Matemáticas Especiales. Sucesiones y Series. R. Rossignoli Universidad Nacional de La Plata
|
|
- Roberto Aguilera Murillo
- hace 6 años
- Vistas:
Transcripción
1 Matemáticas Especiales (Física Médica) Sucesioes y Series R. Rossigoli Uiversidad Nacioal de La Plata
2 5. Sucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros reales a, a,..., a,... () dode a está defiido para todo atural. Ua sucesió es equivalete a ua fució f cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales, si idetificamos a = f(). Por ejemplo, si a =, obteemos la sucesió de úmeros aturales,, 3..., si a =, obteemos la sucesió de los iversos,, 3,.... y si a = r, co r R y 0, se obtiee la sucesió geométrica, r, r,..., r,... La expresió para a puede estar dada tambié por ua relació recursiva, a + = f(a ), () co u valor iicial a, dode f es ua cierta fució. Se obtiee así la sucesió a, f(a ), f(f(a )), f(f(f(a ))),.... Por ejemplo, a + = + a, co a =, es la sucesió de úmeros aturales a =. Si a + = ra, a =, se obtiee la sucesió geométrica. Si a + = + +a, co a =, se obtiee la sucesió, +, + +, + +,... (3) + E el caso más geeral la fució que defie la relació recursiva puede tambié depeder de y de los térmios ateriores, es decir, a = f (a,..., a ). El límite de ua sucesió, si existe, es el valor al cual se aproxima a para : lim a = L si ε > 0, ε tal que si > ε, a L < ε es decir, a (L ε, L + ε) si > ε. E este caso se dice que la sucesió es covergete. Para dos sucesioes covergetes, co lim a = L a, lim b = L b, es fácil mostrar que: lim (a + b ) = L a + L b, lim a b = L a L b, lim a /b = L a /L b (si L b 0). Si a b > 0 L a L b. Si a = f(), co f defiida e (0, ) y lim f(x) = L lim a = L. x El límite de ua sucesió es + si a toma valores arbitrariamete grades cuado crece: lim a = + si R > 0, R tal que si > R, a > R Aalogamete, lim a = correspode al caso e que a toma valores arbitrariamete grades pero egativos cuado crece. El comportamieto de a para grade puede ser tambié oscilate o errático, e cuyo caso el límite o existe. Por ejemplo, lim = +, lim = 0, mietras que lim ( ) /. Para a = r obteemos lim r = 0 r < r = + r > / r Para sucesioes que depede de fucioes o directamete geeralizables a argumetos reales, tales como!, es útil el sig. resultado: { Si lim a r < a = r lim a =. r > E efecto, > ε, a + a r < ε y etoces, si 0 r <, a + s a, co s = r + ε < para ε suf. pequeño. Se obtiee así a +k s k a y por lo tato lim k a +k = 0, lo que implica lim a = 0. E cambio, si r >, a + s a, co s = r ε >. E tal caso a +k > s k a y lim k a +k =, lo que implica lim a =. Ejemplo: Hallar lim b /!, co b 0. Se tiee lim a + b a = lim + = 0 b R, por lo que lim b /! = 0. El resultado aterior puede obteerse tambié directamete.
3 Notemos que si lim a = L (fiito), tambié lim a + = L por lo que lim (a + a ) = L L = 0 (4) La diferecia etre dos térmios sucesivos de ua sucesió covergete debe pues teder a 0 para grade (codició ecesaria). E ua sucesió covergete de la forma (), co f cotiua, esto implica que L = lim a + = lim f(a ) = f( lim a ) = f(l). El límite, si existe, debe pues satisfacer L = f(l) (5) Ejemplo: La sucesió (3) es covergete, como probaremos e breve. El límite se obtiee pues de la ecuació L = + +L, es decir, L( + L) = + L o, L =. Se obtiee L = ±. Como a > 0, el límite debe ser L =. Ua sucesió es creciete si a + a y decreciete si a + a. Se dice que ua sucesió es moótoa si es o bie creciete o decreciete. Ua sucesió es acotada si a K, co K u úmero real 0. U resultado importate relativo a los úmeros reales es que toda sucesió moótoa y acotada de úmeros reales es covergete, a u úmero real L. Es decir, lim a = L. Lo mismo ocurre si es móotoa a partir de u cierto. Ejemplo : Mostrar que la sucesió a + = a +, a = es covergete, co lim a =. Mostraremos primero que es acotada y creciete. Asumiedo que a, teemos a + 4 y por lo tato, a + = a + 4 =. Como a, la relació a vale. Como además a 0, la sucesió es acotada. Notemos ahora que f(x) = x + es ua fució creciete para x. Asumiedo que a + a, obteemos pues a + = f(a + ) f(a ) = a +, es decir, a + a +. Como a = + = 3 > a, vemos que la sucesió es creciete. La sucesió, siedo acotada y creciete, es pues covergete. Para hallar el límite L, utilizamos la relació (5): L = L + L L = 0 La ecuació cuadrática posee las solucioes L = y L =, pero sólo L = es solució de L = L +. El límite es pues L =. Los primeros térmios so (,.73,.93,.983,.996,.999,...). a Ejemplo : Cosideremos ahora la sucesió (3), dode f(x) = + /( + x). La sucesió o es moótoa, pues a > a, a 3 < a, y e geeral a + > a si impar y a + < a si par. No obstate, podemos cosiderar la sucesió de los térmios pares e impares por separado. a + = g(a ), g(a ) = f(f(a )) = + +a = 4 + 3a 3 + a co térmio iicial a = para la sucesió impar y a = f(a ) = 3/ para la sucesió par. La fució g(x) = 4+3x 3+x es creciete para x > 3/, pues g (x) = /(3 + x) > 0. 3
4 Como a 3 = g(a ) = 7/5 a, asumiedo a + a obteemos a +4 = g(a + ) g(a ) = a +, pues g es creciete. La sucesió de térmios impares es pues creciete. Además, como g(x) es creciete y lim g(x) = 3 x, teemos a a 3/ impar. Siedo creciete y acotada, la sucesió de impares es pues covergete. Como a 4 = g(a ) = 7/ a, asumiedo a + a obteemos a +4 = g(a + ) g(a ) = a +. La sucesió de térmios pares es pues decreciete. Además, es acotada pues g(x) 0 si x > 0, por lo que 0 a a par. La sucesió de pares es pues tambié covergete. El límite de ambas sucesioes se obtiee de la ecuació L = g(l), cuyas solucioes so L = ±. Como a > 0, el límite de ambas sucesioes es L = +. La sucesió origial coverge pues a L = =.44..., como habíamos mostrado. Los primeros térmios so.,.5,.4,.4667,, a Se muestra e la siguiete figura el esquema gráfico de covergecia de ua sucesió a + = f(a ), co límite L, correspodiete a ua fució f(x) creciete (izquierda), como e el ej., y decreciete (derecha), como e el ej.. La ec. (5) represeta la itersecció de las curvas y = f(x) y y = x. y y L a 4 a 3 a y=f(x) y=x a a 4L a 3 y=f(x) y=x a a a 3 a 4 L x a a 3 L a 4 a x Si f es derivable y x está próximo al límite L = f(l), podemos aproximar f(x) por la recta tagete, f(x) f(l) + f (L)(x L) = L + f (L)(x L) (aproximació lieal). Para a próximo a L obteemos pues a + = f(a ) L + f (L)(a L), o sea, a + L f (L)(a L), lo que cosituye ua sucesió geométrica de razó f (L) para la diferecia a L (es decir, a +k L [f (L)] k (a L)). Esta coverge a 0 si f (L) <. Se cocluye que para a suficietemete próximo (pero distito) a L, la sucesió a + = f(a ) covergerá a L si f (L) <, pero tederá a alejarse de L si f (L) >. La covergecia es moótoa si 0 f (L) < y alterada si < f (L) < 0. E el ej. (f(x) = + x, L = ), f (L) = +L = 4, mietras que e el ej. (f(x) = + +x, L = ) f (L) = (+L) = (+ ). E ambos casos se verifica f (L) <. U sucesió famosa es a + = ka ( a ), 0 < a <, 0 < k < 4 que surge e diversos cotextos (ecoomía, ecología, etc.). La sucesió es acotada pues si f(x) = kx( x), 0 < f(x) k/4 < x (0, ). La ecuació L = f(l) coduce a los posibles limites L = 0 o L = /k. Si 0 < k L = 0 a (0, ). E este caso, f (L) = k. Si < k 3 L = /k a (0, ). E este caso, f (L) = k, co f (L). Si 3 < k < 4, el límite de la sucesió o existe, excepto para valores particulares de a. Si 3 < k < 3, 6, a exhibe para grade u comportamieto oscilatorio, alterado etre dos valores fijos si k < 3, 45, etre 4 valores si 3, 45 < k < 3, 55, etc. E cambio, si 3.6 < k < 4, el comportamieto de a se tora caótico, es decir, errático, si oscilacioes fijas. E este caso, a depede fuertemete del valor iicial a aú para grade. 4
