Parte III: Lenguajes y Autómatas

Transcripción

1 Introducción l Lógic y l Computción Prte III: Lengujes y Autómts Autor 1r. Versión: Alejndro Tirboschi Autor 2d. Versión: Pedro Sánchez Terrf Autores 3r. Versión: Rul Fervri y Ezequiel Orbe 1 Modelos de Computción A continución estudiremos un modelo de computción llmdo utómt. Definición 1.1 (Modelo de Computción). Un modelo de computción es un modelo mtemático que proxim el funcionmiento de un computdor, y medinte el cul se pueden estudir, desde un punto de vist teórico, ls cpciddes y limitciones de l mism. En prticulr, un modelo de computción nos permite responder con precisión preguntles trscendentles como: - Qué problems puede resolver un computdor? (Computbilidd) - Cuáles son los problems computcionlmente dificiles? (Complejidd) Existen diferentes modelos de computción, entre los cules podemos nombrr ls Máquins de Turing (Turing ), los Autómts Finitos (Rbin y Scott ) y el Cálculo Lmbd (Church ). Los primeros dos modelos (Máquins de Turing y Autómts Finitos) se suelen tipificr como modelos de estdos, mientrs que el Cálculo Lmbd como modelo funcionl. Los modelos de computción difieren principlmente en su poder computcionl (que funciones podemos computr con un modelo) y en qué nos permiten estudir. Por ejemplo, ls Máquins de Turing (MT) y el Clculo Lmbd se utilizn pr estudir decidibilidd, esto es, qué puede y qué no puede resolver un computdor y cuáles problems son decidibles y cuáles son indecidibles. Un problem es decidible si existe un lgoritmo que, con suficiente tiempo y memori, siempre pued resolverlo. Si no existe dicho lgoritmo entonces decimos que el problem es indecidible. 1

2 Input CPU Output Memori Figur 1: Modelo Generl de Máquin 1.1 Modelo Generl de Máquin Pr poner en contexto donde se encuentrn los utómts dentro del mundo de los modelos de computción, empezemos por definir de form bstrct y simplificd lo que considerremos como un máquin (computdor). En su form más básic, podemos pensr un computdor como compuest por dos componentes: un memori y un unidd centrl de procesmiento (CPU). Nos interes prticulrmente el tipo de memori que tiene un máquin, y que de eso dependerá su poder computcionl. En función l tipo de memori podemos distinguir los siguientes tipos de máquins, ordends de menor myor poder computcionl: 1. Autómts de Estdos Finitos (Finite Stte Automt): Son quells máquins que no tienen de memori temporri. 2. Autómts con Pil (Pushdown Automt): Son quells máquins que tienen un pil como memori temporri. 3. Máquins de Turing (Turing Mchines): Son quells máquins que tienen memori de lectur y escritur de cceso letori. Cd tipo de máquin tiene distinto poder computcionl, el cul se v incrementndo medid que el tipo de memori es menos restrictivo. Como es de esperr, l complejidd tmbién ument con el poder de computcionl. En est mteri no estudiremos ls Máquins de Turing, pero sí veremos distintos tipos de Autómts de Estdos Finitos y con Pil, y estudiremos sus propieddes. 2 Autómts Finitos Determinísticos 2.1 Sistems de estdos finitos En nuestr vid cotidin nos encontrmos con muchos sistems que se pueden modelr como sistem de estdos finitos. Los mismos siempre se encuentrn en un estdo determindo dentro de un conjunto finito de estdos posibles, y l trnsición entre estdos se d como consecuenci de recibir un determindo estímulo de entrd (un input). En estos sistems, podemos considerr que l función de un estdo es l de recordr un prte relevnte de l histori del sistem. Ejemplo 2.1. Consideremos un interruptor e intentemos modelrlo como un sistem de estdos finitos. En su form más simple podemos pensr un interruptor como un sistem con dos estdos posibles, 2

3 un estdo de ON y un estdo de OFF, y en el cul l trnsición entre mbos estdos ocurre cundo lguién pret (push) el interruptor. L Figur 2 muestr un digrm de este sistem. push OFF ON push Figur 2: Modelo de Estdos de un Interruptor Cundo el interruptor está en el estdo ON, podemos interpretrlo como recordndo que lguien en lgún momento lo pretó y lo puso en ese estdo. Si luego de un cierto tiempo, lo observmos y el interruptor está en el estdo OFF, entonces podemos interpretrlo como recordndo que lguien en lgún momento lo pretó y lo pso ese estdo. Todos los sistems de estdos finitos comprten cierts crcterístics comúnes. En prticulr, todos tienen: 1. Un estdo inicil, en el cul el sistem se inici, 2. un conjunto de estdos finles (o de ceptción), que representn los estdos los cules nos interes llegr, y, 3. el efecto de plicr un entrd (o input) depende únicmente del estdo en el cul se encuentr el sistem cundo se l plic. Ejemplo 2.2. Consideremos un expendedor de golosins, el cul entreg un golosin cundo se le ingres ciert cntidd de dinero. Supongmos que el expendedor comienz su funcionmiento sin dinero, que solo entreg un golosin cundo le hn ingresdo $ 1 (un peso), y que cept moneds de $ 0.25, $ 0.5 y $ 1. El expendedor de lgun form debe recordr cunto dinero le hn ingresdo pr, sí, sber cundo entregr l golosin. Podemos modelr el expendedor de l siguiente form: - Con 5 estdos, pr cundo el expendedor teng $ 0, $ 0.25, $ 0.5, $ 0.75 y $ 1 respectivmente. - Inicilmente, el expendedor no tiene dinero, es decir, está en el estdo $ 0. - Con un solo estdo finl (el estdo $ 1), que es cundo se entreg l golosin. - Luego de entregr l golosin, se vuelve l estdo inicil. - Solo cept moneds de $ 0.25, $ 0.5 y $ 1. L Figur 3 present nuestro modelo del expendedor. H de notrse que este modelo es un simplificción de un modelo rel de un expendedor y que no consider ls situciones donde se ingrese ms de $ 1, cómo lo solucionrís? Lo que cbmos de presentr son ls crcterístics básics de lo que se denominn utómts finitos determinísticos y como hbrán podido observr, hst quí hemos lidido con conceptos y nociones summente intuitivs. A continución, nuestro trbjo será definirlos y estudirlos formlmente. 3

4 Entregr 0 $ $0.50 $0.25 $ $0.50 $0.50 $ $ Figur 3: Modelo de un Expendedor de Golosins 2.2 Autómt Finito Determinístico Un utómt finito determinístico (DFA) es un modelo mtemático de un sistem, con entrds y slids discrets. Es determinístico y que el sistem solo puede estr en un, entre un número finito, de configurciones interns o estdos.además, el estdo del sistem es l únic informción que se tom en cuent pr psr otro estdo cundo el sistem recibe un entrd. En ciencis de l computción es posible encontrr numerosos ejemplos de DFAs, y l teorí de utómts es un herrmient summente útil pr estudir dichos sistems. Progrms tles como editores de texto y nlizdores léxicos, encontrdos en l myorí de los compildores, son menudo modeldos como sistems de estdos finitos. Definición 2.1 (Autómt Finito Determinístico). Un utómt finito determinístico (DFA) M = (Q,Σ,δ,q 0,F) es un 5-upl donde: 1. Q = {q 1,q 2,...,q m } es un conjunto finito de estdos. 2. Σ = { 1, 2,..., n } es un conjunto finito de símbolos de entrd (o input). 3. δ : Q Σ Q es l función (totl) de trnsición de estdos. 4. q 0 Q es el estdo inicil. 5. F Q son los estdos finles. Ejemplo 2.3. Consideremos el sistem de estdos de un interruptor que vimos en el Ejemplo2.1 (Figur 2). Definimos el utómt M = (Q,Σ,δ,q 0,F), de l siguiente form: Q = {ON,OFF}. Σ = {push}. q 0 = OFF. F = {ON,OFF}. δ definid como: δ(on, push) = OFF. δ(off, push) = ON. 4

