Estimación por intervalos

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1 Capítulo 9 Estimación por intervalos 9.1. Introducción En este capítulo se desarrolla la estimación por intervalos donde el proceso de inferencia se realiza de la forma θ C, donde C = Cx) es un conjunto que se determina usando la información contenida en la muestra Estimación por intervalos Definición Una estimación por intervalo de un parámetro θ es algún par de funciones de la muestra que satisfacen Lx) Ux) para todo x X. El intervalo aleatorio [LX), UX)] es llamado un estimador por intervalo. Ejemplo Para una muestra X 1,, X 4 de la distribución N µ, 1) un estimador por intervalo de µ es [X 1, X + 1]. Definición Sea [LX), UX)] un estimador por intervalo de θ, la probabilidad de cobertura es la probabilidad que el intervalo aleatorio cubra al paramétro θ. Ejemplo En el ejemplo anterior la probabilidad que µ sea cubierto por [X 1, X + 1] es 0,9544. Definición Sea [LX), UX)] un estimador por intervalo para θ, el coeficiente de confianza es el ínfimo de las probabilidades de cobertura. 110

2 CAPÍTULO 9. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 111 Los estimadores de intervalo junto con una medida de confianza, usualmente un coeficiente de confianza, son conocidos como intervalos de confianza. Ejemplo Sea X 1,, X n una muestra aleatoria de una población unifome en el intervalo 0, θ) y sea X n) el máximo. Se está interesado en un estimador por intervalo de θ. Si consideramos los siguientes candidatos: [ax n), bx n) ] 1 a<b y [X n) + c, X n) + d] 0 c<d donde a, b, c y d son constantes. Para el primer intervalo la probabilidad de cobertura es: Pr θ [axn), bx n) ] ) ) = Pr axn) θ bx n) θ θ 1 = Pr b X n) 1 ) θ a 1 = Pr b a) T 1 ) 1 n ) 1 n = a b y no depende del parámetro θ, entonces n ) n 1 a) 1 b es el coeficiente de confianza del parámetro. Para el segundo intervalo: Pr θ [Xn) + c, X n) + d] ) = Pr Xn) + c θ X n) + d ) θ θ ) y depende del parámetro θ. Además: = Pr 1 d θ T 1 c θ = 1 c ) n 1 d ) n θ θ lím 1 c ) n 1 d ) n = 0 θ θ θ es decir que el coeficiente de confianza del intervalo es cero.

3 CAPÍTULO 9. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS Métodos para encontrar estimadores de intervalos Se presentan tres métodos para hallar estimadores por intervalo basados en la estrategia de invertir una prueba estadística Invirtiendo una prueba estadística Existe una fuerte correspondencia entre las pruebas de hipótesis y la estimación por intervalos. Consideremos el siguiente ejemplo. Ejemplo Sea X 1,, X n una muestra aleatoria obtenida de una población N µ, σ 2 ). Considere las hipótesis H 0 : µ = µ 0 versus H 1 : µ µ 0. Para un nivel α, se tiene la región de rechazo {x : x µ 0 > z 1 α/2 σ/ n}. Notar que H 0 no se rechaza si x µ 0 z 1 α/2 σ/ n, o equivalentemente: x z 1 α/2 σ n µ 0 x + z 1 α/2 σ n Como la prueba tiene tamaño α, esto significa que PrH 0 se rechaza µ = µ 0 ) = α, o visto de otra forma PrNo rechazar H 0 µ = µ 0 ) = 1 α. Luego: ) σ σ X z 1 α/2 n µ 0 X + z 1 α/2 n µ = µ 0 Pr Pero lo anterior es verdadero para todo µ 0, entonces: ) σ σ X z 1 α/2 n µ X + z α/2 n Pr = 1 α = 1 α El siguiente teorema presenta una versión formal de la correspondencia entre las pruebas de hipótesis y la estimación por intervalos. Teorema Para todo θ 0 Θ, sea Aθ 0 ) la región de no rechazo para una prueba con nivel α de H 0 : θ = θ 0. Para cada x X se define el conjunto Cx) en el espacio paramétrico por: Cx) = {θ 0 : x Aθ 0 )} 9.3.1) entonces el conjunto aleatorio CX) es un conjunto de confianza 1 α. Inversamente, sea CX) un conjunto de confianza 1 α. Para todo θ 0 Θ, se define:

