1. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN CONTÍNUA Y POSITIVA EN UN INTERVALO.

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1 TEMA 9 Integrl Definid. INTEGRAL DEFINIDA DE UNA FUNCIÓN CONTÍNUA Y POSITIVA EN UN INTERVALO. y = f() Un trpeio urvilíneo (o mitilíneo) T es un figur pln omo l que pree en l figur: T O Está limitd por: El eje de siss de euión y =0 Ls rets de euiones = ; = Un funión y = f() positiv y ontínu en [,] Cundo l funión f es positiv y ontínu eiste el áre de este trpeio urvilíneo. Este áre se llm integrl definid entre y de l funión f y se represent: áre (T) = f ( ). INTEGRAL DE RIEMANN Consideremos el intervlo [,] y en él un prtiión, que es un suonjunto de números reles P ={ 0,,,..., i-, i,..., n-, n } ordendo y finito que verifi: = 0 < < <... < i- < i <... < n- < n =. y determin en [,], los intervlos priles: [ 0, ], [, ],... [ i-, i ],... [ n-, n ]... I(f, P) Un prtiión de n+ puntos determin n intervlos. Se m i el mínimo de f en [ i-, i ] y M i el máimo de f en [ i-, i ] Se llm sum inferior de f soid l prtiión P: n- n pág. 39

2 TEMA 9 Integrl Definid n I(f, P) = m ( - 0 ) +m ( - )+...+ m n ( n - n- )= mi ( i i ) que es un i = proimión por defeto del áre del trpeio mitilíneo. Se llm sum superior de f soid l prtiión P:... S(f, P) n- n n i= S(f, P) =M ( - 0 )+M ( - )+...+M n ( n - n- ) = = M ( ) que es un proimión por i i i eeso del áre del trpeio mitilíneo. Si onsidermos que n lim n I(f, P n ) = I(f) = lim n S(f, P n ) = T = f ( ) Los números y reien el nomre de límites inferior y superior de integrión. Podemos pues firmr que tod funión ontínu y positiv en [,] es integrle, y f ( ) es el áre del reinto delimitdo por l urv el eje de siss y ls rets de euiones = y =. 3. PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA. - Si f es un funión integrle en [,] y ],[ entones: 0 f ( ) = f ( ) + f ( ) pág. 40

3 TEMA 9 Integrl Definid - Si f es un funión integrle sore [,] y = f ( ) = 0 3- f ( ) = - f ( ) Y que 0 = f ( ) = f ( ) + f ( ) 4- Si f y g son dos funiones integrles en [,] entones tmién lo es f ± g: (f() ± g() = f() ± g() 5- Si f es un funión integrle en [,] tmién lo es kf, siendo k un onstnte: k f() = k f() 4. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Definimos S()= áre desde hst [, ]omprendid por l funión y = f() y el eje de siss. f S() = f S() O Si f es positiv l funión integrl S nos proporion el áre del reinto rydo de l figur. Si f es ontínu en [,]. entones: Si [, ] S () = f(), es deir S, es un funión primitiv de f. Por tnto: f = f () en generl: pág. 4

4 h() f g() = f ( h() ) h'() f ( g() ) g () TEMA 9 Integrl Definid APLICACIONES: Clul l derivd de lãs siguientes funiones: ) 4) dt ) 0 t e t sen ( + t ) dt 3) ostdt 5) Seletividd nº 7 0 t 5 ostdt 5. REGLA DE BARROW. Si f es un funión ontínu en [,] y G es un funión primitiv de f, entones se verifi que: f ( ) G( ) = G() = G() - G() = [ ] DEMOSTRACIÓN: Como S() = f es tmién un funión primitiv de f, y dos funiones primitivs se diferenin sólo en un onstnte entones: S() = G() + C Si onseguimos verigur C, tendremos el prolem resuelto por ompleto. Pr ello dmos vlores l : si = S() = G()+C, pero S() = f ( ) = 0 on lo ul 0 = G() + C y C = -G() si = S() = G() + C = G() - G(), pero S() = f ( ) luego: f ( ) = G() - G() L epresión reudrd es l regl de Brrow que epres que l integrl definid entre y de l funión integrle f, es igul l difereni entre los vlores en y en de un primitiv ulquier de f. pág. 4

5 TEMA 9 Integrl Definid L Demostrión de este teorem es inútil si l funión no posee otrs primitivs distints de S, y que en tl so l regl de Brrow no puede plirse. Como ejemplo podemos onsiderr l funión f() = e. En este so se lul l integrl definid plindo l definiión o utilizndo métodos de proimión (los ordendores resultn muy útiles). EJERCICIOS: Seletividd : 5, 3, 4,, 4 ) 0 6. INTEGRAL DEFINIDA Y ÁREA Si f es un funión positiv entones l integrl f ( ) es tmién positiv y, reflej el áre de l región somred Si f es negtiv l integrl f ( ) es negtiv (ls lturs de todos los retángulos son negtivs) y, NO reflej el áre. El vlor de l integrl puede ser negtivo, pero no el áre, uyo vlor será: S = f ( ) NOTA Oserv que f ( ) f ( ) EJERCICIOS:.- Hll el áre de l región limitd por y = sen y el eje OX onsiderndo 0 π pág. 43