5 Es común representr l función de trnsición medinte un tbl doble entrd en l cul, buscndo el cruce entre l entrd de un estdo q y l entrd de un input, sbemos como cmbi el estdo q cundo recibe el input. En est tbl es común mrcr el estdo inicil con el símbolo y los estdos finles con el símbolo. Ejemplo 2.4. Se M un utómt finito determinístico con estdos {q 0,q 1,q 2 }, símbolos de entrd Σ = {,b} y ls siguientes regls de trnsición: el estdo q 0 se trnsform en q 1 si el input es y en q 0 si el input es b; el estdo q 1 se trnsform en q 1 si el input es y en q 2 si el input es b; finlmente, el estdo q 2 se trnsform en q 2 si el input es y en q 0 si el input es b. Es decir δ, l función de trnsición, está definid por: δ(q 0,) = q 1, δ(q 0,b) = q 0 δ(q 1,) = q 1, δ(q 1,b) = q 2 δ(q 2,) = q 2, δ(q 2,b) = q 0 Est función puede ser representd de form más compct con l siguiente tbl: b q 0 q 1 q 0 q 1 q 1 q 2 q 2 q 2 q 0 Ejemplo 2.5. Consideremos el modelo de estdos del expendedor de golosins del Ejemplo 2.2 (Figur 3). Definimos el utómt M = (Q,Σ,δ,q 0,F), de l siguiente form: Q = {0,0.25,0.50,0.75,1}. Σ = {0.25,0.50,1,E}. q 0 = 0. F = {1}. δ definid como: E Se debe notr que el sistem del Ejemplo 2.5 no es un utómt en el sentido de l Definición 2.1 y que hy estdos que no ceptn ciertos inputs y l definición de un DFA requiere que l función de trnsición δ se un función totl. En l sección siguiente extenderemos el concepto de utómt, con lo cul este tipo de situciones será dmisible.mientrs tnto, cómo modificris el sistem pr que cumpl con l definición de un DFA? Digrms de Trnsición Como hn podido observr en los ejemplos nteriores existe un estrech relción entre un DFA y su representción gráfic. De hecho todo DFA se le puede signr un grfo, l cul llmremos digrm de trnsición. Definición 2.2 (Algoritmo de Generción de Digrms de Trnsición). Se M = (Q,Σ,δ,q 0,F) un DFA, su digrm de trnsición se construye de l siguiente form: 1. Se greg un nodo con etiquet q i, por cd estdo q i Q. 5

6 2. Mrcmos l nodo correspondiente l estdo inicil q 0 con un flech que ingres. 3. Mrcmos los nodos correspondientes los estdos finles q i F con doble círculos. 4. Agregmos un eje etiquetdo del nodo q i l nodo q j si existe un trnsición δ(q i,) = q j. Si tenemos un digrm de trnsición hy un DFA socido el mismo; y por lo tnto de hor en más no distinguiremos entre DFAs y sus digrms de trnsición. Ejemplo 2.6. Se M un utómt con estdos {q 0,q 1,q 2,q 3 }, símbolos de input {0,1}, estdo inicil q 0 y estdo finl q 0, y donde l función de trnsición está dd por l Tbl q 0 q 2 q 1 q 1 q 3 q 0 q 2 q 0 q 3 q 3 q 1 q 2 Tbl 1: L Figur 4 present el digrm de trnsición de M, generdo usndo el lgoritmo de l Definición q 0 q q 2 q 3 1 Figur 4: Digrm de Trnsición 2.3 Autómts y su Lenguje En est sección estudiremos l relción que existe entre los utómts y los lengujes. En prticulr nos interesn quells sucesiones de símbolos de entrd que nos llevn del estdo inicil un estdo finl, y que ells serán ls que definn el lenguje del utómt. Comencemos por introducir ls definiciones necesris que nos permitirán formlizr el lenguje de un utómt. En lo que sigue, considerremos un símbolo, como un entidd bstrct que no definiremos formlmente, sí como en geometrí no se definen los puntos y ls línes. Letrs y dígitos son ejemplos de símbolos frecuentemente usdos. 6

7 Definición 2.3 (Alfbeto Σ, Cden sobre Σ y Σ ). Un lfbeto (denotdo por Σ) es un conjunto finito de símbolos. Un cden (o plbr) sobre el lfbeto Σ es un secuenci finit de símbolos de Σ. L cden vcí es l cden con cero ocurrencis de símbolos. Σ denot el conjunto de tods ls plbrs sobre el lfbeto Σ. Ejemplo 2.7. Se el lfbeto Σ = {0,1}, luego 01, y 1010 son cdens sobre el lfbeto Σ y, Σ = {,0,1,00,01,10,11,000,...}. Definición 2.4 (Longitud de un cden). L longitud de un cden w (denotd por w ) es el número de símbolos que l componen. L cden vcí tiene longitud cero ( = 0). Definición 2.5 (Subcden, Prefijo y Sufijo). Un subcden es un secuenci de símbolos incluid en un cden. Un prefijo de un cden w es un subcden de w que comienz con el primer símbolo de w.. Un sufijo de un cden w es un subcden de w que termin con el último símbolo de w. Definición 2.6 (Conctención). Dds dos cdens α y γ, su conctención (denotd por αγ) es l cden formd escribiendo l primer cden seguid de l segund sin espcios en el medio. Pr tod cden α vle que α = α = α. Ejemplo 2.8. Considere l cden bbb. Luego, bbb = 6; l cden b es subcden de bbb, mientrs que l b no lo es; l cden bb es un prefijo de bbb, mientrs que b no lo es; l cden b es un sufijo de bbb, mientrs que b no lo es. Dds dos cdensw = y x = bbb, luego, wx = bbb. Finlmente podemos dr l definición de un lenguje sobre un lfbeto. Definición 2.7 (Lenguje sobre un lfbeto Σ). Un lenguje L sobre un lfbeto Σ es un conjunto de plbrs sobre el lfbeto Σ (L Σ ). Ejemplo 2.9. El conjunto de plindromes o cpicús sobre el lfbeto {0,1} es un lenguje infinito. Algunos elementos de este lenguje son, 0, 1, 00, 11, 000, 010, 101, 111. Observción 2.1. Un lenguje L sobre un lfbeto Σ no necesit incluir plbrs con todos los símbolos de Σ, por lo tnto, un vez que estblecimos que L es un lenguje sobre Σ, tmbién sbemos que será un lenguje sobre tod extensión de Σ. Pr entender cul es l relción entre lengujes y utómts consideremos el utómt de l Figur 4: Este utómt tiene como símbolos de entrd Σ = {0, 1}. Ahor consideremos ls secuencis de entrds que nos llevn del estdo inicil q 0 culquier otro estdo. Por ejemplo, pr llegr de q 0 q 3 podemos hcerlo con ls secuencis de símbolos de entrds 0,1, ó 1,0, ó 0,1,1,0,0,1. Un nálisis similr se puede relizr pr los otros estdos. Si considermos Σ como un lfbeto, podemos interpretr ls secuencis de símbolos de entrd como plbrs sobre este lfbeto. Por ejemplo, ls secuencis 0,1, 1,0 y 0,1,1,0,0,1 se pueden interpretr como ls plbrs 01, 10 y respectivmente. Luego podrímos preguntr que estdo nos llev cd plbr sobre Σ. Por ejemplo, l plbr nos llev de q 0 q 1, mientrs que l plbr 1001 nos llev de q 0 nuevmente q 0. Es nturl entonces, preguntrse cules son ls plbrs que nos llevn desde el estdo inicil lgún estdo finl. Anteriormente hbimos dicho que los estdos finles o de ceptción encierrn implícitmente un noción de éxito, por lo cul, si un plbr nos llev del estdo inicil un estdo 7

