1. Los planetas describen órbitas elípticas planas en uno de cuyos focos está el sol.
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- Monica Revuelta Cano
- hace 6 años
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1 LEYES DE KEPLE 1. Los planetas desciben óbitas elípticas planas en uno de cuyos focos está el sol. Esta ley esulta evidente si tenemos en cuenta que las fuezas gavitatoias son fuezas centales y que se conseva el momento angula. Po tanto al consevase el momento angula L mv (tanto en módulo como en diección la tayectoia debe se plana, fomada po el plano que deteminan los vectoes y v ). El adio vecto que une el sol con uno de los planetas bae áeas iguales en tiempos iguales En la figua hemos epesentado el áea baida po el vecto de posición en el tiempo t. Como ecodaás, el módulo del poducto vectoial de dos vectoes es igual al áea del paalelogamo que foman, y obviamente la mitad al tiángulo, así que: 1 da d da 1 v dt 1 m s mv dt 1 m l dt da 1 l cte. dt m
2 . Los cuadados de los peiodos de evolución de los planetas son popocionales a los cubos de la distancia media de los planetas al sol: T k La demostación de la tecea ley es consecuencia de la ley de gavitación univesal de Newton. Que el planeta se mantenga en óbita supone, desde el punto de vista de un obsevado inecial, que el peso del satélite se compense con la fueza centífuga: simplificando: Teniendo en cuenta que: Peso Fc G v m G v m Sustituyendo: v ω ω π T v π T despejando el peiodo: 4π T T 4 π G G T k Como puede vese todo lo que engloba el cículo son constantes (no apaece la masa del planeta) y el esultado de la opeación, lógicamente, coesponde a una constante
3 CAPO GAVITATOIO TEESTE Suponiendo que la tiea es una esfea de adio y de masa, la fueza con que ataeá a una masa m colocada en sus inmediaciones vendá dada po la ley de gavitación univesal de Newton: m F G u ( + h) A la fueza con que la tiea a tae a las masas se le llama peso: F mg, así que tenemos que la aceleación de la gavedad en un punto no es más que la Intensidad de campo gavitatoio en ese punto: g G ( + h) u Paa el caso conceto de puntos póximos a la supeficie teeste, y si despeciamos po ahoa la otación de la tiea alededo de su eje, su módulo seía: ,98 10 g G 6, ,8m / s FACTOES QUE INFLUYEN EN LA ACELEACIÓN DE LA GAVEDAD La aceleación de la gavedad no es una constante (a veces de tanto utiliza en los ejecicios de mecánica el valo de 9,8 m/s algunos alumnos llegan a pensa que siempe vale eso) y depende de dos factoes: 1. de la altua sobe la supeficie teeste, ya que su módulo es: g G G ( + h) Como puede vese el valo de la aceleación de la gavedad disminuye con la altua.. de la latitud. Ya que como la tiea está giando alededo de su eje, cualquie cuepo situado sobe ella estaá sometido (desde el punto de vista de un obsevado inecial) a una aceleación que seá la esultante de la gavedad en ese punto y de la aceleación centífuga. A 45º de latitud y al nivel del ma, la aceleación de la gavedad tiene el valo de 9,81 m/s, que es el valo que suele tomase en los ejecicios de mecánica.
4 Ejemplo: Enconta la elación ente el valo de la gavedad en la supeficie teeste y el valo que tiene a una altua h sobe la supeficie. Si llamemos g al valo en la supeficie teeste y g al valo que tiene a una altua h, tendemos que: g G g G ( + h) si dividimos miembo a miembo las dos expesiones, tendemos que: g ( + h) g ( + h) g g Como puede vese a medida que nos alejamos de la supeficie teeste el valo de g disminuye. Ejemplo: Calcula, en un luga de la tiea situado a 45º de latitud: a) la aceleación centífuga b) la aceleación de la gavedad a) Hay que tene cuidado y dase cuenta de que la cicunfeencia que descibe el punto de latitud 45º no es igual al adio de la tiea, sino a. Po tanto la fueza centífuga seá: v ( ω) Fc m m mω a c ω como: π π π 5 ω 7,7 10 ad / s T 1día cos cos m
5 Sustituyendo: 5 a c ω ( 7,7 10 ) ,04m / s b) La aceleación de la gavedad, suponiendo que la tiea no giase viene dada po: ,98 10 g G 6, ,8m / s Ahoa bien, al considea su otación, la aceleación eal en un deteminado luga es la que esulta de compone vectoialmente la aceleación centífuga paa ese punto con la aceleación de la gavedad calculada anteiomente: g g + eal a c Paa un sistema de efeencia como el de la figua, las aceleaciones en foma de vecto seían: g 9,8cos 45i 9,8sen45 j 0,04i a c g eal 6,97i 6,951j El módulo de la aceleación en ese punto seía: g eal ( 6,97) + ( 6,951) 9,81m / s que esulta se el valo que se toma paa la aceleación de la gavedad en los ejecicios de mecánica. Obseva que, de acuedo con lo anteio, el valo máximo paa la aceleación de la gavedad la tenemos en los polos, y el valo mas pequeño en el ecuado que es donde la aceleación centífuga es mayo. ( a c ω paa el ecuado t y además es un vecto opuesto a g)
6 g g eal, polo G G eal, ecuad ω Ejemplo: Qué elación hay ente el peso de una masa m en las inmediaciones de la tiea y en un planeta que tenga una masa 10 veces supeio y el doble de adio? uy sencillo, expesamos la fueza que cada planeta hace sobe la masa y las dividimos miembo a miembo: F tiea m G F planeta 10 m G () F F tiea planeta 4 10 de donde: 10 F planeta F tiea 4 Evidente, ya que como la fueza de atacción gavitatoia (peso) es diectamente popocional a la masa e invesamente popocional al cuadado de la distancia que sepaa las masas, seá 10 veces mayo y veces más pequeña.