6 7. CÁLCULO DE ÁREAS TEMA 9 Integrl Definid Comprendid entre UNA FUNCIÓN, eje de siss y ls rets = y = No preis representión. Los álulos que se tienen que relizr son los siguientes: Puntos de orte on el eje de siss. No ort l eje = S f ( ) Integrl positiv Integrl negtiv EJERCICIOS:.- Hll el áre del reinto limitdo por l funión f() = / 4, ls rets de euiones = =3 y el eje de siss. Seletividd :Nº,, 3, 7,, 3 ) ) Cort l eje en = S = f ( ) + f ( ) d EJERCICIOS:.- Hll el áre del reinto limitdo por l funión f()=( )( 4), ls rets de euiones =, =3 y el eje OX Seletividd :4 pág. 44

7 TEMA 9 Integrl Definid Entre DOS FUNCIONES y = f(), y = g() No preis representión. Los álulos que se tienen que relizr son los siguientes: º.- Puntos de orte entre ells. Suponemos que se ortn en = y = ( f ( ) g( ) S = ) Supongmos que se ortn en = EJERCICIOS:.- Hll el áre de l región limitd por ls urvs y= e ; y= e - y l ret de euión =..- Hll el áre de ulquier de los reintos limitdos por ls urvs de euiones: f()= sen y g()= os. 3.- Hll el áre del reinto limitdo por ls urvs: y = 6 e y= Seletividd : 6, 9, 0,, 5, 6, 7, 0,,. Seletividd : 3, 3, 9, 8, 7, 6... Ejeriios Complementrios: No import que ls funiones sen positivs o negtivs, pues siempre ls podemos onsiderr trsldds k lugres. pág. 45

8 TEMA 9 Integrl Definid Con REPRESENTACIÓN INEVITABLE Entre más de dos urvs f(), g(), h() h() f() 3 g() S = f () + 3 g() 3 h() Entre dos urvs, eje de siss y ls rets = y = Ejeriio Complementrios g() f() S = g( ) + f ( ) f() r r es l ret tngente l funión y=f() en el punto d sis = S = f ( ) r( ) 0 Entre práol tumd y ret o entre dos práols tumds Ejeriios Complementrios., 3, 4, 5, pág. 46

9 EJERCICIOSCOMPLEMENTARIOS TEMA 9 Integrl Definid.- Hll el áre de l región omprendid entre ls funiones f()= + g()= -+4 y los semiejes positivos..- Hll el áre enerrd por ls urvs: y = 4, = 4y 3.- Hll e áre del trpeio mitilíneo limitdo por l práol de euión y = 4 y ls rets de euiones =3, = Hll el áre de l región limitd por ls práols de euiones: y = 9, y = 4(+) 5.- Hll el áre del reinto limitdo por ls urvs: = y, y = 0. Seletividd Nº 8, 0, ),, 5, Hll el áre del írulo de rdio r. 7.- Hll el áre enerrd por l elipse de euión y + =. 8.- Otener el áre limitd por l urv y= y el eje X. 9.- Hll el áre omprendid entre l urv y = / y ls rets tngentes dih urv en los puntos de siss 0 = y = Hll el áre del reinto limitdo por ls urvs: y = y = Hll el áre de l región limitd por l urv y= , y ls rets de euiones y = - 3, = - 3 y =0.- Clul el áre enerrd entre ls funiones y=, y=, y= Hll el áre de l región omprendid entre l urv y= y l ret sente que ps por los puntos de siss = y =4. pág. 47

