Análisis de imágenes digitales

Transcripción

1 Análisis de imágenes digitales FILTRADO DE LA IMAGEN Operadores morfológicos

2 INTRODUCCIÓN La palabra morfología comúnmente denota una rama de la biología que trata de la forma y estructuras de plantas y animales. En el contexto de análisis de imágenes, se denota morfología matemática (MM) al conjunto de herramientas utilizadas para extraer componentes de la imagen que son útiles en la representación y descripción de la forma de los objetos. El análisis morfológico se puede utilizar para: Preprocesamiento de la imagen: filtrado de ruido, simplificación de formas. Mejoramiento de la estructura de los objetos: esqueletos, adelgazamiento, engrosamiento, polígonos convexos. Segmentación de objetos de su fondo. Descripción cuantitativa de objetos: área, perímetro, proyecciones. 2

3 INTRODUCCIÓN Remoción de estructuras Reducción de ruido Corrección de iluminación Detección de bordes Segmentación de regiones 3

4 INTRODUCCIÓN La MM explota las propiedades de los conjuntos, los cuales representan los objetos planos en la imagen dentro de un espacio euclidiano bidimensional. Sea A un conjunto en Z 2 cuyos elementos tienen coordenadas (x,y). Si w = (x,y) es un elemento de A, entonces se escribe w A. De forma similar, si w no es un elemento de A se escribe w A. Un conjunto A de píxeles que satisface una condición particular se escribe A={w condición}. Por ejemplo, un conjunto de píxeles que no pertenecen al conjunto A, i.e., el complemento de A denotado como A c, está dado por A c ={w w A}. La unión y la intersección entre dos conjuntos A y B se denotan como A B y A B, respectivamente. La diferencia de dos conjuntos A y B, es el conjunto de elementos que pertenecen a A y no a B expresado como A B ={w w A, w B}. 4

5 INTRODUCCIÓN Adicionalmente, a las operaciones básicas anteriores, las operaciones morfológicas requieren dos operadores que son específicos para los conjuntos cuyos elementos son píxeles: La reflexión de un conjunto A se define como  ={w w a, a A}. La traslación de un conjunto A al punto z = (z, z2), denotado (A)z, se define como (A)z = {c c a+z, a A}. A A B A B z B  z 2 A c A B A (A) z 5

6 INTRODUCCIÓN Una transformación u operador ΨΨ se define como un mapeo de la forma: es decir, la transformación ΨΨ toma una función bidimensional y la transforma en otra función bidimensional. Una transformación ΨΨ es extensiva si y sólo si para todo conjunto A, A ΨΨ(A). Análogamente, una transformación ΨΨ es anti-extensiva si y sólo si para todo conjunto A, A ΨΨ(A). Ψ :R 2 R 2 Una transformación ΨΨ es incremental si preserva la relación de orden entre conjuntos tal que A,B, A B ΨΨ(A) ΨΨ(B). Una transformación ΨΨ es idempotente si se aplica dos veces en cualquier conjunto A es equivalente a aplicarlo una sóla vez, esto es, ΨΨ(A) = ΨΨ(ΨΨ(A)). 6

7 ELEMENTO ESTRUCTURANTE Una transformación morfológica ΨΨ es una operación no lineal dada por la relación de un conjunto de puntos A (objetos en la imagen) con un conjunto menor de puntos B (elemento estructurante, EE). B es expresado con respecto a un origen local y posee una forma y tamaños definidos de acuerdo a las estructuras que se quieren analizar en A. Origen Válidos Ignorados Aplicar la transformación ΨΨ(A) a la imagen A significa que el EE B se desplaza sistemáticamente a través de toda la imagen (operación de enmascaramiento), donde el origen de B se posiciona sobre un píxel de la imagen que se desea transformar y se aplica la relación entre A y B en esa posición. 7