7 CAPO GAVITATOIO EN EL INTEIO DE LA TIEA De la expesión de la ensidad de campo podía deducise a bote ponto que al disminui la gavedad iá aumentando hasta hacese infinito en el cento de la tiea (0). Peo no es así, ya que si te das cuenta cada vez que nos vamos adentando en el eio de la tiea cada vez hay menos capas de masas que influyen al campo, de manea que disminuimos, peo también la masa, así que la gavedad en un punto eio seá: g G u Suponiendo que la densidad de la tiea fuea constante: de donde sustituyendo en g tenemos: d m V t π 4 t t 4 π t g G u G t t u g t t lo que esumiendo quiee deci que el módulo de la aceleación de la gavedad vale: g dento g t g fuea G Dento de la tiea va aumentando linealmente con la distancia al cento hasta llega a tene el valo máximo g t en su supeficie y fuea disminuye con el cuadado de la distancia
8 SATÉLITES: VELOCIDAD OBITAL Y VELOCIDAD DE ESCAPE Paa que un satélite de masa m obite a una distancia alededo de la tiea, desde el punto de vista de un obsevado inecial, es peciso que la fueza peso con que lo atae la tiea sea igual a la fueza centífuga: Fgav Fc m G v m v obital G La enegía total del satélite cuando está en su óbita a una distancia del cento de la tiea seá suma de cinética y potencial, es deci: E Ec + Ep sustituyendo v y opeando 1 E mv 1 E m G m + G 1 m E G m + G ientas el satélite pemanezca en esa óbita no consume enegía, poque se desplaza po una supeficie equipotencial. ecueda que: WA B, campo m.( VA VB ) Si V A V B W0 además en el caso del campo gavitatoio esulta obvio, ya que la fueza gavitatoia y el vecto desplazamiento po una supeficie equipotencial (que son esfeas concénticas) foman ángulo de 90º y su coseno es 0 El signo menos de la enegía total del satélite indica que se tata de un sistema ligado a la tiea, es deci que po sí mismo nunca se podía escapa de la atacción teeste. Paa escapa debeía tene enegía positiva o como mínimo nula.
9 La velocidad de escape de un cuepo que es lanzado desde la supeficie de la tiea es aquella que pemite que el cuepo escape de la atacción teeste y ello equiee que su enegía total sea positiva o nula como mínimo. En efecto, ya que como sabemos, cuando lanzamos un cuepo desde la supeficie de la tiea, la atacción gavitatoia hace que su velocidad vaya disminuyendo confome se aleja a la vez que se va tansfomando en potencial. Si queemos que el cuepo escape completamente debemos comunicale una enegía cinética de manea que no se detenga hasta llega al infinito. Y en el infinito su enegía mecánica seía ceo poque llega con velocidad ceo y poque allí su Ep0, ya que es invesa a la distancia, así que como la enegía mecánica en el lanzamiento debe se igual a la que tiene en el infinito: Ec tiea + Ep Ec Ep tiea + E 1 mv m 1 + G mv escape m + G de donde: G v escape Si el cuepo estuviea a una altua h la velocidad de escape, seía vescape G donde +h Como puedes ve compaando la velocidad obital y la velocidad de escape: v escape v obital Ejemplo: Con qué velocidad había que lanza desde la supeficie de la tiea una nave paa que llegue a la luna? Datos: T 5, Kg L 7,5.10 Kg d T-L, m Esto es casi igual si que nos pidiean la velocidad con que hay que lanza una pieda paa que llegue al tejado. La pequeña difeencia es que, en este caso, solo tenemos que lleva el cuepo hasta una distancia x donde el campo gavitatoio y el luna se igualan y luego ya seá la luna la que tie del cuepo y lo lleve hasta su supeficie.
