MODELO DE BLACK-SCHOLES

Transcripción

1 MODELO DE BLACK-CHOLE

2 Puntos a esarrollar Como e obtiene la ecuacion e Black-choles e valoracion e erivaos? Valoracion neutral al riesgo Cuales son las formulas analiticas e valoracion e call y puts europeas? Que es la volatilia implicita? Como hay que moificar las formulas B-, para valorar opciones sobre inices, ivisas y futuros? Como se utilizan las opciones sobre inices para asegurar el valor e una cartera?

3 La Distribución Lognormal E e µ µ var e e

4 Los conceptos que subyacen en el moelo e Black-choles El precio e la opción y el precio e la acción epenen e la misma fuente e incertiumbre Poemos construir una cartera formaa por la opción y la acción para eliminar la incertiumbre La cartera es instantáneamente libre e riesgo y ebe ganar la rentabilia el activo libre e riesgo Esto conuce a la ecuación iferencial e Black- choles

5 La Derivación e la ecuación iferencial e Black-choles acciones : ƒ erivao : una cartera: Formamos ƒ ƒ ½ ƒ ƒ ƒ z t t z t µ µ

6 La Derivación e la ecuación iferencial e Black-choles El valor e la cartera Π vieneao por Π ƒ ƒ El cambioen su valor en el tiempo t vieneao por Π ƒ ƒ

7 La Derivación e la ecuación iferencial e Black-choles La rentabilia e la carteraebe ser la rentabilia el activo libre e riesgo : ustituyeno ƒ y e Black - choles : ƒ t Π r Π t se r obtiene la ecuación iferencial ƒ ½ ƒ rƒ

8 La ecuación iferencial Cualquier activo cuyo precio epene el precio e una acción satisface la ecuación iferencial anterior Las características particulares el activo que esté sieno valorao serán introucias a través e las coniciones e contorno En un contrato forwar la conición e contorno es ƒ K sieno t La solución a la ecuación es ƒ K e r t

9 Valoración riesgo-neutro La variable µ no aparece en la ecuación e Black- choles La ecuación es inepeniente e toas las variables afectaas por las preferencias e riesgo Esto conuce al principio e valoración riesgoneutro

10 Fórmulas e Black-choles r X r X e X p e X c r r ln ln one

11 Volatilia implícita La volatilia implícita e una opción es la volatilia para la cual el precio e Black- choles es igual al precio e mercao Hay una corresponencia uno a uno entre los precios y las volatiliaes implícitas

12 Divienos Las opciones europeas sobre acciones que pagan ivienos son valoraas sustituyeno el precio e la acción menos el valor actual el ivieno en Black-choles ólo eben incluirse los ivienos con vencimiento a lo largo e la via e la opción El ivieno ebería ser la reucción esperaa en el precio esperao e la acción

13 Ejemplo e opcion europea sobre una accion que paga ivienos Divienos entro e tres y seis meses son e os euros. Precio accion actual. P. Ejercicio 9 y fecha e ejercicio es 9 meses. asa libre e riesgo r%. Volatilia:.5 anual Remplazar en la formula e B-, el precio por menos los ivienos acualizaos:

14 D e rt... D e n rt n e.*.5 e.* y sustituyeno quea c

15 Opciones europeas sobre acciones que pagan ivienos continuos En caa uno e los siguientes casos tomamos la misma istribución e probabilia para el precio e una acción en el momento :. La acción parte el precio y proporciona una rentabilia por ivienos q. La acción parte el precio e q y no proporciona ingresos por ivienos

16 Opciones europeas sobre acciones que pagan ivienos continuos continuación Poemos valorar opciones europeas reucieno el precio e la acción a e q y tratánolas como si no hubiera ivienos

17 Formulas e valoracion ivienos continuos q r X q r X e Xe p Xe e c q r r q ln ln one

18 Opciones sobre Inices, Divisas y Futuros

19 Valorar opciones europeas sobre ínices Poemos usar la fórmula para una opción sobre una acción que paga ivienos continuos ea el nivel actual el ínice ea q la rentabilia esperaa por ivienos meia urante la via e la opción

20 Formula opciones europeas sobre inices qtasa e rentabilia por ivieno e las acciones el inice q r X q r X e Xe p Xe e c q r r q ln ln one