8 OPERADORES MORFOLÓGICOS Las operaciones morfológicas se pueden dividir en dos categorías de acuerdo al tipo de imagen:. Binárias: cuando un píxel se ve afectado por la operación será sustituído por su valor opuesto (complemento). 2. En escala de grises: un píxel se modifica por el valor de intensidad de sus vecinos. Erosión y dilatación representan los operadores morfológicos primarios, y de ambos operadores se derivan otras operaciones más complejas como apertura, cerradura y descomposición de formas. La dualidad de las operaciones morfológicas indica que para cada transformación ΨΨ(A) existe una transformación dual ΨΨ * (A): ΨΨ(A) = [ΨΨ * (A c )] c. Esto significa que una erosión puede describirse en términos de una dilatación y viceversa. 8

9 EROSIÓN BINARIA La erosión de un conjunto A con un elemento estructurante B se define como el conjunto de todos los puntos z tales que B, trasladado por z, es un subconjunto de A, esto es, B no comparte ningún elemento en común con el fondo de A: A! B = { z (B) z A} = { z (B) z A c = } B A B A B A A! B A = B = Imagen erosionada B A 9 B A A! B B A

10 EROSIÓN BINARIA La erosión de un conjunto A con un elemento estructurante B se define como el conjunto de todos los puntos z tales que B, trasladado por z, es un subconjunto de A, esto es, B no comparte ningún elemento en común con el fondo de A: A c = B = A! B = { z (B) z A} = { z (B) z A c = } B A B A B A = A! B Imagen erosionada B A = B A = A! B B A

11 EROSIÓN BINARIA d d 4 d A B d 4 A! B d 4 d 8 3d 4 d 8 A! B d 2 d d 2 B d 8 3d 4 d 8

12 EROSIÓN BINARIA EE tamaño lineal 9º cuadrado circular rombo original 5 7 2

13 DILATACIÓN BINARIA La dilatación de un conjunto A con un elemento estructurante B se define como el conjunto de todos los desplazamientos, z, tales que A y B se traslapan en el origen de B como: { } = { z ( ˆB) z A } A B = z [( ˆB) z A] A ˆB A = ˆB A = ˆB A A B A = ˆB = Imagen dilatada ˆB A ˆB A A B ˆB A A B 3

14 DILATACIÓN BINARIA d d A d 4 d 4 B = ˆB A B d 8 3d 4 d 8 d 4 d 2 d A B d B = ˆB d 2 d 8 d d 8 4

15 DILATACIÓN BINARIA EE tamaño lineal 9º cuadrado circular rombo original 5 7 5

16 EROSIÓN EN ESCALA DE GRISES La erosión de un imagen f(x,y) en escala de grises con un EE b se define como el valor mínimo de la región que enmascara b cuando su origen está sobre el píxel (x,y) (visto anteriormente como filtro min): [ f!b](x,y) = min (s,t ) b { f (x + s,y + t) } b = f = Imagen erosionada

17 EROSIÓN EN ESCALA DE GRISES EE tamaño lineal 45º cuadrado circular rombo original 5 7 7

18 DILATACIÓN EN ESCALA DE GRISES La dilatación de un imagen f(x,y) en escala de grises con un EE b se define como el valor máximo de la región que cubre b cuando su origen está sobre el píxel (x,y) (visto anteriormente como filtro max): [ f b](x,y) = max{ f (x s,y t) } (s,t ) b ˆb = Imagen dilatada f =

19 DILATACIÓN EN ESCALA DE GRISES EE tamaño lineal 45º cuadrado circular rombo original 5 7 9

20 DUALIDAD Un operador morfológico primario puede ser descrito en términos de otro y viceversa: [ f b] c = ( f c! ˆb ) [ f!b] c = ( f c ˆb ) 2

21 DUALIDAD Debido a que las operaciones morfológicas son transformaciones no lineales, la erosión NO es el inverso de la dilatación, ni viceversa, de modo que la imagen original nunca se recupera: ( f!b) ˆb f (x,y) ( f!b) ˆb ( f ˆb)!b Original ( f ˆb)!b 2