10 El punto P o donde la gavedad teeste y luna se igualan, es deci g T g L : G x T L G ( d x) x, m Y ahoa simplemente, aplicamos la consevación de la enegía mecánica ente la supeficie de la tiea y ese punto P o donde la gavedad es ceo, que es donde hay que lleva al cuepo. Ec + Ep Ec + Ep tiea tiea P0 P0 1 mv m 1 + G mv T Po T m + G x v G T 1,11 10 m / s T x Ejemplo: Un satélite de 100Kg de masa descibe una obita cicula a 00Km de la supeficie teeste. a) Calcula su velocidad obital b) Qué le pasaía si po efecto del ozamiento el satélite va pediendo enegía? Y en paticula Qué le ocuiía a su velocidad angula? c) Peiodo d) Enegía potencial, cinética y total del satélite e) Enegía necesaia paa ponelo en óbita f) Velocidad necesaia paa que escape del campo gavitatoio Datos: T 5, Kg T 670Km Paa un obsevado situado en el satélite, éste estaá sometido a dos fueza en la misma diección y sentido contaio: El peso y la F.centífuga, y ambas deben se iguales paa que se mantenga en óbita. Tiea + h
11 de donde: Fgav Fc m G v m 11 4 v G G 6, , m s obital + h / b) Cuando po efecto del ozamiento pieda enegía comenzaá a descibi una espial hasta cae en la tiea, es deci la altua h cada vez seá meno y como: G v obital + h al disminui h, su velocidad lineal aumentaá, y lo mismo le sucedeá a la velocidad angula, ya que: ω v G ( + h) como puede vese, al disminui h, la velocidad angula aumenta con mayo apidez que la lineal. c) Supongamos que el satélite no piede enegía y se mantiene en la óbita estacionaia a 00Km, paa lo que es necesaio que tenga una velocidad de 779 m/s. En este caso: v π π π ( ) ω T 597, 8seg T v 779 d) La enegía potencial, cinética y total seían: 4 m 11 5, Ep A G 6, ,07 10 Julios G 1 m 9 Ec A mv m G,04 10 m / s 9 9 E Ec + Ep, ( 6,07 10 ), Julios e) La enegía que hemos de comunicale nosotos paa ponelo en óbita seá igual a la que tiene, peo como se la damos nosotos tendá signo positivo: +,04 10 E nosotos 9 Julios
12 f) La velocidad de escape es la velocidad que hemos de comunicale paa mandalo al infinito, donde la enegía es ceo, así que: Ec A + Ep A 1 escape mv m G G 6, ,98 10 v escape 11019m / s Ejemplo: Calcula la altua a que debe colocase un satélite geoestacionaio sobe el ecuado. Los satélites geoestacionaios, como los de comunicaciones, son los que se encuentan en todo momento sobe el mismo punto, dicho de ota foman gian con la misma velocidad angula que la tiea. Su óbita, además, debe esta en el plano del ecuado. La velocidad angula de la tiea, y del satélite también, es: π π π ω 7,7 10 T 1día ad / s Como sabemos, paa un obsevado inecial, la fueza de atacción gavitatoia debe compensase po la centífuga, así que: m G v m y como v ω si sustituimos y despejamos tendemos: 11 4 G 6, , Km 5 ω (7,7 10 ) La altua sobe la supeficie teeste seá h 459 T 5889Km
13 FOAS DE LA TAYECTOIA DEL LANZAIENTO DE UN COHETE En pime luga vamos a ecoda que: La enegía potencial gavitatoia siempe es negativa y que va aumentando confome nos alejamos de la supeficie de la tiea (donde tiene su máximo negativo) hasta llega a ceo en el infinito. La enegía cinética po el contaio siempe es positiva, aunque si lanzamos un cuepo hacia aiba ia disminuyendo hasta llega a ceo. La enegía mecánica total, que es la suma de la cinética y de la potencial, podá po lo tanto se negativa, ceo o positiva. Enegía mecánica negativa: Si la enegía mecánica es negativa decimos que el cuepo está ligado a la gavedad teeste y que po tanto no puede escapa de su campo. Pueden ocui tes cosas: a) Que la velocidad con que lo lancemos el cuepo sea tal que v obital G /. En ese caso descibiá una óbita cicula alededo de la tiea y su enegía como hemos deducido valdá: 1 m E G b) Si su velocidad fuese meno, y po tanto su enegía, volveía a la supeficie teeste, como ocue cuando lanzamos una pieda o un poyectil a poca velocidad c) Si lo lanzamos a una velocidad supeio a la obtenida mediante G / peo más pequeña que la de escape ( v escape G / ) entonces el cuepo seguiá ligado al campo gavitatoio, peo descibiá una óbita elíptica en luga de cicula.
14 Enegía mecánica ceo : Si la enegía mecánica es ceo (Ec+Ep0), entonces el satélite tendá la enegía mínima paa escapa del campo, y lo haía siguiendo una tayectoia paabólica. A la velocidad necesaia se le llama velocidad de escape: v escape G / Enegía mecánica positiva: Es deci, si le comunicamos una velocidad tal que Ec>Ep entonces, po supuesto escapaá del campo gavitatoio, peo lo haía siguiendo una tayectoia hipebólica. Además como puede suponese llegaía al infinito con una velocidad>0.
v L G M m =m v2 r D M S r D
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