8 finl podrímos decir que es plbr es buen o que es ceptd por el utómt. Por ejemplo, l plbr 1001 es un plbr ceptd por el utómt. Finlmente, el conjunto de plbrs ceptds por un utómt M es lo que se denomin como el lenguje ceptdo por el utómt M. Lo interesnte de conocer el lenguje ceptdo por un utómt, es que este lenguje lo crcteriz (l utómt), por lo cul podemos estudir diverss propieddes del mismo estudindo su lenguje. En lo que sigue formlizremos l noción de lenguje de un utómt. Definición 2.8 (Trnsform en). Se M = (Q,Σ,δ,q 0,F) un DFA. Un cden en M es un elemento de Σ. Sen p,q Q estdos de M y α = n un cden en M. Luego, diremos que α trnsform q en p (denotdo por q α p) si prtiendo del estdo q y plicndo sucesivmente ls entrds 0, 1, hst n, llegmos l estdo p. Observción 2.2. En lo que sigue nos interesn ls siguientes propieddes de l relción trnsform en. p p ( trnsform un estdo en si mismo). Si α = 0, 1,..., n : p α q p 0 q 1 n n qn q. Si α = βγ, donde β y γ son cdens, entonces: p α q sii existe r Q tl que p β r γ q. Definición 2.9 (Cden ceptd por un utómt). Se M = (Q,Σ,δ,q 0,F) un DFA y α un cden α en M. Diremos que α es ceptd por M, si existe p F tl que q 0 p, esto es, si α trnsform el estdo inicil q 0 en un estdo finl p. Definición 2.10 (Lenguje ceptdo por un utómt). Se M = (Q,Σ,δ,q 0,F) un DFA, el lenguje ceptdo por M se define como: L(M) = {α Σ existe p F tl que q 0 α p}. Esto es, L(M) es el conjunto de tods ls cdens ceptds por el utómt. Ejemplo Determinenmos el lenguje del utómt de l Figur 5: 0 0 M 1 q 0 q 1 1 Figur 5: Autómt M 1 Luego de inspeccionr el utómt y de probr con lguns cdens es fácil ver que el utómt solo cept plbrs con un número impr de 1 s. Probemos formlmente que éste es el lenguje de M 1. 8

9 Demostrción. Se w un cden en M. Luego debemos probr l siguiente proposición: Lo probmos por inducción en w. Cso Bse: w = 0 (w = ) q 0 w q1 si y solo si w tiene un nro impr de 1 s. ( ): Trivl, y que q 0 q 0 y por lo tnto q 0 q 1 es flso. ( ): Trivil, y que tiene un nro pr de 1 s (tiene cero 1 s). Pso Inductivo: Se w = x con x 1 y Σ y supongmos que vle l proposición pr x. ( ): Si q 0 x q 1 entonces debemos considerr dos csos: x0 x 0 1. = 0: Si q 0 q 1, por definición de δ, q 0 q 1 q1. Luego, por hipótesis inductiv (H.I.), x tiene un númeroro impr de 1 s y por lo tnto w = x0 tmbién tiene un número impr de 1 s. x1 x 1 2. = 1: Si q 0 q 1, por definición de δ, q 0 q 0 q1. Luego por H.I., x tiene un número pr x de 1 s (por que de lo contrrio tendrímos que q 0 q 1 ), y por consiguiente w = x1 tiene un número impr de 1 s. ( ): Tenemos que nlizr dos csos: 1. = 0: Si w = x0 tiene un número impr de 1 s, entonces x tiene un número impr de 1 s y por x 0 x0 H.I., q 0 q 1. Luego, por definición de δ, q 1 q1 y se sigue que q 0 q = 1: Si w = x1 tiene un número impr de 1 s, entonces x tiene un número pr de 1 s y por x 1 x1 H.I., q 0 q 0. Luego, por definición de δ, q 0 q1 y se sigue que q 0 q 1. Ejemplo Probemos que el lenguje del utómt del Ejemplo 2.6 es el conjunto de cdens que tienen un número pr de 0 s y un número pr de 1 s. Demostrción. En este cso, pr probr el lenguje del utómt usremos un rgumento geométrico. Si observmos el digrm de trnsición correspondiente notmos que ir de izquierd derech o de derech izquierd signific plicr el input 1. Ir de rrib bjo o de bjo rrib signific plicr el input 0. Ahor bien, como q 0 es el estdo inicil y finl, un plbr ceptd v recorriendo el digrm de tl form que cundo termin subió tnts veces como bjó y fue l izquierd tnts veces como fue l derech. Es decir que est plbr tiene un número pr de 0 s y un número pr de 1 s. Por otro ldo, si un plbr tiene un número pr de 0 s y un número pr de 1 s es clro, por ls misms rzones expuests rrib, que termin su recorrido en q 0. Observemos que es un cden ceptd, debido que q 0 es estdo finl y que q 0 q 0. Clrmente, l cden tiene un número pr de ceros y unos, pues tiene 0 ceros y 0 unos. Como hemos menciondo, los utómts estn crcterizdos por su lenguje, por lo cul si queremos comprr dos utómts podrímos hcerlo comprndo sus lengujes. En otrs plbrs, l iguldd entre los lengujes de dos utómts nos sirve como noción de equivlenci entre los utómts. 9

10 Definición 2.11 (Equivlenci de utómts). Sen M y M dos DFA. Diremos que M y M son equivlentes si L(M) = L(M ). Ejemplo Probemos que los utómts M 1 y M 2 de l Figur 6 son equivlentes. b b q 0 q 1 q 2 M 1 b b q 0 q 1 M 2 b Figur 6: Autómts M 1 y M 2 Inspeccionndo los utómts, es fácil determinr que el lenguje ceptdo por mbos utómts es el de tods ls plbrs terminds en, esto es, L(M 1 ) = L(M 2 ) = {w w termin en }, y por lo tnto que mbos utómts son equivlentes. Probemos formlmente que mbos utómts son equivlentes. Demostrción. Pr mbos utómts debemos probr l siguiente proposición: w es ceptd si y solo si w termin en. Prueb pr M 1 : Lo probmos por inducción en w. q 0 Cso Bse: w = 0 (w = ) ( ): Trivl, y que q 0 q 0 y por lo tnto no es ceptd. ( ): Trivil, y que no termin en. Pso Inductivo: Se w = xz con x 1 y z Σ y supongmos que vle l propiedd pr x. xz xz ( ): Si xz es ceptd entonces q 0 q 1 (o q 0 q 2 ). Por propiedd de, debe existir q x tl que x z x z q x q 1 (o q 0 q x q 2 ). Luego, tenemos que considerr dos csos: x x 1. x es ceptd: Por H.I. x termin en por lo cul debe ser que q 0 q 1 (o q 0 q 2 ). Luego, por definición de δ, w = xz solo es ceptd si z = y que q 1 q2 (y q 2 q2 ). 2. x no es ceptd: Por H.I. x no termin en por lo cul debe ser que q 0 x q 0. Luego, por definición de δ, w = xz solo es ceptd si z = y que q 0 q1. x x ( ): Si w = x, queremos ver que q 0 q 1 (o q 0 q 2 ). Por propiedd de, debe existir q x tl x x que q 0 q x q1 (o q 0 q x q2 ). Luego, tenemos que considerr 2 csos: x x 1. x termin en : Por H.I. x es ceptd, por lo cul debe ser que q 0 q 1 (o q 0 q 2 ). Luego por definición de δ tenemos que q 1 q2 (y q 2 q2 ), por lo cul x es ceptd. 10

