Interpolación. Escuela de Ingeniería Informática de Oviedo. (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 1 / 35

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1 Interpolación Escuela de Ingeniería Informática de Oviedo (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 1 / 35

2 Contenidos 1 Introducción 2 Interpolación de Taylor Cálculo del polinomio de interpolación Error 3 Interpolación de Lagrange Cálculo del polinomio de interpolación Error 4 Interpolación polinómica a trozos Spline cúbico Error (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 2 / 35

3 Introducción Motivación A menudo, en la solución de problemas, necesitamos el valor de una función en varios puntos. Pero: puede ser costoso en términos de uso de procesador o tiempo de máquina (por ejemplo una función complicada que hay que evaluar muchas veces). es posible que sólo tengamos el valor de la función en unos pocos puntos (por ejemplo, si proceden de los datos de un sondeo). Una posible solución es sustituir esta función complicada por otra más sencilla de evaluar. Estas funciones más sencillas suelen ser polinomios, funciones trigonométricas,... (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 3 / 35

4 Introducción Interpolación Datos: n + 1 puntos distintos x 0, x 1,..., x n n + 1 valores ω 0, ω 1,..., ω n n + 1 enteros k 0, k 1,..., k n Problema: Buscamos una función P que verifique P k i ) (x i ) = y i con i = 0, 1,..., n. Observaciones: x 0, x 1,..., x n se llaman nodos de interpolación ω 0, ω 1,..., ω n pueden ser los valores de una función f en los nodos: ω i = f k i ) (x i ) i = 0, 1,..., n (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 4 / 35

5 Introducción Un ejemplo de interpolación (x i,ω i ) P 5 (x 4,ω 4 ) (x 2,ω 2 ) (x 0,ω 0 ) (x 1,ω 1 ) (x 3,ω 3 ) (x 5,ω 5 ) (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 5 / 35

6 Introducción Interpolación polinómica Si P es un polinomio o una función polinómica a trozos se habla de interpolación polinómica. Ejemplos: 1 Interpolación de Taylor 2 Interpolación de Lagrange 3 Interpolación polinómica a trozos (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 6 / 35

7 Interpolación de Taylor Interpolación de Taylor Datos: un punto x 0 n + 1 valores ω 0, ω 1,..., ω n Problema: Hallar un polinomio P n de grado n tal que P n (x 0 ) = ω 0 P n (x 0 ) = ω 1 P n (x 0 ) = ω 2... P (n) n (x 0 ) = ω n (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 7 / 35

8 Interpolación de Taylor El polinomio de Taylor Cálculo del polinomio de interpolación Hipótesis: f : [a, b] R es n veces derivable en [a, b] x 0 [a, b] ω i = f i) (x 0 ) para i = 0, 1,..., n Polinomio de Taylor: P n (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0) f (n) (x 0 ) (x x 0) n 2! n! se llama polinomio de Taylor de grado n relativo a f en x 0 Interpolación de Taylor: Aproximamos f por P n en las proximidades del punto x 0 (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 8 / 35

9 Acotación del error Interpolación de Taylor Error Hipótesis: f : [a, b] R es n + 1 veces derivable en [a, b] con derivada continua. x 0 [a, b] ω i = f i) (x 0 ) para i = 0, 1,..., n Acotación del error: Si aproximamos la función f en un punto cercano a x 0 utilizando el polinomio de Taylor P n el error cometido es: f (x) P n (x) = f (n+1) (ξ x ) (x x 0) n+1 donde ξ x es un punto que está entre x 0 y x El error cumple f (x) P n (x) sup y [a,b] (n + 1)! f (n+1) (y) x x 0 n+1 (n + 1)! (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 9 / 35

10 Interpolación de Taylor Un ejemplo de interpolación de Taylor Error Polinomios de Taylor para f (x) = cos x en x 0 = cos x P 1 P 2 P (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 10 / 35

11 Interpolación de Lagrange Interpolación de Lagrange Datos: n + 1 puntos distintos x 0, x 1,..., x n n + 1 valores cualesquiera ω 0, ω 1,..., ω n Problema: Buscamos un polinomio P n de grado n que verifique P n (x 0 ) = ω 0 P n (x 1 ) = ω 1 P n (x 2 ) = ω 2... P (n) n (x n ) = ω n (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 11 / 35

