SISTEMA DIÉDRICO II Paralelismo, perpendicularidad y distancias Verdaderas magnitudes lineales TEMA 9 PARALELISMO

Transcripción

1 SSTEMA ÉRCO Paalelismo, pependiculaidad y distancias Vedadeas magnitudes lineales Objetivos y oientaciones metodológicas TEMA 9 Esta unidad temática es fundamental y, a la vez, su explicación se puede ace de foma muy sencilla y esumida. El alumno debe apende la condición de paalelismo, pimeo ente ectas y después ente planos. Patiendo de esto se pueden esolve otos poblemas de paalelismo muy sencillos. Aplicando el teoema de las tes pependiculaes indicado en la Fig. 3 del tema, apendeá de foma inmediata el tazado de la ecta pependicula a un plano o del plano pependicula a una ecta. Con esto, el alumno podá esolve otos poblemas sobe pependiculaidad. El alumno apendeá a detemina la distancia ente dos puntos, poblema al que se educen todos los poblemas de distancias. Se aplicaá a detemina la distancia ente punto y plano, punto y ecta, planos paalelos y ectas paalelas. Esto ay que acelo siempe patiendo del esquema de opeaciones en el espacio. El desaollo de esta unidad temática puede acese en tes clases. GEOMETRÍA ESCRPTVA PARALELSMO. Paalelismo ente ectas (Figs., y 3) os ectas paalelas en el espacio se poyectan otogonalmente sobe un plano cualquiea, según dos ectas paalelas. Po el contaio, si las poyecciones de dos ectas sobe un plano son paalelas, no quiee deci que aquéllas lo sean en el espacio. En la Fig., las ectas y s son paalelas en el espacio y se poyectan según y s, que son paalelas; sin embago, las ectas s y t se poyectan según dos ectas paalelas s y t y ellas no son paalelas en el espacio; esto se debe a que están situadas en planos poyectantes paalelos. t s t' Fig.. BUJO TÉCCO - Bacilleato 89

2 GEOMETRÍA ESCRPTVA PV H H V V s s V H V s H PH solución en el espacio Fig.. s P s P La condición necesaia y suficiente paa deduci que dos ectas son paalelas en el espacio es que sus poyecciones sobe los dos planos H y V sean paalelas (salvo en el caso de ectas de pefil). En la Fig., las ectas y s son paalelas y sus poyecciones del mismo nombe también lo son, es deci, y s son paalelas y y s también. El poblema que se pesenta en la páctica es el siguiente: dada una ecta -, taza po un punto P -P dado la ecta s -s paalela a ella (Fig. 3). El poblema se esuelve de foma inmediata: po P se taza s, paalela a, y po P se taza s, paalela a. Si la ecta es de pefil, paa taza la paalela a ella po un punto, ay que pasa la ecta y el punto a tecea poyección y taza la paalela en esta poyección, y devolve luego esta ecta a las poyecciones del punto. Fig. 3. PV. Paalelismo ente planos (Figs. 4, 5 y 6) Al cota a dos planos paalelos po un tece plano, las intesecciones son dos ectas paalelas (Fig. 4). Si el plano secante es el plano H, las intesecciones son las tazas oizontales α y β, que esultan paalelas. Po el mismo azonamiento, las tazas veticales α y β de los planos también esultan paalelas. PH solución en el espacio Fig. 4. Fig. 5. ' ' f'' '' En la Fig. 5, ya en poyecciones, los planos α(α -α ) y β(β -β ) son paalelos, po tene paalelas las tazas del mismo nombe. El poblema que se pesenta, nomalmente, en la páctica es taza po un punto el plano paalelo a oto dado. Este poblema, como en el caso de ectas, constituye una opeación simple y elemental, y se esuelve en la Fig. 6. Recodemos que las oizontales de plano tienen su poyección oizontal paalela a la taza oizontal del plano; según esto, po el punto dado P -P, se taza la oizontal -, siendo paalela a β ; la taza vetical de la ecta es el punto V y po éste pasa la taza α, paalela a β. La taza oizontal α pasa po el punto de L.T. y es paalela a β. gualmente, se puede taza po P -P la fontal f -f, siendo f paalela a β, y po la taza oizontal H de ella ace pasa la taza α, paalela a β. ' f' ' Fig BUJO TÉCCO - Bacilleato