4 CAPÍTULO 9. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 113 Aθ 0 ) = {x : θ 0 Cx)} entonces Aθ 0 ) es la región de no rechazo de una prueba a un nivel α de H 0 : θ = θ 0. Ejemplo Suponga que se desea obtener un intervalo de confianza para la media de la distribución Eλ). La prueba de razón de verosimilitud para H 0 : λ = λ 0 versus H 1 : λ λ 0 es: ) x n λx) = e n e nx/λ 0 λ0 Para λ 0 fijo la región de no rechazo es: Aλ 0 ) = { ) x n x : e nx/λ 0 c} λ0 donde c es la constante que satisface Pr λ0 x Aλ 0 )) = 1 α. Invirtiendo la región de no rechazo se obtiene el conjunto de confianza 1 α: { ) x n Cx) = λ : e nx/λ c} λ que debe ser resuelta usando métodos numéricos. Ejemplo Sea X 1,, X n una muestra aleatoria obtenida de una población N µ, σ 2 ). Suponga que se desea obtener un intervalo de confianza acotado superiormente para µ, es decir de la forma Cx) =, Ux)], invirtiendo la prueba de una cola H 0 : µ = µ 0 versus H 1 : µ < µ Cantidades pivotales El intervalo [X n) + c, X n) + d] del ejemplo tiene una probabilidad de cobertura que no depende del parámetro ya que puede ser expresada en términos de X n) /θ, una variable aleatoria cuya distribución no depende del parámetro, llamada cantidad pivotal o pivote. Definición Una variable aleatoria QX, θ) = QX 1,, X n, θ) es una cantidad pivotal, o pivote, si la distribución de QX, θ) es independiente de todo parámetro.

5 CAPÍTULO 9. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 114 Ejemplo En los casos de las familias de locación y escala existen muchas cantidades pivotales: Forma Tipo Cantidad pivotal fx µ) Locación X µ 1 f ) x X Escala σ σ σ 1 f ) x µ X µ Locación-escala σ σ S Ejemplo Suponga que X 1,, X n son independientes e identicamente distribuidos según Eλ). Entonces T = X i es una estadística suficiente para λ y T Gn, λ), luego QT, λ) = 2T/λ X 2 2n es un pivote. Recordar además que la distribución gamma es una familia de escala. Ejemplo En el ejemplo se obtuvo un intervalo de confianza para la media invirtiendo la prueba de nivel α, H 0 : λ = λ 0 versus H 1 : λ λ 0. Si se tiene una muestra aleatoria X 1,, X n y se define T = ΣX i y QT, λ) = 2T/λ χ 2 2n, pueden escogerse las constantes a y b que satisfacen Pra χ 2 2n b) = 1 α, entonces: Pra QT, λ) b) = Pr a 2t ) λ b 2t = Pr b λ 2t ) a = 1 α Ejemplo Si X 1,, X n es una muestra aleatoria obtenida desde la distribución N µ, σ 2 ), entonces X µ σ/ es un pivote cuando n σ2 es conocido y puede utilizarse para calcular un intervalo de confianza para µ: entonces: Pr a X µ ) σ/ n b = Pra Z b) {x b σ n µ x a σ n } Si σ 2 es desconocido se puede usar el pivote X µ S/ n : Pr a X µ ) S/ n b = Pra T n 1 b)

6 CAPÍTULO 9. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 115 entonces: { x b s µ x a s } n n Si se desea un intervalo para σ se usa el pivote n 1)S2. Se eligen a y b tal σ 2 que: ) n 1)S2 Pr a b = Pra χ 2 σ 2 n 1 b) entonces: n 1)S 2 n 1)S 2 σ b a Pivote a través de la función de distribución acumulada Suponga que T es una variable aleatoria continua. Se sabe que F T T θ) tiene distribución uniforme en el intervalo 0,1) y puede ser usada como pivote. Si α 1 + α 2 = α entonces la región de no rechazo de la hipótesis H 0 : θ = θ 0 es: {t : α 1 F T T θ 0 ) 1 α 2 } cuyo intervalo asociado es: {θ : α 1 F T T θ) 1 α 2 } En la práctica se suele elegir T como una estadística suficiente sin embargo no se trata de un requisito necesario para la construcción del intervalo. Teorema Sea T una estadística con función de distribución acumulada continua F T t θ) y suponga que α 1 + α 2 = α, donde 0 < α < 1. a. Si F T t θ) es una función decreciente de θ para cada t, se definen θ L t) y θ U t) por: F T t θ U t)) = α 1 F T t θ L t)) = 1 α 2

