complejos. Vmos que la recta quedó completa con los números reales, entonces, para representar números complejos, deberemos recurrr al plano. El número complejo Z=a + b se representa en el plano medante el punto de coordenadas (a; b). El eje de las abscsas se llama eje real y el de las ordenadas, eje magnaro. De esta forma, a cada número complejo le corresponde un punto del plano y a cada punto del plano le corresponde un número complejo. Im(Z) b z 0 a Re(Z) 8 P O L I T E C N I C O

10 Problema 5) Representa los sguentes números complejos: Z 3 Z 4 Z 3 = Z4 3 Z5 3 Z 6 3 Observacón: cada punto del plano P (a; b) determna un vector poscón OP ( a; b),a partr de allí establecemos que a cada complejo de la forma a + b le corresponde un vector poscón de extremo P.Entonces, llamamos módulo de un complejo al módulo del vector que lo representa Problema 6) Sendo: W = a) Calcula su módulo. Qué relacón vncula al módulo de un complejo con su norma? b) Representa en el plano complejo W ; (-W) ; W ;W Argumento de un complejo: se llama argumento del complejo Z a la medda del ángulo ω, formado por el semeje postvo de las abscsas y la semrrecta de orgen o que contene al punto que representa el complejo. En símbolos arg(z) = ω b Z o ω a Como ω puede tomar nfntos valores, consderaremos como argumento prncpal a aquel que verfque 0 ω < 360º Para determnar el argumento de z = a + b, debe tenerse en cuenta que b S a 0; tg ω = a S a 0; b 0 3 b 0 Problema 7) Determna el argumento prncpal de los sguentes complejos: Z = + W = -,5 V = 0,5 3 P O L I T E C N I C O 9

11 Números Complejos Matemátca Forma polar de un número complejo S Z = a + b = Problema Z 0º ω < 360º Forma polar del complejo Z 8) Escrbe en forma polar los complejos del problema anteror Forma trgonométrca de un complejo Sabendo que: senω = z b b = z. senω cos ω= z a a = z. cosω resulta que: Z = a + b = Z.cos ω+ Z. senω = Z.( cosω+.senω) Esta últma expresón se convene en escrbr, por razones de smplcdad: Z csω Resumendo Tres formas de expresar a un número complejo Z Z a b forma bnómca Z ω forma polar Z cosω senω forma trgonomét rca forma trgonomét rca Zcsω El producto y el cocente de números complejos en forma trgonométrca y en polar Desafío: Demuestra que dados z y z resulta: a) )( ) (. ) cs( ) ( ( ) n n n b) ) cs(n ) ( n c) cs( ) con 0 Problemas 9) Expresa en forma polar y trgonométrca: a) el opuesto de ( ) b) el conjugado de ( ) 0 P O L I T E C N I C O

12 0) Expresa en forma bnómca los complejos a) 3 b) 7 6 ) Dados los complejos: Z = 3 W = 5 V = 3 cs 80º Expresa prevamente en forma bnómca y luego, calcula: Z. W V (escrbe el resultado en forma polar) W : V W Z + V (escrbe el resultado en forma trgonométrca) ) Dado el complejo: Z = 3 Escrbe el conjugado de Z en forma bnómca y representa gráfcamente el opuesto de Z 3) Descrbe dónde se localzan en el plano complejo todos los números que poseen: a) parte real gual a b) parte magnara gual a c) módulo gual a 3 d) argumento gual a 80º Y más problemas!!!! 4) Determna los números complejos z, que verfcan las sguentes condcones: a) z R z b) z d) z.re Im z e) z z.imz z z c) z - z.re z.z z.im z 5) Representa gráfcamente los números complejos z tal que: z z. P O L I T E C N I C O

13 Números Complejos Matemátca 6) S A = z C /Rez 0 arg(z) pertenecen a A. Justfca tu respuesta: a) z = + b) v = 0,5 c) w = 0,5 7) Contesta Verdadero o Falso. Justfca tu respuesta. a) nngún número complejo es gual a su conjugado b) nngún número complejo es gual a su opuesto c) los complejos: z = y w= 6 35 son opuestos 3 4, decde s los sguentes complejos d) el producto de dos números complejos magnaros puros es un número complejo magnaro puro. e) ( ) es solucón de la ecuacón x 3 + 8x = 0 3k k 8) Sendo: z, determna k para que z 0 3 9) La suma de dos complejos conjugados es 8 y la suma de sus módulos es 0. Cuáles son esos números complejos? 30) Resuelve los sguentes sstemas en los que z y w son números complejos. z ( ).w a) ( ).z (5 ).w b) ( ).z (3 ).w 5 z w 3 3) Avergua que número complejo verfca que la suma entre el duplo de dcho número y el cuadrado de su conjugado da por resultado cero. 3) Determna el z + = 45 33) El cocente de dos números complejos es 50 y el dvdendo es el cuadrado del dvsor. Calcula sus módulos y sus argumentos. P O L I T E C N I C O