3 3. Poblema (Fig. (Fig. 7) ado un plano paalelo al pime bisecto y po encima de él, taza po un punto del segundo octante el plano paalelo al dado. El plano paalelo al pime bisecto es el α -α, paalelo a L.T. y de tazas confundidas. El punto dado es el A -A. Se pasa el plano a tecea poyección, según la ecta α y el punto dado, cuya tecea poyección es A. Po A se taza el plano β, paalelo a α, y se obtienen las tazas β y β del plano paalelo al dado y que apaecen también confundidas en una sola. 4. Paalelismo ente ecta y plano (Figs. 8 y 9) Una ecta y un plano son paalelos cuando la ecta es paalela, al menos, a una ecta contenida en el plano. En la Fig. 8 del espacio, la ecta s(s -s ) es paalela al plano α -α po se paalela a una ecta ( - ) de dico plano. El poblema que se pesentaá en la páctica seá el de taza una ecta paalela a un plano dado. ecimos una ecta pues, si no cumple la ecta ota condición, ay infinitas soluciones. El conjunto de las ectas paalelas a un plano y que pasan po un punto foman el plano paalelo al dado po dico punto. En la Fig. 9 tenemos el plano α -α ; se toma una ecta cualquiea - de él y la ecta s -s, paalela a ella po el punto P -P, es paalela al plano α. PH A'' A' PV _ ' ' Fig. 7. ' Fig. 8. ' A ' ' ' ' ' s ' GEOMETRÍA ESCRPTVA ' 5. Poblema: po una ecta dada, taza el plano paalelo a ota ecta conocida (Fig. 0) Sea la ecta ( - ) y ay que ace pasa po ella el plano α que sea paalelo a ota ecta s(s -s ). Se toma un punto A(A -A ) de la ecta y se taza po él la ecta s (s -s ), paalela a la s. El plano definido po las ectas y s es el α(α -α ), cuyas tazas pasan po las tazas del mismo nombe de las ectas - y s -s. Ejemplo paa esolve. Po una ecta con el segmento ente tazas en el pime diedo, ace pasa el plano paalelo a ota ecta contenida en el segundo bisecto. ' ' Fig. 9. ' A'' ' A' ' ' ' Fig. 0. BUJO TÉCCO - Bacilleato 9

4 GEOMETRÍA ESCRPTVA ' ' ' ' A'' ' ' ' A' Fig... ' 6. Poblema: po un punto dado A, ace pasa el plano paalelo a dos ectas y s no coplanaias (Fig. ) Po el punto A(A -A ) se tazan las ectas - y s -s, paalelas a las y s, espectivamente. El plano α(α -α ), definido po las ectas y s, es el único plano que pasando po A es paalelo a las ectas dadas. PERPECULARA 7. Recta pependicula a un plano (Figs., 3 y 4) La geometía del espacio nos enseña que una ecta es pependicula a un plano cuando la ecta es pependicula a dos ectas del plano que pasen po su pie. Como este enunciado no tiene aplicación páctica en geometía desciptiva, enunciamos el llamado teoema de las tes pependiculaes, en el cual se fundan todos los poblemas de pependiculaidad. ice así: Si dos ectas y s son pependiculaes en el espacio y una de ellas, la s, es paalela a un plano β, sobe el que se poyectan, las poyecciones de ambas son dos ectas y s pependiculaes (Fig. ig. ). Po la aplicación inmediata que tiene en geometía desciptiva, enunciamos el siguiente teoema: Si una ecta es pependicula a un plano α, la poyección de la ecta sobe un plano (po ejemplo, el plano H) y la intesección del plano con el de poyección, taza α, son dos ectas pependiculaes (Fig. 3). s H PH ' Fig. 3. Fig.. Como puede deduci el lecto, es esta ota foma de enuncia el teoema de las tes pependiculaes, ya que las ectas y α son pependiculaes y una de ellas, α, no sólo es paalela al plano de poyección, sino que petenece a él. La ecta es la taza, con el oizontal, del plano δ, poyectante de la ecta y pependicula a los planos α y H. 9 BUJO TÉCCO - Bacilleato

