Álgebra y estructuras finitas/discretas (Grupos A)

Transcripción

1 Álgebra y estructuras finitas/discretas (Grupos A) Curso Soluciones a algunos de los ejercicios propuestos en el Tema 2 Antes de ver la solución de un ejercicio, repase la teoría correspondiente al mismo, analice ejercicios similares resueltos en clase, y lo más importante, intente resolverlo usted mismo. A veces la resolución no es inmediata, necesita su tiempo. 1

2 2 1. Relación de problemas del Tema 2 3. Sea N = {0, 1, 2,...} el conjunto de los números naturales y sea F el conjunto de todas las aplicaciones de N en N. Entonces F es un monoide con respecto de la composición de aplicaciones. Dé un ejemplo de dos aplicaciones f, g F tales que f g = 1 N, pero g f 1 N. Indicación: Basta encontrar dos aplicaciones f, g : N N tales que g sea inyectiva pero no sea sobreyectiva, y f sea una inversa por la izquierda para g. 6. Si G es un grupo tal que x 2 = 1 para todo x G, demuestre que G es conmutativo. Observamos previamente que la condición x 2 = 1 es equivalente a x = x 1. Por tanto, para cualesquiera a, b G, tenemos a b = (a b) 1. Ya que en cualquier grupo se verifica que (a b) 1 = b 1 a 1 y por hipótesis sabemos que a = a 1 y b = b 1, obtenemos que a b = b a. Concluimos que G es un grupo conmutativo. 8b. Estudie si el subconjunto H = {σ S 8 σ 2 = 1} es o no un subgrupo del grupo simétrico S 8. La composición de permutaciones no es una operación binaria sobre H. Por ejemplo α = (2, 3) y β = (1, 2) pertenecen a H aunque α β = (1, 3, 2) no pertenece a H. Por tanto H no es un subgrupo de S Describa el subgrupo de (Z 16, +) generado por el conjunto {[8], [12], [14]}. [8], [12], [14] = [2] ya que mcd(8, 12, 14) = 2. También [8], [12], [14] = [14] ( Por qué?). 16a. En un grupo G, si a tiene orden n, entonces a = {1, a, a 2,..., a n 1 }. Sabemos que a = {a k k Z}. Por otra parte, si a tiene orden n, entonces n es el menor entero positivo tal que a n = 1. Ésto implica que, si k Z y r {0, 1,..., n 1} es el resto de dividir k entre n, entonces a k = a r. Por último si i, j {0, 1,..., n 1} y i j, entonces a i a j, pues de lo contrario, si a i = a j y supongamos que 0 i < j n 1, entonces a j i = 1 siendo 0 < j i < n, lo que contradiría que n es el orden de a. Por consiguiente las potencias a 0, a 1,..., a n 1 son todas distintas entre sí y además cualquier potencia de a con exponente entero es igual exactamente a una de las anteriores. Concluimos por tanto que a = {1, a, a 2,..., a n 1 }. 20. Sean (G, ) y (G, ) dos grupos y sea f : G G un homomorfismo de grupos. Demuestre que f(1 G ) = 1 G.

