14. Átomos en campos e.m. externos. [Ynd ]

Transcripción

1 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena Átomos en campos e.m. externos. [Ynd ] Átomo de hidrógeno en B = cte.: efecto Zeeman Hamiltoniano Supongamos un átomo de hidrógeno en un campo magnético externo constante. Elegiremos el sistema de coordenadas z B. Los potenciales en que se mueve el electrón (carga q = e, e > 0) son ϕ = e2 r, A = 1 2 B r, (14.1) donde para el potencial vector hemos elegido el gauge simétrico. El hamiltoniano del sistema es (spin total s = 1/2) Ĥ = 1 (ˆp + e ) 2 2m c A e 2 r 2µ Ŝ B. (14.2) Usando ˆL = ˆr ˆp y la definición del magnetón de Bohr µ = µ B = erg/g es trivial llegar a e 2mc o, con B z, Ĥ = 1 2m ˆp2 e2 r + µ B (ˆL + 2Ŝ) B + e2 8mc 2 (B ˆr)2, (14.3) Ĥ = 1 2m ˆp2 e2 + µ BB }{{ r} (ˆL z + 2Ŝz) }{{} Ĥ Coul Ĥ B + e2 B 2 8mc 2 (ˆx2 + ŷ 2 ) }{{} Ĥ B 2. (14.4) Término ĤB Estudiemos primero el efecto del término ĤB, ignorando la presencia de ĤB 2 (lo justificaremos luego). La ventaja es que el problema se simplifica considerablemente: [ĤCoul, ˆL z ] = [ĤCoul, Ŝz] = 0 ĤCoul, ĤB simultáneamente diagonalizables. (14.5) Dado que las autofunciones ψ nllzsz del átomo de hidrógeno (donde l z, s z son los números cuánticos de tercera componente de momento angular orbital y de spin, respectivamente) son de hecho autoestados de ˆL z y Ŝz, se sigue que las mismas

2 14-2 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena siguen siendo autofunciones estacionarias de H Coul + ĤB. Lo único que cambia es el espectro: los niveles de energía están desplazados de manera fácil de calcular, [ (H Coul + ĤB)ψ nllzsz = E n + µ ] BB ( l z + 2 s z ) ψ nllzsz (14.6) E nlzsz = E n + µ B B(l z + 2s z ). n =3 n =2 n =1 (...) } µ B B l z =+1,s z = l z =0,s z = /l z =+2,s z = l z = ±1, s z = l z =0,s z = /l z = 2,s z = l z = 1, s z = s z = s z = Por lo tanto, el campo magnético rompe la degeneración de los niveles del átomo de hidrógeno, desdoblando (efecto Zeeman) el nivel fundamental en dos, y el nivel n 2 en 2n + 1 subniveles (es fácil comprobarlo explícitamente combinando los números cuánticos involucrados), con espaciados dados por µ B B. Nótese que la degeneración de los niveles no está completamente rota. Es fácil ver que el desdoblamiento es muy pequeño comparado con E n E n, a menos que el campo magnético sea extraordinariamente intenso: basta comparar µ B B con la energía típica de un nivel del átomo de H µ B B 13.6 ev B G. (14.7) Esto da una estimación de cómo depende de B el impacto de este término en el valor de los niveles de energía. Para tener una medida de comparación, se puede observar que la intensidad del campo magnético en el reactor experimental de fusión nuclear ITER es de G cuatro órdenes de magnitud por debajo de lo que se necesita para conseguir un efecto de orden 1. Los campos más fuertes conseguidos en laboratorio son del orden de 10 6 G, y el campo de una estrella de neutrones (!) es del orden de G. Término ĤB 2 Superficialmente, ĤB2 es un término de tipo potencial de oscilador armónico, dada la dependencia en (x 2 +y 2 ). Si se determina la frecuencia correspondiente, igualando el coeficiente a 1 2 mω2, se obtiene ω = eb 2mc = ω B/2 = µ B B/. Por lo tanto, podríamos esperar que el desplazamiento de energías asociado a este término fuera del orden

