MATRICES FACTORIALES

Transcripción

1 MATRICES FACTORIALES Quimiometría Estudio cuantitativo de factores: efectos principales (b j ) interacciones (b ji ) si cada variable puede tener un valor mayor o uno menor: diseño factorial de dos niveles número de experimentos para k factores N = 2 k 2 niveles k efectos principales (2 k - k - ) interacciones

2 Quimiometría si k = 2 matriz experimentos k factores interacciones de orden q interacciones de q vo orden entre (q+) factores

3 Quimiometría si k = 7 matriz experimentos 2 7(7-) q = interacciones de primer orden: C = = q = 2 interacciones de segundo orden... las interacciones entre 3 factores son escasas, entre 4 son despreciables es posible disminuir N sin disminuir k

4 MATRICES FACTORIALES Quimiometría si k = 3 matriz experimentos matriz experimental matriz del modelo

5 DISEÑO 2 3 Quimiometría

6 Quimiometría Un ejemplo: Diseños factoriales completos Objetivo: estudiar la síntesis de un compuesto orgánico Factores que podrían afectar el rendimiento son: ph intensidad de la lámpara (W/m 2 ) fuerza iónica (M) [catalizador] (µm) si se establecen dos posibles niveles por factor: 2 4 = 6 combinaciones

7 Quimiometría Un ejemplo: Diseños factoriales completos Combinaciones + : mayor nivel - : menor nivel Variable Nombre - + A ph 4 6 B Intensidad (W/m 2 ) C Fuerza iónica (M) 0,25 0,75 D [catalizador] (µm) 0,,0

8 DISEÑO FACTORIAL COMPLETO CON MINITAB Quimiometría

9 Quimiometría ph luz FI [cat] ph luz FI [cat] %rendimiento respuesta variables codificadas

10 Evaluación de los datos Quimiometría cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento? Estimated Effects and Coefficients for % (coded units) Term Effect Coef Constant A B C D A*B A*C A*D B*C B*D C*D A*B*C A*B*D A*C*D B*C*D A*B*C*D

11 Quimiometría Gráfico de probabilidad normal de los efectos s c o r e A ph B Intensidad (W/m 2 ) C Fuerza iónica (M) D [catalizador] (µm) efecto

12 Quimiometría Pareto Chart of the Effects (response is %, Alpha =.05) Term B D BD CD BCD AD A AB BC C ABC ABD ABCD ACD AC Effect 5 20 Lenth's PSE = 2.25

13 Efectos principales Quimiometría % ph luz fuerza iónica [catalizador]

14 Quimiometría Interacciones - - A A B 30 B - 30 C C D 30 D

15 Quimiometría Evaluación de los datos Ventajas: cuál factor tiene mayor influencia en el rendimiento? se puede proponer un modelo del tipo y = b 0 + bx + b2x2 + b2x x2

16 Quimiometría Evaluación de los datos Dificultades: el diseño no tiene réplicas no se ha estimado el error experimental: por lo cual no se puede dar una respuesta definitiva sobre si los factores son o no significativos. cada variable se probó sólo con dos niveles problema de curvatura (se necesitarían términos de segundo orden en el modelo: x j 2 ) probar 3 niveles: 3 k en este ejemplo: k=4 8 experimentos! se puede reducir con otros diseños: superficie de respuesta

17 Diseño factorial con réplicas Objetivo: estudiar el efecto de tres factores (A, B, C) sobre el funcionamiento de un plasma empleado para grabados. Factor - + con dos niveles A (distancia, cm) 0,8, = 8 combinaciones B (flujo gas, cm 3 /min) C (potencia, W) con dos réplicas: 6 experimentos respuesta: velociad de grabado para nitruro de silicio (Å/m) (I y II) A B C I II

18 Diseño factorial con réplicas 6 experimentos en orden estándar hacer en order aletatorio!! Orden A B C velocidad

19 Análisis del diseño factorial con réplicas empleando MINITAB el efecto C (potencia) domina el proceso el efecto A (distancia entre los electrodos) y la interacción AC también son estadísticamente significativos (valores de P pequeños P < 0,05) Estimated Effects and Coefficients for v (coded units) Term Effect Coef SE Coef T P Constant 776,06,87 65,4 0,000 A -0,62-50,8,87-4,28 0,003 B 7,37 3,69,87 0,3 0,764 C 306,3 53,06,87 2,90 0,000 A*B -24,88-2,44,87 -,05 0,325 A*C -53,63-76,8,87-6,47 0,000 B*C -2,2 -,06,87-0,09 0,93 A*B*C 5,62 2,8,87 0,24 0,89 el error estándar de todos los coeficientes del modelo es igual porque el diseño es ortogonal

20 empleando MINITAB: gráfico de Pareto Análisis del diseño factorial con réplicas los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos Pareto Chart of the Standardized Effects (response is v, Alpha =,05) 2,3 C AC F actor A B C Name A B C A Term AB B ABC BC Standardized Effect 0 2 4

21 Análisis del diseño factorial con réplicas empleando MINITAB: gráfico de probabilidad normal (Daniel) los efectos C, A y la interacción AC son estadísticamente significativos Normal Probability Plot of the Standardized Effects (response is v, Alpha =,05) Effect Ty pe No t Significant Significant C F actor A B C Name A B C Percent A 0 5 A C Standardized Effect 0 5

22 Análisis del diseño factorial con réplicas empleando MINITAB: gráficos factoriales Cube Plot (data means) for v 069,0 794,5 67,0 638,5 B 044,5 808,5-577,0 - A 659,5 - C

23 Análisis del diseño factorial con réplicas empleando MINITAB: gráficos factoriales Interaction Plot (data means) for v A - A B - B C

24 Análisis del diseño factorial con réplicas gráficos de superficie de respuesta: se sabe que conviene trabajar a una velocidad de 900 Å/m, por lo cual se pueden sugerir las mejores condiciones analizando las curvas de nivel

25 Análisis del diseño factorial con réplicas modelo para predecir la velocidad de grabado ŷ = b 0 + b x + b 2 x 2 + b 3 x 3 + b 2 x x 2 + b 3 x x 3 + b 23 x 2 x 3 + b 23 x x 2 x 3 velocidad = 776,6-50,8x + 53,06x 3-76,8 x x 3 análisis de regresión (para el modelo completo): S = 47,462 desviación estándar R-Sq = 96,6% el modelo explica un 96,6 % de la variabilidad observada (problema: R 2 aumenta al aumentar el número de factores, aunque no sean significativos) R-Sq(adj) = 93,64% R 2 (ajustado para el tamaño del modelo): suele disminuir si se agregan factores no significativos se puede volver a calcular con el modelo reducido

26 Análisis del diseño factorial con réplicas al menos un efecto principal y una interacción entre dos factores son estadísticamente significativos Analysis of Variance for v (coded units) Source DF Seq SS Adj SS Adj MS Main Effects Way Interactions Way Interactions Residual Error Pure Error Total Source F P Main Effects 6,62 0,000 2-Way Interactions 4,34 0,00 3-Way Interactions 0,06 0,89 Residual Error Pure Error Total