11 x 2. x no termin en : Por H.I. x no es ceptd, por lo cul debe ser que q 0 q 0. Luego, por x definición de δ, q 0 q1 y por lo tnto q 0 q 1, con lo cul w = x es ceptd. Prueb pr M 2 : xz ( ): Si w = xz es ceptd entonces q 0 q 1, si y solo si, por definción de δ, w = x y que l únic form de llegr q 1 es trvés de. x ( ): Si w = x luego, por definición de δ, tenemos que q 0 q x q1, y por lo tnto w = x es ceptd. Finlmente hor probmos que L(M 1 ) = L(M 2 ). L(M 1 ) L(M 2 ). ( ): Si α L(M 1 ) entonces α = x (termin en ), luego α L(M 2 ). ( ): Si α L(M 2 ) entonces α = x (termin en ), luego α L(M 1 ). Pr ello debemos ver L(M 1 ) L(M 2 ) y que 3 Autómts Finitos No Determinísticos En l sección nterior definimos los utómts finitos determinísticos (DFA) y vimos que todo DFA define un lenguje. En prticulr, vimos que lo determinístico en un DFA se debe que, en todo momento, el estdo del mismo est completmente determindo. Esto se debe que l función de trnsición es un función totl que define exctmente, pr todo estdo y todo símbolo de entrd, que estdo se hce l trnsición. Ahor, qué psrí si permitimos 0,1 o más trnsiciones por símbolo? Ejemplo 3.1. Consideremos el utómt de l Figur 7. En que estdo está el utómt si estndo en q 0 plicmos el símbolo de entrd 0? o, en otrs plbrs, cuánto vle δ(q 0,)?. 0,1 q 0 0 q 1 1 q 2 Figur 7: Autómt no determinístico En este cso y no podemos decir que el utómt est en un estdo determindo, y que δ(q 0,) = q 0 y δ(q 0,) = q 1 l mismo tiempo. El ejemplo nterior nos muestr que si hor permitimos cero ó más trnsiciones por símbolo, perdemos l cpcidd de estblecer el estdo excto de un utómt, y que el mismo hor se encuentr, l mismo tiempo, en un conjunto de estdos, perdiendo de est mner su determinismo y trnsformándose sí en un utómt finito no determinístico. Definmos hor formlmente un utómt finito no determinístico. Definición 3.1 (Autómt Finito No-Determinístico). Un utómt finito no determinístico (NFA) M = (Q,Σ,δ,q 0,F) es un 5-tupl donde: 11

12 1. Q = {q 1,q 2,...,q m } es un conjunto finito de estdos. 2. Σ = 1, 2,..., n es un conjunto finito de símbolos de entrd (o input). 3. δ : Q Σ P (Q) es l función de trnsición de estdos. 4. q 0 Q es el estdo finl. 5. F Q son los estdos finles. Es importnte notr que l únic diferenci entre l Definición 3.1 de un NFA y l Definición 2.1 de un DFA, es que, en un NFA l función de trnsición δ no es totl y en vez de retornr un estdo retorn un conjunto de estdos. Al igul que en el cso de un DFA, podemos representr l función de trnsición δ medinte un tbl de trnsición, donde pr cd cruce entre un estdo q y un símbolo de entrd, tendremos el conjunto de estdos l cul ps el utómt. Ejemplo 3.2. Consideremos el digrm de trnsición de l Figur 7. Definimos el NFA M = (Q,Σ,δ,q 0,F) de l siguiente form: Q = {q 0,q 1,q 2 } Σ = {0,1} F = {q 2 } q 0 es el estdo inicil δ está definid por: 0 1 q 0 {q 0,q 1 } {q 0 } q 1 /0 {q 2 } q 2 /0 /0 L pregunt que surge hor es: cómo proces un NFA un cden de entrd?, es decir, qué hce cundo tiene más de un trnsición posible pr un mismo símbolo de entrd? Ejemplo 3.3. Consideremos el NFA de l Figur 7 y vemos como proces l cden El utómt inici en q 0, su estdo inicil. Cundo recibe el primer símbolo 0, hce un trnsición los estdos q 1 y q 0, es decir, el utómt está en los estdos {q 0,q 1 }. Esto se puede ilustrr en términos más concretos, si pensmos que lo que hce el utómt es crer dos hilos de ejecución, uno en el cul el utómt tiene está en el estdo q 0, y otro en el cul el utómt está en el estdo q 1. L Figur 8 represent est situción. q 0 0 q 0 0 q 1 0 q 0 0 q 1 0 q 0 q 1 q 1 q 1 q 2 q 2 Figur 8: Como proces un NFA un cden de entrd Continuemos procesndo l cden de entrd y vemos que sucede cundo el utómt recibe otro símbolo 0. En este cso, en el hilo de ejecución de q 0, nuevmente podemos hcer un trnsición 12

13 hci q 1 y q 0, crendo de est form otros dos hilos de ejecución. Sin embrgo, el hilo de ejecución correspondiente q 1 no tiene especificdo como procesr el símbolo 0, y por lo tnto bort. De est form, luego de procesr el segundo símbolo 0 estmos en el estdo {q 0,q 1 }. Procesemos hor el símbolo 1. En este cso en el hilo de ejecución de q 0 solo podemos hcer un trnsición hci q 0, mientrs que en el hilo de ejecución de q 1 se hce un trnsición hci el estdo q 2. Ahor el utómt está en el estdo {q 0,q 2 }. Procesemos hor el símbolo 0. En este cso, en el hilo de ejecución de q 0 hcemos trnsiciones q 0 y q 1, mientrs que en el hilo de ejecución de q 2 no se puede procesr ese símbolo, y por lo tnto bort. Finlmente procesmos el último símbolo 1. En este cso, el utómt termin en los estdos {q 0,q 2 }. Pregunt: H sido ceptd l cden 00101? Definmos hor el lenguje ceptdo por un NFA. Definición 3.2 (Trnsform en). Se M = (Q,Σ,δ,q 0,F) un NFA y α = 0, 1,..., n Σ. Sen p,q Q estdos de M. Diremos que α trnsform p en q (denotdo por p α q) si existen q 1,...,q n Q tl que q 1 δ(p, 0 ),q 2 δ(q 1, 1 ),...,q i+1 δ(q i, i ),..., q n δ(q n 1, n 1 ),q δ(q n, n ). Observción 3.1. Es importnte tener presente ls siguientes propieddes de l relción trnsform en: α puede trnsformr un estdo q i en vrios estdos. α gener distintos recorridos desde q 0. Como es de esperr, un cden α será ceptd si lguno de los recorridos que gener desde q 0 termin en un estdo finl. Se debe tener presente que l noción de ceptción, hor tiene en cuent que en un NFA trbjmos con conjuntos de estdos, por lo cul un cden α, pueden generr muchos recorridos desde el estdo inicil. Algunos de estos recorridos no necesrimente terminn en un estdo finl e incluso pueden bortr temprnmente. Sin embrgo, lo que nos interes pr decidir si un cden es ceptd o no, es que dentro de todos esos posibles cminos, l menos uno termine en un estdo finl. Definición 3.3 (Lenguje ceptdo por un utómt). Se M = (Q,Σ,δ,q 0,F) un NFA, el lenguje ceptdo por M se define como: L(M) = {α Σ existe p F tl que q 0 α p}. Ejemplo 3.4. Consideremos el NFA de l Figur 7. Es fácil ver que el utómt cept solo ls cdens que terminn en 01. Es decir, Demostrción. Por inducción en w. L(M) = {w w termin en 01}. 13

