UNIDAD 2: NÚMEROS COMPLEJOS

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1 I.E.S. Ramón Graldo UNIDAD : NÚMEROS COMPLEJOS. CONSTRUCCIÓN A los pares de números reales, consderando las sguentes operacones: x, y x', y' xx', y y' El camno más corto entre dos verdades del Análss Real pasa por el Análss Complejo. Jacques Hadamard xy los llamaremos números complejos, cuando en suma: producto: x, yx', y' xx' yy', xy' yx' (proceso de construccón de Hamlton). Suele decrse que el número complejo xy, está escrto en forma cartesana. estemos Los números reales x e y, como partes del número complejo xy,, recben los sguentes nombres: x parte real y parte magnara El conjunto de los números complejos se representa por : xy,,, y tene estructura de cuerpo conmutatvo (gual que el conjunto de los números reales). Propedad: Todo número real es un número complejo (de parte magnara cero), es decr, Por tanto, haremos la sguente dentfcacón: x,0 x (es decr, los números reales son los complejos de parte magnara cero). Exste un número complejo especalmente mportante que representaremos por, que se denomna undad magnara: 0,, 0. y que verfca: Como consecuenca de lo anteror, todo número complejo se puede escrbr en la forma x, yx,0 0, y,0 x y y que se denomna forma bnómca del número complejo x, y. Generalmente se comena defnendo, y después los números complejos. Esto tene un pequeño problema conocdo como paradoja de Bernoull: Dónde está el error? pr Departamento de Matemátcas

2 I.E.S. Ramón Graldo Igualdad: x y x x x y y y Representacón cartesana o gráfca (dagrama de Argand-Gauss ): A cada número complejo a b le asocamos un (únco) punto del plano cartesano, que se denomna afjo de. ab P a, b eje magnaro b ab a eje real Representacón vectoral: Unendo el orgen O con el punto P, afjo del número complejo a b, obtenemos el vector OP asocado al número complejo. abop b OP ab a Conjugado: xy xy Opuesto: x y x yx y Interpretacones geométrcas y son smétrcos respecto del eje real y están relaconados por un gro de 80º 80º b ab a ab ab La vsualacón de los números reales medante los puntos de una recta o de los números complejos medante los puntos del plano no solamente penetró sn gran resstenca en el Análss, sno que se puede decr con raón que, en el caso de los números complejos, esta vsualacón (Argand, Gauss) fue lo que ho posble vencer la fuerte oposcón de la comundad matemátca al dar carta de cudadanía a los números complejos. El rncón de la parra: ensayos de vsualacón en análss matemátco. Mguel de Gumán Parece ser que, en realdad, fue Hamlton el prmero que representó los números complejos como puntos del plano. Matemátcas I

3 I.E.S. Ramón Graldo. OPERACIONES EN FORMA BINÓMICA x y xy Suma: x x y y Propedades de la suma: () Asocatva: () Conmutatva: () Exstenca de elemento neutro ( 0 0 0): 00 ): 0 () Exstenca de elemento opuesto ( x y x y x y xy Resta: x. x y y x y xy Multplcacón: xx y y x y y x Propedades de la multplcacón: () Asocatva: (6) Conmutatva: (7) Exstenca de elemento neutro: 0 (8) Exstenca de elemento nverso: x y xy 0 x y x y (9) Dstrbutva de la multplcacón respecto de la suma: Por cumplr las nueve propedades anterores se dce que es un cuerpo conmutatvo:,, cuerpo conmutatvo de los números complejos Dvsón: x y, x y xyx y xy x y xy x y [] x yx y x y x y donde en [] hemos multplcado y dvddo por el conjugado del denomnador. Potencacón: Igual que sempre. pr Departamento de Matemátcas

4 I.E.S. Ramón Graldo n... con n nveces 0 sempre que 0 n n sempre que 0 Se usa la fórmula del bnomo de Newton: m m m mk k x y x y k 0 k m m! donde :, m! mm m... y 0!:. k k! m k! Potencas de : Se tene que: esto es, las potencas de se repten cada cuatro. Así, calcular donde R es el resto de dvdr k entre : k con k equvale a calcular R, k R k con R módulo ). (matemátcamente esto se escrbe k Rmod y se lee k es congruente con R Ejerccos:. Dados los sguentes números complejos: 6 (7,8) (, 9) (, ) (,) efectúa las sguentes operacones algebracas: ) 6) 7) 8) ) ) ) 8 7 ). Calcula las partes reales e magnaras de: a) h) ( ) m) Matemátcas I