12 Interpolación de Lagrange Interpolación de Lagrange Interpolación de Lagrange lineal (n = 1) Datos: 2 puntos distintos x 0, x 1 2 valores cualesquiera ω 0, ω 1 Problema: Buscamos un polinomio P 1 de grado 1 que verifique P n (x 0 ) = ω 0 P n (x 1 ) = ω 1 Polinomio de interpolación de Lagrange: Gráficamente, y = P 1 (x) es la recta que pasa por (x 0, ω 0 ) y (x 1, ω 1 ) P 1 (x) = ω 0 + ω 1 ω 0 x 1 x 0 (x 1 x 0 ) (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 12 / 35

13 Interpolación de Lagrange Un ejemplo de interpolación de Lagrange (x i,ω i ) P 1 (x) (x i,ω i ) P 2 (x) (x i,ω i ) P 3 (x) (x i,ω i ) P 4 (x) (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 13 / 35

14 Interpolación de Lagrange Existencia y unicidad Problema: Buscamos un polinomio que satisfaga las condiciones P n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n P n (x 0 ) = ω 0 P n (x 1 ) = ω 1 P n (x 2 ) = ω 2... P n (x n ) = ω n (1) Las condiciones (1) son equivalentes a los coeficientes del polinomio sean solución del sistema de ecuaciones lineales 1 x 0 x0 2 x n 0 a 0 ω 0 1 x 1 x1 2 x1 n a = ω 1. 1 x n xn 2 xn n a n ω n (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 14 / 35

15 Interpolación de Lagrange Existencia y unicidad La matriz de coeficientes del sistema es de tipo Vandermode: 1 x 0 x0 2 x n 0 1 x 1 x1 2 x n 1 A = x n xn 2 xn n Su determinante es det (A) = (x k x l ) 0 0 l k n Y el sistema tiene solución única y por lo tanto existe un único polinomio P n que cumple las condiciones (1) P n es el polinomio de interpolación de Lagrange en los puntos x 0, x 1,..., x n relativo a los valores ω 0, ω 1,..., ω n (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 15 / 35

16 Interpolación de Lagrange Cálculo del polinomio de interpolación Cálculo del polinomio de interpolación de Lagrange Motivación: Para calcular el polinomio de interpolación de Lagrange es suficiente con resolver un sistema de ecuaciones lineales. Pero haciéndolo de esta forma se pueden cometer grandes errores porque la matriz de Vandermonde está mal condicionada. Formas de cálculo: Usando los polinomios fundamentales de Lagrange Usando las diferencias divididas (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 16 / 35

17 Interpolación de Lagrange Cálculo del polinomio de interpolación Cálculo mediante los polinomios fundamentales de Lagrange Polinomios fundamentales: Para cada i = 0, 1,..., n, existe un único polinomio l i de grado n tal que l i (x k ) = δ ik (cero si i k, uno si i = k): l i (x) = n j = 0 j i x x j x i x j l 0, l 1,..., l n son los polinomios fundamentales de Lagrange de grado n Fórmula de Lagrange: El polinomio de interpolación de Lagrange en los puntos x 0, x 1,..., x n relativo a los valores ω 0, ω 1,..., ω n es P n (x) = ω 0 l 0 (x) + ω 1 l 1 (x) + + ω n l n (x) (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 17 / 35

18 Interpolación de Lagrange Cálculo del polinomio de interpolación Ejemplo del cálculo mediante los polinomios fundamentales de Lagrange l 0 (x) l 1 (x) l 2 (x) ω 0 l 0 (x) ω 1 l 1 (x) ω 2 l 2 (x) P 2 (x) (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 18 / 35

19 Interpolación de Lagrange Cálculo del polinomio de interpolación Cálculo mediante las diferencias divididas Diferencias divididas: Diferencias divididas de orden 0 [ω i ] = ω i i = 0, 1,..., n Diferencias divididas de orden k (k = 1,..., n) [ω i, ω i+1,..., ω i+k ] = [ω i, ω i+1,..., ω i+k 1 ] [ω i+1,..., ω i+k ] x i x i+k i = 0, 1,..., n k Ejemplos: Diferencias divididas de orden 1: Diferencias divididas de orde 2: [ω i, ω i+1 ] = ω i ω i+1 x i x i+1 i = 0, 1,..., n 1 [ω i, ω i+1, ω i+2 ] = [ω i, ω i+1 ] [ω i+1, ω i+2 ] x i x i+1 i = 0, 1,..., n 2 (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 19 / 35