3 Teniendo en cuenta que 1 G = 1 G 1 G y que f es homomorfismo de grupos, se verifica que f(1 G ) = f(1 G 1 G ) = f(1 G ) f(1 G ). Llamemos y = f(1 G ) G. Entonces tenemos que y = y y. Ya que G es un grupo, existe y 1 G. Multiplicando los dos miembros de la igualdad y = y y por y 1, resulta y 1 y = y 1 (y y), es decir, 1 G = y. Por tanto hemos probado que f(1 G ) = y = 1 G. 24. Sea f : G G un homomorfismo de grupos. Demuestre que f es una aplicación inyectiva si y sólo si Ker(f) = {1}. Supongamos en primer lugar que f es un homomorfismo de grupos inyectivo y sea x Ker(f). Entonces f(x) = 1. Por el Ejercicio 20 también sabemos que f(1) = 1, con lo cual f(x) = f(1). La inyectividad de f implica que x = 1. Por consiguiente 1 es el único elemento perteneciente a Ker(f), es decir, Ker(f) = {1}. Recíprocamente, supongamos que Ker(f) = {1} y probemos que el homomorfismo de grupos f es inyectivo. Sean x 1, x 2 G tales que f(x 1 ) = f(x 2 ). Veamos que x 1 = x 2. Multiplicamos ambos miembros de la igualdad f(x 1 ) = f(x 2 ) por el inverso de f(x 2 ) y obtenemos f(x 1 ) f(x 2 ) 1 = 1. Ya que f es homomorfismo de grupos y por el Ejercicio 20 sabemos que f(x 2 ) 1 = f(x 1 2 ), la igualdad f(x 1 ) f(x 2 ) 1 = 1 podemos escribirla como f(x 1 x 1 2 ) = 1. Ésto implica que x 1 x 1 2 Ker(f). Como estamos suponiendo que Ker(f) = {1}, deducimos que x 1 x 1 2 = 1 y por tanto x 1 = x Compruebe que el grupo (Z 2 Z 3, +) es cíclico y deduzca que éste es isomorfo al grupo (Z 6, +). Sea el elemento x = ([1], [1]) (Z 2 Z 3, +). Entonces 0 x = ([0], [0]), 1 x = ([1], [1]), 2 x = ([2], [2]) = ([0], [2]), 3 x = ([3], [3]) = ([1], [0]), 4 x = ([4], [4]) = ([0], [1]), 5 x = ([5], [5]) = ([1], [2]), lo cual muestra que x = Z 2 Z 3 y por tanto (Z 2 Z 3, +) es un grupo cíclico de cardinal seis. Puesto que también (Z 6, +) es un grupo cíclico con seis elementos, por el ejercicio anterior concluimos que (Z 2 Z 3, +) = (Z 6, +). 37. Dado un grupo G y un subgrupo H de G, definimos la siguiente relación binaria R H sobre G: a R H b a b 1 H. Demuestre que: d) Si G es un grupo finito, entonces el cardinal de H divide al cardinal de G (Este hecho se denomina el Teorema de Lagrange). Por el Apartado (c) todas las clases de equivalencia pertenecientes a G/H tienen el mismo cardinal que H. Si ahora G es finito, entonces el número de 3

4 4 clases de quivalencia es finito, digamos k. Deducimos que G = k H y por tanto H divide a G. e) Si G = n y a G, entonces a n = 1. Dado a G, sea H = a. Si m es el orden de a, entonces por el Ejercicio 16a sabemos que H = m. Pero por el apartado anterior tenemos que H divide a G, es decir, m divide a n, lo que implica que a n = Si f : G G es un homomorfismo de grupos, demuestre que Ker(f) es un subgrupo normal de G. Por el Ejercicio 20 sabemos que f(1 G ) = 1 G, lo que implica que 1 G Ker(f) y por tanto Ker(f). Dados a G y b Ker(f), probemos que a b a 1 Ker(f), es decir, f(a b a 1 ) = 1 G. Teniendo en cuenta que f(b) = 1 G y aplicando de nuevo el Ejercicio 20 obtenemos f(a b a 1 ) = f(a) f(b) f(a) 1 = f(a) f(a) 1 = 1 G. Por tanto Ker(f) es un subgrupo normal de G. 40. Si α, β S n, siendo β = (i 1, i 2,..., i r ) un ciclo, demuestre que α (i 1, i 2,..., i r ) α 1 = (α(i 1 ), α(i 2 ),..., α(i r )). Se trata de demostrar que dos aplicaciones son iguales. Dado x {1, 2,..., n}, existe un único elemento y {1, 2,..., n} tal que α(y) = x. Distinguimos dos casos. Supongamos en primer lugar que y {i 1, i 2,..., i r }, concretamente y = i 1. Entonces α (i 1, i 2,..., i r ) α 1 (x) = α (i 1, i 2,..., i r ) α 1 (α(i 1 )) = α (i 1, i 2,..., i r )(i 1 ) = α(i 2 ) que es precisamente el resultado de aplicarle el ciclo (α(i 1 ), α(i 2 ),..., α(i r )) al elemento x = α(i 1 ). Si y = i k para otro k {2,..., r}, el razonamiento es análogo. Supongamos ahora que y {i 1, i 2,..., i r }. Entonces claramente (α(i 1 ), α(i 2 ),..., α(i r ))(x) = x. Además α (i 1, i 2,..., i r ) α 1 (x) = α (i 1, i 2,..., i r ) α 1 (α(y)) = α (i 1, i 2,..., i r )(y) = α(y) = x, por lo que de nuevo ambas aplicaciones coinciden. 41. Compruebe que A 3 es un subgrupo normal de S 3. Se tiene que A 3 = {1, (1, 2, 3), (1, 3, 2)}. Para cualquier α S 3 es evidente que α1α 1 = 1 A 3. Por otra parte como consecuencia del Ejercicio 40 obtenemos que tanto α (1, 2, 3) α 1 como α (1, 3, 2) α 1 son de nuevo ciclos de longitud 3 y por tanto pertenecen a A Una secretaria recibe una máquina de escribir un tanto inusual. Cuando se pulsa la tecla correspondiente a un carácter, sobre el papel aparece un carácter distinto.