3 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 14-3 de ω B /2 = µ B B i.e. similar al producido por ĤB. Esto implicaría que no es correcto despreciarlo, como hemos hecho en el análisis anterior, y estaríamos obligados a resolver un problema complejo (porque [ĤB 2, ĤCoul] 0). Por otra parte, sigue siendo válida la observación de que para campos magnéticos típicos de laboratorio el valor de µ B B, y por lo tanto el desplazamiento de los niveles de energía, es muy pequeño, lo que nos autoriza a tratar ĤB2 en teoría de perturbaciones. A primer orden las correcciones estarán dadas por elementos de matriz de Ĥ B 2 entre autoestados del átomo de H; su cálculo es engorroso pero conceptualmente trivial. Por ejemplo, para el estado fundamental se obtiene y por lo tanto E 1 = e2 B 2 8mc 2 000s z (ˆx 2 + ŷ 2 ) 000s z = e2 B 2 E 1 E 1 = 1 2 8mc 2 2a2 B, (14.8) ( ) µb B 2, (14.9) i.e. el efecto no es lineal en µ B B, como pensábamos, sino cuadrático. Por lo tanto, el efecto de ĤB 2 en realidad está suprimido respecto al de ĤB, y está justificado despreciarlo en primera aproximación. Una manera intuitiva de entender el origen de esta fuerte supresión (y por qué el argumento basado en la forma de oscilador armónico es erróneo) consiste en observar que el valor esperado de (ˆx 2 + ŷ 2 ) entre autoestados del átomo de hidrógeno siempre será del orden de a 2 B. Entonces ĤB 2 E n e2 B 2 mc 2 E 1 a 2 B E n µ BB E n µ B B α 2 mc 2, (14.10) donde α = e2 137 es la constante de estructura fina. Dado que E n y mc 2 son constantes del sistema de partida, este argumento hace esperar que el efecto sea siempre del orden de (µ B B/E n ) 2, como nos enseña el cálculo perturbativo (n.b. α 2 mc 2 27 ev E n ). Comprobamos la enseñanza de que los argumentos heurísticos pueden ser engañosos. c 1 Átomo de hidrógeno en E = cte.: efecto Stark Hamiltoniano y estimación de magnitud Si, además de un campo magnético constante, colocamos el átomo de H en un campo eléctrico externo constante, el hamiltoniano completo será Ĥ = 1 2m ˆp2 e2 }{{ r} Ĥ Coul + µ B (ˆL + 2Ŝ) B }{{} Ĥ B + e2 (B ˆr)2 8mc2 }{{} Ĥ B 2 + e} E {{ ˆr }, (14.11) Ĥ E

4 14-4 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena donde e E r es la energía potencial del electrón (carga e) inmerso en E. Dado que [ĤCoul, ĤE] 0, en general no es fácil tratar el efecto debido a E de manera exacta. Por otra parte, podemos tratar de estimar si proporciona correcciones grandes, comparando la magnitud esperada de las mismas con las autoenergías del átomo de H y con la magnitud del efecto Zeeman apenas estudiado. Si tratamos el efecto de ĤE a primer orden en teoría de perturbaciones, el efecto será E n nll z s z ĤE nll z s z = ee nll z s z ˆr nll z s z. (14.12) Por otra parte, se sabe r nllzsz radio de Bohr, se obtiene 1 = a B 2 [3n 2 l(l + 1)] a B, y, usando el valor del E n E n 10 7 E (statv/cm). (14.13) Por lo tanto, para que el efecto sea no perturbativo (i.e. O(1)) el campo eléctrico tendría que ser del orden de 10 7 G (obvio: es el orden de ma el campo generado por el núcleo!). Si, por otra parte, comparamos este efecto con el de un B = cte., que sabemos µ B B, obtenemos E E 10 2 E (statv/cm). (14.14) E B B (G) Nótese que en unidades SI los campos eléctricos que hacen que el efecto sea O(1) corresponden a 10 4 V/m, que no es un valor terriblemente alto. Concluimos que el tratamiento perturbativo del efecto no será una aproximación particularmente buena para campos moderadamente intensos. Ionización del átomo Es fácil comprender que el átomo de H en un campo eléctrico externo es esencialmente inestable. Para ello basta escribir la energía potencial del sistema con B = 0, tomando e.g. z E, V (r) = e2 r + eez. (14.15) 1 Recuérdese que en unidades gaussianas E y B tienen las mismas dimensiones, pero es estándar llamar Gauss (G) la unidad de campo magnético y statv/cm la de campo eléctrico.