20 Interpolación de Lagrange Cálculo del polinomio de interpolación Cálculo mediante las diferencias divididas Tabla de diferencias divididas: En la práctica, el cálculo de las diferencias divididas se dispone como x 0 ω 0 [ω 0, ω 1 ] [ω 0, ω 1, ω 2 ] [ω 0, ω 1,..., ω n ] x 1 ω 1 [ω 1, ω 2 ] [ω 1, ω 2, ω 3 ] x 2 ω 2 [ω 2, ω 3 ] [ω 2, ω 3, ω 4 ] x n 1 ω n 1 [ω n 1, ω n ] x n ω n (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 20 / 35

21 Interpolación de Lagrange Cálculo del polinomio de interpolación Cálculo mediante las diferencias divididas Notación: Si ω i = f (x i ) con i = 0, 1,..., n f [x i,..., x i+k ] = [f (x i ),..., f (x i+k )] Fórmula de Newton: El polinomio de interpolación de Lagrange en los puntos x 0, x 1,..., x n relativo a los valores ω 0, ω 1,..., ω n es P n (x) = [ω 0 ] + [ω 0, ω 1 ] (x x 0 ) + [ω 0, ω 1, ω 2 ] (x x 0 ) (x x 1 ) [ω 0, ω 1,..., ω n ] (x x 0 ) (x x 1 ) (x x n 1 ) Consecuencia: Se pueden calcular P 0, P 1,..., P n sucesivamente, añadiendo cada vez un punto nuevo a los cálculos, como P n (x) = P n 1 (x) + [ω 0, ω 1,..., ω n ] (x x 0 ) (x x 1 ) (x x n 1 ) (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 21 / 35

22 Interpolación de Lagrange Cálculo del polinomio de interpolación Ejemplo cálculo mediante las diferencias divididas P 1 (x) P 2 (x) P 3 (x) P 4 (x) (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 22 / 35

23 Error Interpolación de Lagrange Error Hipótesis: f : [a, b] R es n + 1 veces derivable en [a, b] con derivada continua. x 0, x 1,..., x n [a, b] ω i = f (x i ) para i = 0, 1,..., n Acotación del error: Si aproximamos la función f en un punto a x [a, b] utilizando el polinomio de interpolación de Lagrange P n el error cometido es: donde ξ x [a, b] El error cumple f (x) P n (x) = f (n+1) (ξ x ) (x x 0) (x x 1 ) (x x n ) (n + 1)! f (x) P n (x) sup y [a,b] f (n+1) (y) (x x 0) (x x 1 ) (x x n ) (n + 1)! (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 23 / 35

24 Interpolación polinómica a trozos Interpolación por splines Motivación: Si aumentamos el número de nodos: Aumenta el grado del polinomio de interpolación de Lagrange y los polinomios de grados altos presentan muchas oscilaciones Debería mejorar la aproximación, pero esto sólo sucede si las derivadas de la función están acotadas uniformemente Es decir, si aumentamos el número de nodos la interpolación de Lagrange puede hacerse inestable y puede crecer el error. Estrategia: Utilizar polinomios de grado bajo a trozos (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 24 / 35

25 Interpolación polinómica a trozos Ejemplo: oscilación de los polinomios de Lagrange e x2 (x i,ω i ) P 10 (x) (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 25 / 35

26 Interpolación polinómica a trozos Ejemplo interpolación a trozos e x2 (x i,ω i ) s (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 26 / 35

27 Interpolación polinómica a trozos Interpolación por splines Datos: n + 1 puntos distintos x 0 < x 1 <... < x n n + 1 valores cualesquiera ω 0, ω 1,..., ω n Problema: Encontrar una función s tal que 1 s es una función continua derivable p 1 veces en el intervalo [x 0, x n ] 2 s es una función a trozos formada por los polinomios s 0, s 1,..., s n 1 que vamos a usar respectivamente en [x 0, x 1 ], [x 1, x 2 ],..., [x n 1, x n ] y que son de grado menor o igual que p 3 Los polinomios pasan por los nodos: s (x 0 ) = ω 0 s (x 1 ) = ω 1... s (x n ) = ω n Puede probarse que este problema tiene solución Cada solución s se llama spline interpolador de orden p o p-spline en los puntos x 0, x 1,..., x n relativo a los valores ω 0, ω 1,..., ω n El spline más utilizado es el de orden 3, conocido como spline cúbico (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 27 / 35