14 3.1 Equivlenci entre DFAs y NFAs Revisndo l Definición 3.1 de un NFA, es fácil ver que l mism es un generlizción de l Definición 2.1 de un DFA. Esto nos llev preguntrnos si est generlizción permite los NFAs reconocer más lengujes que los DFAs. Sin embrgo, veremos continución que este no es el cso y que los NFAs reconocen los mismos lengujes que los DFAs, esto es, veremos que pr todo NFA existe un DFA que reconoce el mismo lenguje, y vicevers, lo cul nos permitirá probr que mbs nociones son equivlentes. El proceso de construir un DFA prtir de un NFA se denomin determinizción. Comencemos por definir como construir un DFA prtir de un NFA utilizndo un construcción llmd construcción por subconjuntos. Definición 3.4 (Construcción por Subconjuntos). Se N = (Q,Σ,δ,q 0,F) un NFA. Construiremos el DFA, D = (Q,Σ,δ,q 0,F ), de l siguiente form: 1. Q = P (Q). 2. Σ = Σ. 3. F = {q Q q F /0}. 4. q 0 = {q 0}. 5. δ (q,) = {p Q existe q q t.q. q p} = q q δ(q,). Observción 3.2. Es importnte tener presente lo siguiente: δ (q,) el conjunto de estdos ccesibles, trvés de, desde cd q q. Ejemplo 3.5. Consideremos el utómt de l Figur 6. L Tbl 2 represent l tbl de trnsición de estdos del DFA D = (Q,Σ,δ,q 0,F ) obtenido medinte l construcción por subconjuntos. L Figur 9 present el digrm de trnsición de estdos del DFA D. 0 1 (0) /0 /0 /0 (1) {q 0 } {q 0,q 1 } {q 0 } (2) {q 1 } /0 {q 2 } (3) {q 2 } /0 /0 (4) {q 0,q 1 } {q 0,q 1 } {q 0,q 2 } (5) {q 0,q 2 } {q 0,q 1 } {q 0 } (6) {q 1,q 2 } /0 {q 2 } (7) {q 0,q 1,q 2 } {q 0,q 1 } {q 0,q 2 } Tbl 2: Tbl de trnsición de estdos del utómt D. A prtir del Ejemplo 3.5 podemos ver que uno de los inconvenientes de l construcción por subconjuntos es l explosión en el número de estdos que tiene el DFA resultnte. De hecho, si Q = n 14

15 , ,1 Figur 9: Digrm de Trnsición de estdos del DFA D. entonces Q = 2 n!!!. Sin embrgo, el ejemplo tmbién nos muestr que no todos los estdos del DFA son lcnzbles desde el estdo inicil, y por lo tnto no son necesrios. A continución presentmos un lgoritmo más eficiente que nos permitirá construir DFA que conteng solo los estdos necesrios. Definición 3.5 (Construcción Lzy). Se N = (Q,Σ,δ,q 0,F) un NFA. Construiremos el DFA, D = (Q,Σ,δ,q 0,F ), de l siguiente form: 1. Σ = Σ. 2. F = {q Q q F /0}. 3. q 0 = {q 0}. 4. δ (q,) = {p Q existe q q t.q. q p} = q q δ(q,). Donde el conjunte de estdos Q se construye de l siguiente form: Dt: estdo inicil q 0, función δ, lfbeto Σ Result: conjunto de estdos Q Q {{q 0 }}; Q /0; for q (Q \Q ) do for Σ do Q Q { q q δ(q,)}; end Q Q {q }; end 15

16 3.2 Autómts Finitos No Determinísticos con -trnsiciones Ahor introduciremos l noción de utómt finito no determinístico. No es difícil ver que un conjunto ceptdo por un utómt no determinístico tmbién es ceptdo por uno determinístico y vicevers. Sin embrgo, el utómt finito no determinístico resultrá útil pr probr ciertos resultdos y pr cierts plicciones. Dremos un definición no forml de este tipo de utómts. El lector interesdo en l definición forml puede consultr l subsección Modifiquemos l definición de utómt finito permitiendo cero, un, o más trnsiciones de un estdo con el mismo símbolo de input. Es decir de un estdo pueden prtir un número rbitrrio de flechs cd un etiquetd con culquier símbolo de input. Tmbién permitmos trnsiciones sin inputs. Est nuev definición nos d los utómts finitos no determinísticos (NFA) con -movimientos. A nivel de digrms de trnsición los grfos que representn estos utómts serán de l siguiente form: de cd nodo puede prtir ningun, un o vris flechs con l mism etiquet de input. Además puede hber flechs que no se correspondn ningún input, los -movimientos. A ests flechs les pondremos l etiquet. Como en el cso de los utómts determinísticos los NFA tienen un estdo inicil y estdos finles, que se denotrán en el digrm de trnsición de l mism form que en el cso determinístico Ejemplo 3.6. El siguiente es el digrm de un utómt finito no determinístico con -movimientos: los estdos son q 0, q 1 y q 2. Los símbolos de input son y b. El estdo inicil es q 0 y el estdo finl es q 2. b q 0 b q 1 b q 2 Ejemplo 3.7. En este NFA los estdos son q 0, q 1 y q 2. Los símbolos de input son 0, 1 y 2. El estdo inicil es q 0 y el estdo finl es q 2. 0 q 0 1 q 1 2 q 2 El nombre no determinístico viene del hecho que si un estdo recibe un input, entonces no está determindo cul es el próximo estdo, si no que hy ciertos estdos posibles. Los -movimientos reflejn l posibilidd de cmbio de estdo sin que necesrimente hy un input. Observr tmbién, que existe l posibilidd que ddo un estdo no slg ningun flech de él. Esto denotrá que en este estdo el utómt bort. Es clro que no es fácil imginrse un máquin que se comporte de est mner, sin embrgo el concepto de NFA con -movimientos result muy útil en l teorí de lengujes. Ls tbls que describirán ls regls de trnsición de los NFA con -mov serán similres ls tbls que hemos hecho pr los utómts finitos determinísticos. Ls diferencis son que cundo 16

17 plicmos un input un estdo obtenemos un conjunto de estdos (hci donde vn ls flechs) o /0 en el cso que no slg ningun flech. Además debemos gregr un entrd en l tbl pr reflejr los posibles cmbios de estdo que producen los -movimientos. Ejemplo 3.8. L tbl de trnsición correspondiente l NFA con -mov del ejemplo 3.6 es dd por l siguiente tbl: b q 0 q 1 q 0 q 2 q 1 /0 q 0,q 2 /0 q 2 q 1 /0 /0 Ejemplo 3.9. L tbl de trnsición correspondiente l NFA con -mov del ejemplo 3.7 es dd por l siguiente tbl: q 0 q 0 /0 /0 q 1 q 1 /0 q 1 /0 q 2 q 2 /0 /0 q 2 /0 Vemos hor el lenguje socido un NFA con -movimientos. Definición 3.6. Se M un NFA con -movimientos con símbolos de input Σ. Si α Σ, diremos que α trnsform p en q y lo denotremos p α q, si existen 0, 1,..., n Σ tl que α = n y tl que existe un recorrido por flechs con etiquets 0, 1,..., n que v del estdo p l estdo q. En el recorrido se pueden interclr rbitrrimente flechs con etiquet. Es conveniente tmbién definir que trnsform todo estdo en sí mismo, es decir q q. Ejemplo En el utómt del ejemplo 3.7 tenemos, por ejemplo, que q 0 01 q 1, pues hy un cmino que llev q 0 q 0 por 0, q 0 q 1 por y q 1 q 1 por 1. Observción 3.3. Si p y q estdos, símbolo de input y p q, no podemos segurr que de p podemos psr directmente q por un flech con etiquet. Por definición p q signific que podemos llegr de p q usndo -movimientos demás de un trnsición por. Observndo el 0 utómt del ejemplo 3.7 vemos que q 0 q1, pero no es cierto que hy un flech con etiquet 0 que mnd q 0 q 1. En grn prte de ls situciones que necesitemos usr trnsiciones podremos tomrnos l licenci de usr l notción p 0 q 1 n 1 1 n qn q, pr indicr que hy un cmino de flechs con etiquets 0,..., n que ps por los estdos q 1,...,q n y que v de p q (quí permitiremos que los i puedn ser s). Ejemplo Se M un NFA con -movimientos,con digrm de trnsición : b q 0 b q 1 q 2 17

