INTRODUCCIÓN: PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN.
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- Rodrigo Torregrosa Ojeda
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1 Mt. Apl. ls C. Soiles II: Fniones V: Interles. Cállo de primitivs y de áres. pá. INTRODUCCIÓN: PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN. Nos plntemos si dd n nión, eiste otr F tl qe F =. Se llm primitiv de n nión otr nión, F, y derivd es, es deir, F =. Por ejemplo: F'. Interndo, otenemos n primitiv de : F F es n primitiv de, F+k tmién es primitiv de, pr todo número rel k. Ejemplos: =, entones pede ser: F., entones pede ser: F., entones pede ser: F., entones pede ser:, entones pede ser:, entones pede ser:, entones pede ser:, entones pede ser: e, entones pede ser: os, entones pede ser: sen, entones pede ser: se, entones pede ser: ose, entones pede ser: INTEGRAL INDEFINIDA El onjnto de tods ls primitivs de n nión se llm interl indeinid de dih nión y se esrie: d F es n primitiv de, se tiene: Propieddes de l interl indeinid:. d d d k d. d k d F k
2 Mt. Apl. ls C. Soiles II: Fniones V: Interles. Cállo de primitivs y de áres. pá. CÁLCULO DE PRIMITIVAS Interles inmedits: Los siientes resltdos son onseeni inmedit de ls orrespondientes propieddes de ls derivds. Se les llm interles inmedits trnsormremos l interl dd, medinte ls propieddes de l interl indeinid, en interles ys primitivs peden llrse de orm inmedit: n n d k d k, n n d ln k d ln k e d e k Propieddes de l interl indeinid: F m n, entones m n d k m. d F k. d F k, entones ` F k Al ominr est últim propiedd on l nterior tl de interles inmedits, se otiene est otr tl: n n `d k, n n ` d ln k ` d ln k EJERCICIOS.- Reselve ls siientes interles inmedits: 8 8. d C. d ln C. d C. d ln C
3 Mt. Apl. ls C. Soiles II: Fniones V: Interles. Cállo de primitivs y de áres. pá. 8. d ln C. d C d C 9. 9 d ln 9 C 8. d ln C 7.- Hll si semos qe =; = y =. Solión: Interión por sstitión o por mio de vrile: 7 Consiste en introdir n nev vrile, t por ejemplo, medinte n mio onvenientemente eleido. el mio es: =t, dierenindo se otiene d='t, on lo qe resltrí l interl: I d t ` t F t F L eii del método depende de l hilidd pr ertr on n mio de vrile on el qe l send interl se más senill qe l primer. Ejemplo: Hemos el mio: t d d d t k t t Ejemplo: 7 t 7 d t 7 d d t d d C t C
4 Mt. Apl. ls C. Soiles II: Fniones V: Interles. Cállo de primitivs y de áres. pá. 7 Deshiendo el mio: C 7 C Ejemplo: d ln Hemos el mio: ln t ln t t d 7 d d lnt C ln ln C EJERCICIOS PROPUESTOS.- Reselve ls siientes interles por el método de interión más onveniente: 8. d ln ln C ÁREA BAJO UNA CURVA. INTEGRAL DEFINIDA. En rsos nteriores prendimos llr el áre de distints irs eométris elementles, reintos errdos limitdos por sementos de ret y ros de irnereni. En lo qe sie trtremos de determinr el vlor del áre de n ir pln limitd por dos o más ros de rv. es n nión ontin en el intervlo [, ], el áre ontenid entre el eje X, l rái de l nión y ls rets vertiles = y =, se desin por: se lee interl deinid de l nión en [, ] ó interl entre y de. Los números y se llmn límites inerior y sperior de interión, respetivmente. En lr de poner sólo l nión, se pede poner y se ostmr herlo: Ejemplos: d d d En enerl, pr n nión lqier y= ontin y positiv en el intervlo [,]: Dividimos el intervlo [,] en n sintervlos de il mplitd h. En d sintervlo l nión lnzrá n máimo y n mínimo soltos myor y menor vlor de l nión en el sintervlo.
5 Mt. Apl. ls C. Soiles II: Fniones V: Interles. Cállo de primitivs y de áres. pá. en d sintervlo se trz n prlel l eje OX por d máimo solto y por d mínimo solto, se otienen n retánlos eteriores y n retánlos interiores. Llmemos S M l sm de ls áres de todos los retánlos eteriores y S m l sm de ls áres de todos los retánlos interiores. Tl y omo se prei en ls irs nteriores, l interl deinid está omprendid entre mos vlores: S m d S Ahor ien, hiendo ls sdivisiones de mplitd menor, dihs áres se vn proimndo d vez más l interl. De est orm intitiv podrímos deir qe en el límite ndo l mplitd h tiende ero, se mple: lims h M M d lims Se h onsiderdo, [,]. Tmién es válido pr el so de n nión netiv. h m PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Ls siientes propieddes son onseeni inmedit de l deiniión.. es n pnto interior de [, ], entones: d d d. =, entones: d. permtmos los límites de interión, l interl mi de sino: d d. Interl de l sm o diereni de dos niones: d d d. Interl del proo de n número rel por n nión: k d k d
6 Mt. Apl. ls C. Soiles II: Fniones V: Interles. Cállo de primitivs y de áres. pá. REGLA DE BARROW "Se n nión ontin en [,] y G n nión qe mple G'=. Entones: G G " Demostrión: Se G'=, Hiendo =: F t. Por el teorem ndmentl del állo F'=. Como F=G+k F=G+k Por otro ldo: F t Por tnto, G+k= k=-g F G G. CÁLCULO DE ÁREAS L interl deinid es n instrmento útil pr el állo de áres de reintos plnos. Áre "A" limitd por n rv y=, el eje OX y ls rets = y =: Distiniremos los sos siientes: Fir Fir Fir. : A d. El áre es del mismo sino qe l interl deinid.. : A d. El áre es el vlor solto de l interl deinid.. mi de sino en el intervlo [,], prtir de = se lln los pntos de mio, se onsider el vlor solto de d n de ls interles deinids y se smn. Pr l ir del ejemplo se tiene: d A d d d d
7 Mt. Apl. ls C. Soiles II: Fniones V: Interles. Cállo de primitivs y de áres. pá. 7 Áre omprendid entre dos rvs: Distiniremos dos sos:. y se ortn en dos pntos = y =, y >, [,], el áre del reinto limitdo es: d A. y tienen otros pntos de orte, demás de ls áres priles, limitds por y entre d dos pntos de orte; pr l ir del ejemplo se tiene: d d A REPASO: CÁLCULO DE ÁREAS. º.- Hll el áre del reinto limitdo por l rái de y el eje OX. Hllmos los eros de :,, y. Estos eros determinn los siientes intervlos:,,,,,. d d d A º.- Hll el áre limitd por l rái de ls niones y. Representmos ráimente el reinto y vemos qe entre y, l rái de está por enim de l de, es deir,. d d d A
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