5 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena 14-5 Si dibujamos este potencial a lo largo de x = y = 0 es evidente que E V (z) 0 la distorsión del potencial coulombiano dará lugar a una barrera finita, E = 0 que hace posible que cualquier estado z ligado escape del pozo de potencial E =0 del átomo por efecto túnel: simplemente, estamos viendo que el campo estado ligado externo ionizará el átomo (de hecho, dado que lo suponemos extendido a todo el espacio tendrá siempre suficiente energía para hacerlo). Por otra parte, es razonable esperar que para valores del campo mucho menores que el generado por el proprio núcleo la vida media asociada al proceso de tuneleo sea muy grande, y el sistema sea de facto estable (ejercicio). Concluimos que fuera del régimen de campos pequeños, que podemos tratar perturbativamente, la dinámica del sistema es incompatible con el tratamiento en términos de estados ligados. Por lo tanto, nos limitaremos a estudiar en detalle el caso E. Desplazamiento de los niveles energía para campos débiles (efecto Stark) Consideremos Ĥ = ĤCoul + ĤE con z E ĤE = eez. Dado que los niveles del átomo de H son degenerados, para calcular los desplazamientos de energía será necesario obtener los elementos de matriz (omitimos los números cuánticos de spin, que no tienen ningún papel ya que la interacción es independiente del spin) C ll l zl z := nll z ĤE nl l z. (14.16) La conservación de la paridad implica inmediatamente que los elementos de matriz diagonales se anulan: C ll l zl z = nll z ee ˆr nll z transf. paridad (fase) nll z ee ˆr nll z = (fase) C ll l zl z C ll l zl z = 0. (14.17) Más en general, es posible demostrar 2 que los únicos elementos de matriz no nulos aparecen si l = l ± 1; además, z E implica que es necesario l z = l z. Descomponiendo el elemento de matriz en parte angular y parte radial, el resultado final se puede escribir como C ll l zl z = eeδ l z,l z [ α (+) ll z δ l,l +1I (n) l,l 1 + α( ) ll z δ l,l 1I (n) l,l+1 ], (14.18) 2 Discutiremos estas propiedades en detalle cuando estudiemos la dinámica de transiciones entre niveles atómicos.

6 14-6 Mecánica Cuántica Avanzada Carlos Pena donde las I están dadas en términos de las partes radiales de las funciones de onda I (n) ll := 0 dr r 3 f nl (r) f nl (r), (14.19) y las α son coeficientes provenientes de las integrales angulares que se pueden escribir en términos de coeficientes de Clebsch-Gordan. 3 Como ilustración, consideraremos el primer caso no trivial, i.e. el primer nivel excitado n = 2. (El estado fundamental no cambia a primer orden porque no hay dos valores posibles de l.) Las integrales radiales en ese caso son I (2) 01 = I(2) 10 = 33/2 a B ; uniéndolo a los coeficientes relevantes, en el caso l z = 0 la matriz 2 2 formada por los cuatro elementos de matriz 2l0 ĤE 2l 0 posibles es ( C = 0 3eEa B 3eEa B 0 ), (14.20) mientras que para l z = ±1 C = 0. Los autovalores de la matriz l z = 0 son ±3e E a B, y por lo tanto se concluye que el nivel n = 2 se desdobla en tres niveles. n =2 3e E a B 3e E a B l z =0 l z = ±1 l z =0 Observaciones Tanto B 0 como E 0 rompen la degeneración de los niveles: la existencia de una dirección privilegiada (dada por el campo) rompe la simetría bajo rotaciones, haciendo que no todos los valores del momento angular sean equivalentes. La interacción con el campo magnético preserva los buenos números cuánticos de momento angular (si se desprecia ĤB2), pero la interacción con el campo eléctrico no lo hace. Esto da lugar a que un estado con l z bien definido se separe en dos niveles. La presencia de un campo eléctrico no es inocua, ya que da lugar a la ionización del átomo (con una vida media para el proceso que depende de la intensidad del campo). 3 Cf. [Ynd 18.4] para una discusión más detallada.