Laboratorio N 4- Cálculo 1 Algebra de Funciones.

Transcripción

1 Universidad Diego Portales Facultad de Ingeniería Instituto de Ciencias Básicas Contenidos: Laboratorio N 4- Cálculo 1 Algebra de Funciones. -Operaciones de adición, diferencia, multiplicación y división de funciones reales. -Estudio de dominios para la definición de estas funciones. -Composición de funciones reales Introducción: Las funciones pueden ser sumadas, restadas, divididas, elevadas a cierta potencia, compuestas, etc. con el objetivo de construir otras funciones. Sin embargo, es importante en cada caso tener en cuenta el dominio de definición de la nueva función obtenida mediante alguna de estas operaciones. En este laboratorio vamos a estudiar las operaciones que podemos hacer con las funciones en lo que llamamos álgebra de funciones. Para poder resolver los ejercicios necesitará definir funciones. Por ejemplo: Sea x 1 f ( x) =. En la calculadora ClassPad 300 podemos definir esta función en el menú x principal siguiendo las siguientes instrucciones: En el menú de aplicaciones toque el botón Principal. Toque el botón Keyboard. Toque la pestaña cat, en Forma elija Todo y toque la letra D. Elija el comando Define y toque INTRO. (Otra manera es simplemente escribir Define con el teclado virtual) x 1 Marque la pestaña abc del Keyboard y escriba f ( x) =. x Toque Ejec. La función quedará definida cuando en la pantalla aparezca la palabra done como se muestra en la figura 1: Figura 1 1

2 De esta forma en la calculadora quedará guardada la función f ( x ). Si queremos borrar está función, por ejemplo para definir otra con la misma letra, podemos seguir las siguientes instrucciones: Tocamos Settings en la barra del borde inferior de la pantalla (figura ) Figura Figura 3 En preferencias elegimos Adm. de variable (figura 3). Tocamos dos veces sobre main (figura 4). Figura 4 Figura 5 Figura 6 Seleccionamos el cuadrado de f (figura 5). En el menú Edit elegimos Borrar (figura 6) De este modo la variable f queda liberada.

3 Actividad Nº1 Considerando las funciones definidas por f (x) = y g(x) = x, complete la siguiente tabla y grafique cada una de las funciones definidas en ella. Solución: Tabla. Funciones Dominio Recorrido Todos los reales Reales f (x) = g(x) = x ( f + g)( x) = f ( x) + g( x) 3, = + x ( f g)(x) = f (x) g(x) = - x ( f g)(x) = f (x) g(x) =. x ] [ f f (x) () / (x) = = g g(x) x [, [ [ 1, [ 0 Reales a.- Gráfico de las funciones f ( x) y g( x) Si D1 es el dominio de f(x), D es el dominio de g(x), entonces el dominio de las funciones suma,resta, multiplicación y división es D1 D. 3

4 b.- Gráficos de las funciones suma y diferencia c.- Gráficos de las funciones multiplicación y división 4

5 Actividad Nº. a.) Dadas las funciones f (x) = x, g(x) = 1 x, h(x) = x, grafíquelas en una misma pantalla y determine sus dominios y recorridos. Solución. Se puede apreciar que el recorrido de las tres funciones es el intervalo [, [ de f (x) es [, [, el dominio de g (x) es ], 1], el dominio de h(x) es ], ] 0, y que el dominio. b). Defina las funciones ( f + g)(x), (f g)(x),grafíquelas. Qué ocurre con las graficas.? Dado que [, [ ], 1] Dado que [, [ ], ] =, no hay gráfico de ( f + g)( x) = { }, no hay gráfico para ( f g)(x). Actividad Nº 3 Otra manera de construir nuevas funciones es mediante una operación denominada composición. La composición de dos funciones f y g se define por: ( f g )( x ) = f (g ( x )) ( g f )( x ) = g ( f ( x )) En general ( f g )( x ) (g f )( x ), es decir la composición no es una operación conmutativa. 5

6 Ejercicios 6x 1.- Para las funciones f (x) =, x 9 g (x) = 3x determine manualmente la función f g, grafíquela e indique su dominio y recorrido. Solución 6 g(x) 6 3x 3 x (f g)(x) = f (g(x)) = = = (g(x)) 9 ( 3x ) 9 Con dominio [ 0, [ {} 3 y recorrido R.-. Si f (x) = ax + b, g (x) = cx + d, Qué condiciones deben cumplir las constantes a,b,c, d para que f g = g f Solución: Primero pedimos a la calculadora que calcule las respectivas funciones compuestas Para ello nos ubicamos en el menú principal y definimos las funciones f (x), g (x), para ello escribimos el comando Define y la función. Debemos asegurarnos de que las constantes a,b,c, d no estén asignadas. Para borrar una variable asignada escribimos Delvar y enseguida la variable a borrar. 6

7 El cálculo de la función compuesta se lo dejamos a la calculadora Por tanto la composición de las funciones es conmutativa sólo si se cumple la condición b + ad = cb + d 6x 3.- Dadas las funciones f (x) =, g (x) = 3x, grafique y determine dominio y x 9 recorrido de las funciones f g y g f. Solución: 6 g(x) 6 3x 3 x a) (f g)(x) = f (g(x)) = = = (g(x)) 9 ( 3x ) 9 Gráfico de la función f g Con dominio Dom (f g ) = [ 0, [ { 3} y Re c (f g ) = I R 7

8 b) Si 6x f (x) =, g (x) = 3x, entonces g ( f ( x)) = 3 f (x) = 18x /(x 9) x 9 Gráfico de g f Observe que los gráficos de g (f ( x )) y de f (g ( x )) son distintos, confirmando que f g g f. Determinaremos el dominio de 18x 0 x 9 g f, para lo cual resolvemos con la calculadora la inecuación Cuya solución muestra que el Dominio es el conjunto ] 3,0 ] ] 3. [ La determinación analítica del recorrido es más complejo, pero podemos determinar a través de la gráfica de ( f ( x )) 0,. g, que el recorrido es el intervalo [ [ 8