5 5. Series Dada ua sucesió a, a,... a..., podemos formar la sucesió de sumas parciales S = a + a a = A tal sucesió se la deomia serie. La suma de la serie es el límite de la sucesió de sumas parciales, si este límite existe: S = a = lim S Si el límite aterior es o o existe, se dice que la serie diverge (o o coverge). Codició ecesaria (pero o suficiete) para covergecia: Si la serie a coverge, etoces k= a k lim a = 0 (6) E otras palabras, si lim a es distito de 0 o o existe, la serie o coverge. Esto resulta obvio a partir de (4), ya que S S = a. Si la serie coverge, etoces lim (S S ) = 0, que equivale a (6). Ejemplo: Cosideremos la sucesió de úmeros aturales a =,. Las sumas parciales so La serie S = = ( + )/ obviamete diverge ( lim S = ), lo que puede verse de (6) pues lim 0. A partir de la expresió de S, es posible obteer a como a = S S. Por ej., (+) ( ) =. Si a y b so dos series covergetes, se verifica fácilmete las siguietes propiedades: ca = c a, 5.. Serie geométrica (a + b ) = a + La serie geométrica es la sucesió de sumas parciales asociada a la sucesió geométrica, dadas por S = + r + r r = Estas puede evaluarse explícitamete. Multiplicado S por r, obteemos Restado, obteiédose, si r, Por lo tato, rs = r + r r + rs S = ( r)s = + r +... r (r + r +... r + ) = r + k=0 k=0 r k S = r+. r (7) r r k = lim S r + = lim = r r, r < de modo que la serie coverge si r <. Si r > o r, el límite de (7) es o o existe, por lo que la serie o coverge. Si r =, S = = +, co lim S =, por lo que la serie tampoco coverge. Esto está de acuerdo co (6), pues si r, lim a 0. La serie geométrica coverge pues si y sólo si r <. b 5
6 Ejemplos: = ( ) = =0 =0 E geeral, si r < y m 0, / =, ar m + ar m+ + ar m = dode ar m represeta el primer térmio de la serie. ( ) Por ejemplo, + 5 = ( ) 5 = ( =4 =4 =0 ( ) = ( ) = =0 ar = ar m =m 5 )4 ( =0 =0 5 ) = (/5)4 + / = 3. r = arm r. +(/5). El error cometido al estimar la suma de la serie r co térmios es =0 r S = r+ r Para obteer u error < ε, se ecesita tal que r+ l[ε( r)] r ε, es decir, l r. Si ε = 0 3, 0 para r =, mietras que 45 para r = La serie geométrica surge frecuetemete e diversas aplicacioes. Por ejemplo, si todos los meses se deposita e ua cueta el 90% de lo depositado el mes pasado, co u depósito iicial de a = a pesos, el moto depositado e el segudo mes es a = ra = ra, co r = 0, 9, e el tercer mes es a 3 = ra = r a y e el mes eésimo es a = ra = r a. El moto total depositado al cabo de meses es S = a( + r + r r ) = a r r el cual uca podrá superar el límite lim S = a r = 0a. Otro caso es el de ua pelota que se deja caer desde ua altura h 0, y que rebota hasta ua altura h = rh 0, co 0 < r <. La altura alcazada despues de rebotes es h = rh = r h =... = r h 0. La distacia total recorrida después de rebotes es h 0 + h + h h = h 0 [ + (r + r r )] = h 0 [ + r( r ) ] r La distacia total recorrida hasta deteerse ( ) permaece pues fiita: H = lim h 0[ + r( r ) ] = h 0 [ + r r r ] = h + r 0 r Si r = 0, la pelota se detiee al primer rebote y H = h 0. Si r, H. El tiempo de caída desde ua altura h es h/g dode g = 9.8m/s es la aceleració de la gravedad (dado que g costate, la altura e fució del tiempo de cualquier objeto que se deja caer desde ua altura h 0 es h(t) = h 0 gt. Por lo tato, h(t) = 0 cuado t = h 0 /g. El tiempo ecesario para llegar a esa altura desde el piso es el mismo). El tiempo de caída desde la altura h es pues t = h /g = r h 0 /g = h 0 /g( r) = t 0 α dode t 0 = h 0 /g, α = r. El tiempo total trascurrido despues de rebotes es t 0 + t + t t = t 0 [ + (α + α α )] = t 0 [ + α( α ) α ] y el tiempo total trascurrido hasta deteerse es (ótese que si 0 < r < 0 < r < α < ) Como α = r > r, T/t 0 > H/h 0, pues +x x T = lim t 0[ + α( α ) α ] = t 0[ + α α ] = t + r 0 r es ua fució creciete de x para x [0, ]. 6
7 5.. Series co térmios positivos Cosideremos ua serie e la que a 0. Las sumas parciales so etoces positivas y crecietes: S = a a 0, S + = S + a + S Ua codició suficiete para la covergecia es pues que S este acotada, es decir, que S C. E efecto, al ser S creciete y estar acotada, S o puede oscilar i tomar valores arbitrariamete grades para, por lo que S se aproxima ecesariamete a u límite fiito (e el cojuto de úmeros reales) que es la míima cota superior de los S. Por otro lado, si la serie diverge, etoces lim k= a k =. Ejemplo: Probaremos que coverge. Teemos = + ( + 3 ) + ( ) +... es decir, m + ( + ) + ( ) +... = = m =0 razó, la serie coverge.. Al estar todas las sumas parciales acotadas por la serie geométrica de Ejemplo : Probaremos ahora que la serie (deomiada serie armóica) diverge, a pesar de que lim = 0. Teemos es decir, = + + ( ) + ( ) +... m + + ( ) + ( ) +... = = m, lo que muestra que la serie diverge. = 7
8 5..3 Criterio de la itegral y estimació de series Existe ua estrecha relació etre ua serie y la itegral impropia correspodiete. Sea f(x) ua fució cotíua, positiva y decreciete e el itervalo [, ). Mostraremos que f() coverge si y sólo si f(x)dx coverge i= f(x) f() x A partir de la figura, podemos iferir la siguiete cadea de desigualdades para > : f() f() f(x)dx f() f( ) (8) ya que la primer suma es el área de los rectágulos iscriptos situados bajo la curva etre x = y x =, y la seguda la de los rectágulos circuscriptos situados sobre la curva etre x = y x =. Si f(x)dx coverge para, etoces la primer suma permaece acotada, siedo etoces covergete para por ser creciete co. Aalogamete, si la seguda suma coverge para, I() f(x)dx permaece acotada para, siedo etoces covergete por ser I() creciete co. Como además, para u úmero real r arbitrario, I(r) = r f(x)dx f(x)dx si r, etoces I(r) tambié coverge para r. Para se cumple etoces f() f(x)dx f() (9) = si la serie o la itegral coverge. Esto implica tambié f(x)dx f() = f(x)dx (0) El criterio puede tambié aplicarse si las hipótesis se cumple sólo para 0, pues la covergecia de la serie y la itegral depede del comportamieto de f(x) para x grade. E este caso, para > 0, f( 0 + ) f() 0 f(x)dx f( 0 ) f( ) y, si 0 f(x)dx coverge, f() f(x)dx f() = = 0 El método presete sirve tambié para estimar el error cometido al aproximar ua serie covergete por ua suma fiita. Escribiedo f() = 0 f() + f(), el último térmio satisface, si las hipótesis se cumple al meos para 0, 0 + f(x)dx = 0+ = 0+ f() 0 f(x)dx () E geeral, el puto medio del itervalo aterior es ua buea estimació del error para 0 grade, por lo que podemos escribir, e forma aproximada, 0 0+ f() f() + f(x)dx + f(x)dx ()
