De manera similar, un tensor se puede expresar en un sistema diferente por medio de la transformación matricial:"

Transcripción

1 Ahora bien, recordemos que un vector permanece igual sin importar el sistema coordenado en que se refiere, sin embargo los componentes del vector pueden ser expresados en otro sistema coordenado por medio de la transformación: De manera similar, un tensor se puede expresar en un sistema diferente por medio de la transformación matricial:

2 Supongamos un bloque de material con caras perpendiculares a los ejes x 1 y x 2 sometido a sólo esfuerzos normales σ 1 y σ 2, de forma que el tensor es diagonal: Ahora supongamos que quisíeramos ver qué pasa con otro bloque al cual rotamos de forma que: Por ejemplo, si σ 1 = 1 y σ 2 = -1 y θ = 45 :

3 Es decir, el estado de esfuerzos no cambió, pero en el primer bloque teníamos sólo esfuerzos normales en las caras y en el segundo sólo esfuerzos de corte: Notar que lo que hicimos fue únicamente rotar el sistema de ejes coordenados, 45 en este caso.

4 Esto nos lleva a concluir que en cualquier estado de esfuerzos, podemos encontrar un sistema de ejes en el cual sólo existan esfuerzos normales ( eliminamos los esfuerzos de corte!). A estos esfuerzos se les llama esfuerzos principales, y a los ejes correspondientes se les llama ejes de esfuerzos principales. Para encontrar estos ejes, y los esfuerzos, usamos los conceptos del álgebra vectorial (búsqueda de valores y vectores principales).

5 Cuando buscamos los vectores principales, estamos buscando un vector al que una transformación no cambia excepto por su magnitud. Por ejemplo: En los dos casos anteriores tenemos la multiplicación de una matriz por un vector, pero en el segundo caso, el resultado es un múltiplo exacto del vector original. La matriz se puede considerar una transformación, y el vector en el segundo caso es un tipo de vector al cual la transformación no produce traslación y sólo lo cambia de tamaño (hay un factor de escala).

6 En nuestro caso, lo que buscamos es que las Tracciones sean paralelas a las normales de las caras definidas por los ejes coordenados del sistema que buscamos (o sea que están en la misma dirección de las normales y sólo necesitamos un factor de escala como antes), esto lo podemos expresar como: Fijarse que sólo varían por un factor de escala: λ

7 Esta ecuación se puede re-escribir como: Para que esta ecuación se pueda satisfacer para el caso no-trivial (de que los valores sean cero) se requiere que el siguiente determinante sea igualado a cero (esto nos va a dar la ecuación normal que define los valores característicos):

8 Las componentes de son los vectores principales del tensor de esfuerzos (ejes de esfuerzos principales) y los valores λ, asociados a cada eje, nos dan las magnitudes de los esfuerzos principales. La ecuación (determinante igualado a cero) para encontrar estos valores puede escribirse como: donde las I s son los llamados invariantes del tensor de esfuerzos. Se llaman así porque estos valores no cambian aunque cambie el sistema de referencia.

9 Los Invariantes están definidos por:

10 Los esfuerzos principales tienen una magnitud dada por los valores principales y se pueden encontrar las tres superficies perpendiculares en las cuales NO HAY ESFUERZOS DE CORTE. En el nuevo sistema el estado de esfuerzos queda definido como = 0

11 Ejercicio: Si los invariantes están dados por: Cuáles serían los invariantes en un sistema de esfuerzos principales?

12 Se pueden encontrar las direcciones de un plano para el cual existe el máximo esfuerzo de corte (problema de máximos y mínimos entre el esfuerzo de corte contra el ángulo del plano). Para dicho plano el valor del esfuerzo máximo de corte (notar que no depende de σ 2 ) es: Las direcciones que se obtienen indican que este esfuerzo ocurre a 45º de las direcciones (ejes) de los esfuerzos principales máximo y mínimo. Si las direcciones de los ejes del máximo y mínimo esfuerzo principal son (1,0,0) y (0,0,1), los planos del máximo esfuerzo de corte serían: Es decir, los cosenos directores de un plano a 45º de i y j, siendo i y j las direcciones de los esfuerzos principales.

13 Sin embargo, debido a la cohesión de los materiales geológicos, la ruptura ocurre generalmente a planos más cercanos a las dirección del eje σ 1. Aproximadamente a 25º La fractura ocurriría aquí

14 El campo de esfuerzos asociado a los tipos de fallamiento suponiendo que el plano de máximo esfuerzo de corte es a 45º de los esf principales. Falla normal Falla inversa Vista de lado Vista de planta Falla de rumbo

15 Definimos el Esfuerzo Promedio como: Y el Esfuerzo desviador o deviatórico: Condición Litostática:

16 Para una prueba triaxial de laboratorio tendríamos Por lo que el esfuerzo desviador nos queda: Lo cual explica porqué se usa la diferencia σ 1 σ 3 como parámetro de esfuerzo

17 Al esfuerzo deviatórico (o desviador) también se le pueden obtener sus valores y vectores característicos (diagonalizarlo) y estos tienen la misma orientación que los del tensor original Si tenemos esfuerzos litostáticos (igual al peso de la columna de roca) recordando que 1 MPa = 10 bar, o sea que 100 kpa = 1 bar (por ejemplo una llanta se infla a ~ 200 kpa que son 2 bar). Entonces a una profundidad de 3 km en la corteza tenemos: P = - ρ g z = -(3 x 10 3 kg m -3 )(9.80 m seg -2 )(3 x 10 3 m) -90 x 10 6 Pa = -90 MPa ( o sea 0.9 kbar) O sea que a 3 km llegamos prácticamente a un kbar de presión!