5 Sin embargo, todo carácter marcado en el teclado puede ser obtenido pulsando alguna tecla del mismo. La secretaria decide escribir el texto siguiente en la forma usual: algunas veces encontrar una razón me deja exhausta pero yo persisto, obteniendo la siguiente frase: rulvzrh xojoh ozjtzemrm vzr mrstz yo ionr ogcrvher aomt dt aomhphet. Ella retoma el resultado y lo escribe en la forma usual, obteniendo otra copia (indescifrable); de nuevo escribe el resultado en la forma usual, etc. Si la secretaria repite este proceso de forma indefinida, obtendrá eventualmente un copia del texto original? Cual es el texto que imprimirá la máquina de escribir tras repetir el proceso de escritura 2327 veces? Indicación: El teclado de la máquina de escribir lleva a cabo una transformación biyectiva α del alfabeto en sí mismo, pues tal y como se dice todo carácter marcado en el teclado puede ser obtenido pulsando alguna tecla del mismo. Además la información dada en el enunciado determina totalmente los ciclos disjuntos en los que se descompone α, los cuales son sufientes para deducir la respuesta. Por ejemplo, uno de dichos ciclos disjuntos es (A, R, M, Y, D, I, P ) Ejercicios aparecidos en exámenes anteriores. 7. Dado un grupo (G, ) y la aplicación f : G G definida por f(a) = a a, entonces a) f es un homomorfismo de grupos, aunque no es inyectivo, b) f es un homomorfismo de grupos, aunque no es sobreyectivo, c) f es un isomorfismo de grupos, d) f no es necesariamente un homomorfismo de grupos. f es un homomorfismo de grupos si para cualesquiera a, b G se verifica que f(a b) = f(a) f(b), es decir, si (a b) (a b) = (a a) (b b). Multiplicando por a 1 por la izquierda y por b 1 por la derecha en ambos miembros, resulta a b = b a. Por consiguiente f es un homomorfismo de grupos si y sólo si G es un grupo conmutativo, lo cual no se afirma en las hipótesis del enunciado. Por tanto la respuesta correcta es f no es necesariamente un homomorfismo de grupos. 18. Dados dos subgrupos H 1 y H 2 de un grupo G, cuál de las siguientes afirmaciones es siempre falsa? a) H 1 H 2 es un subgrupo de G G. b) H 1 H 2 es un subgrupo de G. c) H 1 H 2 es un subgrupo de G. d) H 1 \ H 2 es un subgrupo de G.

6 6 Por el Ejercicio 6 de la primera parte sabemos que G G es un grupo (en este caso el producto directo de G consigo mismo). Es inmediato comprobar que H 1 H 2 es un subgrupo de G G, si partimos de H 1 y H 2 subgrupos de G. Sabemos que en general H 1 H 2 no es un subgrupo de G, aunque sí puede serlo cuando H 1 H 2 o bien H 2 H 1. También sabemos que H 1 H 2 es siempre un subgrupo de G. H 1 \ H 2 nunca es un subgrupo de G, pues no contiene al elemento neutro de G.