18 Entonces, l tbl de trnsición es: b q 0 q 1 q 0 q 2 q 1 /0 q 0 /0 q 2 q 1 /0 /0 Vemos cules son ls trnsformciones correspondientes un input o un -movimiento: q 0 q 1 q 2 q 0,q 2 q 0 q1 q 0 b q0,q 2 q 1 q 1 b q0,q 2 q 2 q1 q 2 q 2 q1 donde denotmos p q,q cundo p q y p q. L myorí de ls trnsformciones son obvis y ls otrs se deducen de l definición. Sin embrgo, creemos conveniente explicr lguns de ells. Por ejemplo, recordemos que, por definición, q q pr todo q estdo, de llí que se justific l primer b column de trnsformciones. L trnsformción q 1 q2 se deduce de que podemos llegr de q 1 b q 2 primero plicndo b y luego. En form nálog se justific q 0 q2. Como en el cso de utómts determinísticos los estdos finles nos determinn el lenguje socido l utómt. Definición 3.7. Un cden α es ceptd por el utómt si α trnsform el estdo inicil en uno finl. Finlmente el lenguje ceptdo por M es el conjunto L(M) de tods ls cdens ceptds. Simbólicmente: L(M) = {α Σ q 0 α p, pr lgún p F}. A nivel de digrms de trnsición podemos entender que el lenguje ceptdo por M, un NFA con -movimientos, está formdo por ls cdens α = b 0 b 1...b n tl que existe un recorrido por flechs con etiquets b 0,b 1,...,b n que v del estdo inicil uno finl, en el recorrido se pueden interclr rbitrrimente flechs con etiquet. Observemos que como el es l cden vcí el interclr flechs con etiquet no greg nd l plbr, y l plbr o cden definitiv es quell que no tiene ningún. Tmbién observemos que dd un cden puede hber muchos recorridos prtiendo del estdo inicil, lgunos de ellos pueden terminr en un estdo finl y otros no, sin embrgo lo que interes, pr sber si un cden es ceptd o no, es si por lo menos un recorrido lcnz un estdo finl. Ejemplo Averigüemos el lenguje del utómt definido en el Ejemplo 3.7: observemos primero que si bndonmos el estdo q 0 entonces vmos l estdo q 1 y no podemos volver trás. Análogmente si bndonmos el estdo q 1, vmos l estdo q 2 y y no podemos slir de este estdo. Luego si un cden w lcnz el estdo finl, entonces comienz por q 0, ps por q 1 y lleg q 2. Es decir que w es de l form 0 i 1 j 2 k (i, j,k enteros myores o igules 0). Recíprocmente un cden de l form 0 i 1 j 2 k puede lcnzr el estdo finl con el siguiente recorrido: 0,0,...,0 (i-veces),, 1,1,...,1 ( j-veces),, 2,2,...,2 (k-veces). Es decir que el lenguje socido este utómt es {0 i 1 j 2 k : 0 i, j,k} Formlizción de los NFA L definición forml de NFA es: 18

19 Definición 3.8. Un utómt finito no determinístico con -movimientos (NFA con -mov) es un 5-upl (Q,Σ,δ,q 0,F) que consiste de 1. un conjunto finito Q = {q 1,q 2,...,q n } de estdos, 2. un conjunto finito Σ = { 1, 2,..., n } de símbolos de entrd o input, 3. un conjunto de regls de trnsición que trnsform un estdo con un input ddo, en un conjunto posible de estdos. Tmbién ls regls de trnsición describen l trnsformción de un estdo en un conjunto de estdos sin hber recibido input (-movimiento). Formlmente, ls regls de trnsición son dds por un función δ : Q (Σ {}) P (Q), donde P (Q) es el conjunto formdo por los subconjuntos de Q. 4. Además, como en el cso del DFA, hy un estdo inicil q 0 y un conjunto de estdos finles F. Vemos hor el lenguje socido un NFA con -movimientos: Definición 3.9. Se M = (Q,Σ,δ,q 0,F) un NFA con -movimientos. Si α Σ, diremos que α trnsform p en q y lo denotremos p α q, si existen 0, 1,..., n Σ {} y q 1,...,q n en Q, tl que α = n y q 1 δ(p, 0 ), q 2 δ(q 1, 1 ),...q i+1 δ(q i, i ),...q n δ(q n 1, n 1 ), q δ(q n, n ). Es conveniente tmbién definir que trnsform todo estdo en sí mismo, es decir q q. Observción 3.4. Se M = (Q,Σ,δ,q 0,F) un NFA con -movimientos. 1. Como dijimos ntes, si Σ, entonces si q δ(p,) tenemos que p q. Pero no necesrimente si p q, entonces se cumple que q δ(p,). L definición de p q denot el hecho de que podemos llegr de p q medinte -movimientos, luego, luego -movimientos. En el 0 utómt del ejemplo 3.7 es cierto que q 0 q1, pues q 0 δ(q 0,0) y q 1 δ(q 0,), pero no es cierto que q 1 δ(q 0,0). 2. Cundo un utómt no tiene -mov, entonces coinciden l función de trnsición y ls trnsformciones por símbolos de input, es decir si p,q son estdos y es un símbolo de input, p δ(q,) si y sólo si q p. Por lo tnto, l notción p α q pr NFA con -mov, es consistente con l mism notción pr DFA. 3. Es clro, en form intuitiv, que si α,β Σ, entonces pr p,q Q, p αβ q si y sólo si existe r Q tl que p α r β q. (1) 4. Se M = (Q,Σ,δ,q 0,F) con δ definid de l siguiente mner: q δ (p,) sii p q. Entonces M result ser un NFA con -mov que cept el mismo lenguje que M. L demostrción se dej como ejercicio. 19

20 5. Debido l observción nterior, en grn prte de ls situciones que necesitemos usr trnsiciones podremos tomrnos l licenci de usr l notción p 0 q 1 n 1 1 n qn q, pr indicr que hy un cmino de flechs con etiquets 0,..., n que ps por los estdos q 1,...,q n y que v de p q. Dicho más formlmente: Repetimos l q 1 δ(p, 0 ), q 2 δ(q 1, 1 ),...q n δ(q n 1, n 1 ), q δ(q n, n ). Definición Un cden α es ceptd por el utómt si α trnsform el estdo inicil en uno finl. Finlmente el lenguje ceptdo por M es el conjunto L(M) de tods ls cdens ceptds. Simbólicmente: L(M) = {α Σ q 0 α p, pr lgún p F}. El siguiente Teorem fue nuncido l comienzo de l sección: Teorem 3.1. Los lengujes ceptdos por los utómts finitos determinísticos son los mismos que los ceptdos por los utómts finitos no determinísticos con -movimientos. Más precismente, ddo un DFA (NFA con -movimientos) M, existe un NFA con -movimientos (resp. DFA) M, tl que L(M) = L(M ). Demostrción. Si M = (Q,Σ,δ,q 0,F) un DFA, entonces se M = (Q,Σ,δ,q 0,F) el NFA definido por δ (q,) = {δ(q,)} pr q Q y Σ. Es trivil comprobr, entonces, que L(M) = L(M ). Veremos hor que, ddo M = (Q,Σ,δ,q 0,F) un NFA con -mov, podemos construir M = (Q, Σ, δ, q 0,F ) un DFA, tl que L(M) = L(M ). Se q M, definmos [q] = {p Q q p} Q. Sen q 1,...,q i elementos de Q, entonces denotemos [q 1,...,q i ] = i j=1[q j ]. Definmos M de l siguiente mner: Q = {[q 1,...,q i ] q 1,...,q i Q}. El nuevo conjunto de estdos finles, F, es el conjunto de estdos que contienen un estdo que se trnsform por en un estdo finl de M. El estdo inicil será q 0 = [q 0]. Finlmente, definimos δ ([q 1,...,q i ],) igul l conjunto {p Q existe q s tl que q s p}. Es decir, un Σ trnsform q Q en p Q, si el conjunto p está formdo por todos los elementos de Q que son los trnsformdos por de los elementos de q. Resumiendo, si q Q y Σ: = {[q 1,...,q i ] q 1,...,q i Q} P (Q) q 0 = [q 0 ] F = {[q 1,...,q i ] existe k y p F tl que q k p} δ(q,) = {p Q q q tl que q p} o equivlentemente q {p Q q q tl que q p}. Q No es difícil comprobr que M = (Q,Σ,δ,q 0,F ) es un utómt finito determinístico. No es difícil comprobr que si q Q entonces q = {p Q q q tl que q p}. (2) 20