9 Ejemplo : Estudiar la covergecia de Para α 0 la serie diverge por razoes obvias (lim a 0). Para α > 0, podemos aplicar el criterio de la itegral pues e tal caso f(x) = /x α es positiva y decreciete para x > 0. Como r { dx = lim xα r x α dx = α, α > 0 < α (recordar itegrales impropias hechas e clase) la serie coverge para α > y diverge α. De esta forma, La fució, 3, 3/ α coverge, mietras que ζ(α) = α, α >,, 3/4 diverge. se deomia fució zeta de Riema y posee importates aplicacioes. Alguos valores so: ζ() = = π 6 =, , ζ(4) = = π4 4 90, Utilizado (0) y otado que ζ(α) = +, obteemos α de modo que = + α (α ) ζ(α) α +, α > lim ζ(α) = +. Puede probarse que para α α +, ζ(α) + α Ejemplo : Hallar el error al estimar ζ() = Obteemos 0 =, , 0 Utilizado () y 0 x dx = 0, el error R 0 =, mediate ua suma de 0 y 0 térmios. = ζ() R 0 0 satisface es decir 0, 09 R 0 0, y 0, 0476 R 0 0, 05. La estimació mejorada () resulta e este caso [ ] = + [ ] 0 que da como resultado, para 0 = 0 y, para 0 = 0. Los errores so ahora mucho meores: 0, 0003 para 0 = 0 y 0, para 0 = 0. Ejemplo 3: Estudiar la covergecia de La fució f(x) = x(l x) α du = x dx, r lim r = (l()) α, α > 0 es positiva y decreciete para x. Obeemos, sustituyedo u = l(x), r dx = lim x(l x) α r l() { u α du = de modo que la serie coverge para α > y diverge para 0 < α. α (l()), α > α 0 < α 9
10 Ejemplo 4: Estimar cuatos térmios se ecesita para que m Teemos, por (8), m m+ dx = l(m + ) x > M, co M = 0 y M = 00. de dode si, l(m + ) > M m > e M. Para M = 0, m > 05 mietras que para M = 00, m >, , lo que idica la letitud de la divergecia. E realidad, estas estimacioes so seguras pero algo grades. A partir de m m dx + = l(m) + x obteemos que m o puede ser meor a e M, es decir, 8.03 para M = 0 y 9, para M = 00. E geeral, m = γ + ψ(m + ), γ = lim ( m l m) 0, 577 m d l Γ(z) dode γ es la costate de Euler y ψ(z) = dz = Γ (z)/γ(z) la derivada logaritmica de la fució Gamma (véase secció 3.5), deomiada fució Digamma. Se obtiee etoces la cota iferior exacta m > ψ (M γ) (ψ deota la fució iversa), obteiédose m > 367 para M = 0 y m > para M = 00. 0
11 5..4 Criterio de comparació Cosideremos las series a, y supogamos que existe 0 tal que b, a 0, b 0 (3) Si a b 0 b coverge a coverge. Recíprocamete, si a diverge b diverge. Demostració: Supogamos primero 0 =. Etoces Por lo tato, si lim k= a a b b b es fiito, a k permaece acotada, siedo etoces covergete para por ser creciete co. Se verifica etoces a b. k= Si 0 >, la demostració es similar. Para > 0, a a 0 + a a a a 0 + b b = Por lo tato, dado que 0 (a k b k ) es ua suma fiita, si k= coverge y se verifica a 0 (a b ) + b. (a k b k ) + 0 k= b coverge, etoces k= b k a tambié Este criterio es de fudametal importacia práctica para determiar la covergecia de series. Existe otra formulació del mismo que resulta muy coveiete: Para series del tipo (3) co b > 0, Si Si a lim = L > 0 ambas series coverge o diverge (4) b Si a lim = 0 y b a lim = y b b coverge b diverge a coverge (5) a diverge (6) a Para demostrar (4), lim b = L implica que ε > 0 ε t.q. si > ε, a /b L < ε. Tomado ε = L, obteemos, para > ε, a b L < L L a b 3 L Lb a 3 Lb Por el criterio de comparació, de a 3 Lb se deduce que si que de Lb a se deduce que si b diverge, b coverge, a diverge. a coverge mietras Para demostrar (5), se procede e forma similar. El límite implica que ε > 0 ε t.q. si > ε, a /b = a /b < ε. Por lo tato, para > ε, a < εb, de dode si b coverge, a coverge. Fialmete, para demostrar (6), el límite implica que M > 0 M t.q. si > M, a /b > M. Por lo tato, para > M, a > Mb, de dode, si b diverge, a tambié diverge. Ejemplo : Determiar si coverge la serie
12 La serie coverge, pues para grade a se comporta como /. Para ver esto e detalle, escribimos para. Como Como = ( + /) 4 ( + 3/ 3 + / 4 ) = + / ( + 3/ 3 + / 4 ) 3 lim coverge, etoces la serie coverge. Esto puede verse tambié utilizado (4): / = lim ( + ) = lim coverge, la serie coverge. Ejemplo : Determiar si coverge la serie / + 3/ 3 + / 4 = La serie o coverge, pues para grade, a se comporta como /. Para ver esto e detalle, escribimos = ( + /) 3 ( + 3/ + / 3 ) = + / ( + 3/ + / 3 ) 6 para. Como diverge, etoces la serie diverge. Se llega al mismo resultado utilizado (4): Como lim / = lim diverge, la serie diverge. Ejemplo 3: Determiar si coverge la serie ( + ) = lim + / + 3/ + / 3 = l() (7) Como lim l()/α = 0 α > 0, para suficietemete grade, l() < α. Eligiedo por ejemplo α =, obteemos, para suficietemete grade, l() < = 3/ Como 3/ coverge, la serie (7) tambié coverge. Puede llegarse al mismo resultado utilizado (5) y comparado co la serie covergete 3/ : l() lim / = lim 3/ Puede aplicarse tambié el criterio de la itegral: E geeral, la serie l() α l() / = 0 l(x) x dx = ue u du coverge. 0 coverge α >, pues l() es meor que cualquier potecia de para suficietemete grade. Puede obteerse la misma coclusió aplicado el criterio de la itegral ( l(x) x dx = ue (α )u du = α 0 (α ) si α >, de modo que es covergete). E cambio o coverge, pues l() > para 3. l()
13 5..5 Criterio de la razó Es e realidad u caso particular del criterio de comparació. Cosideremos la serie Si existe 0 tal que etoces la serie coverge. Por hipótesis, a, a > 0, a + a r < 0 Por lo tato, a 0 + ra 0, a 0 + ra 0 + r a 0, a 0 + ra r a 0 a 0 + a a 0 + a 0 ( + r r ). Para, el miembro derecho (ua serie geométrica) coverge a a 0 /( r). Por lo tato, la primer suma permaece acotada para, siedo etoces covergete por ser creciete co. Se obtiee a = Por otro lado, si existe 0 tal que la serie diverge, pues 0 a + = 0 a 0 a + a r > 0 a + a 0 r a 0 + ra 0, ; a 0 + ra 0 + r a 0, a 0 + ra r a 0 Como r >, esto implica que lim a 0 + = = 0, por lo que la serie es divergete. El presete criterio se utiliza ormalmete evaluado el límite Si 0 L < a + L = lim a pues e tal caso, ε > 0, ε tal que si ε, a + a a coverge L < ε, de dode a + a < L + ε <, ε si ε es suficietemete pequeño. Si L > a diverge pues e tal caso, de a + a L < ε teemos < L ε < a + a para ε suficietemete pequeño. Lo mismo ocurre si L =. Notemos fialmete que si L =, el criterio o decide: si a = /, a + /a = /( + ) para, pero / diverge. E cambio, si a = /, a + /a = /( + ) para, pero / coverge. 3