5 Genealizando el enunciado paa cualquie plano, po ejemplo, el plano V, veamos cómo se taza la ecta pependicula a un plano po un punto P conocido. Sean el plano de tazas α -α y un punto cualquiea P(P -P ), que puede incluso petenece al plano (Fig. 4). Po cada poyección del punto se taza la ecta pependicula a la taza del mismo nombe del plano, así, po P pependicula a α y po P, pependicula a α. La ecta - es la solución única. ' ' 9. Plano pependicula a una ecta (Fig. 6) Tenemos la ecta - y ay que taza el plano α -α, pependicula a ella po el punto P -P. e antemano, po el teoema enunciado, se sabe que las tazas seán pependiculaes a las poyecciones del mismo nombe de la ecta. Según esto, po el punto P -P se ace pasa una ecta del plano que se busca, de la cual sabemos la diección; esta ecta es la oizontal - ; pasa po P y es paalela a L.T. y pasa po P y es pependicula a ; se alla su taza vetical V y po este punto pasa la taza α, pependicula a ; la taza α pasa po el punto y es pependicula a. gualmente se puede opea con la ecta fontal f -f, siendo f pependicula a. ' ' f'' ' '' GEOMETRÍA ESCRPTVA ' Fig Poblema: taza la ecta pependicula a un plano que está definido po dos ectas cualesquiea (Fig. 5) El plano dado está definido po las ectas ( - ) y s(s -s ). El plano α, paalelo al H, cota al anteio según la oizontal -, que pasa po los puntos ( - ) y ( - ). La poyección oizontal de la ecta buscada es t, pependicula po P a. El plano β, paalelo al V, cota al dado según la fontal f -f, que pasa po los puntos 3(3-3 ) y 4(4-4 ). La poyección vetical t es pependicula a f, tazada po P. La ecta t(t -t ) es la pedida. -'' -f' ' ' ' '' 3'' 3' A'' A' ' 4'' '' 4' ' Fig. 5. f'' t'' t' ' Fig Rectas pependiculaes ente sí os ectas pependiculaes en el espacio se poyectan sobe un plano, genealmente según dos ectas oblicuas. Tan sólo en el caso de que una de ellas sea paalela al plano de poyección, se poyectan según dos ectas pependiculaes. Quiee deci esto que con la sola inspección de las poyecciones de dos ectas que se cotan no se puede sabe si son o no pepen- diculaes en el espacio. Resolveemos el poblema de taza po un punto P la ecta s, pependicula a ota dada que la cote. Se ace pasa po P el plano pependicula a la ecta, poblema ya esuelto; se detemina el punto de intesección de ambos y este punto de intesección, unido con el P, nos da la pependicula pedida. (Véase el apatado 6, istancia de un punto a una ecta.) Según lo anteio, no ay condición de pependiculaidad ente ectas. f' ' BUJO TÉCCO - Bacilleato 93

6 GEOMETRÍA ESCRPTVA P ' ' ' ' Fig. 7. ' ' M. Planos pependiculaes ente sí (Fig. 7) os planos son pependiculaes cuando uno de ellos contiene, al menos, una ecta que es pepen- dicula al oto. En la pate supeio izquieda de la figua, se indica en esquema la foma de taza, po un punto P, un plano β pependicula a oto plano α dado. Se taza po P la ecta pependicula al plano α y cualquie plano que pase po la ecta seá pependicula al dado. El poblema, sin más condiciones, tiene infinitas soluciones. En el sistema diédico (Fig. 7), dados el plano α -α y el punto P -P, se taza la ecta -, pependicula po P al plano α; las tazas de esta ecta son los puntos H y V y paa taza un plano cualquiea que pase po la ecta, basta toma un punto M en L.T. y unilo con H y V. Un plano solución es el β -β. ' ' ' ' '. Poblema: po un punto P -P, taza el plano pependicula a otos dos planos dados α y β (Fig. 8) Po el punto P(P -P ) se tazan las ectas ( - ) y s(s -s ) pependiculaes a los dos planos dados α(α -α ) y β(β -β ), espectivamente. El plano ω -ω definido po estas dos ectas es pependicula a los anteioes, según emos indicado en la pegunta anteio. Las tazas veticales de las ectas son V y V, po donde pasa ω, y las oizontales H y H, que definen la taza ω. Fig. 8. ' ' ' ' ' ' ' 3. Poblema: po una ecta s, ace pasa el plano pependicula a oto plano dado α (Fig. 9) Sean el plano α -α y la ecta s -s ; po esta ecta sólo pasa un plano que sea pependicula al dado. Paa deteminalo, se toma un punto P -P de la ecta s y po él se taza la pependicula - al plano α. Las ectas y s definen al plano β -β, que es la solución y cuyas tazas pasan, la β po H y H y la β, po V y V. Fig BUJO TÉCCO - Bacilleato