22 TRANSFORMACIÓN HIT-OR-MISS La transformación hit-or-miss es un operador morfológico que encuentra patrones locales de píxeles que coinciden con el tamaño y la forma de un elemento estructurante compuesto de un par de conjuntos disjuntos B = (B, B2). La transformación hit-or-miss se define como: A B = { a B A, B 2 A c } donde B es el conjunto de elementos asociados con un objeto y B2 es el conjunto de elementos asociados con su correspondiente fondo. Esta transformación se implementa en términos de erosiones como: A B = (A! B ) (A c! B 2 ) 22

23 TRANSFORMACIÓN HIT-OR-MISS A A c B B 2 A! B A c! B 2 A B 23

24 TRANSFORMACIÓN HIT-OR-MISS EE compuesto con la palabra deseada A B B 2 A B 24

25 APERTURA Y CERRADURA La apertura de un conjunto A con un elemento estructurante B es la erosión de A con B, seguido de una dilatación del resultado con B como: A B A! B = ( A! B) B La cerradura de un conjunto A con un elemento estructurante B es la dilatación de A con B, seguido de una erosión del resultado con B como: A! B A! B (A! B) B A B = ( A B)! B La apertura suaviza el contorno de los objetos, elimina protuberancias y abre canales, mientras que la cerradura elimina pequeños orificios, fusiona brechas y alarga pequeñas entradas. 25 A B A B (A B)! B

26 APERTURA Y CERRADURA Original A! B A! B = (A! B) B A B A B = (A B)! B 26

27 APERTURA Y CERRADURA Original A B (A B) B A B (A B) B 27

28 APERTURA Y CERRADURA Idempotencia: la respuesta de la imagen transformada no cambia si se aplica más de una vez la operación morfológica usando el mismo EE. ( A! B)! B = A! B ( A B) B = A B Original A B (A B) B Dualidad: la apertura es dual a la cerradura y viceversa. Original A B (A B) c ( A B) c = (A c! B) ( A! B) c = (A c B) A c (A c! B) 28

29 FILTROS MORFOLÓGICOS La idea básica de los filtros morfológicos es suprimir selectivamente estructuras indeseadas en la imagen. Las propiedades de una transformación idempotente e incremental son suficientes para que el operador morfológico ΨΨ sea un filtro morfológico. Consecuentemente, la cerradura es un filtro morfológico extensivo y la apertura es un filtro morfológico anti-extensivo. Con la adecuada selección de la forma y tamaño del elemento estructurante se puede construir un filtro morfológico que remueva de la imagen estructuras de acuerdo a su tamaño, orientación y forma. Filtros morfológicos más complejos pueden ser diseñados combinando las respuestas de los filtros básicos de apertura y cerradura de manera paralela o secuencial. 29

30 FILTROS MORFOLÓGICOS La combinación paralela se utiliza generalmente para filtrar estructuras direccionales de la imagen utilizando elementos estructurantes lineales con diferentes orientaciones de manera independiente y después unir sus respuestas:. La unión (máximo puntual) de aperturas es una apertura. 2. La intersección (mínimo puntual) de cerraduras es una cerradura. Apertura con EE vertical Apertura con EE horizontal 3

31 FILTROS MORFOLÓGICOS Cuando la imagen está corrompida con ruido, se puede utilizar una combinación secuencial de una apertura ( γ ) seguida de una cerradura ( φ ) o viceversa, cuyo orden dependerá del contraste local de los objetos en la imagen. Un filtro morfológico secuencial puede construirse mediante las siguientes combinaciones γφ, φγ, γφγ, y φγφ. Dado que γ φ, las siguientes relaciones de orden siempre se satisfacen: γ γφγ γφ φγ φγφ φ de modo que los filtros duales apertura-cerradura y cerraduraapertura tienen efectos similares, aunque no son equivalentes. 3 γ φ γ φ