14 El criterio es muy coveiete cuado aparece factoriales e la expresió de a. Ejemplo : Teemos a + a a!, a >. = a+ (+)! / a! = a +, que tiede a 0 para a. Por lo tato, la serie coverge. Para 0 < a < la covergecia de la serie es obvia, pues a! a y e este caso a coverge. Podemos tambié aplicar directamete el criterio de comparació para a >, pues a a...a...a! = ( )... ( a 0( 0 )... 0 ) 0 a 0 0! ( a 0 ) 0 0! eligiedo 0 > a. Al ser meor que ua serie geométrica, la serie coverge. Ejemplo : Aplicado el criterio aterior, teemos! ()!. a + ( + ) = a ( + )( + ) = ( + / + / ) 4 ( + /)( + /) = 4 + / + / ( + /)( + /) Para, el cociete se aproxima a 4, por lo que la serie coverge. Podemos tambié aplicar directamete el criterio de comparació, pues (!)! ()! = ( )...(+) ( ), por lo que la serie coverge. Ejemplo 3: Teemos a + a =! ( + ) ( + ) + = ( + /) Para, ( + /) e, de modo que el cociete aterior se aproxima a e < para grade. Por lo tato, la serie coverge. Puede aplicarse tambié el criterio de comparació directamete, pues! = ( )...(/)(/ ) = ( )/ = ( ), de modo que la serie es covergete. 4
15 5..6 Covergecia absoluta y codicioal Cosideremos la serie a, dode a o es ecesariamete positivo. Probaremos que Si a coverge a coverge (8) E tal caso se dice que a coverge absolutamete. Sea a + = ( a + a ), a = ( a a ) de modo que si a 0, a + = a, a = 0, mietras que si a < 0, a + = 0, a = a = a. Etoces Por el criterio de comparació, si 0 a ± a a coverge, tambié covergerá las series a + y a. Por lo tato, como a = a + a, la serie tambié coverge. Notemos, si embargo, que a = (a + a ) = a + a puede coverger aú cuado a o coverge. E tal caso se dice que la covergecia es o absoluta o codicioal. Si la covergecia es codicioal, o se debe reagrupar o reordear los térmios de la serie, ya que el límite de las sumas parciales depederá e este caso del orde de los mismos. Esto o ocurre cuado la covergecia es absoluta. Ejemplo: Mostrar que se() coverge absolutamete. Como se() = se(), y coverge, de comparació, por lo que la serie origial coverge absolutamete Series Alteradas a se() tambié coverge por el criterio So aquellas e las que sus térmios so alteradamete positivos y egativos, es decir, ( ) + a = a a + a 3 a , a 0 (9) o bie ( ) a = a + a a Existe u importate teorema de covergecia para este tipo de series. Si a + a y lim a = 0 (0) etoces (9) coverge. Podemos escribir la suma parcial para u úmero par de térmimos e la forma S = (a a ) + (a 3 a 4 ) (a a ) Como por hipótesis a a 0, vemos que S es ua fució positiva y creciete de. E cambio, para u úmero impar, S + = a (a a 3 )... (a a + ) es ua fució decreciete de, pues a a + 0. Además, S + S = a + 0 () 5
16 de dode obteemos la siguiete cadea de desigualdades a a = S S 4... S S +... S 3 S = a Por lo tato, S está acotada superiormete, y S + acotada iferiormete. Ambas sucesioes so etoces covergetes por ser moótoas, es decir, lim S = S p lim S + = S i Ahora etra e juego la seguda de las hipótesis e (0). Teemos, utilizado (), lim (S + S ) = S p S i = lim a + = 0 de dode S p = S i. Tato S como S + coverge pues a u mismo valor S para. Obteemos 0 S S 4... S S S +... S 3 S () S S Obviamete, ( ) a = ( ) + a. resulta tambié covergete co las mismas hipótesis. Asimismo, si los a so decrecietes sólo para 0, co lim a coverge, pues lo que sucede para 0 o es relevate para la covergecia. Ua cosecuecia importate de () es que S S S + S = a +, S + S S + S + = a + = 0, la serie (9) tambié pues S S y S S +. El error S S es pues meor o igual que el térmio siguiete, tato para par o impar: S S a + (3) Ejemplo : La serie ( ) + coverge, pues decrece co y lim = 0. Si embargo, o coverge absolutamete pues diverge. Notemos que la serie coverge letamete (al valor l() como veremos luego). Para estimarla mediate ua suma fiita S co u error < 0 3, ecesitamos + 0 3, es decir, > 000. Ejemplo : La serie ( ) + α, α > 0 coverge α > 0 pues decrece co y lim α para α > (véase secció 5..3). Ejemplo 3: La serie = α ( ) (l()) α, α > 0 = 0. Si embargo, coverge absolutamete sólo coverge, pues lim (l()) = 0 y α (l()) decrece para α > 0. Pero coverge absolutamete α sólo para α > (véase ejemplo e 5..3). 6
17 5..8 Series de diferecias Mostraremos que si lim a = L, fiito, (a a + ) = a lim a E efecto, S = (a a ) + (a a 3 ) (a a + ) = a a +, de dode lim S = a lim a + = a lim a = a L. Notemos que o es posible e geeral escribir la serie como la diferecia a a, pues a o ecesariamete coverge. Por ejemplo, ( + ) = ( + ) = lim = dode hemos supuesto a =. Tambié podríamos haber escrito (+) = + + +, co a = +, obteiedo el mismo resultado: a lim a = =. Asimismo, si lim a = L (fiito) y k es u úmero atural, (a a +k ) = [(a +a a +k ) (a a +k +a +k )] = a +a +...+a k k lim Por ejemplo, para k atural, =k+ k = k ( + k) = k =k+ ( + k ) = k ( k ) ( k + k ) = k = ( + k ) = k ( k ) a 7
Series de números reales
Tema 6 Series de úmeros reales 6. Series de úmeros reales. Defiició 6. Sea {a } ua sucesió de úmeros reales y cosideremos la sucesió {S }, defiida por S = a + a + + a, para cada IN, que llamaremos sucesió
Más detallesSucesiones y series de números reales
38 Matemáticas : Cálculo diferecial e IR Capítulo Sucesioes y series de úmeros reales Sucesioes Defiició 37- Llamaremos sucesió de úmeros reales a cualquier aplicació f: N R y la represetaremos por { a,
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Series numéricas DEFINICIONES Y PROPIEDADES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.2. Series uméricas 6.2.. DEFINICIONES Y PROPIEDADES Series de úmeros reales Se llama serie umérica o de úmeros reales a la suma idicada de los ifiitos térmios de ua sucesió:
Más detallesSucesiones. f : {1,2,...,r} S. Por ejemplo, la sucesión finita, (de longitud 4) de números primos menores que 10: 2,3,5,7
Sucesioes. Defiició Sucesió Matemática Ua sucesió fiita (a k ) (de logitud r) co elemetos perteecietes a u cojuto S, se defie como ua fució y e este caso el elemeto a k correspode a f(k). f : {,,...,r}
Más detallesSeries alternadas Introducción
Sesió 26 Series alteradas Temas Series alteradas. Covergecia absoluta y codicioal. Capacidades Coocer y aplicar el criterio para estudiar series alteradas. Coocer y aplicar el teorema de la covergecia
Más detallesuna sucesión de funciones de A. Formemos una nueva sucesión de funciones {S n } n=1 de A de la forma siguiente:
Tema 8 Series de fucioes Defiició 81 Sea {f } ua sucesió de fucioes de A Formemos ua ueva sucesió de fucioes {S } de A de la forma siguiete: S (x) = f 1 (x) + f 2 (x) + + f (x) = f k (x) Al par de sucesioes
Más detallesPrograma de Acceso Inclusivo, Equidad y Permanencia PAIEP. Universidad de Santiago de Chile. Series
Programa de Acceso Iclusivo, Equidad y Permaecia PAIEP Uiversidad de Satiago de Chile Series Sea {a } N ua sucesió de úmeros reales, etoces a la expresió a + a 2 + a 3 + + a + se le deomia serie ifiita
Más detallesEJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES
EJERCICIOS DE SERIES DE FUNCIONES. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. Determiar el campo de covergecia de la serie 2 se x. Aplicado el criterio de la raíz, la serie es absolutamete covergete cuado:
Más detalles4. Sucesiones de números reales
4. Sucesioes de úmeros reales Aálisis de Variable Real 2014 2015 Ídice 1. Sucesioes y límites. Coceptos básicos 2 1.1. Defiició de sucesió... 2 1.2. Sucesioes covergetes... 2 1.3. Sucesioes acotadas...