14 34) Dados: (cos60 sen60) ; 3 ; z z z 3 5 rad 6,Calcula: a. en forma polar: z. z b. en forma trgonométrca: z z 3 c. en forma bnómco: ( z z). z3 d. el argumento de w s w z z 35) Expresa en forma trgonométrca a) z / z b) z / z 36) Representa en el plano complejo: A z / z C z 7 B x / x C,argx x 5 6 C y / y C y 5 3 D y / y C; argy y ) Determna el complejo Z en las sguentes ecuacones. a) 3(Z ) 4Z ( 3) b) Z( 3) Z(4 ) Z (5 5) Z ( 3) Z 7 c) 3 3 P O L I T E C N I C O 3

15 Números Complejos Matemátca 38) Se verfca la sguente gualdad? 39 ) Demuestra que : Z Z Z Z (Z Z) W 4 30 º a) Q 360 º Z.Q.3Z 460 º Z W 4 50 º 30 º b) Q 360 º W :.Q : Z : (Q.Z ) 60 º Z 50 º 3 40 ) Determna el ángulo que forman el conjugado de un número complejo con su recíproco. Bblografía Apunte IPS Números Complejos. Códgo 5 Matemátca. Polmodal. Números y Sucesones de Slva Altmar, Clauda R Comparatore y Llana Kurzrock. Edtoral Longseller.Lbro 3 Resolucón de los problemas propuestos : Prof.Juan Carlos Bue. Respuesta a los problemas presentados ) a) x= pertenece a: N; Z; Q. b) x= 3 pertenece a : I c) x=- pertenece a: Z; Q d) x= 3 pertenece a: I 5 e) x= pertenece a: Q. f) x= pertenece a: Q ) a) x= 5 b) x=+ x=- 4 P O L I T E C N I C O

16 3) Z Forma bnómca Re(Z) Im(Z) Z del Z Z Z Z4 0 4) x= 7 y=-4 5) no se presentan las demostracones correspondentes a este problema 5 6) a) b) 7 c) 0 d) e) f) ) a) b) c) d) ) a) - b) c) ) a) X b)-w= c ) X = ) b = 8 ) z = ; t = 5 3 ) a) b) c) 3) a) x = b) x = 4) ) + ; 4 + entre otros. (Exsten nfntas posbldades) ) + 8 ; 3 + entre otros. (Exsten nfntas posbldades) ) 9 ; a donde a = 5,... entre otros. (Exsten nfntas posbldades) P O L I T E C N I C O 5

17 Números Complejos Matemátca 5) Im(Z) Re(Z) 6)a) W 5 El módulo al cuadrado de un complejo es gual a su norma. b) W Im(Z) W W Re(Z) 7) a) tg 45º 0 b) tg 0 80º pues a 0,5 3 c) tg 6 79º 7' 44'', 3 8) a) Z 45 º b) W,5 80 º c) V W 37 79º 7' 44'',3 9) a) Forma Polar: Z 45 º Forma Trgonométrca: cs45º b) Forma Polar: Z 5 6º 33' 54'', 8 Forma Trgonométrca: 5 cs6º33'54'', 8 6 P O L I T E C N I C O

18 0) a) Z =,7 +,3 b) Z = 3 ) Z.W V 349 5º 3' 6'', 8 5 W : V 3 W Z V 3 cs3º'9'',33 Im(Z) ) Z 3 Re(Z) 3) a)z = + b b) Z = a + 3 Recta paralela al eje magnaro que corta al eje real en Recta paralela al eje real que corta al eje magnaro en c) Z 3 d) Z Z 80 80º Sobre la crcunferenca con centro en el orgen de coordenadas y de rado 3 undades Sobre el semeje real negatvo 4) Sendo Z = a + b a) ( b 0 a 0) Z b) Z Z c) Z d) Z aa ; ar e) no exste z P O L I T E C N I C O 7

19 Números Complejos Matemátca 5) Son Z a ; a R 6) a) Z A b) V A c) W A 7) a)falso, Ej. Z== Z b)falso,ej Z=0 c)verdadero d) Falso, Ej () (3)= -6 no es un magnaro puro e)verdadero 8) k 0 9) Z 4 3 ; Z ) a) Z ; W b) Z 7 ; W 3) Z 0 Z Z 3 Z 3 3) Z 33) Z W 5 y Arg(Z) Arg(W ) 40º ; W 5 y Arg(W) 0º 34) a) z.z 3330º b) 0,4.(cos30º +.sen30º) 5 5 c) 3 d) arg(w)=4º )a)Z= 5(cos53º6 5 sen53º6 5 ) b)-z= 0cos98º6 5 sen98º6 5 8 P O L I T E C N I C O

20 36) Im[z] Im[z] 0 5 Re[z] 0 Re[z] 37) a) Z = -3 b)z = 5- c) Z=7+b b 38) sí, se verfca 40) 0º P O L I T E C N I C O 9