10 EJERCICIOS SELECTIVIDAD TEMA 9 Integrl Definid.- Clul el áre del reinto limitdo por l urv y = e, undo vri entre 0 y 5, el segmento horizontl de etremos (0,0) y (5,0) y el segmento vertil de etremos (5,0) y (5, 5 e 5 ). (999) (Sol. S =(7 e 5 ) u ) π.- L gráfi de l urv y = os, undo 0, y el eje OX limitn un superfiie. Determin el áre de est superfiie. (000) (Sol. S =(π-)/ u ) 3.- Hll el áre del reinto S limitdo por el eje OX, l urv y= /, undo 0, y l ret =. Clul el volumen de l figur otenid undo S d un vuelt omplet lrededor del eje OX (997) (Sol. S= /3 u ; V= π/ ) 4.- Clul el áre enerrd entre el eje de siss y l urv y= (994) 5.- Resuelve l integrl 0 e 3 3 (994) (Sol. [ e 3 e 6e 6e ] º = 6 6 e ) 6.- Are del lóulo limitdo por l práol y = 0 y l ret -y+8=0 (Sol. S=43/ u ) (995) 7.- Clul l derivd de l funión. 4 ln tdt (997) 8.- Otener el áre de l superfiie S limitd por el eje OX, l urv y =,on 0, y l ret =. Clul el volumen generdo por l superfiie S l dr un vuelt omplet lrededor del eje OX (00) 9.- Enontrd el vlor positivo de pr que: ( ) 9 = 0. Otener, rzondmente, l integrl que d el áre de l superfiie omprendid entre el eje OX, l urv y= + y ls rets de euión =0, = (,3 p) Junio Cluld, rzondmente, el áre de l región limitd por ls urvs: y=, y= (Sol. S=π-/3u ) Septiemre ) Diujr l ret de euión y=(/π) y l urv de euión y= sen undo π π ; otener rzondmente por álulo integrl el áre limitd entre l ret y l urv. pág. 48

11 TEMA 9 Integrl Definid ) Clulr l integrl del produto de ls dos funiones onsiderds en el prtdo nterior, es deir ( ) sen π, indindo los psos relizdos. (,6 puntos) Junio ) Representr l superfiie S limitd por l urv y= 4, undo. Otener, rzondmente, medinte un integrl el áre de l superfiie S (,6 Puntos) ) Hllr el volumen del uerpo generdo l dr un giro ompleto del eje OX l superfiie S onsiderd en el prtdo nterior, indindo omo se h otenido el volumen. (,7 Puntos) Septiemre 003 z Hll todos los vlores de z tles que = ln Junio Clul: ) ( + ) + ) ( + ) + 0 Sept Dds ls urvs y = ( ) 3; y = 5. Clul ) su punto de orte. ) Áre limitd por ests y el eje OY Junio Se f()= +m (donde m es un prámetro rel) y f () l funión derivd de f(). Se pide: ) Hllr el vlor del prámetro m pr que f() teng un mínimo reltivo en =-3/4 (,5 puntos) ) Pr el vlor de m luldo en ), determinr el áre de l región omprendid entre l urv y = f() y l ret de euión y = f () (,8 puntos) ( septiemre 04) 7.- ) Diujr rzondmente l gráfi de l funión g()= 4, undo 4 (, p) ) Otener rzondmente los vlores máimo y mínimo solutos de l funión f ( ) = 4 en el intervlo [-,4] (, p) ) Clulr el áre del reinto limitdo por l urv de euión y= f() y ls rets = - e y= 0 (, p) Junio Se onsidern ls funiones f () = y g() = Se pide: f () ) Determinr ls euiones de ls síntots l gráfi de l funión (,6 p) g() f () ) Clulr l funión H() = que umple H()= (,7 p). Junio 07 g() pág. 49

12 TEMA 9 Integrl Definid 9.- Dds ls funiones reles f() = y g() = se pide: f () ) Clulr ls euiones de ls síntots l gráfi de l funión. (.6 p) g() f () ) Otener l funión H() = que umple H(0) = 0 (,7 p) Sep 07 g() 0.- Se onsider, en el primer udrnte, l región R del plno limitd por: el eje X, el eje Y, l ret = y l urv y = 4 + ) Clulr rzondmente el áre de l región R. (,5 puntos) ) Enontrr el vlor de α pr que l ret = α divid l región R en dos prtes A (izquierd) y B (dereh) tles que el áre de A se el dole que l de B. (,8 puntos) Junio008.- Dd l funión f(t)= t+ (on y onstntes reles), se define F()= + f (t)dt. Se pide otener rzondmente: + ) L integrl f (t)dt. (,5 puntos) ) L epresión de l derivd F () de l funión F(). (0,5 puntos) ) L relión entre los vlores de y pr que F (0) = 0 (,3 p) Sep 08.- Pr d número rel positivo, se onsider l funión g() = +α. Se pide lulr rzondmente: ) El áre de l región del plno limitd por el eje X, el eje Y, l ret = 6 y l urv y = g(). ( puntos) ) El vlor de α pr el que l urv y = +α divide l retángulo de vérties (0,0), ( 6,0), ( 6,6+α), (0,6+α) en dos regiones de igul áre. (,3 p) Sep Junio 009 ) Determinr, rzondmente, el dominio y los intervlos de reimiento y dereimiento de l funión f() =. ( punto) ( 3 )( 3 + ) ) Otener rzondmente los vlores de A y B tles que = ( 3 )( 3 + ) A B + ( punto) ) Clulr rzondmente el áre de l superfiie S limitd por l urv y, el eje OX y ls rets de euiones = - y =. (,3 p) = ( )( ) pág. 50