Más detallesSERIES NUMÉRICAS. SECCIONES A. Series de términos no negativos. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IX. SERIES NUMÉRICAS SECCIONES A. Series de térmios o egativos. B. Ejercicios propuestos. 40 A. SERIES DE TÉRMINOS NO NEGATIVOS. Dada ua sucesió {a, a 2,..., a,... }, se llama serie de térmio
Más detallesCAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS
CAPÍTULO XIV. SERIES NUMÉRICAS ARBITRARIAS SECCIONES A. Series de térmios de sigo variable. B. Series depedietes de parámetros. C. Ejercicios propuestos. 193 A. SERIES DE TÉRMINOS DE SIGNO VARIABLE. E
Más detallesHoja de Problemas Tema 3. (Sucesiones y series)
Depto. de Matemáticas Cálculo (Ig. de Telecom.) Curso 23-24 Hoja de Problemas Tema 3 (Sucesioes y series) Sucesioes de úmeros reales. Sea {a } N, {b } N sucesioes de úmeros reales. Demostrar o refutar
Más detallesRESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES
RESUMEN DE RESULTADOS IMPORTANTES ACERCA DE SUCESIONES Y SERIES MATE 3032 - DR. UROYOÁN R. WALKER. Sucesioes Teorema.. Sucesioes mootóicas acotadas coverge. Ejemplo.2. Sea {a } la sucesió deida recursivamete
Más detallesCriterios de Convergencia
Semaa - Clase 3 0/0/0 Tema : Series Criterios de Covergecia La preguta que os plateamos es la siguite: Si hacemos que N etoces la suma N k= a k, tiee u límite? Existe alguas formas de averiguarlo, a pesar
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detallesSERIES POTENCIALES. 1.- Hallar el campo de convergencia de la serie potencial: 3 2 n. n n. 2 n = = ( ) ( 1)
Escuela de Igeieros de Bilbao Departameto Matemática Aplicada SERIES POTENCIALES.- Hallar el campo de covergecia de la serie potecial: ( + ) 3 y Realizado el cambio de variable, + 3 = y, teemos la serie:
Más detallesAN ALISIS MATEM ATICO B ASICO.
AN ALISIS MATEM ATICO B ASICO. CRITERIOS DE CONVERGENCIA DE SERIES. E geeral, repetimos, o vamos a poder ecotrar la suma de ua serie covergete. Pero si su caracter, es decir si es covergete o o lo es.
Más detallesTEMA 4. Series de números reales. Series de Potencias.
TEMA 4 Series de úmeros reales. Series de Potecias.. Sucesió de úmeros reales Las sucesioes de úmeros reales so ua buea herramieta para describir la evolució de ua magitud discreta, y el ite surge al estudiar
Más detallesIES IGNACIO ALDECOA 1 AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 10/11
IES IGNACIO ALDECOA AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO 0/ TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como
Más detallesL lim. lim. a n. 5n 1. 2n lim. lim. lim. 1 Calcula: Solución: a) 2
Calcula: L L a Dada ua sucesió que tiede a idica a partir de qué térmio se cumple la codició que se idica: a a Si a a Si 7 Si a partir del térmio 9 Si Hallar: d) 7 a partir del térmio 97 d) Deduce los
Más detallesIntroducción básica a series
Itroducció básica a series Gearo Lua Carreto * 2 Noviembre de 206, 8 pm. Series: u caso particular de sucesió Supoga que tiee ua sucesió cualquiera a. Explicaremos la forma de geerar ua sucesió s, muy
Más detallesFunciones Exponencial y Logaritmo
. 9th May 2007 La fució expoecial Itroducció. Recuerdo Sabemos lo siguiete para la sucesió a = + h ) Si lim h 2, 0) etoces lim a = 0. 2 Si lim h / [ 2, 0] etoces lim a o existe. 3 Si lim h = 0 y lim h
Más detallesCálculo de límites Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesEl tema de este capítulo es el estudio de las sucesiones de números reales. Una sucesión no es más que un conjunto ordenado de números.
Capítulo 3 Sucesioes 3 Defiicioes Geerales El tema de este capítulo es el estudio de las sucesioes de úmeros reales Ua sucesió o es más que u cojuto ordeado de úmeros Por ejemplo, 2, 4, 6, 8, 0, 2,, 2,
Más detalles8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS DEFINICIÓN Y EJEMPLOS SUCESIÓN CONVERGENTE TEOREMAS Y EJEMPLOS
ÍNDICE 8. SUCESIONES Y SERIES NUMÉRICAS 6 8.. DEFINICIÓN Y EJEMPLOS......................... 6 8.. SUCESIÓN CONVERGENTE........................ 6 8.3. TEOREMAS Y EJEMPLOS......................... 63 8.4.