7 4. istancia ente dos puntos (Figs. y ) (Figs. 0, Tenemos en el espacio los puntos A y B (Fig. 0); sus poyecciones A y B sobe el plano H deteminan la poyección oizontal d de la distancia. Po el punto B se taza la paalela a d y se foma el tiángulo ectángulo B-A -A, cuyos catetos son la poyección oizontal d del segmento AB y la difeencia de cotas = A-A de los puntos A y B especto al plano H. STACAS VERAERAS MAGTUES LEALES A A A' A PH Fig. 0. B' B GEOMETRÍA ESCRPTVA En el sistema diédico (Fig. ), las poyecciones de los puntos son A -A y B -B y la distancia es d -d. Po A se taza la pependicula a d y sobe ella se lleva la difeencia de cotas = A. El segmento B es, vedadea magnitud de la distancia en el espacio. d B También se puede toma como cateto la poyección vetical d y como el oto cateto, la difeencia de los alejamientos de los dos puntos. d B A Fig.. Si los puntos están en distinto diedo, ay que considea las cotas y los alejamientos con los dos signos (Fig. ). El punto B -B es del pime diedo y el punto A -A es del tece diedo. La cota de B es positiva y la de A es negativa, po lo que la difeencia de cotas se tansfoma en una suma, es deci, en el segmento. En este caso, la distancia es el segmento = B. A d B A d B Fig.. BUJO TÉCCO - Bacilleato 95

8 GEOMETRÍA ESCRPTVA 5. istancia de un punto a un plano (Fig. 3) En la pate supeio de la figua se indica el pocedimiento geneal que se a de segui. La distancia de un punto P a un plano α se detemina tazando la pependicula po el punto P al plano; se alla el punto de intesección de la ecta y el plano, y el segmento P- es la distancia pedida. En el sistema diédico, pate infeio de la Fig. 3, sean el punto P -P y el plano α -α ; la ecta pependicula po P al plano es -. El punto de intesección - se detemina empleando el poyectante vetical β -β de la ecta, que cota al plano α según la ecta i -i y ésta encuenta a la en -. La distancia P- tiene po poyecciones d -d y la vedadea magnitud es el segmento P - 0 =, obtenido como en el páafo anteio. 6. istancia de un punto a una ecta (Fig. 4) En la pate supeio de la figua se indica el pocedimiento geneal que se a de segui. Sean el punto P y la ecta. Po el punto se taza el plano α pependicula a, a la que cota en el punto. El segmento -P es la distancia, en vedadea magnitud, del punto a la ecta. Estas opeaciones se esuelven en diédico en la pate infeio de la figua. Po P(P -P ) se taza el plano α(α -α ), pependicula a ( - ), po medio de la oizontal -, siendo pependicula a. El plano α cota a la ecta en ( - ), que se obtiene empleando el poyectante vetical de la ecta, β -β, siendo i -i la intesección de ambos planos y ésta cota a en el punto -. La distancia P tiene po poyecciones d -d y la vedadea magnitud es. P P ' ' '' ' ' ' o ' ' ' ' ' ' ' '' '' ' ' i' i' Fig. 3. Fig BUJO TÉCCO - Bacilleato

9 7. istancia ente dos ectas paalelas (Fig. 5) La distancia ente dos ectas paalelas y s (pate supeio de la figua) se detemina tazando un plano α pependicula a ellas y allando los puntos e de intesección con ambas. En diédico tenemos dos ectas ( - ) y s(s -s ), paalelas; el plano α(α -α ) citado es pependicula a las dos ectas. La ecta cota al plano en -, obtenido po medio del auxilia poyectante β -β y cuya intesección con el α es la ecta i -i. La ecta s cota al plano α en -, que se a obtenido po mediación del plano poyectante ε -ε y cuya intesección con el α es la ecta i -i. El segmento d -d es la distancia en poyecciones y la vedadea magnitud. s 8. istancia ente dos planos paalelos (Fig. 6) En la pate supeio de la figua se indica el pocedimiento geneal que se a de segui. Se taza una ecta pependicula a los planos y se allan los puntos de intesección de ella con los planos dados. La distancia es el segmento -. En el sistema diédico, los dos planos son α(α -α ) y β(β -β ). Se taza una ecta ( - ) pependicula a ambos; esta ecta cota al plano α en el punto -, empleando el poyectante vetical ω -ω de la ecta, y al plano β lo cota en el punto -. La poyección de la distancia es d -d y la vedadea magnitud. GEOMETRÍA ESCRPTVA ' '' ' '' ' ' '' ' '' i' ' ' i' i' ' ' i' Fig. 5. Fig Repaso de los conocimientos más necesaios de la geometía del espacio Una ecta es paalela a un plano cuando lo es a una ecta de dico plano. Si cotamos dos planos paalelos po un teceo, las intesecciones son dos ectas paalelas. Si un plano cota a una ecta, cota también a cualquie ecta paalela a ella. adas dos ectas paalelas, todo plano que contenga o sea paalelo a una de ellas contiene o es paalelo a la ota. os planos paalelos a una ecta se cotan según una ecta paalela a aquélla. os ectas paalelas a una tecea son paalelas ente sí. ados dos planos paalelos, toda ecta paalela o contenida en uno de ellos es paalela o está contenida en el oto. os planos paalelos a un teceo son paalelos ente sí. Po un punto exteio a un plano sólo pasa un plano paalelo a él. BUJO TÉCCO - Bacilleato 97