21 Opciones Europeas sobre Inices Valorar una put con fecha vencimiento 6 meses, valor el inice es, precio ejercicio 95, r %, rentabilia por ivieno e las acciones el inice 5%, volatilia % p.4648

22 Opciones sobre ivisas Las opciones sobre ivisas se negocian en la Bolsa e Filaelfia PHLX ambién se negocian en mercaos no organizaos over-the counter market, OC Las opciones sobre ivisas son usaas por las empresas para comprar un seguro cuano están expuestos al riesgo e tipos e cambio

23 El tipo e interés e la ivisa Denotamos el tipo e interés e la ivisa como r f Cuano una empresa compra una unia e ivisa tiene una inversión euros La rentabilia e invertir al tipo e interés e la ivisa es r f euros De manera que la ivisa proporcionan una rentabilia a la tasa r f, similar a los ivienos e las acciones

24 Valorar opciones europeas sobre ivisas Una ivisa es un activo que proporciona una rentabilia continua por ivienos igual a r f Poemos usar la fórmula para una opción sobre una acción que paga ivienos continuos: ea el actual tipo e cambio ea q r ƒ

25 Fórmulas para opciones europeas sobre ivisas f r r X f r r X e Xe p Xe e c r r r r f f ln ln one

26 Opciones europeas sobre ivisas Valorar una opcion e compra europea a cuatro meses sobre olares; tipo e cambio actual euroólar.9; precio ejercicio.95; tipo libre e riesgo zona euro 4%; tipo libre e riesgo UA 5.5%; volatilia tipo e cambio %

27 Valorar opciones europeas sobre futuros Poemos usar la fórmula para una opción sobre una acción para paga una rentabilia continua por ivieno ea el actual precio e futuro F ea q el tipo e interés libre e riesgo r Establecieno q r se asegura que el crecimiento esperao e F en un muno neutral al riesgo es cero

28 La Fórmula e Black Las fórmulas para opciones europeas sobre contratos e futuros son: [ ] [ ] X F X F F X e p X F e c r r ln ln one

29 Opciones sobre futuro IBEX-35 En opciones sobre futuros IBEX-35 la fecha e vencimiento e la opcion y el subyacente, coincien por lo que el precio e futuro a vencimiento es el precio e contao el IBEX-35

30 Opcion europea sobre futuros Valorar opcion sobre el futuro IBEX-35 a tres meses; precio e futuro actual 9535, precio ejercicio 96, volatilia el precio el futuro 5%, r4%

31 Resumen e los resultaos clave Poemos tratar los ínices e acciones, ivisas y los contratos e futuro como una acción que paga una tasa e rentabilia continua por ivienos e q Para ínices e acciones, q es la rentabilia por ivienos meia el ínice a lo largo e la via e la opción Para ivisas, q r ƒ Para futuros, q r

32 Usar opciones sobre ínices como seguro e cartera uponga que el valor el ínice es I y el precio e ejercicio es X i una cartera tiene una β e., el seguro e cartera se consigue comprano una opción e venta sobre el ínice por caa I ólares mantenios ila β no es., el gestor e cartera comprará β opciones e venta por caa I ólares mantenios En ambos casos, X es elegio para proporcionar el nivel aecuao e seguro

33 Ejemplo e seguro e cartera La cartera tiene una beta e. u valor actual es $ millón y el ínice está en El tipo e interés libre e riesgo es % por año La rentabilia por ivienos para ambos, la cartera y el ínice, es 4% Cuantas opciones e venta eberían comprarse para asegurar la cartera en 9. $? vencimiento opcion 3 meses

34 umero e puts compraas * valor cartera β * valor inice * *

35 Determinar el Precio e Ejercicio Valor el ínice en 3 meses,8,4, 96 9 Valor esperao e la cartera en 3 meses m illones $ Una opción con precio e ejercicio e 96 proveerá protección contra una caía el % en el valor e la cartera

36 Calcular la relación entre el nivel el ínice y el valor e la cartera en 3 meses i el ínice alcanza 4, proporciona una rentabilia el 4% en 3 meses La rentabilia total con ivienos es 5% El exceso e rentabilia sobre el tipo e interés libre e riesgo es % El exceso e rentabilia e la cartera es 4% El incremento el valor e la cartera es 43-6% El valor esperao e la cartera es $.6 millones