Más detallesSucesiones de números reales
Sucesioes de úmeros reales Defiició y propiedades Sucesioes de úmeros reales 4 4 Defiició y propiedades 47 4 Sucesioes parciales 49 43 Mootoía 50 44 Sucesioes divergetes 53 45 Criterios de covergecia 54
Más detallesLOS NUMEROS REALES. Conjunto no vacío designado como R y denominado conjunto de los números reales. En
LOS NUMEROS REALES Cojuto o vacío desigado como R y deomiado cojuto de los úmeros reales. E él se defie ua relació de igualdad = y dos operacioes algebraicas + y. Relació de igualdad Defiició: R = (a,b)
Más detallesSeries de números reales
Series de úmeros reales Covergecia de series uméricas Ejercicio. series: a) ) + b) 3 3 ) c) +) Aplicar el criterio de la raíz para estudiar la posible covergecia de las siguietes Solució. a) Aplicamos
Más detallesSeries infinitas de números reales. Series convergentes
Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Series ifiitas de úmeros reales. Series covergetes Las sucesioes de úmeros reales se itrodujero co la iteció de poder cosiderar posteriormete sus sumas
Más detallesEvaluación NOMBRE APELLIDOS CURSO Y GRUPO FECHA CALIFICACIÓN. 9. Límite y continuidad
Evaluació NOMBRE APELLIDOS CURSO GRUPO FECHA CALIFICACIÓN Calcula el térmio geeral de ua progresió geométrica que tiee de térmio a y por razó /. a) b) c) El 6 es: a) b) 0 c) / 6 7 El es: a) b) c) 0 El
Más detallesAMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS 4º ESO CURSO 1 /1
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS º ESO CURSO / TEMA : SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Se llama sucesió a u cojuto de úmeros dispuestos uo a cotiuació de otro. Podemos cosiderar ua sucesió como ua fució que asiga
Más detallesSUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES
CAPÍTULO XV. SUCESIONES Y SERIES DE FUNCIONES SECCIONES A. Campo de covergecia. Covergecia uiforme. B. Series de potecias. Itervalos de covergecia. C. Desarrollo de fucioes e series de potecias. D. Aplicacioes
Más detallesSeries de potencias. Desarrollos en serie de Taylor
Capítulo 9 Series de potecias. Desarrollos e serie de Taylor E la represetació (e icluso e la costrucció) de fucioes, desempeña u papel especialmete destacado cierto tipo de series, deomiadas series de
Más detalles1. Serie de Potencias
. Serie de Potecias Recordemos que dada ua sucesió {b } N, podemos defiir ua serie: E el caso particular e que b = a (x c) b la serie tedría la forma b = a (x c) y es llamada serie de potecias cetrada
Más detallesIngeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla. Lección 5. Series.
CÁLCULO Igeiería Idustrial. Curso 2009-200. Departameto de Matemática Aplicada II. Uiversidad de Sevilla. Lecció 5. Series. Resume de la lecció. 5.. Sucesioes y series. Sucesió covergete. Se de e ua sucesió
Más detallesSeries de términos no negativos
Tema 0 Series de térmios o egativos Vamos a presetar aquí alguos criterios útiles para estudiar la covergecia de series de térmios o egativos. Empezamos co u método básico que cosiste e comparar la serie
Más detallesSeries Numéricas. Una forma de definir e es a través de la suma: 1. 1 0! + 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + + 1 n. cuyo límite es e, es decir:
Capítulo Series Numéricas Las series uméricas so sucesioes muy particulares ya que se defie (o se geera) a partir de otra sucesió. Dos ejemplos secillos aparece e la defiició de e y el la Paradoja de Zeó.
Más detalles6. Sucesiones y Series numéricas Sucesiones numéricas DEFINICIONES
6. Sucesioes y Series uméricas 6.. Sucesioes uméricas 6... DEFINICIONES Sucesioes de úmeros reales Se llama sucesió de úmeros reales a cualquier lista ordeada de úmeros reales: a, a 2, a 3,..., a,...,
Más detallesDefinición 13.1 Llamamos serie trigonométrica a una serie de funciones reales, de la forma. + n +ib n
ema 3 Series de Fourier. Hemos visto, e el tema 8, que alguas fucioes reales puede represetarse mediate su desarrollo e serie de potecias, lo que sigifica que puede aproximarse mediate poliomios. Si embargo,
Más detallesUna serie de potencias puede ser interpretada como una función de x. f(x) = n=0
Tema 4 Series de Potecias Ua expresió de la forma a 0 + a 1 (x c) + a 2 (x c) 2 +... + a (x c) +... = recibe el ombre de serie de potecias cetrada e c. a (x c) Ua serie de potecias puede ser iterpretada
Más detallesPráctica 3 Sucesiones y series
Práctica 3 Sucesioes y series El programa Mathematica os sirve de ayuda para estudiar el comportamieto de sucesioes y series de úmeros reales, mediate las istruccioes Limit y Sum que os permitirá, e la
Más detalles( ) 1.8 CRITERIOS DE CONVERGENCIA PARA SERIES (1.8_CvR_T_061, Revisión: , C8, C9, C10) INTRODUCCIÓN. Forma general de una serie: + a 1
.8 CRITERIOS DE COVERGECIA PARA SERIES (.8_CvR_T_6, Revisió: -9-6, C8, C9, C).8.. ITRODUCCIÓ. Forma geeral de ua serie: S = = a = a + a + a +...+ a Suma de térmios. Si es fiito, la suma (S ) tambié es
Más detallesTEMA IV. 1. Series Numéricas
TEMA IV Series uméricas. Ídice. Series uméricas. 2. Propiedades geerales de las series. 3. Series de térmios positivos. Covergecia. 4. Series alteradas. 5. Series de térmios arbitrarios. 6. Ejercicios
Más detallesProblemas de Sucesiones
Capítulo Problemas de Sucesioes Problema. Calcular los siguietes ites: l se i e + 3 ii 5 iii l iv + + + Solució: l se i [ escala de iitos se acotada ] 0 acotada 0. e + e ii 5 + [ úmero meor que uo 5 ]
Más detallesSucesiones. Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.
Sucesioes Sucesió Se deomia sucesió a ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales. Para deotar el -ésimo elemeto de la sucesió se escribe a e lugar de f(). Ejemplo: a = 1/ a 1 = 1, a 2 = 1/2,
Más detallesUnidad 1: Las Ecuaciones Diferenciales y Sus Soluciones
Uidad : Las Ecuacioes Difereciales y Sus Solucioes. Itroducció. Tato e las ciecias como e las igeierías se desarrolla modelos matemáticos para compreder mejor los feómeos físicos. Geeralmete, estos modelos
Más detallesEste documento es de distribución gratuita y llega gracias a El mayor portal de recursos educativos a tu servicio!
Este documeto es de distribució gratuita y llega gracias a Ciecia Matemática www.cieciamatematica.com El mayor portal de recursos educativos a tu servicio! Cálculo: Series Fucioales. Taylor y Fourier Atoio
Más detallesLímite y Continuidad de Funciones.
Límite Cotiuidad de Fucioes. Eleazar José García. eleagarcia9@hotmail.com. Límite de ua fució.. Defiició de límite de ua fució.. Ifiitésimo.. Ifiitésimos equivalete.. Límite por la izquierda.. Límite por
Más detallesConvergencia absoluta y series alternadas
Tema 11 Covergecia absoluta y series alteradas Ua vez que dispoemos de diversos criterios de covergecia para series de térmios o egativos, abordamos el estudio de la covergecia de series de úmeros reales
Más detallesConstrucción de los números reales.