10 GEOMETRÍA ESCRPTVA El luga geomético de las ectas paalelas a un plano que pasan po un punto es el plano paalelo al pimeo que pasa po dico punto. Según esto, paa taza po un punto el plano paalelo a oto, basta taza po el punto dos ectas cualesquiea que sean paalelas al plano dado. Una ecta es pependicula a un plano cuando es pependicula a dos ectas del plano que pasan po su pie. Si una ecta es pependicula a un plano, lo es a todas las ectas del plano. Si dos ectas son paalelas, todo plano pependicula a una de ellas lo es también a la ota. Si dos planos son paalelos, toda ecta pependicula a uno lo es también al oto. Según esto, dos planos pependiculaes a una misma ecta son paalelos y dos ectas pependiculaes a un mismo plano son paalelas. Si una ecta es pependicula a un plano, toda ecta pependicula a ella es paalela al plano o está contenida en él.. Po un punto del segundo diedo taza la ecta paalela a una ecta de pefil dada po sus tazas.. Po un punto dado taza el plano paalelo a un plano poyectante oizontal. dem, a un plano poyectante vetical. 3. Po un punto dado, taza el plano paalelo a un plano paalelo a la L.T. 4. Po un punto del pime diedo taza el plano pependicula: º. A una ecta vetical. º. A una ecta pependicula al plano vetical. 3º. A una ecta oizontal. 4º. A una ecta fontal. 5º. A una ecta de pefil que cota a la L.T. 6º. A una ecta de pefil que es pependicula al pime bisecto. 5. Po un punto del pime diedo taza la ecta pependicula: º. A un plano fontal. º. A un plano oizontal. 3º. A un plano paalelo a la L.T. 4º. A un plano poyectante oizontal. 5º. A un plano poyectante vetical. 6º. A un plano pependicula al segundo bisecto. 6. ados dos planos, uno pasa po la L.T. y un punto del pime diedo, el oto es pependicula al segundo bisecto, y dado también oto punto del pime diedo, taza po este punto el plano que sea pependicula a los otos dos. 7. Los puntos A( 6,,) y B( 6,,6) definen una ecta. Se pide: º. Repesenta po sus tazas el plano paalelo a L.T. que pasa po ella. º. Taza un plano paalelo a éste po el punto P (6,4,7). ACTVAES 3º. Repesenta po sus tazas el plano definido po la ecta AB y el punto C(,, ). 4º. Taza el plano paalelo a éste po el punto (0,,). 8. Po la L.T. taza el plano pependicula a un plano oblicuo dado. 9. Halla la distancia en poyecciones y vedadea magnitud que ay ente un punto dado del pime diedo y un plano pependicula al segundo bisecto. 0. Halla la distancia de un punto del segundo diedo a un plano paalelo a L.T. y con la poción ente tazas en el cuato diedo.. Halla la vedadea magnitud de la distancia de un punto del segundo diedo a una ecta que está contenida en el pime bisecto.. Halla los puntos de la L.T. que disten 6 unidades del punto P(3-4). 3. Halla la vedadea magnitud de un segmento de una ecta de pefil limitado po sus tazas y definida po: º. Sus tazas. º. os de sus puntos. 3º. Uno de sus puntos y el ángulo que foma con uno de los planos de poyección. 4º. Uno de sus puntos y la distancia de esta ecta a L.T. 4. Halla la distancia de un punto a un plano si: º. El plano es paalelo a L.T. º. El plano está deteminado po L.T. y un punto. 3º. El plano tiene sus dos tazas en línea ecta. 5. Halla la distancia de un punto dado: º. A la L.T. º. A una paalela a L.T. 3º. A una ecta situada en el plano vetical. 4º. A una oizontal cualquiea. 98 BUJO TÉCCO - Bacilleato