32 FILTROS MORFOLÓGICOS Filtrado morfológico de una imagen binaria: Imagen ruidosa Apertura con EE 3 3 Cerradura con EE 3 3 Apertura- Cerradura con EE

33 FILTROS MORFOLÓGICOS Filtrado morfológico de una imagen en escala de grises: Imagen con ruido impulsivo Apertura con EE 3 3 Cerradura con EE 3 3 Apertura- Cerradura con EE

34 FILTROS MORFOLÓGICOS Cuando el nivel de ruido es alto en el sentido en que contiene estructuras sobre un rango amplio de escalas (tamaños), un simple filtro γφ ó φγ con un elemento estructurante grande no da resultados aceptables. Nivel de ruido alto 34 Apertura seguida de cerradura con EE 7 7

35 FILTROS MORFOLÓGICOS Para resolver este problema se alternan aperturas y cerraduras, comenzando con un pequeño elemento estructurante y aumentando gradualmente su tamaño de manera iterativa hasta un tamaño deseado. A esta combinación secuencial e iterativa de apertura-cerradura o viceversa se le conoce como filtro secuencial alternado (ASF): (γφ) i, (φγ) i, (φγφ) i, (γφγ) i. Los filtros ASF satisfacen las siguientes relaciones para dos iteraciones i y j: i j ASF j ASF i = ASF j y ASF i ASF j ASF j El resultado final dependerá de cuál filtro morfológico se utilice primero, si una apertura o una cerradura. 35

36 FILTROS MORFOLÓGICOS Imagen ruidosa (φγ) con EE 3 3 (φγ)2 con EE (φγ)3 con EE 7 7

37 TOP-HAT MORFOLÓGICO La selección de un filtro morfológico dependerá del conocimiento a priori que se tenga de la forma, tamaño y orientación de las estructuras que se quieren remover. Por ejemplo, para remover ruido impulsivo se aplica un filtro secuencial con un elemento estructurante de tamaño mucho menor al de los objetos relevantes en la imagen. En el caso del top-hat morfológico el filtrado funciona al contrario, es decir, se deben remover las estructuras relevantes y recuperarlas posteriormente con una substracción de imágenes. El top-hat puede ser blanco (WTH) o negro (BTH) definidos como: WTH B ( f ) = f γ B ( f ) y BTH B ( f ) = φ B ( f ) f donde B es el elemento estructurante de tamaño mayor a los objetos relevantes. 37

38 TOP-HAT MORFOLÓGICO Un uso común de los operadores top-hat es la corrección de iluminación en imágenes. En ocasiones, al obtener una imagen existe un gradiente de iluminación que provoca una no uniformidad de intensidad en el fondo, es decir, algunas regiones de son más oscuras, mientras que otras son más brillosas. Región brillosa Entonces, un top-hat con un elemento estructurante isotrópico grande actua como un filtro pasa bajas, ya que los gradientes de iluminación corresponden a componentes de baja frecuencia. Los WTH se usan para imágenes con fondo oscuro, mientras que los BTH para fondos brillosos. 38 Región oscura

39 TOP-HAT MORFOLÓGICO Corrección de iluminación con top-hat blanco: + Imagen con iluminación no uniforme γ B Imagen con iluminación corregida 39

40 TOP-HAT MORFOLÓGICO Cuando el contraste entre los objetos y el fondo decrece gradualmente, haciendose el fondo muy oscuro, una mejor opción de corrección es dividir la imagen original entre su cerradura (o apertura). Imagen con iluminación no uniforme Cerradura con EE grande φb ( f ) f f φb ( f ) 4

41 TOP-HAT MORFOLÓGICO El contraste de una imagen se puede mejorar calculando independientemente el WTH y BTH de una imagen. El WTH se suma a la imagen original para mejorar las regiones brillantes y el BTH se resta de la imagen resultante para mejorar las regiones oscuras: κ BTH ( f ) = f + WTH B ( f ) BTH B ( f ) = 3 f φb ( f ) γ B ( f ) Imagen original Imagen mejorada 4