7 CAPÍTULO 9. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 116 b. Si F T t θ) es una función creciente de θ para cada t, se definen θ L t) y θ U t) por: F T t θ U t)) = 1 α 2 F T t θ L t)) = α 1 entonces el intervalo aleatorio [θ L T ), θ U T )] es un intervalo de confianza 1 α para θ. Ejemplo Si X 1,, X n es una muestra aleatoria extraída de la población con función de densidad fx µ) = e x µ), x µ. Hallar un intervalo de confianza 1 α para µ usando la estadística suficiente Y = X 1) y considerando que α = α 1 + α Métodos de evaluación de estimadores por intervalos Se han estudiado diferentes métodos para encontrar intervalos de confianza y es posible contar con más de una alternativa para un mismo problema. Como es necesario elegir la mejor propuesta se examinan a continuación algunos métodos y criterios para su evaluación Tamaño y probabilidad de cobertura Si se considera fija la probabilidad de cobertura se debe buscar el intervalo que tenga la menor longitud. Ejemplo Sean X 1,, X n una muestra aleatoria extraída desde la distribución N µ, σ 2 ) donde σ 2 es conocida. Se sabe que: Z = X µ σ/ n es un pivote con distribución normal estándar. Considerando a y b que satisfacen: Pra Z b) = 1 α se obtiene el intervalo de confianza 1 α:

8 CAPÍTULO 9. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 117 {x b σ n µ x a σ n } qué elección de a y b es la mejor? qué elección de a y b minimiza la longitud del intervalo de confianza manteniendo la cobertura 1 α? Teorema Sea fx) una función de densidad unimodal. Si el intervalo [a, b] satisface: a. b fx)dx = 1 α. a b. fa) = fb), y c. a x b, donde x es una moda de fx). entonces [a, b] es el más pequeño entre todos los intervalos con cobertura 1 α. Ejemplo Para intervalos de la distribución normal basados en la cantidad pivotal X µ S/ se sabe que el intervalo de confianza 1 α de longitud n más pequeña es de la forma: x b s n µ x a s n La longitud del intervalo es una función de s: Longituds) = b a) s n Aplicando el teorema se llega a que a = t n 1;1 α/2 y b = t n 1;1 α/2 permiten obtener el intervalo óptimo Otras consideraciones Intervalos aproximados por máxima verosimilitud Si X 1,, X n son independientes distribuidas según fx θ) y ˆθ es el estimador de máxima verosimilitud para θ, entonces de la varianza de una función hˆθ) puede ser aproximada por:

9 CAPÍTULO 9. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 118 [h Varhˆθ) θ) θ)] 2 θ=ˆθ 2 log Lθ x) θ 2 θ=ˆθ Luego, para un valor de θ arbitrario pero fijo y bajo condiciones generales de regularidad se tiene: hˆθ) hθ) Varhˆθ) θ) N 0, 1) lo cual permite obtener el intervalo aproximado de confianza: hˆθ) z 1 α/2 Varhˆθ) θ) hθ) < hˆθ) + z 1 α/2 Varhˆθ) θ) Ejemplo Se tiene un muestra aleatoria X 1, X n de una población p Bp). Si se desea estimar la razón de odds puede utilizarse ˆp donde 1 p 1 ˆp ˆp = x es el estimador de máxima verosimilitud. Luego: ) ˆp Var 1 ˆp [h p)] 2 p=ˆp = 2 log Lp x) p 2 p=ˆp [ ] ˆp) 2 n ˆp1 ˆp) Se puede construir el intervalo de confianza aproximado: ) ˆp 1 ˆp z Var ˆp 1 α/2 1 ˆp obteniendose: p 1 p ˆp = ˆp n1 ˆp) 3 ) 1 ˆp + z Var ˆp 1 α/2 1 ˆp x 1 x z x 1 α/2 n1 x) p 3 1 p x 1 x + z 1 α/ Otros intervalos aproximados x n1 x) 3 Si se tienen las estadísticas W,V y un paramétro θ tal que cuando n,

10 CAPÍTULO 9. ESTIMACIÓN POR INTERVALOS 119 W θ N 0, 1) V entonces se puede construir un intervalo de confianza aproximado para θ por: W z 1 α/2 V θ W + z 1 α/2 V