B Costrucció de los úmeros reales. E el cojuto C de las sucesioes de Cauchy de úmeros racioales defiimos la relació siguiete: si (x ) =1 e (y ) =1 so dos sucesioes de C etoces (x ) =1 (y ) =1, si lím (x
Más detallesPrueba Integral Lapso / Área de Matemática Fecha: MODELO DE RESPUESTA (Objetivos del 01 al 11)
Prueba Itegral Lapso 016-1 175-176-177 1/7 Uiversidad Nacioal Abierta Matemática I (Cód 175-176-177) Vicerrectorado Académico Cód Carrera: 16 36 80 508 51 54 610 611 61 613 Fecha: 19 11 016 MODELO DE RESPUESTA
Más detallesSucesiones 6º Ing, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weinberger - Marcelo Valenzuela 2010
Sucesioes 6º Ig, Mat A - Liceo Nº 3 - Profs.:Sergio Weiberger - Marcelo Valezuela 200 Itroducció: Así como f es ua fució y f(x) = 2x es la image de cada x, dode f(0) = 0 y f(3) = 6, e ua sucesió la aotaremos:
Más detallesα β la cual puede presentar
5.4 Covergecia de ua serie de Fourier 8 5.4 Covergecia de ua serie de Fourier Teorema de covergecia de las series de fourier Ua serie de Fourier es ua fució ( ) f x cotiua e [, ] α β la cual puede presetar
Más detalles4 - DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV- LEY DE LOS GRANDES NUMEROS
arte Desigualdad de Chebyshev rof. María B. itarelli 4 - DESIGULDD DE CHEBYSHE- LEY DE LOS GRNDES NUMEROS La desigualdad de Chebyshev es ua importate herramieta teórica. Etre otras aplicacioes costituirá
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Sucesiones y series de números reales 1. Sucesiones de números reales
- Ferado Sáchez - - 7 Sucesioes Cálculo I y series de úmeros reales Sucesioes de úmeros reales 20 205 De maera similar a como se hizo para sucesioes de úmeros racioales, se defie ua sucesió de úmeros reales
Más detallesINTEGRALES DE RIEMANN
NOTAS PARA LOS ALUMNOS DE ANALISIS MATEMATICO III INTEGRALES DE RIEMANN Ig. Jua Sacerdoti Departameto de Matemática Facultad de Igeiería Uiversidad de Bueos Aires 00 INDICE.- INTEGRAL..- INTRODUCCIÓN..-
Más detallesTrabajo Práctico Nro. 9 ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER
F.I.U.B.A AÁLISIS AEÁICO III rabajo Práctico ro. 9 rabajo Práctico ro. 9 ECUACIOES DIFERECIALES E DERIVADAS PARCIALES Y SERIES DE FOURIER I.- Itroducció a las Ecuacioes Difereciales e Derivadas Parciales
Más detallesSUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES
www.matesxroda.et José A. Jiméez Nieto SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. PROGRESIONES. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES. TÉRMINO GENERAL E las siguietes figuras observa el proceso que lleva a la creació de uevos
Más detallessi G es abierto. La función del conjunto m tiene las siguientes propiedades: de partes de se dice que es una , entonces E.
LA INTGRAL D LBSGU PARA FUNCIONS D UNA SOLA VARIABL RSULTADOS TÓRICOS LA MDIDA D LBSGU CONJUNTOS MDIBLS Dado u couto abierto o vació G de la recta real, existe ua amilia iita o umerable {V: œl}, ormada
Más detallesCálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detallesa 1, a 2, a 3, a 4,..., a n,... La sucesión {a 1, a 2, a 3,...}también se denota mediante a n n 1 a n 1 n n 1 a n sn 3, n 3 a n cos n 3, 4 125, 6
. SUCESIONES Se puede cosiderar que ua sucesió es ua lista de úmeros escritos e u orde defiido: a, a 2, a 3, a 4,..., a,... El úmero a recibe el ombre de primer térmio, a 2 es el segudo térmio y, e geeral,
Más detallesPreguntas más Frecuentes: Tema 2
Pregutas más Frecuetes: Tema 2 Pulse sobre la preguta para acceder directamete a la respuesta 1. Se puede calcular la media a partir de las frecuecias absolutas acumuladas? 2. Para calcular la media aritmética,
Más detallesR. Urbán Ruiz (notas de clase)
R. Urbá Ruiz (otas de clase) Fucioes E las ciecias Ecoómicas las fucioes so de mucho valor para resolver problemas dode haya que relacioar variables; como por ejemplo, la producció, la oferta, la demada,
Más detallesUNIDAD 1 Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
UNIDAD UNIDAD Ecuacioes Difereciales de Primer Orde Defiició lasificació de las Ecuacioes Difereciales Ua ecuació diferecial es aquélla que cotiee las derivadas o difereciales de ua o más variables depedietes
Más detalles4.- Series. Criterios de convergencia. Series de Taylor y Laurent
4.- Series. Criterios de covergecia. Series de Taylor y Lauret a) Itroducció. Series de fucioes reales. b) Covergecia de secuecias y series. c) Series de Taylor. d) Series de Lauret. e) Propiedades adicioales
Más detallesCapítulo 2 Convergencia de sucesiones y series.
This is page Priter: Opaque this Capítulo Covergecia de sucesioes y series... La defiició de sucesió y ejemplos El cocepto matemático riguroso para estudiar procesos de aproximació es el cocepto de sucesió:
Más detallesMATEMÁTICAS 3º ESO - SUCESIONES. Una sucesión es un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero
ucesioes Ua sucesió es u cojuto de úmeros dados ordeadamete de modo que se pueda umerar: primero, segudo, tercero Ejemplos: a), 3, 5, 7, 9, b), 4, 9, 6, 25, 36 c) 2, 4, 8, 6, 32, 64 e llama térmios a los
Más detallesSUCESIONES Y SERIES INFINITAS
SUCESIONES Y SERIES INFINITAS y T T x y=se x T T Las sumas parciales T de ua serie de Taylor da aproximacioes cada vez mejores a ua fució cuado aumeta. Las sucesioes ifiitas y las series se trataro brevemete
Más detalles(2n + 1) = (n + 1) 2.
Cálculo I Grado e Igeiería Iformática) Problemas resueltos, 05-6 primera parte) Preparado etre 03 y 05 por los coordiadores de la asigatura: Pablo Ferádez, Luis Guijarro y Draga Vukotić, co la ayuda de
Más detalles1. Sucesiones y series numéricas
ITINFORMÁTICA CÁLCULO INFINITESIMAL BOLETÍN CON SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS CURSO 005-06 Sucesioes y series uméricas Escribir ua expresió para el -ésimo térmio de la sucesió: +, + 3 4, + 7 8, + 5 6, 3,
Más detallesCAPÍTULO VIII. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. SECCIONES A. Criterios de convergencia. B. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO VIII CONVERGENCIA DE SUCESIONES SECCIONES A Criterios de covergecia B Ejercicios propuestos 347 A CRITERIOS DE CONVERGENCIA Ua fució cuyo domiio es el cojuto de los úmeros aturales se dice sucesió
Más detallesMATEMÁTICA D Módulo I: Análisis de Variable Compleja
MATEMÁTICA D Módulo I: Aálisis de Variable Compleja Uidad 4 Series Mag. María Iés Baragatti - Sucesioes Sea A u cojuto o vacío, ua sucesió defiida e A es simplemete u cojuto de elemetos de A escritos e
Más detalles( ) = 1= + + ( ) + + lim 3x 5 = lim 3x lim5 = lim3 lim x lim5 = = 12 5 = 7
LÍMITES DE FUNCIONES POLINÓMICAS Límites de ua fució costate f k, k El límite de ua fució costate es la misma costate f k f k k k a a Límites de la fució idetidad I I a a a I I Límites e u puto fiito.
Más detallesR = a) En el caso de la primera serie, 1/n sines impar a n = 0 sines par
298 Series de potecias y fucioes elemetales 8.4. Ejercicios 8.4.. Ejercicios resueltos 8.4. Calcule las sumas de las siguietes series: a) x + x3 3 x5 5 +x7 7... b) x 3 3 x5 3 5 + x7 5 7 x9 7 9... Solució:
Más detalles1 Sucesiones. Ejemplos. a n = n a n = n! a n = n n. a n = p n. a n = 2n3 + n 2 + 5 n 2 + 8. a n = ln(n)
1 Sucesioes De ició. Ua sucesió, a, es ua fució que tiee como domiio el cojuto de los úmeros aturales y como cotradomiio el cojuto de los úmeros reales: a : N! R. Se usa la siguiete otació: a () = a :
Más detallesINSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA. GUIA Nº 3: Sucesiones, Límite de Sucesiones y Límite de Funciones en R
P á g i a INSTITUCIÓN EDUCATIVA JAVIERA LONDOÑO SEVILLA GUIA Nº 3: Sucesioes, Límite de Sucesioes y Límite de Fucioes e R GRADO: º AREA: MATEMÁTICAS PROFESORA: Ebli Martíez M. ESTUDIANTE: PERIODO: III
Más detallesInducción matemática. Sucesiones y series. Jeffry Chavarría Molina Natalia Rodríguez Granados
Iducció matemática. Sucesioes y series Jeffry Chavarría Molia Natalia Rodríguez Graados 6 de julio de 03 Ídice geeral. Método de Iducció Matemática 5.. Proposicioes lógicas...........................