42 DETECCIÓN DE BORDES El gradiente es una operación que detecta los cambios más acentuaduados de los niveles de gris que normalmente caracterizan a los bordes de los objetos. El gradiente morfológico se calcula mediante los operadores primarios de erosión y dilatación y existen tres combinaciones comúnmente usadas: ( f B) + Externo : ρ B + ( f ) = ( f B) f f + Beucher : ρ B ( f ) = ( f B) ( f! B) ( f! B) + Interno : ρ B ( f ) = f ( f! B) 42

43 DETECCIÓN DE BORDES El grosor de los bordes detectados por el gradiente morfológico depende del tamaño del elemento estructurante, ya que a medida que aumenta los bordes producidos serán más gruesos produciendo efectos indeseados en algunas aplicaciones

44 DETECCIÓN DE BORDES Para generar bordes delgados se utiliza el gradiente morfológico multiescala, el cual se define como: ˆρ nb = ρ nb T ( [,L] ε (n )B [ WTH nb (ρ nb )]) donde B es un elemento estructurante con una forma específica y tamaño n, ρ es el gradiente Beucher, ε denota la erosión, WTH es el top-hat blanco y T es una función de umbralado en el rango [, L]. ρ nb WTH nb ε (n )B ˆρ nb T [,L ] 44

45 DETECCIÓN DE BORDES El mapa de bordes para todas las escalas es obtenido por el máximo puntual entre cada ˆρ nb para todo n: N ˆρ = ˆρ n= nb Beucher Multiescala n = 3 n = 6 45

46 TRANSFORMACIONES GEODÉSICAS Las transformaciones morfológicas vistas hasta ahora se basan en modificar una imagen de entrada utilizando un elemento estructurante. En las trasformaciones geodésicas se consideran dos imágenes de entrada, donde la primera sufre una transformación morfológica y luego es forzada a permanecer dentro o fuera de la segunda imagen. El concepto básico de los métodos geodésicos en morfología es la distancia geodésica: el camino más cercano entre dos puntos que pertenecen a un conjunto está restringido al mismo conjunto. Las transformaciones geodésicas básicas son la dilatación y erosión geodésicas. A Distancia geodésica B Distancia Euclidiana B A 46

47 DILATACIÓN GEODÉSICA La dilatación geodésica incluye dos imágenes: la imagen marcadora y la imagen máscara. Primeramente, la imagen marcadora es dilatada con un elementro estructurante isotrópico. Después es forzada a permancer por debajo de la imagen máscara. La máscara actúa como límite para la propagación de la dilatación de la imagen marcadora. Sea f la imagen marcadora y g la imagen máscara, con D f = D g y f g. La dilatación geodésica de tamaño de la imagen f con respecto de g se define como el mínimo puntual entre la dilatación de f y g como: donde δ es la dilatación morfológica. δ g () (f ) = δ () (f ) g 47

48 DILATACIÓN GEODÉSICA Imagen marcadora f Imagen dilatada con B Dilatación geodésica B Imagen máscara g 48

49 EROSIÓN GEODÉSICA La erosión geodésica incluye dos imágenes: la imagen marcadora y la imagen máscara. La imagen marcadora es primeramente erosionada con un elementro estructurante isotrópico y después se aplica el máximo puntual con la imagen máscara. En este caso, la imágen máscara actúa como límite para la contracción de la imagen marcadora. Sea f la imagen marcadora y g la imagen máscara, con D f = D g y f g. La erosión geodésica de tamaño de la imagen f con respecto de g se define como el máximo puntual entre la erosión de f y g como: donde ε es la erosión morfológica. ε g () (f ) = ε () (f ) g 49