21 Esto se debe que como q = [q 1,...,q i ], por definición q = i j=1 [q j] = i j=1 {p Q q j p} = {p Q q j tl que q j p} {p Q q q tl que q p}. Pr demostrr l otr inclusión, consideremos p tl que q p con q q. Como q q existe q j tl que q j q, luego q j q p, de lo cul se deduce que q j p y por lo tnto p {p Q q j tl que q j p}. Vemos hor que si α Σ, q en Q, entonces: q α {p Q q q tl que q α p}. Supongmos que q α p y vemos que p = {p Q q q tl que q α p}: hgmos inducción sobre α. Cundo α = 0, es decir cundo α =, tenemos que q q y el párrfo nterior demuestr el resultdo. Cundo α = 1 el resultdo se deduce trivilmente por definición de trnsición. Si α > 1, entonces α = β, con β 1 y Σ. Por (??) de l observción 2.2 sbemos que existe r Q tl que q β r p. Por hipótesis inductiv y el cso de longitud 1 tenemos que q β r = {r Q q q tl que q β r}, r p = {p Q r r tl que r p}. Si p p, existe r r tl que r p, como r r, existe q q, tl que q β r. Es decir que q β p o equivlentemente q α p. Por lo tnto está probdo p {p Q q q tl que q α p}. Por otro ldo, si p {p Q q q tl que q α p}, existe q q tl que q α p, luego existe r Q tl que q β r p, por lo tnto r r y p p. Esto prueb l otr inclusión y por lo tnto l iguldd desed. L plicción direct del resultdo nterior q 0, nos dice que dd α Σ, entonces q 0 α {p Q q 0 α p}. (3) α Ahor bien, se α L(M ), es decir q 0 p, con p F. Como p es finl de M, entonces existe p en p α que tmbién pertenece F, luego por (3) obtenemos que q 0 p, es decir α L(M). α Recíprocmente, se α L(M), es decir existe p F tl que q 0 p, por lo tnto (usndo nuevmente (3)) p p con q α 0 p. De esto se deduce que p F y α L(M ). Finlmente, el párrfo nterior prueb que L(M) = L(M ). Ejemplo Se M el NFA con -mov con estdos q 0,q 1, un solo símbolo de input, estdo inicil q 0, estdo finl q 1 y ls siguientes leyes de trnsición: δ(q 0,) = {q 0 }, δ(q 0,) = {q 1 }. Encontremos un utómt determinístico con el mismo lenguje que M. Por l demostrción del teorem el nuevo utómt, M, tendrá estdos /0,[q 0 ]. Observr que [q 0 ] = [q 1 ] = [q 0,q 1 ] = {q 0,q 1 }, pues q 0 q 1. El estdo finl e inicil es entonces [q 0 ]. Por definición, del estdo /0 no sle ningun flech y δ([q 0 ],) = [q 0 ], δ([q 0 ],) = [q 0 ]. Clrmente, el lenguje ceptdo por mbos utómts es el de tods ls cdens de s. 21

22 Vemos un ejemplo menos trivil. Ejemplo Se M = (Q,Σ,δ,q 0,F) un NFA con -movimientos definido por el siguiente digrm de trnsición. b q 0 b q 1 b q 2 Encontremos un DFA que cepte el mismo lenguje. Debemos primero estblecer los estdos del nuevo utómt: [q 0 ] = {p Q q 0 p} = {q 0,q 2 } [q 1 ] = {p Q q 1 p} = {q 1 } [q 0,q 1 ] = [q 0 ] [q 1 ] = {q 0,q 1,q 2 } Otro estdo, siempre presente es /0. Observemos que culquier otro posible estdo es uno de los y listdos más rrib, por ejemplo, [q 2 ] = [q 0 ] y [q 1,q 2 ] = [q 1 ] [q 2 ] = [q 0,q 1 ]. Estblezcmos hor ls trnsiciones. [q 0 ] [q 0 ] [q 1 ] [q 1 ] [q 0,q 1 ] [q 0,q 1 ] {p Q q [q 0 ] tl que q p} = = {p Q q 0 p} {p Q q2 p} = {q1 } {q 1 } = [q 1 ] b b b {p Q q 0 p} {p Q q2 p} = {q0,q 2 } /0 = [q 0 ] {p Q q 1 p} = /0 b b {p Q q 1 p} = {q0,q 2 } = [q 0 ] {p Q q [q 0,q 1 ] tl que q p} = [q 1 ] /0 = [q 1 ] b [q 0 ] [q 0 ] = [q 0 ] Por definición, es clro que tod trnsición que sle de /0 vuelve /0. Finlmente, el estdo inicil y finl es [q 0 ]. El digrm de trnsición del utómt recién construido es: b [q 0 ] b b [q 1 ] /0 b [q 0,q 1 ] 22

23 3.3 Expresiones regulres Los lengujes ceptdos por los utómts finitos se pueden describir fácilmente por expresiones simples llmds expresiones regulres. En est sección introduciremos ls operciones de conctención y clusur sobre conjuntos de cdens, definiremos expresiones regulres y dremos l demostrción de que un expresión regulr define un lenguje que puede ser descrito por un utómt finito. L recíproc de este resultdo tmbién es ciert y veremos su demostrción en l subsección finl. Definición Se Σ un conjunto finito de símbolos y sen L, L 1 y L 2 conjuntos de cdens de Σ. L conctención de L 1 y L 2, denotd L 1 L 2 es un conjunto formdo por cdens de L 1 seguids por cdens de L 2, es decir: L 1 L 2 = {xy x está en L 1 e y está en L 2 }. Definmos L 0 = {} y L i = LL i 1 pr i 1. L clusur de Kleene (o sólo clusur) de L, denotd L, es el conjunto L = i=0l i y l clusur positiv de L, denotd L +, es el conjunto L + = i=1l i. L denot ls cdens construids por conctención de un número rbitrrio de cdens de L. L + es igul pero sin poner L 0. Nótese que L + contiene si y sólo si L lo contiene. Recordemos que en l Sección?? definimos Σ, y observemos que ese conjunto coincide con el Σ que surge de l definición nterior, considerndo Σ como un lenguje donde ls cdens son los símbolos del lfbeto. Ejemplo Se L 1 = {11,0} y L 2 = {001,10}, entonces Por otro ldo, L 1 + es L 1 menos el. L 1 L 2 = {11001,1110,0001,010}. L 1 = {11,0} = {,11,0,1111,110,011,00,111111,11110,11011,1100,...}. Definición Se Σ un lfbeto. Ls expresiones regulres sobre Σ y los conjuntos que ells denotn se definen recursivmente de l siguiente mner: 1. /0 es un expresión regulr y denot el conjunto vcío. 2. es un expresión regulr y denot el conjunto {}. 3. Pr cd en Σ, es un expresión regulr que denot el conjunto {}. 4. Si r y s son expresiones regulres que denotn los conjuntos R y S, respectivmente, entonces (r + s), (rs) y (r ) son expresiones regulres que denotn los conjuntos R S, RS y R, respectivmente. Si r es un expresión regulr escribiremos L(r) l conjunto (o lenguje) denotdo por r. Cundo escribimos expresiones regulres podemos omitir muchos préntesis si sumimos que tiene más lt precedenci que l conctención o +, y l conctención tiene más lt precedenci que +. Por ejemplo ((0(1 )) + 0) puede ser escrit Finlmente, si r es un expresión regulr denotemos r i l expresión rr r (i veces). Debemos tener mucho cuiddo en no confundir cdens con expresiones regulres y pr ello debemos clrr debidmente qué nos estmos refiriendo. Por ejemplo l expresión regulr b denot un conjunto cuyo único elemento es l cden b. 23