5 I.E.S. Ramón Graldo b) ) n) c) ( )( ) j) ( )( ) ( )( ) ñ) d) ( ) k) ( ) o) ( ) ( ) ( )( ) e) l) p) 6 ( ) ( ) ( ) f) ( )( )( )( ) q) 9 / g). Sean y w dos números complejos cualesquera. Comprueba la gualdad w w.. Dados los números complejos, y, calcula: a) b) ( ) c) d) e) ( ) ( ) f). Sea k. Calcula el valor de k para que. 6. Sea (6 )( k). Calcula el valor de k para que sea un número magnaro puro. 7. Sea (6 )( k). Calcula el valor de k para que sea un número real. m n 8. Calcula m y n para que se cumpla la gualdad: La suma de dos números complejos es y la parte real de uno de ellos es. Determna dchos números sabendo que su cocente es magnaro puro. Se defne el módulo de un número complejo x y por: x y Ejerccos: 0. Sea k. Calcula el valor de k para que.. La suma de las partes reales de dos complejos conjugados es 6 y el módulo de uno de ellos es. Calcula ambos números. pr Departamento de Matemátcas

6 I.E.S. Ramón Graldo. EXPRESIONES DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Forma cartesana: a, b Forma bnómca: a b Forma polar: r OP OX, OP r b r a ab Forma trgonométrca: r cos sen Paso de una a otra forma: De bnómca a polar xy r donde r x y y arctg (ver gráfco adjunto para el valor de ) x 90º 80º arctg y x arctg y x 80º 0º 80º arctg y 60º arctg y x x 70º De polar a bnómca r x y con x rcos y rsen Igualdad en forma polar: r s r s k con k Ejerccos:. Expresa en forma polar: a) b) + c) + d) Matemátcas I 6

7 I.E.S. Ramón Graldo. Escrbe en forma polar el resultado del cocente: 8. Expresa en forma trgonométrca los complejos: a) b) c) 6 d) 9 8. Expresa en forma bnómca los sguentes complejos: a) 70º b) /6 c) / d) º 6. Determna las formas polar y trgonométrca de los números: a) b) c) d) Hallar los números complejos tales que.. OPERACIONES EN FORMA POLAR r w s Multplcacón: w r s Dvsón: r r w s w s n n n n Potencacón: r r r n n n Fórmula de De Movre: cos sen r r n n n Radcacón: Se llama raí n ésma, n, del número complejo, y la representamos por n, a n cualquer número complejo w tal que w : n n ww En forma polar tenemos: k n n r r donde, k 0,,... n n Interpretacón geométrca de las raíces n ésmas Todos los números complejos tenen exactamente n raíces dstntas, cuyos afjos forman un n ágono regular. Una propedad sobre los radcales complejos: n r n n s r s 0 60º Con la que ya puedes ver dónde está el error del prncpo de la undad (Paradoja de Bernoull). pr Departamento de Matemátcas 7

8 I.E.S. Ramón Graldo Raíces cuadradas de : 80º 80º 0 60º 90º 80º 60º 70º Como consecuenca, ya podemos trabajar de forma rgurosa con expresones de la forma x con x : x x x x Ejerccos: 8. Escrbe en forma bnómca y en forma de par el cocente de los números 60º y /. 9. Reala las operacones en forma polar y después pasa a forma bnómca: a) º º e) º 6º º ) º 97º b) 97º :97º f) (º ) :(7º ) j) 06º :6º c) 6 º :º g) d) 6 ( ) k) º º 8 (º ) : (90º ) h) 8 l) 0 0. Calcula el resultado de las sguentes operacones, y escríbelos en todas las formas que conoces: ( )( ) a) b). Halla las sguentes raíces: a) c) b) 6 6 d) 7. Calcula las raíces cuartas de y de.. Calcula y representa:. Una raí cuarta de un número complejo es. Calcula dcho número y sus restantes raíces cuartas.. Calcula las raíces cúbcas de: ( ) ( ) a) b) ( ) e) 8 f) c) g) d) 6. Calcula las raíces cuartas de y represéntalas gráfcamente. Matemátcas I 8