13 TEMA 9 Integrl Definid 4.- Dd l funión f() = e e, se pide lulr rzondmente: ) L funión f()+f(- ). (, puntos) ) L integrl f (), donde es un número rel positivo. (, puntos) ) El punto de infleión de f(). (, puntos) Junio Dds ls funiones f() = 3 y g() =, se pide: ) Otener rzondmente los puntos de interseión A y B de ls urvs y = f() e y = g(). (3 puntos) ) Demostrr que f() g() undo 0. (3 puntos) ) Clulr rzondmente el áre de l superfiie limitd por ls dos urvs entre los puntos A y B. (4 puntos). Septiemre ) El dominio y ls síntots de l funión f(). (3 puntos) ) Los intervlos de reimiento y dereimiento de l funión f(). (4 puntos) ) Junio Un ohe reorre un ro de práol Γ de euión y=36, vrindo l de Se represent por f() l distni del punto (0,9) l punto (,y) del ro Γ donde está situdo el ohe. Se pide otener rzondmente: ) L epresión de f(). ( puntos) ) Los puntos del ro Γ donde l distni f() tiene mínimos reltivos. ( p) ) Los vlores máimo y mínimo de l distni f(). ( puntos) d) El áre de l superfiie limitd por el ro de práol Γ y el segmento retilíneo que une los puntos (-6,0) y (6,0). (4 puntos) B.Sep Con el símolo ln se represent el logritmo de un número positivo undo l se del logritmo es el número e. Se l funión f, que pr un número positivo está definid por l iguldd f() = 4 ln. Otener rzondmente: ) El vlor de donde l funión f lnz el mínimo reltivo. (4 puntos). ) L euión de l ret tngente l urv y = 4ln en el punto (, 0). (3 puntos) ) El áre limitd entre ls rets y= 0, =e y =e y l urv y = 4ln (3 puntos) A. Junio Pr diseñr un esudo se diuj un triángulo T de vérties A = (0, ), B = (-, ) y C=(, ), siendo <. Otener rzondmente: ) El áre del triángulo T en funión de l sis del vértie C. ( puntos) ) Ls oordends de los vérties B y C pr que el áre del triángulo T se máim. (3 puntos) pág. 5

14 TEMA 9 Integrl Definid Pr ompletr el esudo se ñde l triángulo T de áre máim l superfiie S limitd entre l ret y = 4 y el ro de práol y =, undo -. Otener rzondmente: ) El áre de l superfiie S. (3 puntos). d) El áre totl del esudo ( puntos). B. Junio Es defineien les funions f i g per f() = - + i g() =. Oteniu rondment: ) Els intervls de reiement i dereiement de d un d'questes dues funions. ( punts). ) El màim reltiu de l funió f() = - + i el mínim reltiu de g() =. ( punts). ) Els punts d'interseió de les ores f() = - + i g() =.. ( punts). d) L'àre tnd entre les ores f() = - + i g() =, en l qul en els dos sos l vri entre 0 i. (4 punts). A. Setemre Otener rzondmente, esriiendo todos los psos del rzonmiento utilizdo: m(+) e, 0 ) El vlor de m pr el ul l funión f() = sen, > 0 es ontinu en = 0. (3 puntos). ) Los intervlos de reimiento y dereimiento de l funión (+) e.. (3 puntos). ) L integrl e, ( puntos) y el áre limitd por l urv y = (+) e y ls rets = 0, = e y = 0. (3 puntos). A. Juny Sig f l funió rel definid per f() = e 3. Es demn l'otenió ron, esrivint tots els pssos del ronment utilitzt, de: ) Els punts de tll de l or y = f() m el ei X. ( punts). ) El punt d'infleió de l or y = f(), ( punts),i tmé l justifiió rond que l funió f és reient qun >. ( punts). ) L'àre limitd per l'ei X i l or y = f(), qun 0 ln3, on ln signifi logritme neperià. ( 4 punts). A. Juliol Oteniu rondment, esrivint tots els pssos del ronment utilitzt: ) Els intervls de reiement i de dereiement de l funió rel f definid per f() = (-) (-3), sent un nomre rel. (3 punts) ) L'àre del reinte fitt limitt entre les ores y = (-) (-3) i y = -(-) (-3). (4 punts) ) El vlor positiu de per l qul l'àre limitd entre l or y = (-) (-3), l'ei Y y el sgment que unei els punts (0, 0) y (, 0) és 4/3. (3 punts) A. Juny 05. pág. 5

15 TEMA 9 Integrl Definid 34.-Se d l funión f definid por f() =. Otener rzondmente, esriiendo todos los psos del rzonmiento utilizdo: ) El dominio y ls síntots de l funión f. (3 puntos) ) Los intervlos de reimiento y de dereimiento de l funión f. (4 puntos) ) L integrl. (3 puntos) A. Juliol 05. pág. 53