24 Ejemplo Los siguientes son ejemplo de expresiones regulres: es un expresión regulr que represent {00}. 2. (0 + 1) denot tods ls cdens de 0 s y 1 s. 3. (0 + 1) 00(0 + 1) denot tods ls cdens de 0 s y 1 s con l menos dos 0 s consecutivos. 4. (1 + 10) denot tods ls cdens de 0 s y 1 s que comienzn con 1 y no tienen dos 0 s consecutivos. Tmbién pertenece este conjunto l cden vcí. Demostrción. Probemos por inducción que (1 + 10) i no tiene dos 0 s consecutivos. El cso i = 0 es trivil, y si suponemos que (1+10) i 1 no tiene dos 0 s consecutivos, entonces, es clro que (1 + 10) i = (1 + 10) i 1 (1 + 10) no tiene dos 0 s consecutivos, pues en el finl ls plbrs son de l form 11 o 110 o 101 o 1010, donde ls letrs en negrit denotn plbrs de (1 + 10) i 1. De est form probmos que (1 + 10) i no tiene dos 0 s consecutivos pr todo i y por lo tnto (1 + 10) no tiene dos 0 s consecutivos. Por otro ldo, dd culquier cden que comience con 1 y no teng dos 0 s consecutivos, se puede hcer un prtición de l cden de tl form que si un 1 no es seguido de un 0, se tom el 1 (que pertenece (1 + 10)) y si un 1 es seguido de un 0, se tom el 10 (que pertenece (1 + 10)). Por ejemplo, es prticiondo que pertenece (1 + 10) Bsdo en lo nterior, es clro que (0+)(1+10) denot ls cdens de 0 s y 1 s que no tienen dos 0 s seguidos. 6. (0 + 1) 011 denot ls cdens de 0 s y 1 s que terminn en denot ls cdens que están formds por ciert cntidd de 0 s, luego ciert cntidd de 1 s y luego ciert cntidd de 2 s. Observr que este es lenguje del utómt definido en el ejemplo 3.7. Veremos hor como prtir de un expresión regulr r podemos construir un utómt no determinístico M que defin el mismo lenguje, es decir tl que L(r) = L(M). En relidd lo que construiremos son utómts no determinísticos con un sólo estdo finl. Pr ls expresiones regulres, /0 o con Σ los utómts no determinísticos de l Fig. 10 definen el lenguje correspondiente: q 0 q 0 q 1 q 0 q 1 r = r = /0 r = Figur 10: A un utómt M con estdo inicil q y estdo finl f lo dibujremos de l siguiente mner (Fig. 11): Ahor hremos lo siguiente: dds expresiones regulres r 1 y r 2 ls cules y les hymos socido los utómts M 1, M 2 correspondientes, como en l Fig. 12 encontrremos los utómts correspondientes r 1 + r 2, r 1 r 2 y r 1. Dicho de otr mner: si L 1 es el lenguje de M 1 y L 2 es el lenguje de M 2, entonces encontrremos utómts correspondientes L 1 L 2, L 1 L 2 y L 1. El utómt correspondiente r 1 + r 2 será el de l Fig. 13. El utómt correspondiente r 1 r 2 será el de l Fig

25 q M f Figur 11: q 1 M 1 f 1 q 2 M 2 f 2 Figur 12: Los utómts de r 1 y r 2. El utómt correspondiente r1 será el de l Fig. 15 De lo nterior se deduce Teorem 3.2. Se L un lenguje denotdo por l expresión regulr r. Entonces existe M un DFA con -mov tl que L = L(M). Ejemplo Construymos un utómt pr l expresión regulr Por lo dicho nteriormente (respecto los préntesis), est expresión es en relidd ((0(1 )) + 1), es decir es de l form r 1 + r 2, donde r 1 = 01 y r 2 = 1. El utómt pr r 2 es fácil 1 q 1 q 2 Podemos expresr r 1 como r 3 r 4, donde r 3 = 0 y r 4 = 1. El utómt de r 3, tmbién es fácil: 0 q 3 q 4 Ahor bien, r 4 es r 5, con r 5 = 1. Un utómt pr r 5 es 1 q 5 q 6 Observemos que pr poder construir el utómt correspondiente l expresión regulr necesitmos distinguir los estdos de r 2 y r 5, unque representen l mism expresión. Bsándonos en ls explicciones nteriores un utómt pr r 4 será 25

26 q 1 M 1 q 0 q 2 M 2 f 1 f 0 f 2 Figur 13: El utómt de r 1 + r 2. q 1 M 1 f 1 q 2 M 2 f 2 Figur 14: El utómt de r 1 r 2. q 7 q 1 5 q 6 q 8 Luego el utómt correspondiente l expresión regulr r 1 = 01 será q 0 3 q 4 q 7 q 1 5 q 6 q 8 Finlmente el utómt correspondiente será el de l Fig Teorem de Kleene Estudiemos el problem, un poco más complicdo, de construir un expresión regulr que denote el lenguje de un utómt ddo. Est construcción se bs en l ide de encontrr, en form lgorítmic, un expresión regulr que involucr resolver el problem pr un utómt con menos estdos. Repitiendo el proceso un número conveniente de veces logrremos l expresión regulr buscd. Pr 26

27 q 0 q 1 M 1 f 1 f 0 Figur 15: El utómt de r1. 1 q q 1 q q 10 q 0 3 q 4 q 7 q 1 5 q 6 q 8 Figur 16: Un utómt correspondiente l expresión regulr describir el procedimiento, comenzremos con el cso más simple en el cul nuestro utómt M tiene un solo estdo finl, q n y su estdo inicil es q 0. Es clro que L(M) = L 0n, el lenguje de ls cdens que comienzn en q 0 y llegn q n. Llmemos I 0 l lenguje formdo por ls cdens que slen de q 0 y vuelven q 0 sin psr nuevmente por él. Si el estdo inicil es el estdo finl, (es decir, n = 0) entonces clrmente L 0n = I 0, puesto que con repetir cminos que slgn de q 0 y vuelvn él obtengo tods ls plbrs ceptds. Si n 0, definmos F 0n como el lenguje de ls cdens que slen de q 0 y llegn q n sin psr por q 0. Entonces, por un rzonmiento similr, L 0n = I 0 F 0n. Debemos hor explicitr quiénes son I 0 y F 0n. Los elementos de I 0 son cdens de dos forms: β 0 1. β 0 b, donde,b Σ {} y β 0 es un cden que prte de un estdo p y tl que q 0 qi b q0 con p y q distintos de q 0 y demás el cmino que recorre β 0 no ps por q 0 ; o bien q j 2. c Σ {}, que hg un bucle de q 0 en sí mismo. Si considermos en el primer cso el utómt M que se obtiene de M scndo q 0 y hciendo que q i se estdo inicil y q j estdo finl, entonces β 0 es un cden ceptd por M. En este cso, L(M ) = L i j, el lenguje de ls cdens que slen de q i y llegn q j sin psr nunc por q 0, y obtenemos: I 0 = L i j b + + c +... b donde se sumn tods ls posibiliddes pr,b,i, j tles que q 0 qi, q j 0, con q0 distinto de q i c y q j, los c tles que q 0 q 0, y en L i j no considermos q 0. Es decir, ls cdens que prten y llegn q 0 se pueden ver como l conctención de cdens formds por ciertos símbolos de entrd, con lengujes ceptdos por utómts más chicos. De igul modo, si q 0 no es el estdo finl, los elementos de F 0n son ls cdens que prten de q 0 y llegn l estdo finl q n sin psr por q 0. En este cso ls cdens son de l form β con 27