Más detallesEl método de Monte Carlo
El método de Mote Carlo El método de Mote Carlo es u procedimieto geeral para seleccioar muestras aleatorias de ua població utilizado úmeros aleatorios. La deomiació Mote Carlo fue popularizado por los
Más detallesEcuaciones en Diferencias Recíprocas y Semirrecíprocas
Ecuacioes e Diferecias Recíprocas y Gustavo Adolfo Juárez; Silvia Iés Navarro Facultad de Ciecias Exactas y Naturales, Uiversidad Nacioal de Catamarca. E-mail: juarez.catamarca@gmail.com Recepció: 20/05/2014
Más detallesTema 5 Series numéricas
Tema 5 Series uméricas Objetivos 1. Defiir series co wxmaxima. 2. Calcular sumas parciales de ua serie. 3. Iterpretar la defiició de suma de ua serie. 4. Calcular la suma de ua serie geométrica. 5. Calcular
Más detalles1. a) Mostrar que los siguientes conjuntos están acotados. x b) Mostrar que los siguientes conjuntos no están acotados superiormente
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 3 1. a) Mostrar que los siguietes cojutos
Más detalles2 Sucesiones de números reales
2 Sucesioes de úmeros reales 2.. Sucesioes E el siguiete capítulo itroduciremos la oció de límite de ua fució real de variable real utilizado para ello la oció de sucesió. El propósito del presete capítulo
Más detalles6. Integrales dobles impropias.
82 Itegrales paramétricas e itegrales dobles y triples. Eleoora Catsigeras. 9 Julio 26. 6. Itegrales dobles impropias. 6.. Itegrales impropias covergetes y o covergetes. La teoría de itegrales dobles,
Más detallesCálculo para la ingeniería Tomo II. Salvador Vera
Cálculo para la igeiería Tomo II Salvador Vera 9 de eero de 5 ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 998-4. Ídice geeral 7. Series Numéricas 7.. El sigo del sumatorio: Sigma Σ... 7... Propiedades
Más detallesEJERCICIOS DE RECURRENCIA
EJERCICIOS DE RECURRENCIA (co alguas solucioes) Resolver la recurrecia = 5 6 =, = y tambié ésta: = =, = Resolvamos la primera E primer lugar otamos que es ua recurrecia lieal, pues pasado todos los térmios
Más detallesSesión No. 6. Contextualización. Nombre: Funciones exponenciales y logarítmicas y el uso de las MATEMÁTICAS. progresiones aritméticas y geométricas.
Matemáticas Sesió No. 6 Nombre: Fucioes expoeciales y logarítmicas y el uso de las progresioes aritméticas y geométricas. Cotextualizació Las fucioes expoeciales y logarítmicas se les cooce como trascedetes,
Más detalles1. Propiedades de los estimadores
. Propiedades de los estimadores.. Eficiecia relativa. Defiició: Dados dos estimadores isesgados, ˆ y ˆ, de u parámetro, co variazas V ( ˆ ) y V ( ˆ ), etoces la eficiecia (eff) de ˆ respecto a ˆ, se defie
Más detallesNegativos: 3, 2, 1 = 22. ab/c 11 Æ 18
Los úmeros reales.. Los úmeros reales El cojuto de los úmeros reales está formado por los úmeros racioales y los irracioales. Se represeta por la letra Los úmeros racioales so los úmeros eteros, los decimales
Más detallesResumen que puede usarse en el examen
Resume que puede usarse e el exame ema. Optimizació Irrestrigida. Codicioes ecesarias y suficietes de optimalidad. Proposició (C. Necesarias) Sea x* u míimo local irrestrigido de f :!! y supogamos que
Más detallesEXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:...CURSO:...
EXÁMENES PARCIALES Y FINALES DE ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANÁLISIS MATEMÁTICO I ANUAL - Primer Parcial TURNO MAÑANA APELLIDO NOMBRE:CURSO: CORRIGIÓ:REVISÓ: 4 5 NOTA Todas sus respuestas debe ser justificadas
Más detallesMATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA. Cálculo Diferencial Ejercicios y Problemas resueltos
MATEMÁTICAS PARA LOS GRADOS EN ECONOMÍA Y EMPRESA Cálculo Diferecial Ejercicios y Problemas resueltos Juliá Rodríguez Ruiz (Catedrático de Ecoomía Aplicada. UNED) Mariao Matilla García (Profesor Titular
Más detallesTema 8 Límite de Funciones. Continuidad
Tema 8 Límite de Fucioes. Cotiuidad 1. Operacioes co límites. Los límites de las sucesioes a b, c, d y e so los idicados e la tabla siguiete:, a b c d e - 0 1 Di cual es el límite de: a) lim( a b ) c)
Más detallesApuntes sobre series numéricas: preguntas frecuentes y ejemplos resueltos. 1) Preguntas frecuentes. Conceptos, teoremas y ejemplos básicos
Cálculo I ( o de Grado e Iformática, 202-3) Aputes sobre series uméricas: pregutas frecuetes y ejemplos resueltos ) Pregutas frecuetes. Coceptos, teoremas y ejemplos básicos P-. Ua serie ifiita es ua suma
Más detallesSet de Ejercicios N 4. Ayudantías MAT-022.
Set de Ejercicios N 4. Ayudatías MAT-. Departameto de Matemáticas, UTFSM *. Semestre 6. Ates de comezar, u breve relato extraído del libro El curioso mudo de las matemáticas de David Wells (p. 4): Hay
Más detallesCAPÍTULO XIII. SUCESIONES
CAPÍTULO XIII SUCESIONES NUMÉRICAS SECCIONES A Sucesioes covergetes y límites de oscilació Sucesioes moótoas y acotadas B Sucesioes recurretes C Ejercicios propuestos 59 A SUCESIONES CONVERGENTES Y LÍMITES
Más detallesTEMA 26 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO. FUNCIÓN DERIVADA. DERIVADAS SUCESIVAS. APLICACIONES.
Tema 6 Derivada de ua ució e u puto Fució derivada Derivadas sucesivas Aplicacioes TEMA 6 DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO FUNCIÓN DERIVADA DERIVADAS SUCESIVAS APLICACIONES ÍNDICE INTRODUCCIÓN DERIVADA
Más detallesTEMA 3 RECURRENCIA. FUNCIONES GENERATRICES
Gregorio Herádez Peñalver Departameto de Matemática Aplicada, Facultad de Iformática, UPM TEMA 3 RECURRENCIA. FUNCIONES GENERATRICES RELACIONES DE RECURRENCIA Ua relació de recurrecia para ua sucesió A=(a
Más detallesSERIES. Problema 5.1. Halla el radio de convergencia de las series. (2n)! (n!) 2 zn, (a) (i) (e) z 2n, (n + a n )z n (a C), (j) (f) cos(in)z n, z n!
Capítulo 5 SERIES Problema 5.. Halla el radio de covergecia de las series a b c d!!,!, a a C, α α R, e f g + a a C,!, a a C, h + αα + α + ββ + β +!γγ + γ + α, β, γ R, γ / Z, i j k, cosi, 3 +. Solució:
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales. M. en I. Gerardo Avilés Rosas
Sistemas de Ecuacioes Lieales M. e I. Gerardo Avilés Rosas Octubre de 206 Tema 5 Sistemas de Ecuacioes Lieales Objetivo: El alumo formulará, como modelo matemático de problemas, sistemas de ecuacioes lieales
Más detallesCálculo de límites. 8.1. Criterio de Stolz. Tema 8
Tema 8 Cálculo de límites El presete tema tiee u iterés emietemete práctico, pues vamos a estudiar alguos métodos cocretos para resolver idetermiacioes. Etre ellos destaca el criterio de Stolz, del que
Más detalles