50 EROSIÓN GEODÉSICA Imagen marcadora f Imagen erosionada con B Erosión geodésica B Imagen máscara g 5

51 RECONSTRUCCIÓN MORFOLÓGICA Las transformaciones geodésicas son raramente utilizadas en la práctica. Sin embargo, cuando se aplican hasta la idempotencia se pueden crear poderosos algoritmos de reconstrucción morfológica. Entonces, tanto la dilatación como la erosión geodésicas se pueden aplicar sucesivamente n iteraciones como: δ g (n) (f ) = δ g () δ (n ) g (f ) y ε (n) () g (f ) = ε g ε (n ) g (f ) con δ g () (f ) = f y ε g () (f ) = f. Por tanto, cuando las transformaciones geodésicas aplican hasta que la imagen no cambia más, es decir, la idempotencia, se ha hecho una reconstrucción morfológica. 5

52 RECONSTRUCCIÓN MORFOLÓGICA POR DILATACIÓN La reconstrucción por dilatación de una imagen máscara g a partir de una imagen marcadora f (D f = D g y f g) se define como la dilatación geodésica de f con respecto de g hasta la idempotencia: R g δ (f ) = δ g (i) (f ) f g δ g (f ) δ g ( δ g (f )) a) b) c) δ g ( δ g ( δ g (f ))) ( ( ( ))) δ g δ g δ g δ g (f ) R g δ (f ) d) e) f ) 52

53 RECONSTRUCCIÓN MORFOLÓGICA POR DILATACIÓN Imagen máscara Imagen marcadora iteraciones 2 iteraciones 3 iteraciones Reconstrucción por 53 dilatación

54 RECONSTRUCCIÓN MORFOLÓGICA POR EROSIÓN La reconstrucción por erosión de una imagen máscara g a partir de una imagen marcadora f (D f = D g y f g) se define como la erosión geodésica de f con respecto de g hasta la idempotencia: R g ε (f ) = ε g (i) (f ) g f ε g (f ) ε g ( ε g (f )) a) b) c) ε g ( ε g ( ε g (f ))) ( ( ( ))) ε g ε g ε g ε g (g) R g ε (f ) d) e) f ) 54

55 RECONSTRUCCIÓN MORFOLÓGICA APERTURA Y CERRADURA A partir de los operadores básicos por reconstrucción (erosión y dilatación) se puede crear el operador de apertura por reconstrucción, el cual es una erosión morfológica de tamaño n seguida de una dilatación por reconstrucción: γ R (n) (f ) = R f δ ε (n) (f ) De forma similar, la cerradura por reconstrucción, es una dilatación morfológica de tamaño n seguida de una erosión por reconstrucción: φ (n) ε R (f ) = R f δ (n) (f ) Las siguientes relaciones de orden se mantienen: γ γ R φ R φ 55

56 RECONSTRUCCIÓN MORFOLÓGICA APERTURA Y CERRADURA En la apertura por reconstrucción primeramente se erosiona la imagen original para remover estructuras indeseadas y, posteriormente, se realiza una reconstrucción por dilatación utilizando la imagen original como máscara. Esto hace que se restauren las estructuras que no fueron removidas por la erosión. Imagen original (máscara) Apertura morfológica γ Imagen erosionada (marcadora) Apertura por reconstrucción γ R 56

57 FILTROS POR RECONSTRUCCIÓN Los filtros por reconstrucción combinan secuencialmente operadores de apertura-cerradura por reconstrucción o viceversa como: γ RφR, φr γ R, γ RφR γ R, y φr γ RφR. Imagen ruidosa Apertura-cerradura por reconstrucción 57

58 FILTROS POR RECONSTRUCCIÓN Imagen original sin ruido Imagen ruidosa Filtrado secuencial Filtrado secuencial alternado Filtrado secuencial por reconstrucción 58

59 TOP-HAT POR RECONSTRUCCIÓN La apertura y cerradura por reconstrucción permiten la definición del top-hat por reconstrucción blanco y negro como: RWTH( f ) = f γ R (n) (f ) RBTH( f ) = φ R (n) (f ) f f γ R (n) (f ) RWTH( f ) = 59