9 I.E.S. Ramón Graldo 7. Calcula las raíces quntas de. 8. Una raí cúbca de un número complejo es. Halla dcho número complejo y sus otras dos raíces cúbcas. 9. Calcula: a) d) 8 b) e) 8 8 h) c) f) ( ) ( ) g) 0. Escrbe en todas las formas que conoces las solucones de las ecuacones: a) x x 0 d) x x x 0 b) x 0 e) c) f) 7 0. OPERACIONES EN FORMA TRIGONOMÉTRICA Multplcacón: r cos sen w r s cos sen ws cos sen Dvsón: r cos sen r cos sen ws cos sen 0 w s Potencacón: n n Fórmula de De Movre: rcos sen r cosnsen n 6. NO HAY ORDEN EN COMPATIBLE CON SU ESTRUCTURA ALGEBRAICA Al amplar a ganamos mucho pero tambén perdemos algo. En tenemos dos estructuras: la algebraca (las nueve propedades que le dotan de estructura algebraca de cuerpo conmutatvo y la de orden, que hacen que ese cuerpo esté totalmente ordenado). Ambas estructuras están armonosamente relaconadas. Pues ben, en no hay nada parecdo. Podemos defnr relacones de orden en, pero no hay nnguna de ellas que sea compatble con la estructura algebraca. pr Departamento de Matemátcas 9

10 I.E.S. Ramón Graldo En efecto, s suponemos que es una relacón de orden en compatble con su estructura algebraca, como 0 habría de ser 0 (esto todavía no es contradctoro porque pudera ocurrr que la relacón no respetara el orden de ). Pero tambén 0, luego 0 0 y eso sí que es contradctoro. Por tanto, es mposble defnr un concepto de número complejo postvo de forma que la suma y el producto de complejos postvos sea postvo. Por ello no se defne en nngún orden. Así que ya sabes: mucho cudado con no escrbr desgualdades entre números complejos! Naturalmente, puedes escrbr desgualdades entre las partes reales o magnaras de números complejos, porque tanto la parte real como la parte magnara de un número complejo son números reales. Francsco Javer Pére Gonále Curso de Análss Complejo Unversdad de Granada 7. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA Propedad de conjugacón: Sea px un polnomo con coefcentes reales. S es una raí de px, entonces tambén es raí. Teorema Fundamental del Álgebra: Todo polnomo de grado n, con coefcentes reales o complejos, tene n raíces. Feynman y el Teorema Fundamental del Álgebra Reflexonando sobre lo que hemos hecho hasta ahora, parece que nuestros logros son más ben modestos. Hemos añaddo a báscamente un número,, que nos genera lnealmente, y que es una raí del polnomo concreto x. Qué sucederá con los demás polnomos? Esto lo expone estupendamente el premo Nobel de Físca, Rchard Feynman, en un capítulo llamado Álgebra de su lbro [Feynman, R. & al.: Físca. Volumen I: Mecánca, radacón y calor. Addson-Wesley Iberoamercana, Wlmngton, Delaware, 987.], p. -0: Ahora ustedes drán: Esto puede segur ndefndamente! Hemos defndo las potencas de los magnaros y todo lo demás y cuando estamos lstos, vene alguen con otra ecuacón que 6 no puede ser resuelta como x x. Entonces tenemos que generalar todo de nuevo! Pero resulta que con esta nvencón adconal que es smplemente un número cuyo cuadrado vale, toda ecuacón algebraca puede ser resuelta! Este es un hecho fantástco que debemos dejar que lo demuestre el Departamento de Matemátcas. Las demostracones son hermosas y muy nteresantes, pero certamente no son evdentes por sí msmas. De hecho, la suposcón más evdente es que vamos a tener que nventar de nuevo, de nuevo y de nuevo. Pero el mlagro más grande es que no tenemos que hacerlo. Esta es la últma nvencón. Después de esta nvencón de los números complejos, encontramos que las reglas sguen funconando con los números complejos y hemos termnado de nventar cosas nuevas. Podemos encontrar la potenca compleja de cualquer número complejo, podemos resolver cualquer ecuacón escrta algebracamente en térmnos de un número fnto de esos símbolos. No encontramos más números nuevos. Matemátcas I 0