28 Interpolación polinómica a trozos Ejemplo spline cúbico Spline cúbico sin(x) Lineal Spline (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 28 / 35

29 El spline cúbico Interpolación polinómica a trozos Spline cúbico Definición: Un spline cúbico es una función s tal que 1 s es 2 veces derivable en [x 0, x n ] con derivada continua. 2 Cada uno de los polinomios s 0, s 1,..., s n 1 que componen s son de grado 3. 3 Los polinomios pasan por los nodos: s (x 0 ) = ω 0 s (x 1 ) = ω 1... s (x n ) = ω n Observaciones: La expresión del spline cúbico s em cada subintervalo [x i, x i+1 ] se determina a partir de los valores de s en x i y x i+1 Los valores s (x i ) se obtienen resolviendo un sistema de ecuaciones lineales de matriz tridiagonal (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 29 / 35

30 Interpolación polinómica a trozos Cálculo del spline cúbico Spline cúbico Cuestión: Deducir una expresión del spline cúbico Paso 1: Por definición, s tiene derivada segunda contínua en [x 0, x n ] Por lo tanto s es continua y en particular ω 0 = s 0 (x 0 ) ω 1 = s 0 (x 1 ) = s 1 (x 1 ) ω 2 = s 1 (x 2 ) = s 2 (x 2 ) ω n 1 = s n 2 (x n 1 ) = s ω n = s n 1 (x n ) n 1 (x n 1 ) (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 30 / 35

31 Interpolación polinómica a trozos Cálculo del spline cúbico Spline cúbico Paso 2: Los polinomios s i son de grado 3. Por lo tanto s i son de grado 1, son rectas, con valores ω i y ω i+1 en los extremos del intervalo [x i, x i+1 ] Si aplicamos la forma de Lagrange a esta recta siendo h i = x i+1 x i Paso 3: i (x) = ω i x i+1 x + ω x x i i+1 h i h i s Integrando cada uno de estos polinomios con respecto a x: s i (x) = ω i (x i+1 x) 2 + ω (x x i ) 2 i+1 + C i 2h i 2h i donde C i es la constante de integración (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 31 / 35

32 Interpolación polinómica a trozos Cálculo del spline cúbico Spline cúbico Paso 4: Integrado otra vez: s i (x) = ω i (x i+1 x) 3 + ω (x x i ) 3 i+1 + a i (x i+1 x) + b i (x x i ) 6h i 6h i donde a i y b i son constantes de integración Paso 5: Deducimos a i y b i imponiendo las condiciones de interpolación s i (x i ) = ω i s i (x i+1 ) = ω i+1 Y obtenemos a i = ω i ω h i i h i 6 b i = ω i+1 ω h i i+1 h i 6 Conocidos los valores ω i conocemos el spline cúbico (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 32 / 35

33 Interpolación polinómica a trozos Cálculo del spline cúbico Spline cúbico Spline cúbico natural: Se pueden seguir varias opciones para definir el spline cúbico de forma unívoca: añadir 2 ecuaciones de forma que el sistema tenga una única solución imponer el valor de 2 incógnitas Si se imponen los valores de ω 0 = 0 y ω n = 0, se llama spline natural En este caso, los valores ω 1,..., ω n 1 son solución del sistema de ecuaciones lineales 2 ( ) h 0 + h 1 h h 1 2 ( ) h 1 + h 2 h ) (h n 3 + h n 2 h n 2 ) h n 2 2 (h n 2 + h n 1 ω 1 ω 2.. ω n 2 ω n 1 = n 2 n 3 n 1 n 2 con i = f (x i+1) f (x i ) h i (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 33 / 35

34 Interpolación polinómica a trozos Spline cúbico Condiciones en los extremos puntos Natural Sujeto Periodico Splines (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 34 / 35

35 Error Interpolación polinómica a trozos Error Hipótesis: f : [a, b] R es derivable 4 veces en [a, b] con derivada continua. x 0, x 1,..., x n [a, b] Acotación del error: Si aproximamos la función f en un punto a x [a, b] utilizando el spline cúbico natural s, el error cumple ( ) f (x) s (x) C max h i sup f (4 (y) i=0,...,n y [a,b] siendo C una constante independiente de f, de x y de max i=0,...,n h i (Dpto. de Matemáticas-UniOvi) Computación Numérica Interpolación 35 / 35